Cap´ıtulo 8

Teoremas de convergencia y derivaci´ on bajo el signo integral En este cap´ıtulo estudiaremos sucintamente bajo qu´e circunstancias puede intercambiarse el orden de la integral con las operaciones de paso al l´ımite m´as habituales en el an´alisis, tales como la convergencia de sucesiones y series de funciones o la derivaci´on. Una de las principales desventajas de la integral de Riemann frente a la de Lebesgue (que se estudia en cursos m´as avanzados) es que el l´ımite puntual de una sucesi´on de funciones integrables Riemann no es en general integrable, y la convergencia puntual no es suficiente para poder intercambiar el orden de las operaciones l´ımite e integral. Los ejemplos siguientes ilustrar´an este hecho con m´as precisi´on. Ejemplo 8.1 Sea (rj )∞ on de los n´ umeros racionales del j=1 una enumeraci´ intervalo [0, 1]. Para cada k ∈ N definamos fk : [0, 1] −→ R como fk = 1{r1 ,...,rk } , es decir f (x) = 1 si x = rj para alg´ un j con 1 ≤ j ≤ k, y f (x) = 0 en caso contrario. Si A = [0, 1] ∩ Q y f = 1A , es claro que l´ım fk (x) = f (x)

k→∞

para todo x ∈ [0, 1]. Cada fk es integrable por ser igual a la funci´on cero salvo en una cantidad finita de puntos. Sin embargo, f = 1A no es integrable. Incluso cuando el l´ımite puntual f de una sucesi´on de funciones integrables (f R k ) en un R conjunto A sea integrable, en general no ser´a verdad que l´ımk→∞ A fk = A f , como prueba el siguiente ejemplo. 79

´ 80 CAP´ITULO 8. TEOREMAS DE CONVERGENCIA Y DERIVACION Ejemplo 8.2 Para cada k ∈ N, k ≥ 2, definamos fk : [0, 1] −→ R por   k 2 x si 0 ≤ x ≤ k1 ; 2k − k 2 x si k1 ≤ x ≤ k2 ; fk (x) =  0 si x ≥ k2 , y sea f = 0. Es claro que l´ımk→∞ fk (x) R 1 = f (x) = 0 para todo x. Las funciones fk son todas integrables, con 0 fk = 1, y por supuesto f = 0 es R1 integrable, con 0 f = 0. Obviamente, Z

1

1 = l´ım

k→∞ 0

1

Z fk 6=

f = 0. 0

No obstante, cuando la convergencia de fk a f es uniforme en A entonces s´ı es cierto que f es integrable Riemann cuando las fk lo son, y se cumple que Z Z l´ım

k→∞ A

fk =

f. A

Teorema 8.3 Sea A un subconjunto acotado de Rn , y (fk ) una sucesi´ on de funciones integrables que converge uniformemente en A a una funci´ on f . Entonces f es tambi´en integrable en A, y Z Z l´ım fk = f. k→∞ A

A

Demostraci´ on: Sea S un rect´angulo que contenga a A, y extendamos cada una de las funciones fk , y tambi´en f , a S, haci´endolas valer cero en S \ A. Es claro que estas extensiones tienen la propiedad que fk converge a f uniformemente en S. Para cada k ∈ N, sea Dk el conjunto de los puntos de discontinuidad de la funci´on fk (extendida). Sea B=S\

∞ [

Dk .

k=1

Es evidente que todas las funciones fk son continuas en B, y adem´as fk converge uniformemente a f en B ⊆ S. Entonces, como el l´ımite uniforme de una sucesi´on de funciones continuas en un conjunto es continuo en ese conjunto, se tiene que f es continua en B. Por tanto, elSconjunto D de los puntos de discontinuidad de f est´a contenido en S \ B = ∞ k=1 Dk , que tiene medida cero por ser uni´on numerable de conjuntos de medida cero (los Dk

81 tienen medida cero porque cada fk es integrable). Luego D tiene tambi´en medida cero y as´ı f es integrable. R R Veamos ahora que l´ımk→∞ A fk = A f . Dado ε > 0, puesto que fk → f uniformemente en S, existe k0 ∈ N tal que si k ≥ k0 entonces |fk (x) − f (x)| ≤

ε v(S)

para todo x ∈ S.Entonces, si k ≥ k0 , se tiene Z Z Z Z Z |fk − f | ≤ |fk − f | = f ≤ fk − A

A

R

S

A

S

ε = ε. v(S)

R

Por tanto l´ımk→∞ A fk = A f . De aqu´ı se deduce inmediatamente el siguiente corolario. n Corolario 8.4 Sea A un subconjunto acotado on P∞ de R , y (fk ) una sucesi´ de funciones integrables tal que la serie k=1 fk converge uniformemente P f en integrable en A, y en A a una funci´ on f . Entonces f = ∞ k=1 k es tambi´ Z ∞ Z X f= fk . A

k=1

A

A continuaci´on probamos un resultado que justifica la derivaci´ on bajo el signo integral. Utilizaremos la siguiente notaci´on. Si f : A×B ⊆ Rn ×Rm −→ R, para cada x0 ∈ A consideramos la funci´on fx : B −→ R definida por fx0 (y) = f (x0 , y) y, si existe la derivada de esta funci´on fx0 en un punto y0 ∈ B, denotaremos ∂f (x0 , y0 ) = fx0 0 (y0 ), ∂y es decir,

∂f ∂y

es la derivada parcial de f con respecto de la variable vectorial

y. Obs´ervese que, seg´ un esta definici´on, ∂f umero, sino una ∂y (x, y) no es un n´ aplicaci´on lineal. Entenderemos entonces que Z ∂f (x, y)dx A ∂y denota la forma lineal que a cada h ∈ Rm le asigna el n´ umero Z ∂f (x, y)(h)dx. A ∂y

´ 82 CAP´ITULO 8. TEOREMAS DE CONVERGENCIA Y DERIVACION Teorema 8.5 Sea U un subconjunto compacto de Rn × Rm , y sea f : U −→ R una funci´ on continua tal que la funci´ on derivada (x, y) 7→ ∂f ∂y (x, y) existe y es continua en todo U . Entonces, si A y B son subconjuntos con volumen de Rn y Rm respectivamente, tales que B es abierto y A × B ⊆ U , se tiene que la funci´ on F : B −→ R definida por Z F (y) =

f (x, y)dx A

es diferenciable en B, y 0

Z

F (y) = A

∂f (x, y)dx ∂y

para todo y ∈ B.

Demostraci´ on: Para cada (x, y) ∈ A × B, y h ∈ Rm , por el teorema del valor medio sabemos que existe cx,y,h en el segmento [y, y + h] tal que f (x, y + h) − f (x, y) =

∂f (x, cx,y,h )(h). ∂y

(1)

Como la funci´on (x, y) 7→ ∂f ∂y (x, y) es continua en el compacto U , es uniformemente continua en U y en cualquier subconjunto suyo; en particular ∂f ∂y es uniformemente continua en A × B. Entonces, dado ε > 0, existe δ > 0 tal que k

∂f ∂f ε (x, z) − (x, y)k ≤ ∂y ∂y v(A)

para todos z, y ∈ B tales que kz−yk ≤ δ, y en particular, como kcx,y,h −yk ≤ δ por estar cx,y,h en el segmento [y, y + h] y ser khk ≤ δ, se tiene que k

∂f ∂f ε (x, cx,y,h ) − (x, y)k ≤ ∂y ∂y v(A)

(2)

si (x, y) ∈ A × B y khk ≤ δ. Entonces, usando (1) y (2) e integrando en x,

83 obtenemos que, para todos y ∈ B y h ∈ Rm con khk ≤ δ, Z ∂f F (y + h) − F (y) − (x, y)(h)dx A ∂y Z Z Z ∂f f (x, y)dx − = f (x, y + h)dx − (x, y)(h)dx A ∂y A ZA ∂f (x, y)(h)]dx = [f (x, y + h) − f (x, y) − ∂y ZA ∂f ∂f = [ (x, cx,y,h )(h) − (x, y)(h)]dx ∂y ∂y Z A Z ∂f ∂f ε ≤ k (x, cx,y,h ) − (x, y)k khkdx ≤ khkdx = εkhk. ∂y A ∂y A v(A) Esto prueba que para todo y ∈ B y todo ε > 0 existe δ > 0 tal que Z ∂f F (y + h) − F (y) − (x, y)(h)dx ≤ εkhk A ∂y si khk ≤ δ, lo que significa que F es diferenciable en B, con Z ∂f 0 F (y) = (x, y) A ∂y para todo y ∈ B. Una demostraci´on alternativa de este resultado puede obtenerse generalizando la soluci´on del problema 5.12 (es decir, combinando el teorema de Fubini con el Teorema Fundamental del C´alculo) para obtener que Z ∂F ∂f = (x, y)dx ∂yj A ∂yj para cada j = 1, ..., m, y despu´es usar el Teorema 8.3 para probar que todas las derivadas parciales de F son continuas, de donde se sigue que F es de clase C 1 . Se dejan como ejercicio al cuidado del lector los detalles de esta otra demostraci´on.

Problemas 8.6 Sea (fn ) la sucesi´on de funciones fn : R −→ R definidas por fn (x) =

nx3 . 1 + n8 x4

´ 84 CAP´ITULO 8. TEOREMAS DE CONVERGENCIA Y DERIVACION Estimar las normas uniformes kfn k∞ de esta sucesi´on de funciones, y deP∞ mostrar que la serie de n´ umeros reales n=1 kfn k es convergente. Concluir P que la serie de funciones ∞ uniformemente en R a una cierta n=1 fn converge R1 funci´on continua f . Despu´es calcular −1 f (obtener una expresi´on de esta integral como una serie de n´ umeros reales). 8.7 Hallar el siguiente l´ımite: Z n2 + 1 + y 5 − x4 −x2 −y2 e dxdy, l´ım n→∞ A n2 donde A = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y 2 ≤ 1}. 8.8 Si a > 0 demostrar que l´ımn 8.9 Calcular l´ımn

R π/4

8.10 Calcular l´ımn

0

R1 0

Rπ a

sin nx nx

dx = 0. ¿Qu´e sucede si a = 0?

xn sin x1 dx. 2

x2 e−nx dx y l´ımn

R1

2 −nx2 1/n x e

dx.

8.11 Calcular la diferencial de la funci´on F : R2 −→ R definida por Z 1Z 1 F (x, y) = sen (sxy)et dsdt. 0

0

8.12 Hacer lo mismo con la funci´on F : R2 −→ R definida por Z x Z 1 t F (x, y) = yte dt + sen (xyt)dt. 0

0

8.13 Calcular, para cada t ∈ R, el valor de la integral Z ∞ 2 cos(tx)e−x dx. −∞

R∞ 2 Indicaci´ on: Considerar la funci´on F (t) = −∞ cos(tx)e−x dx y derivarla usando el teorema de derivaci´on bajo el signo integral; despu´es desarrollar la expresi´on obtenida integrando por partes; finalmente resolver la ecuaci´on R∞ √ 2 diferencial as´ı hallada. Recu´erdese tambi´en que F (0) = −∞ e−x dx = π.