MATERIAL PARA PREPARAR EL EXAMEN DE

TEMAS SELECTOS DE MATEMÁTICAS II

Profesor: Rubén Oscar Costiglia Garino

PREFECO “David Alfaro Siqueiros”

MEDIAS 1. Dados los números 13 y 23 calcula: a. La media aritmética b. La media geométrica c. La media armónica Soluciones: a. Media aritmética= (13+23)/2 = 18 b. Media geométrica= √ [(13)(23)] ≈ 17.29 c. Media armónica = 2(13)(23)/(13+23) = 598/36 ≈ 16.61 2. Cuatro amigos aportan 200, 300, 400 y 600 pesos para organizar una fiesta. ¿Cuál fue el promedio que se aportó? Solución: Promedio = Media aritmética = (200+300+400+600)/4 = 375 pesos 3. Las reservas de agua en los embalses durante el año 2008 crecen un 40% con respecto a la cantidad que había en el 2007, y durante el 2009 crecen un 10% con respecto a lo que había en el 2008. ¿Cuál fue el porcentaje promedio de crecimiento durante los dos años? Solución: Promedio = Media geométrica = √[(1.4)(1.1)]= √ 1.54 = 1.2409…≈ 1.241 El porcentaje promedio fue de aproximadamente el 24.1%.

4. Un automovilista recorre la distancia de la ciudad A a la ciudad B a la velocidad de 60 Km/h. Al regresar se le avería el carro y regresa desde B hasta A a 20 Km/h. ¿Cuál fue su velocidad promedio en todo el recorrido?. Solución: Velocidad promedio = Media armónica de las velocidades = 2(60)(20)/(60+20) = 2400/80=30 Km/h 5. Si el precio final de un producto (IVA del 16% incluido) es de 3944 pesos, ¿Cuál es el precio base? Solución: 3944/1.16= 3400 pesos

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Preguntas y posibles respuestas

1. Explica la diferencia entre estadística descriptiva y estadística inferencial o inductiva. La estadística descriptiva trata de la obtención, organización, presentación y descripción de información numérica, lo que permite resumir e interpretar grandes cantidades de datos. Por su parte la estadística inferencial, partiendo de una información parcial o incompleta obtenida mediante técnicas descriptivas, hace generalizaciones o decide un rumbo de acción. En resumen, la primera hace posible manejar grandes cantidades de datos, y la segunda generaliza o permite tomar decisiones a partir de un conocimiento parcial. 2. ¿Qué entiendes por “universo”, “población” y “muestra”. “Universo” es un conjunto de individuos, objetos o unidades. Cada individuo, objeto o unidad, tiene a su vez un número (determinado o no) de características. “Población” es el conjunto formado por todos los posibles valores que toma una característica del “universo”. Por ejemplo: del “universo” constituido por todas/os las/os estudiantes de la Preparatoria, podemos obtener poblaciones de alumnas/os con referencia al promedio de sus calificaciones, a la fecha de ingreso a la Preparatoria, al sexo, a la secundaria de la cual proceden, etc. “Muestra” es cualquier subconjunto de la población. Por ejemplo cuando se hacen encuestas sobre los resultados de las elecciones, no se pregunta a todos y cada uno de las/os votantes, sino que se hace una selección, una “muestra” que se intenta que represente al conjunto. Con varios miles de encuestas correctamente planificadas, puede obtenerse una muy buena aproximación a los resultados. 3. ¿Todas las características se pueden medir?. No todas las características se pueden medir. Por ejemplo: las/os estudiantes de 6° semestre de la Preparatoria “David Alfaro Siqueiros” tienen cierta edad, sexo (masculino o femenino), cierta cantidad de materias acreditadas o reprobadas, etc. La edad y la cantidad de materias acreditadas o reprobadas son características que se pueden medir, el sexo no. 4. ¿Cómo se calcula la marca de clase conocidos los límites del intervalo?. Se suman el límite inferior y el superior del intervalo, y se dividen entre dos. 5. ¿Para qué tipo de datos son adecuados los diagramas de barras?. Para datos cualitativos o discretos. 6. ¿Para qué tipo de datos son adecuados los diagramas de sectores (de pastel)?. Para representar datos cualitativos (cuando tenemos pocas modalidades del mismo).

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7. ¿Para qué tipo de datos son adecuados los histogramas de frecuencias?. Para datos cuantitativos continuos, o para muchos datos discretos agrupados en clases. 8. ¿Cuáles son las medidas de tendencia central que hemos estudiado?. Media aritmética, mediana y moda. 9. ¿Qué quiere decir que una distribución es bimodal?. Que tiene dos modas. 10. ¿A qué se llama mediana de una distribución?. Es el dato ubicado de tal manera que quedan tantos datos menores como mayores que él. Podemos decir que está “en el medio” de la distribución. 11. ¿Es siempre la media una medida representativa?. No. La media se ve afectada por los valores extremos. Una distribución con unos pocos valores muy altos o muy bajos, nos dará una media no representativa. 12. ¿Influyen todos los datos en el cálculo de la moda? No, en la moda no intervienen todos los datos de la distribución, sólo el o los datos que tienen mayor frecuencia. 13. ¿Cuáles son las medidas de dispersión que hemos estudiado?. La varianza y la desviación típica. 14. ¿Se expresa la varianza en las mismas unidades que los datos?. No, la varianza no se expresa en las mismas unidades que los datos, ya que las desviaciones están elevadas al cuadrado. 15. ¿Puede ser negativa la varianza?. No, por lo mismo que está elevada al cuadrado no puede ser negativa. 16. Una serie de datos tiene una media aritmética igual a 6 y una varianza igual a 192. ¿Es representativa la media aritmética?. No ya que los datos presentan una dispersión muy grande (varianza 192) con respecto a la media aritmética (6).

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DATOS NO AGRUPADOS Calcula la media μ, la mediana Md, la moda Mo, la varianza σ2 y la desviación típica σ de la siguiente serie de datos: x f fq 5 13 6 15 7 20 8 21 9 15 10 12

Solución: x 5 6 7 8 9 10

f 13 15 20 21 15 12

fq 13 28 48 69 84 96

Media μ = 7.479…≈7.48 Mediana Md = 7.5 Moda Mo = 7 Calcula la varianza σ2 y la desviación típica σ de la siguiente serie de datos x 5 6 7 8 9 10

f 5 8 10 12 15 10

Solución: σ2 = 2.356… ≈ 2.357, σ ≈ 1.535

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DATOS AGRUPADOS La velocidad de 50 motocicletas se mide mediante un radar. Los resultados son Marca de clase

Velocidad de las Motocicletas [Km/h] 42.5 47.5 47.5 52.5 52.5 57.5 57.5 62.5 62.5 67.5 67.5 72.5 72.5 77.5 77.5 82.5 TOTAL

Número de motocicletas 4 4 11 13 10 5 1 2 50

Calcula la media μ, el intervalo modal y el intervalo de la mediana.

Solución

Marca de clase 45 50 55 60 65 70 75 80

Velocidad de las Motocicletas [Km/h] 42.5 47.5 47.5 52.5 52.5 57.5 57.5 62.5 62.5 67.5 67.5 72.5 72.5 77.5 77.5 82.5 TOTAL

Media = 60 Intervalo Modal: [57.5 62.5} Intervalo de la Mediana: [57.5

Número de motocicletas 4 4 11 13 10 5 1 2 50

62.5}

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