C A P Í T U L O

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Teoría de la relatividad especial

Ken Ford, ex director general del American Institute of Physics, expone la belleza de la relatividad ante sus alumnos de preparatoria.

Einstein tenía 26 años en 1905, cuando publicó sus tres principales trabajos que dieron paso a una nueva era en la física. Uno era sobre la teoría cuántica de la luz y el efecto fotoeléctrico, el segundo era una explicación del movimiento browniano, y el tercero era sobre la teoría especial de la relatividad. Ganó el Premio Nobel por su explicación cuántica del efecto fotoeléctrico, no por la relatividad. ¡EUREKA!

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C

uando Albert Einstein era un joven y entusiasta estudiante de física en la década de 1890, se sentía intrigado por la diferencia entre las leyes newtonianas de la mecánica y las leyes de Maxwell del electromagnetismo. Las leyes de Newton eran independientes del estado de movimiento de un observador, a diferencia de las leyes de Maxwell, o al menos así parecía. Un individuo en reposo y otro que se encuentra en movimiento verían cómo se aplican las mismas leyes de la mecánica a un objeto en movimiento que se somete a estudio, pero constatarían que se aplican leyes diferentes de electricidad y magnetismo cuando se estudia una carga en movimiento. Las leyes de Newton sugieren que no existe el movimiento absoluto; que sólo importa el movimiento relativo. Pero las leyes de Maxwell parecían indicar que el movimiento es absoluto. En una célebre publicación titulada “Sobre la electrodinámica de los cuerpos en movimiento”, en 1905, cuando tenía 26 años, Einstein demostró que, después de todo, las leyes de Maxwell, al igual que las leyes de Newton, se pueden interpretar de forma independiente al estado de movimiento de un observador ¡pero con un costo! El costo de lograr esta perspectiva unificada de las leyes de la naturaleza es una revolución total de la forma en que comprendemos el espacio y el tiempo. Einstein demostró que así como las fuerzas entre las cargas eléctricas se afectan por el movimiento, las mediciones del espacio y el tiempo también resultan afectadas por el movimiento. Todas las mediciones del espacio y del tiempo dependen del movimiento relativo. Por ejemplo, la longitud de una nave espacial en su plataforma de lanzamiento y el tictac de los relojes en su interior cambian cuando la nave se pone en movimiento a gran rapidez. Siempre se consideró, por sentido común, que cuando nos movemos, cambiamos nuestra posición en el espacio. Pero Einstein hizo a un lado el sentido común y dijo que, al movernos, también cambiamos nuestra rapidez de avanzar hacia el futuro; es decir, el tiempo mismo se altera. Einstein demostró que una consecuencia de la interrelación entre el espacio y el tiempo es una interrelación entre la masa y la energía, expresada por la famosa ecuación E = mc2. Éstas son las ideas que se presentan en este capítulo, las ideas de la relatividad especial, tan remotas de la experiencia cotidiana que, para comprenderlas, se requiere forzar la mente. Bastará con familiarizarse con ellas, de manera que habrá que tener paciencia si no se comprenden de inmediato. Quizá en alguna era del futuro, cuando sean comunes los viajes interplanetarios a gran rapidez, tus descendientes consideren que la relatividad se basa en el sentido común.

Capítulo 35 Teoría de la relatividad especial

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El movimiento es relativo Recuerda que en el capítulo 3, dijimos que cuando se habla del movimiento, siempre debemos especificar el punto de referencia desde donde se observa y se mide ese movimiento. Por ejemplo, una persona que va por el pasillo de un tren en movimiento puede estar caminando con una rapidez de 1 kilómetro por hora en relación con su asiento, pero a 60 kilómetros por hora en relación con la estación del ferrocarril. Al lugar desde donde se observa y mide el movimiento se le llama marco de referencia. Un objeto tendrá distintas velocidades en relación con distintos marcos de referencia. Para medir la rapidez de un objeto, primero seleccionamos un marco de referencia e imaginamos que estamos inmóviles en él. A continuación medimos la rapidez con que se mueve el objeto en relación con nosotros, esto es, en relación con el marco de referencia. En el ejemplo anterior, si hacemos la medición desde una posición de reposo dentro del tren, la rapidez de la persona que camina es de 1 kilómetro por hora. Si la hacemos desde una posición de reposo en el suelo, la rapidez de la persona que camina es de 60 kilómetros por hora. Pero en realidad el suelo no está inmóvil, porque la Tierra gira como un trompo en torno al eje polar. Dependiendo de qué tan cerca esté el tren del ecuador, la rapidez de la persona que camina puede llegar hasta 1,600 kilómetros por hora en relación con un marco de referencia en el centro de la Tierra. Y el centro de la Tierra se mueve en relación con el Sol. Si colocamos nuestro marco de referencia en el centro del Sol, la rapidez de la persona que camina en el tren, que está en la Tierra en órbita, es casi de 110,000 kilómetros por hora. Y el Sol no está en reposo, porque describe una órbita en torno al centro de nuestra galaxia, que se mueve con respecto a otras galaxias.

El experimento de Michelson-Morley ¿Habrá algún marco de referencia que esté inmóvil? El espacio mismo, ¿no está inmóvil para poder hacer mediciones en relación con el espacio inmóvil? En 1887, los físicos estadounidenses A. A. Michelson y E. W. Morley trataron de contestar esas preguntas mediante un experimento diseñado para medir el movimiento de la Tierra a través del espacio. Como la luz se propaga en forma de ondas, se suponía entonces que algo en el espacio vibra, un algo misterioso llamado éter, que se creía llenaba todo el espacio y podría servir como marco de referencia fijo al espacio mismo. Estos físicos usaron un aparato muy sensible llamado interferómetro para hacer sus observaciones (figura 35.1). En este instrumento, un haz de una fuente de luz monocromática se separaba en dos rayos, cuyas trayectorias formaban un ángulo recto entre sí; los rayos se reflejaban y se recombinaban para ver si había alguna diferencia en la rapidez promedio entre los dos caminos de ida y vuelta. El interferómetro se ajustó con una trayectoria paralela a la órbita de la Tierra; a continuación, Michelson y Morley supervisaron con cuidado si había cambios en la rapidez promedio conforme giraba el aparato, para poner la otra trayectoria paralela al movimiento de la Tierra. El interferómetro tenía la sensibilidad suficiente para medir la diferencia en los tiempos de viaje redondo de la luz que iba en el sentido de la velocidad orbital de la Tierra (de 30 kilómetros por segundo) y en sentido contrario en su trayectoria por el espacio. Pero no observaron cambios. Ningún cambio. Algo estaba mal con la idea de que la rapidez de la luz medida por un receptor en movimiento debería ser su rapidez normal en el vacío, c, más o menos la contribución del movimien-

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Parte ocho Relatividad

FIGURA 35.1 El interferómetro de Michelson y Morley, que divide un haz de luz en dos rayos, para después recombinarlos y formar una figura de interferencia después de que han recorrido distintas trayectorias. En su experimento se realizó la rotación haciendo flotar una losa masiva de piedra arenisca sobre mercurio. Este esquema muestra cómo el espejo semiplateado ivide el haz en dos rayos. El vidrio transparente aseguraba que ambos rayos atravesaran la misma cantidad de vidrio. Se usaron cuatro espejos, uno en cada esquina, para alargar las trayectorias.

Fuente de iluminación

Semiespejo

Espejos Cristal claro

Telescopio

to de la fuente o del receptor. Muchos investigadores repitieron el experimento de Michelson y Morley, con muchas variaciones, y todos llegaron al mismo resultado. Fue uno de los enigmas de la física a principios del siglo XX. El físico irlandés G. F. FitzGerald sugirió una interpretación del paradójico resultado, al proponer que la longitud del aparato en el experimento se contraía en la dirección de su movimiento, justamente la cantidad necesaria para contrarrestar la supuesta variación de la rapidez de la luz. El físico holandés Hendrik 1!v2"" c2. Este facA. Lorentz determinó el “factor de contracción” necesario, !" tor aritmético explicaba la discrepancia, pero ni FitzGerald ni Lorentz contaban con una teoría adecuada que explicara por qué sucedía así. Es interesante el hecho de que Einstein dedujo ese mismo factor en su publicación de 1905, y demostró que es el factor de contracción del espacio mismo, no sólo de la materia en el espacio. No se ha aclarado cuánto influyó el experimento de Michelson y Morley sobre Einstein, si es que acaso influyó. En cualquier caso, Einstein propuso la idea de que la rapidez de la luz en el espacio libre es igual en todos los marcos de referencia, una idea contraria a los conceptos clásicos del espacio y del tiempo. La rapidez es una relación entre la distancia a través del espacio y un intervalo correspondiente de tiempo. Para que la rapidez de la luz fuera una constante, había que desechar la idea clásica de que el espacio y el tiempo son independientes entre sí. Einstein comprendió que el espacio y el tiempo están enlazados y, partiendo de postulados simples, desarrolló una relación profunda entre los dos.

Postulados de la teoría de la relatividad especial Einstein no vio la necesidad del éter. Con la noción del éter estacionario se desechó la noción de un marco de referencia absoluto. Todo movimiento es relativo, no respecto a un puesto de guardia arbitrario en el universo, sino con respecto a marcos de referencia arbitrarios. Una nave espacial no puede medir su rapidez con respecto al espacio vacío, sino sólo con respecto a otros objetos. Por ejemplo, si la nave A pasa junto a la nave B en el espacio vacío, el tripulante de A y la tripulante de B observarán que cada uno tiene un movimiento relativo; a partir de esa observación, cualquiera de ellos sería incapaz de determinar quién está en movimiento y quién está en reposo, si es que acaso lo están. Ésta es una experiencia familiar para un pasajero de un tren cuando ve por la ventanilla que el tren en la otra vía pasa frente a él. Sólo percibe el movimiento relativo entre su tren y el otro, y no puede decir cuál de los dos es el que se mueve. Quizá el pasajero esté en reposo en relación con el suelo y el otro tren esté

Capítulo 35 Teoría de la relatividad especial

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en movimiento, o tal vez se esté moviendo en relación con el suelo mientras el otro tren está en reposo, o quizá los dos trenes estén en movimiento con respecto al suelo. Lo que importa aquí es que si tú estuvieras en un tren sin ventanillas, no habría forma de determinar si el tren donde estás se mueve con velocidad uniforme o si está en reposo. Éste es el primero de los postulados de la teoría de la relatividad especial de Einstein: Todas las leyes de la naturaleza son iguales en todos los marcos de referencia con movimiento uniforme.

FIGURA 35.2 La medida de rapidez de la luz resulta igual en todos los marcos de referencia.

Por ejemplo, en un avión a reacción que se desplaza a 700 kilómetros por hora, el café se sirve igual que cuando el avión está en reposo; un péndulo oscila como lo haría si el avión estuviera detenido en la pista. No hay experimento físico que podamos hacer, ni siquiera con la luz, para determinar nuestro estado de movimiento uniforme. Las leyes de la física dentro de la cabina en movimiento uniforme son iguales que las que hay en un laboratorio inmóvil. Hay una infinidad de experimentos que podrían diseñarse para detectar el movimiento acelerado, pero es imposible diseñar alguno, según Einstein, para detectar un estado de movimiento uniforme. En consecuencia, el movimiento absoluto carece de significado. Sería muy extraño que las leyes de la mecánica variaran según los observadores que se mueven con distintas rapideces. Querría decir, por ejemplo, que un jugador de billar en un trasatlántico en movimiento uniforme tendría que ajustar su estilo de juego a la rapidez del barco, o incluso según la estación, ya que la Tierra varía su rapidez orbital en torno al Sol. Nuestra experiencia es que no es necesario ese ajuste. Y, de acuerdo con Einstein, esta misma insensibilidad al movimiento abarca al electromagnetismo. Ningún experimento, ya sea mecánico, eléctrico u óptico, ha revelado alguna vez movimiento absoluto. Esto es lo que significa el primer postulado de la relatividad. Una de las preguntas que hacía el joven Einstein a su maestro de escuela fue: “¿Cómo se vería un rayo de luz si viajara usted a un lado de él?” Según la física clásica, el rayo estaría en reposo respecto a ese observador. Cuanto más pensaba Einstein en eso, más se convencía de que uno no se puede mover con un rayo de luz. Por fin, llegó a la conclusión de que independientemente de lo rápido que se muevan dos observadores uno con respecto al otro, cada uno mediría que la rapidez del rayo de luz es de 300,000 kilómetros por segundo. Éste fue el segundo postulado de su teoría de la relatividad especial: La rapidez de la luz en el espacio libre tiene el mismo valor medido por todos los observadores, independientemente del movimiento de la fuente o del movimiento del observador; esto es, la rapidez de la luz es una constante.

FIGURA 35.3 Tanto los observadores de la estación como los de la nave espacial miden la rapidez de un destello de luz emitido por la estación espacial como c.

Para ilustrar esta afirmación, imagina una nave que sale de la estación espacial, como se ve en la figura 35.3. De la estación se emite un destello de luz, que viaja a 300,000 kilómetros por segundo, o c. Independientemente de la velocidad de la nave, un observador en ella ve que el destello de luz lo rebasa con la misma rapidez c. Si se dirige un destello a la estación, desde la nave en movimiento, los observadores en la estación medirán que la rapidez del destello es c. La rapidez de la luz se mide y resulta igual, independientemente de la rapidez de la fuente o del receptor. Todos los observadores que miden la rapidez de la luz determinarán el mismo valor c. Cuanto más pienses en ello, más creerás que carece de sentido. Veremos que la explicación tiene que ver con la relación entre el espacio y el tiempo.

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Parte ocho Relatividad

Simultaneidad FIGURA 35.4 Figura interactiva

Desde el punto de vista del observador que viaja en la cabina, la luz de la fuente recorre distancias iguales a ambos extremos de la cabina y, en consecuencia, llega a los dos extremos en forma simultánea.

FIGURA 35.5 Figura interactiva

Los eventos de la llegada de la luz a la parte delantera y trasera de la cabina no son simultáneos desde el punto de vista de un observador en un marco de referencia distinto. A causa del movimiento de la nave, la luz que llega a la parte trasera de la cabina no tiene que ir tan lejos, y llega primero que la luz que alcanza la parte delantera.

Una consecuencia interesante del segundo postulado de Einstein tiene que ver con el concepto de simultaneidad. Decimos que dos eventos son simultáneos si suceden al mismo tiempo. Imagina, por ejemplo, una fuente luminosa en el centro exacto de la cabina de un cohete (figura 35.4). Cuando se enciende la luz, se difunde en todas direcciones con la rapidez c. Como la fuente luminosa es equidistante de los extremos delantero y trasero de la cabina, un observador dentro de este último ve que la luz llega al extremo delantero en el mismo instante en que llega al extremo trasero. Esto sucede ya sea que el cohete esté en reposo o en movimiento a una velocidad constante. Los eventos de llegar al extremo delantero y llegar al extremo trasero suceden en forma simultánea para este observador dentro del cohete. Pero, ¿y si otro observador, en el exterior de la nave, ve los mismos dos eventos en otro marco de referencia, por ejemplo, desde un planeta que no se mueva con el cohete? Para ese observador, los mismos dos eventos no son simultáneos. Conforme la luz se propaga desde la fuente, ese observador ve que el cohete avanza, por lo que la parte trasera de la cabina se mueve hacia la luz, mientras que la parte delantera se aleja de ella. En consecuencia, el rayo que va hacia la parte posterior de la cabina tiene que recorrer menor distancia que el que va hacia delante (figura 35.5). Como la rapidez de la luz es igual en ambas direcciones, este observador externo ve que la luz llega a la parte trasera de la cabina antes de ver que la luz llega a la parte delantera. (Desde luego, suponemos que el observador es capaz de apreciar estas diferencias tan pequeñas.) Con un poco de razonamiento se verá que un observador en otro cohete que pase junto al primero, pero en sentido contrario, diría que la luz llega primero a la parte delantera de la cabina. Dos eventos que son simultáneos en un marco de referencia no necesitan ser simultáneos en otro marco de referencia que se mueva en relación con el primero. La no simultaneidad de los eventos en un marco de referencia que son simultáneos en otro es un resultado totalmente relativista; es una consecuencia de que la luz siempre tenga la misma rapidez para todos los observadores. EXAMÍNATE 1. ¿En qué se parece la no simultaneidad de oír el trueno después de ver el relámpago a la no simultaneidad relativista? 2. Imagina que el observador ubicado en un planeta como el de la figura 35.5 ve que un par de rayos caen en forma simultánea a los extremos delantero y trasero de la cabina en la nave que viaja con gran rapidez. Esos rayos, ¿serán simultáneos de acuerdo con un observador a la mitad de la cabina de esa nave? (Se supone aquí que un observador es capaz de detectar diferencias muy pequeñas en el tiempo de recorrido de la luz de los extremos de la cabina a la mitad de la misma.)

Espacio-tiempo Cuando vemos las estrellas, nos damos cuenta de que en realidad estamos contemplando hacia atrás en el tiempo. Las estrellas que vemos más lejanas en realidad eran así hace mucho tiempo. Cuanto más pensamos en ello resulta más evidente que el espacio y el tiempo deben estar ligados entre sí en forma íntima. El espacio en el que vivimos es tridimensional, esto es, podemos especificar la posición de cualquier lugar en el espacio con tres dimensiones. Por ejemplo,

Capítulo 35 Teoría de la relatividad especial

FIGURA 35.6 El punto P se puede especificar con tres números: las distancias a lo largo del eje x, del eje y y del eje z.

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esas dimensiones podrían ser norte-sur, este-oeste y arriba-abajo. Si estuviéramos en la esquina de una habitación rectangular y deseáramos especificar la posición de cualquier punto en su interior, lo podríamos hacer con tres números. El primero sería la cantidad de metros hasta el punto, medidos a lo largo de la línea recta que une una pared y el piso; el segundo sería la cantidad de metros hasta el punto, a lo largo de una recta que une la pared adyacente con el piso, y el tercero sería la cantidad de metros hasta el punto, medidos del piso hasta el punto o bien medidos a lo largo de la recta vertical que une las dos paredes anteriores. Los físicos llaman ejes coordenados de un marco de referencia a esas tres líneas (figura 35.6). Tres números —que representan las distancias a lo largo del eje x, del eje y y del eje z— especifican la posición de un punto en el espacio. También se usan tres dimensiones para especificar el tamaño de los objetos. Por ejemplo, una caja se puede describir por su longitud, ancho y altura. Pero las tres dimensiones no dan una imagen completa. Hay una cuarta dimensión: el tiempo. La caja no siempre fue tal, ni tuvo siempre una longitud, un ancho y una altura determinados. Comenzó a ser una caja sólo en cierto momento en el tiempo: el día en que fue fabricada. Tampoco será siempre una caja. En cualquier momento se puede aplastar, quemar o destruir de cualquier otra forma. Así, las tres dimensiones del espacio son una descripción válida de la caja sólo durante determinado periodo. No podemos hablar en forma coherente del espacio sin que intervenga el tiempo. Las cosas existen en el espacio-tiempo. Cada objeto, cada persona, cada planeta, cada estrella, cada galaxia existe en lo que los físicos llaman “el continuo espacio-tiempo” o el “espacio-tiempo continuo”. Dos observadores, uno al lado de otro, comparten el mismo marco de referencia. Ambos concuerdan en sus mediciones de intervalos de espacio y de tiempo entre eventos determinados, por lo que se dice que comparten la misma región del espacio-tiempo. Sin embargo, si hay entre ellos movimiento relativo, los observadores no concordarán en esas mediciones de espacio y tiempo. Cuando sus rapideces son ordinarias, las diferencias entre sus mediciones son imperceptibles; pero cuando las rapideces son cercanas a la rapidez de la luz —las llamadas rapideces relativistas—, las diferencias son apreciables. Cada observador está en una región distinta del espacio-tiempo, y sus mediciones del espacio y del tiempo son distintas de las que hace un observador en otra región del espacio-tiempo. Las mediciones no varían al azar, sino de tal forma que cada observador siempre medirá la misma relación entre espacio y tiempo para la luz; cuanto mayor sea la distancia medi-

COMPRUEBA TUS RESPUES TAS

a

b

c

1. ¡No se parece! El lapso que transcurre entre ver el relámpago y escuchar el trueno no tiene nada que ver con los observadores en movimiento ni con la relatividad. En ese caso sólo se hacen correcciones al tiempo que tardan las señales (sonido y luz) en llegar a uno. La relatividad de la simultaneidad es una discrepancia genuina entre observaciones hechas por personas en movimiento relativo, y no sólo una disparidad entre distintos tiempos de recorrido para las distintas señales. 2. No; un observador a la mitad de la cabina verá primero el rayo que cae en el extremo delantero de la cabina, y luego verá el que cae en el extremo trasero. Eso se ve en las posiciones a), b) y c) a la izquierda. En a) se observa que los dos rayos caen en forma simultánea en los extremos de la cabina de acuerdo con el observador externo. En la posición b), la luz del rayo delantero llega al observador dentro de la nave. Un poco después, en c), la luz del rayo trasero llega a este observador.

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Parte ocho Relatividad

OBSERVACIÓN

DE

UN

RELOJ

Imagina que eres Einstein a principios del siglo XX, y que vas en un tranvía que se aleja del reloj en la plaza central de una ciudad. El reloj marca las 12 del mediodía. Decir que son las 12 del día es decir que la luz que porta la información “12 del día” sale del reloj y viaja hacia ti a lo largo de tu visual. Si de repente mueves la cabeza a un lado, la luz que llevaba la información, en lugar de llegar a tus ojos sigue avanzando, y quizá se pierda en el espacio. Allá lejos, un observador que reciba después la luz, dirá: “Ahora son las 12 del día en la Tierra”. Pero desde tu punto de vista, ahora ya es más tarde. Tú y el observador lejano ven las 12 del día en momentos distintos. Sigues meditando sobre esto. Si el tranvía viajara tan rápido como la luz, entonces iría al parejo de la información que dice “12 del día”. Entonces, al viajar con la rapidez de la luz, siempre sabrías que son las 12 del día en la plaza central. En otras palabras ¡se ha detenido el tiempo en la plaza central! Si el tranvía no se mueve, podrás ver que el reloj avanza hacia el futuro, con una rapidez de 60 segundos por minuto; si te mueves con la rapidez de la luz, verás que los segundos en el reloj tardan una infinidad de tiempo. Son los dos extremos. ¿Qué hay en medio? ¿Cómo se vería el movimiento de las manecillas del reloj conforme te mueves con rapideces menores que la rapidez de la luz? Con un poco de lógica verás que recibirás el mensaje “ 1 de la tarde” entre 60 minutos y un tiempo infinito después de recibir el mensaje “12 del día”, dependiendo de cuál sea tu rapidez entre los extremos cero y la rapidez ESPACIO TIEMPO

ESPACIO TIEMPO

C

FIGURA 35.7 Todas las mediciones de luz en el espacio y tiempo se unifican mediante c.

EN

UN

VIAJE

EN

TRANVÍ A

de la luz. Desde tu marco de referencia rápido (pero menos rápido que c), ves que todos los eventos se llevan a cabo en el marco de referencia del reloj (que es la Tierra) como si se dieran en cámara lenta. Si inviertes la dirección y viajas con gran rapidez de regreso hacia el reloj, verás todos los eventos que suceden en el marco de referencia del reloj como si estuvieran acelerados. Cuando regresas y te sientas de nuevo en la plaza central, ¿se compensarán entre sí los efectos de alejarte y regresar? Lo sorprendente es que ¡no! Se alargará el tiempo. Tu reloj de muñeca, que ha estado contigo todo el tiempo, y el reloj de la plaza no indicarán la misma hora. Ésta es la dilatación del tiempo.

da en el espacio, mayor será el intervalo de tiempo. Esta relación constante de espacio y tiempo para la luz, c, es el factor unificador entre las distintas regiones del espacio-tiempo, y es la esencia del segundo postulado de Einstein.

Dilatación del tiempo Examinemos la noción de que el tiempo se puede estirar. Imagina que tenemos la facultad de observar un destello de luz que rebota de aquí para allá entre un par de espejos paralelos, igual que una pelota rebota entre el piso y el techo. Si la distancia entre los espejos es fija, ese arreglo forma un reloj de luz, porque los viajes de ida y vuelta del destello tardan intervalos de tiempo iguales (figura 35.8). Imagina que el reloj de luz está dentro de una nave espacial transparente, que viaja a gran rapidez. Un observador que vaya en la nave y que vea el reloj de luz (figura 35.9a), observará que el destello se refleja en línea recta, de arriba abajo entre los dos espejos, igual que si la nave estuviera en reposo. Este observador no percibe efectos extraños. Hay que destacar que como el observador está en la nave y se mueve con ella, no hay movimiento relativo entre el observador y el

Capítulo 35 Teoría de la relatividad especial

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Espejo

Destello de luz

a

b

Espejo FIGURA 35.8 Un reloj de luz. Un destello de luz rebotará hacia arriba y hacia abajo entre espejos paralelos y marcará intervalos iguales de tiempo.

FIGURA 35.9 Figura interactiva a) Un observador que va en la nave ve que el destello de luz se mueve en dirección vertical entre los espejos del reloj de luz. b) Un observador que ve pasar la nave frente a él, observa que el destello se mueve en una trayectoria diagonal.

reloj de luz; se dice entonces que el observador y el reloj comparten el mismo marco de referencia en el espacio-tiempo. Ahora imagina que estamos parados en el piso cuando la nave pasa frente a nosotros con gran rapidez; por ejemplo, a la mitad de la rapidez de la luz. Las cosas son muy distintas desde nuestro marco de referencia, porque no percibimos la trayectoria de la luz como un movimiento sencillo de subida y de bajada. Como cada destello se mueve en sentido horizontal mientras se mueve verticalmente entre los dos espejos, vemos que describe una trayectoria diagonal. Observa que en la figura 35.9b, desde nuestro marco de referencia de la Tierra, el destello recorre mayor distancia al hacer el viaje redondo entre los espejos; una distancia bastante mayor que la que recorre en el marco de referencia del observador que va dentro de la nave. Como la rapidez de la luz es igual en todos los marcos de referencia (el segundo postulado de Einstein), el destello debe tardar un tiempo correspondientemente más largo entre los espejos, desde nuestro marco de referencia, que en el marco de referencia del observador a bordo. Esto se desprende de la definición de la rapidez: la distancia dividida entre el tiempo. La mayor distancia diagonal debe dividirse en un intervalo de tiempo correspondientemente mayor, para dar como resultado un valor constante para la rapidez de la luz. A este estiramiento del tiempo se le llama dilatación del tiempo. Hemos descrito un reloj de luz en nuestro ejemplo, pero sucede lo mismo con cualquier clase de reloj. Todos los relojes se retrasan cuando están en movimiento, en comparación cuando están en reposo. La dilatación del tiempo nada tiene que ver con la maquinaria de los relojes, sino con la naturaleza misma del tiempo. La relación de dilatación del tiempo para distintos marcos de referencia en el espacio-tiempo se puede deducir de la figura 35.10, con sencillas consideraciones

FIGURA 35.10

cia an st Di

Dis ta

ia

cia

Distancia Tiempo

c an st

tan

Distancia Tiempo

Di

Dis

ncia

Figura interactiva

La mayor distancia recorrida por el destello de luz al seguir la trayectoria diagonal más larga de la derecha se debe dividir entre un intervalo correspondientemente mayor de tiempo, para obtener un valor constante de la rapidez de la luz.

C

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Parte ocho Relatividad

FIGURA 35.11 Cuando vemos el cohete en reposo, lo vemos viajando a la tasa máxima en el tiempo: 24 horas por día. Cuando lo vemos viajando con la rapidez máxima por el espacio (la rapidez de la luz) vemos que su tiempo no transcurre.

geométricas y algebraicas.1 La relación entre el tiempo t0 (llamado el tiempo propio) en el marco de referencia que se mueve con el reloj, y el tiempo t medido en otro marco de referencia (llamado el tiempo relativo) es t0 t$ v2 1! 2 A c donde v representa la rapidez del reloj vista por el observador externo (igual que la rapidez relativa de los dos observadores) y c es la rapidez de la luz. La cantidad v2 A c2 es el mismo factor que usó Lorentz para explicar la contracción de la longitud. Al inverso de esta cantidad lo llamaremos el factor de Lorentz # (gamma). Esto es, 1!

g$

1

v2 A c2 Así podremos expresar la ecuación de la dilatación del tiempo en una forma más sencilla como t $ # t0 1!

Examinemos los términos en #. Con un poco de esfuerzo mental se puede demostrar que # siempre es mayor que 1, para cualquier rapidez v mayor que cero. Observa que como la rapidez v siempre es menor que c, la relación v/c siempre es menor que 1; sucede lo mismo con v2/c2. ¿Puedes ver que de esto se desprende que # es mayor que 1? Ahora imagina el caso en que v $ 0. Esta relación v2/c2 es cero, y para las rapideces cotidianas, donde v es insignificante en comparación con c, la relación es prácticamente cero. Entonces 1 ! (v2/c2) tiene el valor 1, al 1 En la figura de abajo se muestra el reloj de luz en tres posiciones sucesivas. Las diagonales representan la trayectoria del destello de luz, al comenzar en la posición 1, en el extremo inferior; llega a la posición 2, del espejo superior, y regresa al espejo inferior en la posición 3. Las distancias en el diagrama se identifican como ct, vt y ct0, ya que la distancia recorrida por un objeto en movimiento uniforme es igual a su rapidez multiplicada por el tiempo. El símbolo t0 representa el tiempo que tarda el destello en ir de un espejo a otro, medido en un marco de referencia fijo al reloj de luz. Es el tiempo del movimiento directo hacia arriba y directo hacia abajo. La rapidez de la luz es c, y la trayectoria de la luz se ve que recorre una distancia vertical ct0. Esta distancia entre los espejos forma un ángulo recto con el movimiento del reloj de luz, y es igual en ambos marcos de referencia. El símbolo t representa el tiempo que tarda el destello de ir de un espejo al otro, medido desde un marco de referencia en el que el reloj de luz se mueve con rapidez v. Como la rapidez del destello es c y el tiempo que tarda en ir de la posición 1 a la posición 2 es t, la distancia diagonal recorrida es ct. Durante ese tiempo t el reloj (que se mueve horizontalmente con la rapidez v) recorre una distancia horizontal %t de la posición 1 a la posición 2. Como se ve en la figura, esas tres distancias forman un triángulo rectángulo, en el que ct es la hipotenusa y ct0 y vt son los catetos. El teorema de Pitágoras, muy conocido en geometría, dice que el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los dos catetos. Si aplicamos esa fórmula a la figura, obtendremos:

c 2t 2 $ c 2t 20 & v 2t 2

Camino de luz visto de una posición de resto

2 2

c t ! v 2t 2 $ c 2t 20 2

2

2

t 31 ! 1v "c 2 4 $ t2 $ t $

t 20 t 20 1 ! 1v 2"c 2 2 t0 31 ! 1v 2"c 2 2

Espejos en posición 1

Espejos en posición 2

Espejos en posición 3

Capítulo 35 Teoría de la relatividad especial

Rapidez FIGURA 35.12 Gráfica del factor de Lorentz # en función de la rapidez.

El Sistema de posicionamiento global (GPS) toma en cuenta la dilatación del tiempo de los relojes atómicos en órbita. De otra manera, tu receptor GPS no informaría adecuadamente tu localización. ¡EUREKA!

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igual que 21 ! v 2"c 2 , con lo cual # $ 1. Entonces se ve que t $ t0, por lo que los intervalos de tiempo parecen iguales en ambos marcos de referencia. Para mayores rapideces v/c queda entre cero y 1, y 1 ! v2/c2 es menor que 1; lo mismo sucede con 21 ! v 2"c 2. Por consiguiente, # es mayor que 1, y t0 multiplicado por un factor mayor que 1 produce un valor mayor que t0: un alargamiento o dilatación del tiempo. Para darnos una idea de los valores numéricos, supongamos que v es el 50% de la rapidez de la luz. Entonces sustituimos 0.5c en lugar de v, en la ecuación de la dilatación del tiempo, y después de las operaciones aritméticas llegamos a que # $ 1.15; así que t $ 1.15 t0. Eso significa que si nos fijáramos en un reloj dentro de una nave espacial que viajara a la mitad de la velocidad de la luz, veríamos que el segundero tardaría 1.15 minutos en dar una vuelta, mientras que un observador que fuera junto al reloj lo vería tardar 1 minuto. Si la nave pasara frente a nosotros al 87% de la rapidez de la luz, # $ 2 y t $ 2t0. Mediríamos que los eventos en el tiempo a bordo de la nave tardan el doble de los intervalos normales, porque las manecillas de un reloj en la nave girarían con la mitad de la rapidez que las de nuestro propio reloj. Parecería que los eventos en la nave van en cámara lenta. Al 99.5% de la rapidez de la luz, # $ 10 y t = 10 t0; veríamos que el segundero del reloj de la nave tarda 10 minutos en dar una vuelta que en nuestro reloj requiere 1 minuto. En otras palabras, a 0.995 c, el reloj en movimiento parecería caminar la décima parte: sólo marcaría 6 segundos, mientras que el nuestro marcaría 60 segundos; a 0.87c, se retrasaría la mitad, y marcaría 30 segundos cuando el nuestro marcara 60 segundos; a 0.50 c se retrasaría 1/1.15 y marcaría 52 segundos en lugar de nuestros 60 segundos. Los relojes en movimiento se retrasan. No hay nada de raro acerca de un reloj en movimiento; sólo que camina al ritmo de un tiempo distinto. Cuanto más rápidamente se mueva, más parecerá retrasarse a los ojos de un observador que no se mueva con él. Si fuera posible que un reloj pasara frente a nosotros con la rapidez de la luz, parecería que no está funcionando. Mediríamos que el tiempo entre sus tictac es infinito. ¡El reloj no tendría edad! Sin embargo, si nos pudiéramos mover con ese reloj imaginario, no veríamos que se retrasa. Para nosotros, el reloj funcionaría normalmente. Esto se debe a que no habría movimiento del reloj en relación con nosotros. En # el término v sería cero, en ese caso, y t $ t0; nosotros y el reloj compartiríamos el mismo marco de referencia en el espacio-tiempo. Si un individuo pasara rápidamente frente a nosotros y verificara un reloj que estuviera en nuestro marco de referencia, vería que nuestro reloj se retrasa tanto como nosotros vemos que se retrasa el de él. Cada quien ve que el reloj del otro se retrasa. En realidad, en este caso no hay contracción, porque es físicamente imposible que los dos observadores en movimiento relativo se refieran al mismo y único espacio-tiempo. Las mediciones hechas en una región del espacio-tiempo no necesitan coincidir con las que se hacen en otro espacio-tiempo. Sin embargo, en la medición en la que todos los observadores concuerdan siempre es la de la rapidez de la luz. En innumerables ocasiones se ha confirmado la dilatación del tiempo en el laboratorio con los aceleradores de partículas. Las vidas medias de las partículas radiactivas en rápido movimiento aumentan al aumentar su rapidez, y la cantidad del aumento es exactamente lo que predice la ecuación de Einstein. La dilatación del tiempo también se ha confirmado en movimientos no tan rápidos. En 1971, para probar la teoría de la relatividad de Einstein con relojes macroscópicos, cuatro relojes atómicos de haz de cesio viajaron en vuelos comerciales normales, dando la vuelta al mundo: una vez hacia el este y otra vez hacia el oeste. Esos relojes marcaban horas distintas después de sus viajes redondos.

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Parte ocho Relatividad

En relación con la escala atómica del tiempo del Observatorio Naval en Estados Unidos, las diferencias de tiempo observadas, en millonésimas de segundo, coincidieron con la predicción de Einstein. Ahora, con relojes atómicos en órbita en torno a la Tierra, como parte del Sistema de posicionamiento global, son esenciales los ajustes por los efectos de la dilatación del tiempo, para usar las señales de los relojes en la localización de puntos sobre la Tierra. Todo esto nos parece muy extraño, sólo porque nuestra experiencia cotidiana no tiene que manejar mediciones hechas con rapideces relativistas, ni con mediciones de relojes atómicos a rapideces ordinarias. La teoría de la relatividad no parece tener sentido común. Pero según Einstein, el sentido común es un conjunto de prejuicios que residen en la mente antes de los 18 años de edad. Si pasáramos nuestra juventud yendo de un lado al otro del universo, en naves espaciales rápidas, es probable que nos sintiéramos muy a gusto con los resultados de la relatividad. EXAMÍNATE 1. Si te mueves en una nave espacial con gran rapidez respecto a la Tierra, ¿notarías una diferencia en la frecuencia de tu pulso? ¿Y en la frecuencia del pulso de la gente que se queda en la Tierra? 2. ¿Concordarán las mediciones de tiempo de los observadores A y B, si A se mueve a la mitad de la rapidez de la luz en relación con B? ¿Y si tanto A como B se mueven juntos a la mitad de la rapidez de la luz en relación con la Tierra? 3. ¿La dilatación del tiempo quiere decir que el tiempo realmente pasa con más lentitud en los sistemas en movimiento, o que sólo parece transcurrir con más lentitud?

Animación del viaje del gemelo Animación del viaje del gemelo

Una ilustración notable de la dilatación del tiempo es la de unos gemelos idénticos, uno de los cuales es astronauta y hace un viaje redondo con gran rapidez por la galaxia, mientras que el otro se queda en casa, en la Tierra. Cuando regresa el gemelo viajero, es más joven que el que se quedó en casa. Qué tanto más joven COMPRUEBA TUS RESPUES TAS 1. No hay rapidez relativa entre tú y el pulso, porque los dos comparten el mismo marco de referencia. En consecuencia, no notarías efectos relativistas en la frecuencia del pulso. Sin embargo, sí hay un efecto relativista entre tú y las personas que se quedaron en la Tierra. Verías que la frecuencia de su pulso es más lenta que la normal (y ellos verían que la frecuencia de tu pulso es más lenta que la normal). Los efectos de la relatividad siempre se atribuyen a los demás. 2. Cuando A y B se mueven relativamente entre sí, cada uno observa que el tiempo se vuelve lento en el marco de referencia del otro. Así, no concuerdan en sus mediciones del tiempo. Cuando se mueven al unísono, comparten el mismo marco de referencia y concuerdan en las mediciones del tiempo. Ven que el tiempo de cada quien transcurre con normalidad, y cada uno de ellos ve que los sucesos en la Tierra transcurren con la misma lentitud. 3. El transcurso lento del tiempo en los sistemas en movimiento no sólo es una ilusión que se debe al movimiento. En realidad, el tiempo pasa con más lentitud en un sistema en movimiento en relación con uno en reposo relativo, como veremos en la siguiente sección. ¡Léela!

Capítulo 35 Teoría de la relatividad especial

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FIGURA 35.13 El gemelo viajero no envejece tanto como el que se queda en casa.

El cosmonauta Sergei Avdeyev pasó más de dos años en órbita en torno a la Tierra en la estación espacial Mir y, a causa de la dilatación del tiempo, en la actualidad es dos centésimas de segundo más joven de lo que sería si nunca hubiera estado en el espacio. ¡EUREKA!

FIGURA 35.14 Cuando no interviene el movimiento, los destellos de luz se reciben con la misma frecuencia que los manda la nave.

dependerá de las rapideces relativas que intervinieron. Si el que viaja mantiene una rapidez igual al 50% de la rapidez de la luz durante 1 año (según los relojes que lleva a bordo), en la Tierra pasarán 1.15 años. Si mantiene una rapidez igual al 87% de la de la luz, habrán pasado 2 años en la Tierra. Al 99.5% de la rapidez de la luz, pasarían 10 años terrestres en un año espacial. A esta rapidez, el gemelo viajero envejecería un año mientras que el que se queda en Tierra envejecería 10 años. Surge entonces una pregunta: como el movimiento es relativo, ¿por qué no se presenta ese efecto por igual a la inversa? ¿Por qué el gemelo viajero no regresa y ve que su gemelo, que se quedó en casa, es 10 años más joven que él? Demostraremos que desde los marcos de referencia tanto del gemelo en Tierra como del gemelo viajero, el que está en la Tierra envejece más. Primero, imagina una nave que esté suspendida en relación con la Tierra. Imagina también que envía breves destellos de luz, igualmente espaciados en el tiempo, al planeta (figura 35.14). Pasará algún tiempo para que los destellos lleguen al planeta, así como pasan 8 minutos para que la luz del Sol llegue a la Tierra. Los destellos encontrarán al receptor en el planeta, con la rapidez c. Como no hay movimiento relativo entre el transmisor y el receptor, los destellos sucesivos serán recibidos con la misma frecuencia con que se mandaron. Por ejemplo, si de la nave se envía un destello cada 6 minutos, entonces, después de cierto retraso inicial, el receptor recibirá un destello cada 6 minutos. Si no hay movimiento, no hay nada de raro en esto.

Nave espacial descansando en relación con tierra

Envía el destello cada 6 minutos

Ve el destello cada 6 minutos

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Parte ocho Relatividad

FIGURA 35.15 Cuando el transmisor se mueve hacia el receptor, los destellos se ven con más frecuencia.

Envía el destello cada 6 minutos

Ve el destello cada 3 minutos

Cuando interviene el movimiento, la situación es muy distinta. Es importante observar que la rapidez de los destellos seguirá siendo c, independientemente de cómo se mueva la nave o el receptor. Sin embargo, la frecuencia con que se ven los destellos depende mucho del movimiento relativo que haya. Cuando la nave viaje hacia el receptor, éste ve los destellos con más frecuencia. Eso sucede no sólo porque se altera el tiempo a causa del movimiento, sino principalmente porque cada destello sucesivo debe recorrer menos distancia conforme la nave se acerca al receptor. Si la nave emite un destello cada 6 minutos, los destellos se verán a intervalos menores de 6 minutos. Supongamos que la nave viaja con la rapidez suficiente como para que los destellos se vean con el doble de frecuencia. Se verán entonces a intervalos de 3 minutos (figura 35.15). Si la nave se aleja del receptor con la misma rapidez y sigue emitiendo destellos a intervalos de 6 minutos, el receptor verá esos destellos con la mitad de la frecuencia, esto es, a intervalos de 12 minutos (figura 35.16). Esto se debe principalmente a que cada intervalo sucesivo tiene que recorrer mayor distancia conforme la nave se aleja del receptor. El efecto de alejarse no es más que lo contrario de acercarse al receptor. Así, si los destellos se reciben con el doble de frecuencia al acercarse la nave (los destellos emitidos cada 6 minutos se ven cada 3 minutos), y se reciben con la mitad

FIGURA 35.16 Cuando el transmisor se aleja del receptor, los destellos se alejan y se ven con menos frecuencia.

Envía el destello cada 6 minutos

Ve el destello cada 12 minutos

Capítulo 35 Teoría de la relatividad especial

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de la frecuencia que cuando se aleja (los destellos emitidos cada 6 minutos se ven cada 12 minutos).2 Eso significa que si dos eventos están separados por 6 minutos de acuerdo con el reloj de la nave, cuando ésta se aleje se verán separados por 12 minutos, y sólo por 3 minutos cuando la nave se acerque.

EXAMÍNATE 1. Si la nave espacial emite un “disparo de salida” seguido de un destello cada 6 minutos durante una hora, ¿cuántos destellos se emitirán? 2. La nave manda destellos igualmente espaciados cada 6 minutos mientras se aproxima al receptor a rapidez constante. ¿Estarán esos destellos igualmente espaciados cuando lleguen al receptor? 3. Si el receptor ve esos destellos a intervalos de 3 minutos, ¿cuánto tiempo transcurrirá entre la señal inicial y el último destello (en el marco de referencia del receptor)?

Ahora aplicaremos este aumento al doble y la reducción a la mitad de los intervalos de destellos a los gemelos. Supongamos que el gemelo que viaja se aleja del que se queda en Tierra con la misma elevada rapidez, durante 1 hora. Sigue esta línea de razonamiento con la ayuda de la figura 35.17. El gemelo viajero dura 2 horas en su viaje redondo, según los relojes que lleva a bordo de la nave. Sin embargo, visto desde la Tierra, ese viaje redondo no durará 2 horas. Lo podemos visualizar con ayuda de los destellos del reloj de luz en la nave.

COMPRUEBA TUS RESPUES TAS 1. La nave emitirá un total de 10 destellos en 1 h, ya que (60 min)/(6 min) $ 10 (11, si se cuenta la señal inicial). 2. Sí. Siempre que la nave se mueva con rapidez constante, los destellos a intervalos iguales serán vistos a intervalos iguales, pero con más frecuencia. (Si la nave acelera mientras manda los destellos, éstos no se verían a intervalos igualmente espaciados.) 3. Treinta minutos, porque cada uno de los 10 destellos llega cada 3 min.

2 La relación recíproca (reducción a la mitad de las frecuencias, o aumento al doble) es una consecuencia de la constancia de la rapidez de la luz, y se puede ilustrar con el siguiente ejemplo: imagina que un transmisor en la Tierra emite destellos cada 3 minutos, hacia un observador lejano en un planeta que está en reposo en relación con la Tierra. Entonces, el observador ve un destello cada 3 minutos. Ahora imagina que un segundo observador va en una nave espacial, de la Tierra al planeta, con una rapidez suficiente como para que vea los destellos con la mitad de la frecuencia: cada 6 minutos. Esta reducción de la frecuencia a la mitad sucede cuando la rapidez de recesión (de alejamiento) es 0.6 c. Se puede ver que la frecuencia aumentará al doble en un acercamiento con una rapidez 0.6 c, suponiendo que la nave emita su propio destello cada vez que vea un destello de la Tierra, esto es, cada 6 min. ¿Cómo ve esos destellos el observador del planeta lejano? Como los destellos que vienen de la Tierra y de la nave espacial viajan con la misma rapidez c, el observador no sólo verá los destellos de la Tierra cada 3 minutos, sino también los destellos de la nave cada 3 min. Así, aunque una persona en la nave emita los destellos cada 6 min, el observador los ve cada 3 min, con el doble de la frecuencia con que se emitieron. Entonces, para una rapidez de recesión en que la frecuencia parezca reducida a la mitad, la frecuencia parecería aumentar al doble con esa rapidez de acercamiento. Si la nave viajara más rápido, de tal manera que la frecuencia de recesión fuera 1/3 o 1/4 de la anterior, la frecuencia en el acercamiento sería tres o cuatro veces mayor, respectivamente. Esta relación recíproca no es válida para ondas que necesiten un medio para propagarse. Por ejemplo, en el caso de las ondas sonoras, una rapidez que produce la elevación de la frecuencia emisora al doble en el acercamiento, produce una frecuencia de emisión igual a 2/3 (y no 1/2) de la frecuencia en la recesión.

700

Parte ocho Relatividad

Envía el destello cada 6 minutos

Ve el destello cada 12 minutos a Todavía recibe destellos en intervalos de 12 minutos de la nave que retrocede

La nave regresa todavía envía destellos cada 6 minutos b

Todavía envía destellos cada 6 minutos

c

Ve destellos al acercarse la nave cada 3 minutos

FIGURA 35.17 La nave espacial emite destellos cada 6 minutos durante un viaje de 2 horas. Durante la primera hora se aleja de la Tierra. Durante la segunda hora se acerca a la Tierra.

Al alejarse la nave de la Tierra emite un destello de luz cada 6 minutos. Esos destellos se reciben en la Tierra cada 12 minutos. Durante la hora de alejamiento de la Tierra emite un total de 10 destellos (después del “disparo” de salida). Si sale de la Tierra al mediodía, los relojes de a bordo indican la 1 p.m. cuando se emite el décimo destello. ¿Qué hora será en la Tierra cuando ese décimo destello llegue a ella? La respuesta es las 2 p.m. ¿Por qué? Porque el tiempo que tardan 10 destellos en recibirse a intervalos de 12 minutos es 10 ' (12 minutos), es decir, 120 minutos (= 2 horas). Supongamos que la nave puede virar de regreso en un tiempo muy corto e insignificante, y que regresa con la misma elevada rapidez. Durante la hora de regreso, emite 10 destellos más a intervalos de 6 minutos. Esos destellos se reciben cada 3 minutos en la Tierra, por lo que todos llegan a nuestro planeta en 30 minutos. Un reloj en la Tierra marcará las 2:30 p.m. cuando la nave haya llegado de su viaje de 2 horas. Vemos que ¡el gemelo que se quedó en la Tierra ha envejecido media hora más que el que estuvo en la nave! El resultado es igual desde cualquiera de los marcos de referencia. Consideremos una vez más este viaje, sólo que ahora los destellos se emiten desde la Tierra a intervalos regulares de 6 minutos, según el reloj de la Tierra. Desde el marco de referencia de la nave que se aleja, esos destellos se reciben a intervalos de 12 minutos (figura 35.19a). Eso significa que se ven cinco destellos en la nave

Capítulo 35 Teoría de la relatividad especial FIGURA 35.18 El viaje que dura 2 h en el marco de referencia de la nave espacial dura 2 1/2 horas en el marco de referencia de la Tierra.

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Marco de referencia de la Tierra:

150 minutos 2 horas 1/2

Marco de referencia de la nave espacial:

2 horas

durante la hora de alejamiento de la Tierra. Durante la hora de acercamiento a la Tierra, los destellos de luz se ven a intervalos de 3 minutos (figura 35.19b), y entonces se verán 20 destellos. Vemos entonces que la nave recibe un total de 25 destellos durante su viaje de 2 horas. Sin embargo, según los relojes en Tierra, el tiempo que tomó emitir los 25 destellos a intervalos de 6 minutos fue igual a 25 ' (6 minutos), esto es, 150 minutos (= 2.5 horas). Eso se ve en la figura 35.20. FIGURA 35.19 Los destellos que se mandan desde la Tierra a intervalos de 6 min se ven a intervalos de 12 min en la nave cuando se aleja, y a intervalos de 3 min cuando se acerca.

Envía el destello cada 6 minutos

Ve el destello cada 12 minutos

a Envía el destello cada 6 minutos

Ve el destello cada 3 minutos

b

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Parte ocho Relatividad

FIGURA 35.20 Un intervalo de 2 1/2 h en la Tierra dura 2 h en el marco de referencia de la nave espacial.

Marco de referencia de la Tierra: 25 destellos @ 6 minutos ! 150 minutos 2 horas 1/2

Marco de referencia de la nave espacial: 05 destellos @ 12 minutos ! 60 minutos 20 destellos @ 3 minutos ! 60 minutos 120 minutos 2 horas

De esta manera ambos gemelos concuerdan en los resultados, y no habrá dificultad acerca de quién es más viejo. Mientras que el gemelo que se quedó en casa permaneció en un solo marco de referencia, el que viajó estuvo en dos marcos de referencia, separados por la aceleración de la nave espacial cuando viró de regreso. De hecho, la nave experimentó dos dominios distintos en el tiempo, mientras que en la Tierra sólo se experimentó uno, aunque distinto a los anteriores. Los gemelos se pueden volver a encontrar en el mismo lugar en el espacio sólo a costa del tiempo. EXAMÍNATE Como el movimiento es relativo, ¿no podríamos decir también que la nave espacial está en reposo y que la Tierra se mueve, en cuyo caso el gemelo que está en la nave envejece más?

Suma de velocidades La mayoría de la gente sabe que si caminas a 1 km/h por el pasillo de un tren que se mueve a 60 km/h, tu rapidez respecto al terreno es de 61 km/h, si caminas en el mismo sentido con el que se mueve el tren, y de 59 km/h si caminas en sentido contrario. Lo que sabe la mayoría de las personas es casi correcto. Si se tiene en cuenta la relatividad especial, esas rapideces serán muy cercanas a 61 y 59 km/h, respectivamente. Para los objetos cotidianos en movimiento uniforme (sin aceleración), las velocidades se combinan con la sencilla regla: V $ v1 & v2 COMPRUEBA TUS RESPUES TAS No, a menos que la Tierra entonces experimente la vuelta y regrese, como lo hizo la nave espacial en el ejemplo del viaje de los gemelos. La situación no es simétrica, porque un gemelo permanece en un solo marco de referencia en el espacio-tiempo durante el viaje, mientras que el otro gemelo hace un cambio a un marco de referencia distinto, como se evidencia por la aceleración al dar la vuelta.

Capítulo 35 Teoría de la relatividad especial

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Pero esta regla no se aplica a la luz, que siempre tiene la misma velocidad c. En sentido estricto, la regla anterior es una aproximación de la fórmula relativista para sumar velocidades. No describiremos su larga deducción, sino tan sólo diremos que es la siguiente: V$

v1 & v2 v1v2 1& 2 c

El numerador de esta fórmula tiene sentido. Pero la suma simple de dos velocidades se altera por el segundo término del denominador, que sólo es importante cuando v1 y v2 son casi iguales a c. Por ejemplo, imaginemos una nave espacial que se aleja con una velocidad de 0.5 c. Dispara un cohete que la impulsa en la misma dirección, también de alejamiento, con una rapidez de 0.5 c con respecto a ella misma. ¿Con qué rapidez se mueve el cohete en relación contigo? La regla no relativista diría que el cohete se mueve con la rapidez de la luz en tu marco de referencia. Pero en realidad, V$

0.5c & 0.5c c $ $ 0.8c 1.25 0.25c2 1& c2

lo que ilustra otra consecuencia de la relatividad: ningún objeto material puede viajar con la misma o con mayor rapidez que la luz. Supongamos que la nave espacial lanza un impulso de luz láser en dirección de su movimiento. ¿Con qué rapidez se mueve ese impulso en tu marco de referencia? V$

1.5c 0.5c & c $ $c 1.5 0.5c2 1& 2 c

No importa cuáles sean las velocidades relativas entre los dos marcos; la luz que se mueve a c en un marco se verá moviéndose a c desde cualquier otro marco de referencia. Tratar de cazar la luz es algo que nunca se logra.

Viaje espacial

Viaje en el espacio y en el tiempo

Uno de los antiguos argumentos contra la posibilidad de los viajes interestelares de los humanos era que nuestra vida es demasiado corta. Se decía, por ejemplo, que la estrella más cercana a la Tierra (después del Sol), que es Alfa Centauro, está a 4 años luz de distancia, y que un viaje redondo, aun a la rapidez de la luz, tardaría 8 años.3 Y que un viaje al centro de nuestra galaxia, localizado a 25,000 años luz de distancia, a la rapidez de la luz, necesitaría 25,000 años. Pero esos argumentos no tenían en cuenta la dilatación del tiempo. Para una persona en la Tierra y para otra persona en una nave de gran rapidez, el tiempo no es igual. El corazón de una persona late con el ritmo de la porción del espacio-tiempo en donde se encuentre. Y para el corazón, una porción del espacio-tiempo parece igual que otra, pero no para un observador que está fuera del marco de 3

Un año luz es la distancia que recorre la luz en 1 año: 9.46 ' 1012 km.

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Parte ocho Relatividad

FIGURA 35.21 Desde el sistema de referencia terrestre, la luz tardaría 25,000 años en viajar desde el centro de nuestra galaxia (Vía Láctea) hasta nuestro Sistema Solar. Desde el marco de referencia de una nave con gran rapidez, el viaje duraría menos tiempo. Desde el marco de referencia propio de la luz, el viaje no tomaría ningún tiempo. No existe tiempo en el marco de referencia a la rapidez de la luz.

referencia del corazón. Por ejemplo, si los astronautas tuvieran la posibilidad de viajar al 99% de c podrían ir a la estrella Procyon (a 10.4 años luz) y regresar a la Tierra en 21 años terrestres en total. Sin embargo, a causa de la dilatación del tiempo, para los astronautas sólo habrían pasado 3 años. Esto lo que sus relojes les indicarían, y biológicamente serían sólo 3 años más viejos. En cambio, los empleados en Tierra que los saludarían a su regreso ¡tendrían 21 años más! A mayor rapidez, los resultados son todavía más impresionantes. A una rapidez de 99.99% de c los viajeros podrían recorrer una distancia un poco mayor que 70 años luz en un solo año de su propio tiempo; a 99.999% de c, esta distancia podría ser bastante mayor que 200 años luz. Para ellos, un viaje de 5 años ¡los llevaría más lejos que lo que la luz recorre en 1,000 años terrestres! La tecnología actual no permite esos viajes. Cómo conseguir suficiente energía de propulsión y cómo protegerse contra la radiación son problemas insolubles hasta ahora. Las naves espaciales que viajen a rapideces relativistas necesitarían miles de millones de veces la energía usada para poner en órbita una estación espacial. Aun cuando alguna clase de estatorreactor interestelar pudiera reunir hidrógeno gaseoso interestelar para quemarlo en un reactor de fusión, debería superar el enorme efecto retardante de la recolección del hidrógeno a grandes rapideces. Y los viajeros espaciales encontrarían partículas interestelares como si fueran de un gran acelerador de partículas apuntado hacia ellos. Hasta el momento, no se conoce ninguna forma de protegerse contra ese bombardeo tan intenso de partículas durante largos periodos. Por ahora, los viajes por el espacio interestelar están reservados para la ciencia ficción. No porque sean una fantasía científica, sino porque no son prácticos. Viajar cerca de la rapidez de la luz para aprovechar la dilatación del tiempo es algo que se apega totalmente a las leyes de la física. Podemos ver hacia el pasado, pero no podemos ir hacia él. Por ejemplo, vemos hacia el pasado al contemplar los cielos nocturnos. La luz estelar que llega a nuestros ojos salió de esas estrellas hace docenas, cientos y hasta millones de años. Lo que vemos son las estrellas tal como eran hace mucho. Por eso es que somos testigos de la historia antigua, y sólo podemos especular lo que les ha sucedido a esas estrellas desde entonces a la fecha. Si vemos la luz que salió de la estrella hace 100 años, por ejemplo, entonces todos los seres que avistemos en ese sistema solar nos están observando también con la luz que salió de aquí hace 100 años; además, si poseyeran telescopios potentísimos, podrían atestiguar los acontecimientos que tuvieron lugar en la Tierra hace

Capítulo 35 Teoría de la relatividad especial

SALTOS

DE

705

SIGLOS

Llevemos nuestra ciencia ficción hasta un futuro posible cuando se hayan superado los problemas de abastecimiento de energía y de la radiación, y cuando los viajes espaciales sean experiencias rutinarias. Las personas tendrán la opción de hacer un viaje y regresar a cualquier siglo del futuro que elijan. Por ejemplo, uno podría salir de la Tierra en una nave de elevada rapidez, en el año 2100, viajar durante 5 años más o menos, y regresar en el año 2500. Se podría vivir entre los terrestres de ese periodo durante algún tiempo y salir de nuevo para tratar de ver cómo se vive en el año 3000. Las personas podrían pasarse saltando hacia el futuro, consumiendo algo de su propio tiempo, pero no

podrían viajar hacia el pasado. Nunca podrían regresar a la misma época en la Tierra que cuando se despidieron. El tiempo, tal como lo conocemos, avanza en una dirección, hacia delante. Aquí en la Tierra nos movemos en forma constante hacia el futuro, a la tasa constante de 24 horas por día. Un astronauta que salga en un viaje al espacio profundo debe vivir con el conocimiento que a su regreso habrá pasado mucho más tiempo en la Tierra del que él, en forma subjetiva y física, experimentó durante su viaje. El credo de todos los viajeros a las estrellas es que sean cuales fueren sus condiciones fisiológicas, será un adiós definitivo.

100 años, por ejemplo, las secuelas de la Guerra Civil estadounidense. Verían nuestro pasado, pero seguirían viendo los eventos en progresión de avance; verían que las manecillas de nuestros relojes se mueven en el sentido natural. Podemos imaginar la posibilidad de que el tiempo también pudiera avanzar en contra de las manecillas del reloj, hacia el pasado, al igual que en el sentido de las manecillas del reloj hacia el futuro. ¿Por qué, preguntamos, en el espacio podemos movernos hacia delante y hacia atrás, hacia la izquierda o hacia la derecha, hacia arriba o hacia abajo, pero sólo podemos movernos en una dirección en el tiempo? Es interesante que las matemáticas de las interacciones de partículas elementales permiten la “inversión del tiempo”, aunque hay unas interacciones que sólo favorecen una dirección en el tiempo. Las partículas hipotéticas que se mueven hacia atrás en el tiempo se llaman taquiones. En cualquier caso, para el organismo complejo llamado ser humano, el tiempo sólo tiene una dirección.4 Esta conclusión se ignora alegremente en una quintilla favorita de los científicos: Había una vez una joven llamada Brillo que viajaba mucho más rápido que la luz. Un día salió en forma relativista y regresó la noche anterior. Aun con la mente puesta en la relatividad, de forma inconsciente nos aferramos a la idea de que hay un tiempo absoluto y comparamos con él todos esos efectos relativistas; reconocemos que el tiempo cambia de esta y otra forma para tal o cual rapidez, pero sentimos que todavía hay algo de tiempo básico o de tiempo absoluto. Tendemos a pensar que el tiempo que experimentamos en la Tierra es fundamental, y que los demás tiempos tienen algo de incorrecto. Esto es comprensible, porque somos criaturas terrestres. Pero esa idea es limitante. Desde el punto de vista de los observadores en cualquier otro sitio del universo, nos movemos con rapidez relativista; nos observan como si nos moviéramos en cámara lenta. Ven nuestra vida cientos de veces más larga que la de ellos, pero si tuvié4 Se ha dicho que si nos moviéramos hacia atrás en el tiempo no lo sabríamos, porque recordaríamos nuestro futuro y ¡creeríamos que se trata del pasado!

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Parte ocho Relatividad

ramos telescopios potentísimos, observaríamos que sus vidas duran cientos de veces más que las nuestras. No hay tiempo estándar universal. Ninguno. Al pensar en el tiempo, pensamos en el universo. Al pensar en el universo quisiéramos saber qué había antes de que se iniciara. Nos preguntamos qué sucedería si el universo dejara de existir en el tiempo. Pero el concepto del tiempo se aplica a los eventos y las entidades dentro del universo, y no al universo en su conjunto. El tiempo está “en” el universo; el universo no está “en” el tiempo. Sin el universo no hay tiempo; no hay antes ni después. De igual manera, el espacio está “en” el universo; el universo no está “en” una región del espacio. No hay espacio “fuera” del universo. El espacio-tiempo existe dentro del universo. ¡Piensa en ello!

Contracción de la longitud Conforme los objetos se mueven a través del espacio-tiempo, tanto el espacio como el tiempo cambian. En resumen, el espacio se contrae y hace que los objetos se vean más cortos al moverse frente a nosotros a rapideces relativistas. Fue el físico George F. FitzGerald quien habló por primera vez de esta contracción de longitud y el físico Hendrick A. Lorentz (a quien ya mencionamos antes) se encargó de expresarla matemáticamente. Mientras estos físicos suponían que la materia se contrae, Einstein se dio cuenta de que lo que se contrae es el espacio mismo. Sin embargo, como la fórmula de Einstein es igual que la de Lorentz, a ese efecto se le llama contracción de Lorentz: L $ L0

A

1!

v2 c2

donde v es la velocidad relativa entre el objeto observado y el observador, c es la rapidez de la luz, L es la longitud medida del objeto en movimiento y L0 es la longitud medida del objeto en reposo.5 Supongamos que un objeto está en reposo, de manera que v = 0. Al sustituir v $ 0 en la ecuación de Lorentz, se ve que L = L0, como era de esperarse. Al sustituir varios valores grandes de v en la ecuación de Lorentz observamos que la L calculada es cada vez menor. A un 87% de c, un objeto se contraería a la mitad de su longitud original. A 99.5% de c, se contraería a la décima parte de su longitud original. Si el objeto se pudiera mover a c, su longitud sería cero. Ésta es una de las razones por las que se dice que la luz es el límite superior de la rapidez de cualquier objeto en movimiento. Otra quintilla conocida en la ciencia dice así: FIGURA 35.22 La contracción de Lorentz. La regla de un metro se ve de la mitad de su longitud cuando se mueve al 87% de la rapidez de la luz, en relación con el observador.

Había una vez un joven esgrimista llamado Fisk de extraordinaria agilidad. Y tan rápida era su acción que la contracción de Lorentz redujo su espada hasta darle forma de disco. Como indica la figura 35.23, la contracción sólo es en la dirección del movimiento. Si un objeto se mueve en dirección horizontal, no hay contracción vertical. 1 1 L0, donde (( siempre es 1 o menor (porque # siempre es 1 o mayor). g γ Observa que no explicamos cómo se deduce la ecuación de la contracción de la longitud (ni otras ecuaciones). Sólo presentamos las ecuaciones como “guías de pensamiento” acerca de las ideas de la relatividad especial.

5

Esto se puede expresar en la forma L $

Capítulo 35 Teoría de la relatividad especial

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FIGURA 35.23 Conforme aumenta la rapidez, disminuye la longitud en la dirección del movimiento. Las longitudes en la dirección perpendicular no cambian.

Dilatación del tiempo: los relojes en movimiento se retrasan. Contracción de la longitud: los objetos en movimiento son más cortos (en la dirección del movimiento) ¡EUREKA!

La contracción de la longitud interesa mucho a los viajeros del espacio. El centro de nuestra Vía Láctea está a 25,000 años luz de distancia. ¿Quiere decir eso que si viajáramos en esa dirección, a la rapidez de la luz, tardaríamos 25,000 años en llegar? Desde un marco de referencia terrestre sí, pero para los viajeros ¡definitivamente no! A la rapidez de la luz, la distancia de 25,000 años luz se contraería hasta llegar a no ser ninguna distancia. ¡Los viajeros espaciales llegarían allá en un instante! Para un viaje hipotético a la rapidez cercana a la de la luz, la contracción de la longitud y la dilatación del tiempo sólo son dos facetas del mismo fenómeno. Si los astronautas van con tanta rapidez que encuentran que la distancia a la estrella más cercana es sólo de un año luz, en lugar de los cuatro años luz medidos desde la Tierra, harán el recorrido en un poco más de un año. Pero en la Tierra, los observadores dirían que los relojes a bordo de la nave se retrasan tanto que sólo miden un año en cuatro años del tiempo terrestre. Las dos partes coinciden en lo que sucede: los astronautas sólo serán un poco más de un año más viejos cuando lleguen a la estrella. Algunos observadores dirán que se debe a la contracción de la longitud, y otros dirán que se debe a la dilatación del tiempo. Los dos tienen razón. Si alguna vez los viajeros espaciales pueden impulsarse hasta rapideces relativistas, verán que las zonas lejanas del universo se acercan gracias a la contracción del espacio, mientras que en la Tierra, verán a los astronautas recorrer más distancia porque envejecen con más lentitud. EXAMÍNATE Un letrero rectangular en el espacio tiene las dimensiones 10 ' 20 m. ¿Con qué rapidez y en qué dirección con respecto al letrero debe pasar un viajero espacial para que vea cuadrado ese letrero?

FIGURA 35.24 Figura interactiva

En el marco de referencia de nuestra regla de un metro, su longitud es un metro. Los observadores en un marco de referencia en movimiento ven que nuestro metro está contraído, y al mismo tiempo nosotros vemos que su metro está contraído. Los efectos de la relatividad siempre se atribuyen “al otro”.

COMPRUEBA TU RESPUES TA Debería viajar a 0.87 c, en una dirección paralela al lado largo del letrero.

708

Parte ocho Relatividad

FIGURA 35.25 El acelerador lineal de Stanford tiene 3.2 km (2 millas) de longitud. Pero para los electrones que se mueven a 0.9999995 c, sólo tiene 3.2 metros de longitud. Comienzan su viaje en la zona que se observa en primer plano y chocan contra blancos, o se estudian de diversas formas, en el área de experimentación, al otro lado de la carretera (en la parte superior de la fotografía).

Cantidad de movimiento relativista Recuerda nuestra explicación de la cantidad de movimiento en el capítulo 6. Vimos que el cambio en la cantidad de movimiento mv de un objeto es igual al impulso Ft que se le aplica: Ft = )mv, es decir, Ft = )p, donde p = mv. Al aplicar más impulso a un objeto libre para moverse, éste adquiere más cantidad de movimiento. Con el doble de impulso, la cantidad de movimiento sube al doble. Con diez veces el impulso, el objeto gana diez veces la cantidad de movimiento. ¿Quiere decir eso que la cantidad de movimiento puede incrementarse sin límite? La respuesta es sí. ¿Quiere decir que también la rapidez puede aumentar sin límite? En este caso, la respuesta es ¡no! El límite de rapidez para los objetos materiales en la naturaleza es c. Para Newton, una cantidad de movimiento infinita equivaldría a una masa infinita o una rapidez infinita. Pero no sucede lo mismo en la relatividad. Einstein demostró que se necesitaba una nueva definición de la cantidad de movimiento: p $ #mv donde # es el factor de Lorentz (recuerda que # siempre es 1 o mayor). Esta definición generalizada de cantidad de movimiento es válida en todos los marcos de referencia en movimiento. La cantidad de movimiento relativista es mayor que mv por un factor de #. Para rapideces cotidianas mucho menores que c, # es casi igual a 1, por lo que p es casi igual a mv. La definición de Newton de cantidad de movimiento es válida para bajas rapideces. A mayores rapideces, # crece en forma considerable, y también la cantidad de movimiento relativista. Al acercarse la rapidez a c, ¡# tiende al infinito! Sin importar qué tan cerca de c se empuje un objeto, se seguiría necesitando un impulso infinito para darle la última fracción de la rapidez necesaria para alcanzar c, algo que a todas luces es imposible. En consecuencia, ningún cuerpo que tenga masa puede impulsarse a la rapidez de la luz, y mucho menos a mayor rapidez que ésta.

Capítulo 35 Teoría de la relatividad especial FIGURA 35.26 Si la cantidad de movimiento de los electrones fuera igual al valor newtoniano mv, el haz seguiría la línea interrumpida. Pero como la cantidad de movimiento relativista #mv es mayor, el haz sigue la trayectoria “más rígida” que indica la línea continua.

Electroimanes

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Descubrimiento de pantalla

Rayo de electrones

Las partículas subatómicas son impulsadas, en forma rutinaria, casi a la rapidez de la luz. Las cantidades de movimiento de esas partículas pueden ser miles de veces mayores que la mv que indica la ecuación de Newton. Desde el punto de vista clásico, las partículas se comportan como si sus masas aumentaran con la rapidez. Einstein favoreció al principio esta interpretación, pero después cambió de opinión y mantuvo la masa constante, una propiedad de la materia que es la misma en todos los marcos de referencia. Así, lo que cambia con la rapidez es # y no la masa. La mayor cantidad de movimiento de una partícula de alta rapidez se ve en la mayor “rigidez” de su trayectoria. Cuanto más cantidad de movimiento tiene, su trayectoria será más “rígida” y más difícil será desviarla. Esto se ve cuando un haz de electrones se dirige a un campo magnético. Las partículas con carga que se mueven dentro de un campo magnético sienten una fuerza que las desvía de sus trayectorias normales. Para cantidades de movimiento pequeñas, la trayectoria es muy curva. Para una cantidad de movimiento grande, hay mayor rigidez y la trayectoria sólo es ligeramente curva (figura 35.26). Aun cuando una partícula se pueda mover un poco más rápidamente que otra —por ejemplo, a 99.9% de la rapidez de la luz en lugar del 99%—, su cantidad de movimiento será mucho mayor y describirá una trayectoria más recta en el campo magnético. Esta rigidez se debe compensar en los aceleradores circulares como los ciclotrones y los sincrotrones, donde la cantidad de movimiento determina el radio de curvatura. En el acelerador lineal de la figura 35.25, el haz de partículas viaja en una trayectoria rectilínea, y los cambios en la cantidad de movimiento no producen desviaciones de la recta. Las desviaciones se presentan cuando el haz de electrones es desviado en la puerta de salida mediante imanes, como se indica en la figura 35.26. Sea cual fuere la clase de acelerador de partículas, los físicos que trabajan todos los días con partículas subatómicas comprueban la validez de la definición relativista de la cantidad de movimiento y el límite de rapidez que impone la naturaleza. Resumiendo, vemos que conforme la rapidez de un objeto se acerca a la rapidez de la luz, su cantidad de movimiento tiende al infinito, y eso equivale a que no hay forma de llegar a la rapidez de la luz. Sin embargo, al menos hay una cosa que llega a la rapidez de la luz. ¡La misma luz! Pero los fotones de luz no tienen masa, y las ecuaciones que se les aplican son distintas. La luz siempre se propaga con la misma rapidez. Así, es interesante hacer notar que una partícula nunca se puede impulsar hasta la rapidez de la luz y ésta no puede detenerse hasta el reposo.

Masa, energía y E $ mc2 Einstein no sólo relacionó el espacio y el tiempo, sino también la masa y la energía. Un trozo de materia, aun cuando esté en reposo y no interactúe con algo más, tiene una “energía de existencia”. Se le llama energía en reposo. Einstein llegó a

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Parte ocho Relatividad

la conclusión de que se necesita energía para hacer masa, y que se libera energía si desaparece la masa. La cantidad de energía E se relaciona con la cantidad de masa m mediante la ecuación más famosa del siglo xx: E $ mc2 El c2 es el factor de conversión entre las unidades de energía y las unidades de masa. A causa de la gran magnitud de c, una masa pequeña corresponde a una enorme cantidad de energía.6 Recuerda que en el capítulo 34 mencionamos que los decrementos diminutos de masa nuclear, tanto en la fisión como en la fusión nuclear, liberan enormes cantidades de energía, todas de acuerdo con E = mc2. Para el público en general, E $ mc2 es sinónimo de la energía nuclear. Si pudiéramos pesar una central nuclear recién cargada de combustible y después de una semana volverla a pesar, encontraríamos que pesa un poco menos. Parte de la masa del combustible, más o menos 1 parte en mil, se ha convertido en energía. Ahora bien, es interesante destacar que si pesáramos una central carboeléctrica con todo el carbón y el oxígeno que consume en una semana, y una semana después pesáramos la misma central con todo el dióxido de carbono y los demás productos de combustión que salieron durante la semana, también veríamos que pesa un poco menos. De nuevo, la masa se ha convertido en energía, más o menos se ha convertido 1 parte en mil millones. Lo que sucede es que si ambas centrales producen la misma cantidad de energía, el cambio de masa será igual para ambas, sin importar si la energía se liberó por conversión nuclear o química de la masa. La diferencia principal reside en la cantidad de energía liberada en cada reacción individual y en la cantidad de masa que interviene. Al fisionarse un solo núcleo de uranio se libera 10 millones de veces más energía que en la combustión de un solo átomo de carbón para producir una molécula de dióxido de carbono. En consecuencia, algunas cantidades de combustible de uranio bastarán para una central de fisión, mientras que la central carboeléctrica consume muchos cientos de furgones de carbón. FIGURA 35.27 Decir que una central eléctrica entrega 90 millones de megajoules de energía a los consumidores equivale a decir que les entrega un gramo de energía, porque la masa y la energía son equivalentes.

6 Cuando c está en metros por segundo y m está en kilogramos, E se expresa en joules. Si la equivalencia entre masa y energía se hubiera comprendido hace mucho, cuando se formularon los primeros conceptos de la física, es probable que no hubiera unidades distintas para masa y energía. Además, con una redefinición de las unidades de espacio y tiempo, c podría ser igual a 1, y E $ mc2 simplemente sería E $ m.

Capítulo 35 Teoría de la relatividad especial

711

FIGURA 35.28 En 1 segundo, 4.5 millones de toneladas de masa se convierten en energía radiante en el Sol. Sin embargo, el Sol es tan masivo que en 1 millón de años sólo la diezmillonésima parte de su masa se habrá convertido en energía radiante.

Al encender un fósforo, los átomos de éste se reordenan y combinan con el oxígeno del aire para formar nuevas moléculas. Las moléculas resultantes tienen una masa ligeramente inferior que las moléculas separadas de fósforo y oxígeno. Desde el punto de vista de la masa, el todo es un poco menor que la suma de sus partes, en cantidades que escapan a nuestra percepción. Para todas las reacciones químicas que desprenden energía hay una disminución correspondiente en la masa, más o menos de 1 parte en mil millones. Para las reacciones nucleares, la disminución de masa es del orden de una parte en mil, y se puede medir en forma directa con varios dispositivos. Esta disminución de la masa en el Sol, por el proceso de fusión termonuclear, inunda al Sistema Solar con energía radiante y alimenta la vida. La etapa actual de fusión termonuclear en el Sol ha estado vigente durante los últimos 5,000 millones de años, y hay suficiente combustible de hidrógeno para que la fusión dure otros 5,000 millones de años. ¡Qué bueno que el Sol sea tan grande! La ecuación E $ mc2 no se limita a las reacciones químicas y nucleares. Un cambio en la energía de cualquier objeto en reposo va acompañado de un cambio en su masa. El filamento de una bombilla de luz energizada con electricidad tiene más masa que cuando se apaga. Una taza de té caliente tiene más masa que la misma taza de té frío. Una cuerda de reloj tensada tiene más masa que cuando al reloj se le acaba la cuerda. Pero en esos ejemplos intervienen cambios increíblemente pequeños de la masa, demasiado pequeños como para poder medirlos. Aun los cambios mucho mayores de masa en los procesos radiactivos no se midieron sino hasta después que Einstein predijo la equivalencia entre masa y energía. Sin embargo, ahora las conversiones entre masa y energía se miden en forma rutinaria. Imagina una moneda con 1 g de masa. Cabe esperar que dos de esas monedas tengan 2 g de masa, que 10 monedas tengan 10 g de masa, y que 1,000 monedas acomodadas en una caja tengan 1 kg de masa. Pero esto no es cierto si las monedas se atraen o se repelen entre sí. Imagina, por ejemplo, que cada moneda tiene carga negativa, por lo que cada una repele a todas las demás. Entonces, para juntarlas se requiere efectuar trabajo. Este trabajo se agrega a la masa del conjunto. Así, una caja con 1,000 monedas con carga negativa tendría más de 1 kg de masa. Si, por otra parte, las monedas se atrajeran entre sí (como sucede con los nucleones en los núcleos), se necesita trabajo para separarlas; entonces, una caja donde hubiéramos colocado 1,000 monedas una por una, tendría una masa menor que 1 kg. Así, la masa de un objeto no es necesariamente igual a la suma de las masas de las partes, como sucede al medir las masas de los núcleos. El efecto sería inmenso si pudiéramos manejar partículas independientes cargadas. Si pudiéramos juntar electrones cuyas masas separadas sumaran 1 g en una esfera de 10 cm de diámetro, la masa del conjunto sería de ¡10 billones de kilogramos! En verdad, la equivalencia entre masa y energía es profunda.

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Parte ocho Relatividad

E $ mc2 significa que la masa es energía solidificada. La masa y la energía son dos lados de la misma moneda. ¡EUREKA!

Algunos físicos creen que la masa de un electrón es sólo la energía equivalente al trabajo necesario para comprimir su carga, y suponiendo que esa carga estuviera repartida, no tendría masa en absoluto.7 En las unidades ordinarias de medida, la rapidez de la luz c es una cantidad grande y su cuadrado lo es todavía más; por consiguiente, una pequeña cantidad de masa almacena una gran cantidad de energía. La cantidad c2 es un “factor de conversión”. Convierte la medición de la masa en medición de energía equivalente. O bien, es la relación de la energía en reposo entre la masa, E/m $ c2. La ecuación en cualquiera de sus formas no tiene nada que ver con la luz ni con el movimiento. La magnitud de c2 es 90,000 billones (9 ' 1016) de joules por kilogramo. Un kilogramo de materia tiene una “energía de existencia” igual a 90,000 billones de joules. Aun una pizca de materia, cuya masa sólo sea de un miligramo, tiene una energía en reposo de 90,000 millones de joules. La ecuación E $ mc2 es más que una fórmula para convertir masa en otras clases de energía, o viceversa. Indica algo más, que la energía y la masa son lo mismo. La masa es energía solidificada. Si quieres saber cuánta energía hay en un sistema, mide su masa. Para un objeto en reposo, su energía es su masa. La energía, al igual que la masa, tiene inercia. Agita un objeto masivo, y verás que la energía misma es difícil de agitar. EXAMÍNATE ¿Se puede considerar la ecuación E $ mc2 desde otra perspectiva y decir que la materia se transforma en energía pura cuando viaja con la rapidez de la luz elevada al cuadrado?

La primera evidencia de la conversión de energía radiante en masa la obtuvo el físico estadounidense Carl Anderson, en 1932. Él y un colega en el Caltech descubrieron el positrón, por medio de la estela que dejó en una cámara de niebla. El positrón es la antipartícula del electrón, igual al electrón en masa y en espín, pero con carga contraria. Cuando un fotón de alta frecuencia se acerca a un núcleo atómico puede crear un positrón y un electrón al mismo tiempo, en forma de un par, creando masa en esta forma. Las partículas creadas salen despedidas alejándose entre sí. El positrón no es parte de la materia normal, y dura muy poco. Tan pronto como encuentra un electrón se aniquila y, en el proceso, se producen dos rayos gamma. Entonces, la masa se convierte de nuevo en energía radiante.8 COMPRUEBA TU RESPUES TA ¡No, no y no! Es imposible hacer que la materia se mueva con la rapidez de la luz, y mucho menos a la rapidez de la luz elevada al cuadrado (¡que no es una rapidez!). La ecuación E $ mc2 sólo indica que la energía y la masa son “dos caras de la misma moneda”. 7 John Dobson, astrónomo de San Francisco, cree que así como un reloj adquiere más masa al efectuar trabajo sobre él cuando le damos cuerda contra la resistencia de su resorte, la masa de todo el universo no es más que la energía invertida en separarlo venciendo la gravitación mutua. Desde este punto de vista, la masa del universo equivale al trabajo efectuado en dispersarlo. Así, quizá cada electrón tiene masa porque su carga está confinada, y los átomos que forman el universo tienen masa porque están dispersos. 8

Recuerda que la energía de un fotón es E $ hf, y que la masa energía de una partícula es E $ mc2 . Los fotones de alta frecuencia convierten, en forma rutinaria, su energía en masa al producir pares de partículas en la naturaleza, y también en los aceleradores, donde se pueden observar los procesos. ¿Por qué pares? Principalmente porque es la única forma en que no se viola la conservación de la carga. Así, cuando se crea un electrón, se crea también un positrón, su antipartícula. Al igualar las dos ecuaciones, hf $ 2mc2, donde m es la masa de una partícula (o antipartícula), se ve que la frecuencia mínima que debe tener un rayo gamma para producir un par de partículas es f $ 2mc2/h. Para producir partículas más pesadas se requiere más energía, y de ahí las altas energías de los aceleradores de partículas.

Capítulo 35 Teoría de la relatividad especial

713

El principio de correspondencia En el capítulo 32 presentamos el principio de correspondencia, según el cual, toda teoría nueva o toda descripción nueva de la naturaleza debe concordar con la anterior, siempre que ésta dé resultados correctos. Si las ecuaciones de la relatividad especial son válidas, deben corresponder a las de la mecánica clásica cuando se aplican a rapideces mucho menores que la rapidez de la luz. Las ecuaciones relativistas para tiempo, longitud y cantidad de movimiento son: t0

t$ A L $ L0 p$

1!

A

v2 c2

1!

$ gt0

v2 $ L0 >g c2

mv v2 1! 2 B c

$ gmv

Observa que cada una de esas ecuaciones se reduce a sus valores newtonianos cuando las rapideces son muy pequeñas en comparación con la de c. Entonces, la relación v2/c2 es muy pequeña y, para las rapideces cotidianas, se considera como cero. En ese caso, las ecuaciones relativistas se transforman como sigue: t$

t0 11 ! 0

$ t0

L $ L0 11 ! 0 $ L0 p$

mv $ mv 11 ! 0

Así, para rapideces cotidianas, la cantidad de movimiento, la longitud y el tiempo de los objetos en movimiento no cambian en esencia respecto a sus valores newtonianos. Las ecuaciones de la relatividad especial son válidas para todas las rapideces, aunque difieren bastante de las ecuaciones clásicas sólo cuando las rapideces se acercan a la de la luz. La teoría de la relatividad de Einstein ha generado muchas preguntas filosóficas. Exactamente, ¿qué es el tiempo? ¿Se puede decir que es la forma que tiene la naturaleza de ver que no suceda todo al mismo tiempo? Y, ¿por qué el tiempo parece transcurrir en una dirección? ¿Siempre ha avanzado? ¿Habrá otras partes del universo donde retroceda? ¿Es probable que nuestra percepción tridimensional de un mundo tetradimensional sólo sea el principio? ¿Podría haber una quinta dimensión? ¿Una sexta? ¿Una séptima? Si así fuera, ¿cuál sería la naturaleza de esas dimensiones? Quizá los físicos del mañana logren contestar estas preguntas, que por ahora son enigmas. ¡Qué emocionante!

714 IRM:

Parte ocho Relatividad

IMAGEN

DE

RESONANCIA

Albert Einstein nació en Ulm, Alemania, el 14 de marzo de 1879. Mucha gente cree que fue un niño retrasado y que aprendió a hablar mucho tiempo después que la mayoría de los demás niños; se dice que sus padres temieron en ocasiones que pudiera ser un retrasado mental. Sin embargo, sus calificaciones escolares demuestran que tenía grandes aptitudes para las matemáticas, la física y para tocar el violín. Pero se rebeló contra la reglamentación y la disposiciones de la educación, y fue expulsado en el mismo momento en que se preparaba para abandonar la escuela a los 15 años. Por razones de negocios, su familia se mudó a Italia. El joven Einstein renunció a la ciudadanía alemana y fue a vivir con unos amigos de la familia en Suiza. Allá se le permitió tomar los exámenes de admisión al renombrado Instituto Federal Suizo de Tecnología, en Zurich, dos años antes de la edad normal. Pero, como tuvo dificultades con el francés, no aprobó el examen. Estuvo un año en una preparatoria en Aarau, Suiza, donde fue “promovido bajo protesta en el francés”. Intentó de nuevo someterse al examen de admisión en Zurich y lo aprobó. Pero faltó mucho a clases y prefirió estudiar por sí mismo; en 1900 aprobó los exámenes repasando apresuradamente los apuntes confiables de un

Resumen de términos Contracción de longitud La contracción del espacio en dirección del movimiento de un observador, como resultado de la rapidez. Dilatación del tiempo La desaceleración del tiempo causada por la rapidez. Espacio-tiempo El continuo tetradimensional en el que suceden todos los eventos y existen todas las cosas: tres dimensiones son las coordenadas de espacio y la cuarta es el tiempo.

MAGNÉ TIC A

amigo. Tiempo después, Einstein diría acerca de ese hecho: “... una vez que aprobé el examen final encontré desagradable el examen de cualquier problema científico durante todo un año”. En ese año obtuvo la ciudadanía suiza; aceptó un puesto temporal de enseñanza y fue tutor de dos jóvenes alumnos de preparatoria. Aconsejó al padre de uno de ellos, también profesor de preparatoria, que lo sacara de la escuela donde, en su opinión, estaban destruyendo su curiosidad natural. El trabajo de Einstein como tutor duró poco. No fue sino hasta dos años después de graduarse que obtuvo un trabajo permanente, como examinador de patentes en la Oficina Suiza de Patentes, en Berna. Conservó ese puesto durante más de siete años. Encontró bastante interesante el trabajo, que a veces estimulaba su imaginación científica, pero principalmente porque lo liberaba de las preocupaciones financieras y le daba tiempo para pensar en los problemas de la física que lo tenían intrigado. Sin relaciones académicas y sin entablar comunicación con otros físicos, definió las principales líneas sobre las que se desarrolló la física teórica del siglo XX. En 1905, a los 26 años, obtuvo su doctorado en física y publicó tres documentos principales. El primero fue sobre la teoría cuántica de la luz, incluyendo una explicación del efecto fotoeléctrico, por el cual ganó el Premio Nobel de Física en 1921. El segundo fue sobre los aspectos estadísticos de la teoría molecular y el movimiento browniano, una prueba de la existencia de los átomos. Su tercero y más famoso trabajo fue sobre la relatividad especial. En 1915 publicó un trabajo sobre la teoría de la relatividad general, donde presentó una nueva teoría de la gravitación que incluía a la teoría de Newton como caso especial. Esas tres publicaciones, pioneras en su género, tuvieron fuertes repercusiones en el curso de la física moderna. Las preocupaciones de Einstein no se limitaron a la física. Vivió en Berlín durante la Primera Guerra Mundial

Marco de referencia Un punto de observación (por lo general, un conjunto de ejes coordenados) con respecto al cual se describen posiciones y movimientos. Postulados de la teoría de la relatividad especial 1. Todas las leyes de la naturaleza son las mismas en todos los marcos de referencia con movimiento uniforme. 2. La rapidez de la luz en el espacio libre tiene el mismo valor medido, independientemente del movimiento de la fuente o el del observador; esto es, la rapidez de la luz es una constante.

Capítulo 35 Teoría de la relatividad especial

y denunció el militarismo alemán de la época. Expresó públicamente su profunda convicción de que la guerra debía terminar y solicitó que se fundara una organización internacional para dirimir las disputas entre las naciones. En 1933, cuando Einstein visitaba Estados Unidos, Hitler llegó al poder. Einstein se expresó contra las actitudes racistas y políticas de Hitler, y renunció a su puesto en la Universidad de Berlín. Al no sentirse seguro en Alemania, fue a Estados Unidos y aceptó un puesto de investigación

Simultaneidad Se refiere a lo que sucede al mismo tiempo. Dos eventos que son simultáneos en un marco de referencia no necesariamente son simultáneos en un marco de referencia que se mueva en relación con el primero.

Lecturas sugeridas Einstein, Albert, The Meaning of Relativity. Princeton, N.J.: Princeton University Press, 1950. Escrito por Einstein mismo para el lector promedio.

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en el Instituto de Estudios Avanzados de Princeton, Nueva Jersey. En 1939, un año antes de que recibiera la nacionalidad estadounidense, y después de que los científicos alemanes fisionaran el átomo de uranio, varios científicos prominentes húngaro-estadounidenses le solicitaron que escribiera la ahora famosa carta al presidente Roosevelt, señalando las posibilidades científicas de desarrollar una bomba nuclear. Einstein era un pacifista, pero al pensar en que Hitler podía tener un arma así a su disposición, se animó a escribir la carta. El resultado fue el desarrollo de la primera bomba nuclear, que en forma irónica, se detonó en Japón, después de la caída de Alemania. Einstein creía que el universo es indiferente a la condición humana, y afirmaba que si la humanidad debía continuar, tenía que crear un orden moral. Aconsejó con insistencia que se lograra la paz mundial a través del desarme nuclear. Las bombas nucleares, decía Einstein, habían cambiado todo, menos nuestra forma de pensar. C. P. Snow, un amigo de Einstein, dijo lo siguiente, al revisar The Born-Einstein Letters, 1916-1955: “Einstein fue la mente más brillante del siglo XX y una de las más extraordinarias que hayan existido. Era más que eso. Era un hombre con una personalidad de enorme peso y, sobre todo, de enorme estatura moral.... He visto varias personas a quienes se juzga como extraordinarias; de ellas, él fue, sin duda por un orden de magnitud, el más impresionante. Era, a pesar de su calidez, de su humanidad y de su toque de comediante, el hombre más diferente a los demás”. Einstein fue más que un gran científico; fue un hombre que, lejos de ser presuntuoso, tuvo una honda preocupación por el bienestar de sus congéneres. La elección de Einstein como la persona del siglo por parte de la revista Time al final del siglo XX, fue la más adecuada y no levantó controversia.

Epstein, Lewis C. Relariviry Visualized. San Francisco: Insight Press, 1983. Gamow, George: Mr. Tompkins in Wonderland. New York: Macmillan, 1940. Un pequeño libro excelente y muy interesante. Gardner, Martin: The relativity Explosion. New York: Vintage Books, 1976. Taylor, Edwin F. y John A. Wheeler, Spacetime Physics. San Francisco: W.H. Freeman, 1966.

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Parte ocho Relatividad

Preguntas de repaso El movimiento es relativo 1. Si caminas a 1 km/h por el pasillo de un tren que avanza a 60 km/h, ¿cuál es tu rapidez relativa respecto al terreno? 2. En la pregunta anterior, ¿tu rapidez relativa con respecto al Sol al caminar por el pasillo es ligeramente mayor o mucho mayor?

El experimento de Michelson-Morley 3. ¿Qué hipótesis propuso G. F. FitzGerald para explicar los hallazgos Michelson y Morley? 4. ¿Cuál idea clásica acerca del espacio y del tiempo rechazó Einstein?

Postulados de la teoría de la relatividad especial 5. Describe dos ejemplos del primer postulado de Einstein. 6. Describe un ejemplo del segundo postulado de Einstein.

Simultaneidad 7. Dentro de la cabina que se mueve en la figura 35.4, la luz viaja determinada distancia hacia el extremo delantero y cierta distancia hacia el extremo trasero. ¿Cómo se comparan esas distancias, vistas en el marco de referencia del cohete en movimiento? 8. ¿Cómo se comparan las distancias de la pregunta 7 vistas desde el marco de referencia de un observador en un planeta estacionario?

Espacio-tiempo 9. ¿Cuántos ejes coordenados se emplean comúnmente para describir el espacio tridimensional? ¿Qué mide la cuarta dimensión? 10. ¿En qué condiciones tú y uno de tus amigos comparten la misma región del espacio-tiempo? ¿Cuándo no comparten la misma región? 11. ¿Qué tiene de especial la relación que existe entre la distancia recorrida por un destello de luz y el tiempo que la luz tarda en recorrer esa distancia?

Dilatación del tiempo 12. Se requiere tiempo para que la luz vaya de un punto a otro, siguiendo una trayectoria. Si esa trayectoria se ve más larga a causa del movimiento, ¿qué sucede con el tiempo que tarda la luz en recorrer esa trayectoria más larga? 13. ¿A qué se le llama “dilatación” del tiempo? 14. ¿Cuál es el valor del factor # (gamma) de Lorentz? 15. ¿Cómo difieren las mediciones del tiempo para eventos en un marco de referencia que se mueve al 50% de la rapidez de la luz en relación con nosotros? ¿Y al 99.5% de la rapidez de la luz en relación con nosotros? 16. ¿Cuál es la prueba de la dilatación del tiempo?

El viaje del gemelo 17. Cuando una fuente luminosa destellante se te acerca, cada destello que te llega tiene que recorrer menor distancia. ¿Qué efecto tiene eso sobre la frecuencia con que recibes los destellos? 18. Cuando una fuente de luz destellante va hacia ti, ¿aumenta la rapidez de la luz, la frecuencia de la luz, o ambas? 19. Si una fuente luminosa destellante se te acerca con la suficiente rapidez para que la duración entre los destellos parezca reducida a la mitad, ¿cómo se verá la duración entre los destellos cuando la fuente se aleje de ti con la misma rapidez? 20. ¿Cuántos marcos de referencia experimenta el gemelo que se queda en casa, durante el viaje de su hermano? ¿Cuántos marcos de referencia experimenta el gemelo viajero?

Suma de velocidades 21. ¿Cuál es el valor máximo de v1v2/c2 en un caso extremo? ¿Cuál es el mínimo? 22. La regla relativista

V$

v1 & v2 v1v2 1& 2 c

es congruente con el hecho de que la luz sólo puede tener una rapidez en todos los marcos de referencia con movimiento uniforme?

Viaje espacial 23. ¿Cuáles son los dos obstáculos principales que evitan viajar hoy al espacio por la galaxia y a rapideces relativistas? 24. ¿Cuál es el patrón universal del tiempo?

Contracción de la longitud 25. ¿Qué longitud parecería tener una regla de un metro si se moviera como una jabalina bien lanzada, pero al 99.5% de la rapidez de la luz? 26. ¿Qué longitud parecería tener la regla de un metro de la pregunta anterior si se moviera con su longitud perpendicular a la dirección de su movimiento? (¿Por qué es distinta tu respuesta de la respuesta anterior?) 27. Si estuvieras viajando en un cohete con gran rapidez, ¿te parecerían contraídas las reglas de un metro que se encuentra a bordo? Defiende tu respuesta.

Cantidad de movimiento relativista 28. ¿Cuál sería la cantidad de movimiento de un objeto impulsado hasta la rapidez de la luz? 29. Cuando un haz de partículas cargadas atraviesa un campo magnético, ¿cuál es la prueba de que su cantidad de movimiento es mayor que el valor de mv?

Capítulo 35 Teoría de la relatividad especial

Masa, energía y E $ mc2 30. Compara la cantidad de masa convertida en energía en las reacciones nucleares y en las reacciones químicas. 31. ¿Cómo se compara la energía de fisión de un solo núcleo de uranio con la energía de combustión de un solo átomo de carbono? 32. La ecuación E $ mc2, ¿sólo se aplica a las reacciones químicas y nucleares? 33. ¿Cuál es la prueba de que E $ mc2 en las investigaciones de rayos cósmicos?

El principio de correspondencia 34. ¿Cómo se relaciona el principio de correspondencia con la relatividad especial? 35. Las ecuaciones relativistas para el tiempo, la longitud y la cantidad de movimiento, ¿son válidas para las rapideces cotidianas? Explica por qué.

Proyecto Escribe una carta a tu abuelita y explícale cómo las teorías de Einstein de la relatividad se refieren a lo más rápido y a lo más grande, y que la relatividad no sólo está “allá afuera”, sino que afecta a este mundo. Dile cómo estas ideas estimulan tu búsqueda de mayor conocimiento acerca del universo.

Ejercicios 1. La idea de que la fuerza causa aceleración no parece extraña. Ésta y otras ideas de la mecánica newtoniana son congruentes con nuestra experiencia cotidiana. Pero las ideas de la relatividad parecen extrañas y son más difíciles de comprender. ¿Por qué? 2. Si estuvieras en un tren de marcha suave y sin ventanillas, ¿podrías sentir la diferencia entre el movimiento uniforme y el reposo? ¿Entre el movimiento acelerado y el reposo? Explica cómo podrías hacer la distinción con una cubeta llena de agua. 3. Una persona que va en el techo de un furgón dispara un arma apuntando hacia delante. a) En relación con el suelo, ¿la bala se mueve más rápido o más lento cuando el tren se mueve que cuando está detenido? b) En relación con el furgón, ¿la bala se mueve más rápido o más lento cuando el tren está en movimiento que cuando está detenido? 4. Imagina que la persona que viaja en el techo del furgón enciende su linterna sorda en la dirección en que se mueve el tren. Compara la rapidez del rayo de luz en relación con el suelo cuando el tren está detenido y cuando se mueve. ¿En qué difiere el comportamiento del rayo de luz del comportamiento de la bala en el ejercicio 3?

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5. ¿Por qué Michelson y Morley pensaron al principio que su experimento había fallado? (¿Te has encontrado con otros ejemplos en donde la falla no tiene que ver con la falta de capacidad para hacer una tarea, sino con la imposibilidad de hacerla?) 6. Cuando vas en automóvil por la carretera te mueves a través del espacio. ¿A través de qué otra cosa también te mueves? 7. En el capítulo 26 aprendimos que la luz se propaga con más lentitud en el vidrio que en el aire. ¿Esto contradice el segundo postulado de Einstein? 8. Los astrónomos ven la luz que proviene de galaxias lejanas como si se alejaran de la Tierra a rapideces mayores que el 10% de la rapidez de la luz. ¿Qué tan rápido llega esta luz a los telescopios de los astrónomos? 9. ¿La teoría especial de la relatividad permite que algo viaje más rápido que la luz? Explica por qué. 10. Cuando un haz de luz se acerca a ti, su frecuencia es mayor y su longitud de onda, menor. ¿Esto contradice el postulado de que la rapidez de la luz no cambia? Defiende tu respuesta. 11. El haz de luz de un láser se lanza hacia el espacio desde una plataforma giratoria. A cierta distancia, el haz se mueve a través del espacio más rápido que c. ¿Por qué esto no contradice la relatividad? 12. ¿Puede un haz de electrones recorrer la cara de un tubo de rayos catódicos con una rapidez mayor que la rapidez de la luz? Explica por qué. 13. Considera la rapidez del punto donde se encuentran las cuchillas de unas tijeras cuando están cerradas. Cuanto más se acerca el momento de cierre de la tijera, ese punto se mueve con más rapidez. En principio, ese punto podría tener mayor rapidez que la de la luz. Lo mismo sucede en el caso de la rapidez del punto donde un hacha se encuentra con la madera, al penetrarla casi horizontalmente. El punto de contacto se mueve más rápidamente que el hacha. De igual manera, un par de rayos láser que se cruzan y varían su dirección para volverse paralelos, producen un punto de intersección que se mueve con más rapidez que la luz. ¿Por qué esos ejemplos no contradicen la relatividad especial? 14. Si dos relámpagos cayeran exactamente en el mismo lugar precisamente a la misma hora en un marco de referencia, ¿es posible que los observadores en otros marcos de referencia vean que los relámpagos caen en distintos tiempos o en distintos lugares? 15. El evento A sucede antes que el evento B en determinado marco de referencia. ¿Cómo podría suceder el evento B antes que el evento A en otro marco de referencia? 16. Imagina que la lámpara en la nave espacial de las figuras 35.4 y 35.5 está más cerca del frente que de la parte trasera de la cabina, de manera que el observador en la nave vea que la luz llega al espejo

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Parte ocho Relatividad

delantero antes de llegar al espejo trasero. ¿Seguirá siendo posible que el observador externo vea que la luz llegue primero al espejo trasero? La rapidez de la luz es un límite de rapidez en el universo, al menos en el universo tetradimensional que comprendemos. Ninguna partícula material puede alcanzar o rebasar ese límite, aun cuando sobre ella se ejerza una fuerza continua e inextinguible. ¿Qué evidencia apoya esto? Como hay un límite superior para la rapidez de una partícula, ¿también hay un límite superior para su cantidad de movimiento? ¿Para su energía cinética? Explica por qué. La luz recorre cierta distancia en, digamos, 20,000 años. ¿Cómo es posible que un astronauta que viaje a menor rapidez que la luz vaya tan lejos en 20 años de su vida cuando la luz tarda 20,000 años en recorrerla? ¿Podría un hombre cuya expectativa de vida es de 70 años hacer un viaje redondo hasta una parte del universo a miles de años luz de distancia? Explica por qué. Un hombre que hace un viaje largo a rapideces relativistas regresa y es más joven que su hermana gemela que se quedó en casa. ¿Podría regresar antes de que naciera su hermana? Defiende tu respuesta. ¿Es posible que un hijo o una hija sean biológicamente más viejos que los padres? Explica por qué. Si estuvieras en una nave espacial que se alejara de la Tierra a una rapidez cercana a la de la luz, ¿qué cambios notarías en tu pulso? ¿En tu volumen? Explica por qué. Si estuvieras en la Tierra, vigilando a una persona en una nave espacial que se aleja de la Tierra a una rapidez cercana a la de la luz, ¿qué cambios notarías en su pulso? ¿En su volumen? Explica por qué. A causa de la contracción de la longitud, ves a las personas en una nave que pasa a tu lado como ligeramente más delgadas de lo que normalmente se ven. ¿Cómo te ve esa gente? A causa de la dilatación del tiempo, observas las manecillas del reloj de un amigo tuyo como si se movieran lentamente. ¿Cómo vería tu amigo tu reloj: que se mueve más lentamente, más rápidamente, o ninguna de las dos posibilidades? ¿La ecuación de la dilatación del tiempo demuestra que la dilatación ocurre para todas las rapideces, ya sea bajas o altas? Explica por qué. Si vivieras en un mundo donde las personas viajaran con frecuencia con rapideces cercanas a la de la luz, ¿por qué sería aventurado concertar una cita con el dentista para el próximo jueves a las 10:00 a.m.? ¿Cómo se comparan las densidades de un cuerpo medidas en reposo y en movimiento? Si los observadores estacionarios miden que la forma de un objeto que pasa frente a ellos es exacta-

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mente circular, ¿cuál es la forma del objeto de acuerdo con los observadores que viajan con él? La fórmula que relaciona la rapidez, frecuencia y longitud de las ondas electromagnéticas, c $ f*, ya se conocía antes de que se formulara la relatividad. La relatividad no cambió esa ecuación, sino le agregó una nueva propiedad. ¿Cuál es? Una luz se refleja en un espejo en movimiento. ¿En qué difiere la luz reflejada de la luz incidente y en qué es igual? Al pasar frente a ti una regla de un metro, tus mediciones indican que su cantidad de movimiento es el doble que la cantidad de movimiento clásica y que su longitud es 1 m. ¿En qué dirección apunta la regla? En el ejercicio anterior, si la regla se mueve en dirección longitudinal a ella (como una jabalina bien lanzada), ¿qué longitud medirías en ella? Si una nave espacial que avanza a gran rapidez parece encogida a la mitad de su longitud normal, ¿cómo se compara su cantidad de movimiento con la de la fórmula clásica p=mv? ¿Cómo es posible aumentar la cantidad de movimiento de una partícula en 5%, con sólo el 1% de incremento en la rapidez? El acelerador lineal de dos millas de longitud, de la Universidad Stanford en California, “parece” tener menos de un metro de longitud para los electrones que viajan por él. Explica por qué. Los electrones terminan su recorrido del acelerador de Stanford con una energía miles de veces mayor que su energía en reposo, cuando partieron. En teoría, si pudieras viajar con ellos, ¿notarías un aumento en su energía? ¿En su cantidad de movimiento? En tu marco de referencia en movimiento, ¿cuál sería la rapidez aproximada del blanco cuando estás a punto de llegar a él? Dos alfileres de seguridad son idénticos, pero uno está asegurado y el otro no; se colocan en baños ácidos idénticos. Después de haberse disuelto esos alfileres, ¿cuál será la diferencia, si es que acaso hay alguna, entre los dos baños de ácido? Un trozo de material radiactivo encerrado en un recipiente ideal, perfectamente aislante, se calienta cuando sus núcleos decaen y desprenden energía. ¿Cambia la masa del material radiactivo y del recipiente? Si es así, ¿aumenta o disminuye? Los electrones que iluminan la pantalla de un televisor normal viajan más o menos a la cuarta parte de la rapidez de la luz, y tienen aproximadamente un 3% más de energía que unos electrones hipotéticos, no relativistas, que viajen con la misma rapidez. El efecto relativista, ¿tiende a aumentar o a disminuir el cobro por la electricidad? Los muones son partículas elementales que se forman en la alta atmósfera, por las interacciones entre

Capítulo 35 Teoría de la relatividad especial

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los rayos cósmicos y los núcleos atómicos. Los muones son radiactivos y sus vidas medias promedio son de unas dos millonésimas de segundo. Aun cuando viajan casi con la rapidez de la luz, muy pocos se pueden detectar en el nivel del mar después de viajar a través de la atmósfera, al menos de acuerdo con la física clásica. Sin embargo, las mediciones de laboratorio demuestran que grandes cantidades de muones llegan a la superficie terrestre. ¿Cómo explicas este hecho? ¿Cómo se podría aplicar la idea del principio de correspondencia en otros campos que no sean la ciencia física? ¿Qué significa la ecuación E $ mc2? De acuerdo con E $ mc2, ¿cómo se compara la cantidad de energía en un kilogramo de plumas con la cantidad de energía en un kilogramo de hierro? ¿La batería completamente cargada de una linterna pesa más que la misma batería cuando está descargada? Defiende tu respuesta. Cuando observamos el universo lo vemos como era en el pasado. John Dobson, fundador del grupo San Francisco Sidewalk Astronomers, dice que ni siquiera podemos ver los dorsos de nuestras manos en este momento; que de hecho, no podemos ver nada en este momento. ¿Estás de acuerdo? Explica por qué. Una de las novedades en el futuro podrían ser los “saltos de siglos”, donde los ocupantes de naves espaciales muy rápidas salen de la Tierra durante varios años y regresan varios siglos después. ¿Cuáles son los obstáculos actuales para tales prácticas? La afirmación del filósofo Kierkegaard de que “la vida sólo se puede comprender en retrospectiva, pero se debe vivir hacia delante”, ¿es congruente con la teoría de la relatividad especial? Redacta cuatro preguntas de opción múltiple, cada una para evaluar la comprensión de tus compañeros de clase acerca de a) la dilatación del tiempo, b) la contracción de la longitud, c) la cantidad de movimiento relativista y d) E $ mc2.

Problemas Recuerda que se explicó en este capítulo que el factor gamma (#) gobierna tanto la dilatación del tiempo como la contracción de la longitud, siendo

g$

1 21 ! 1v 2"c 2 2

Cuando multiplicas el tiempo en un marco de referencia en movimiento por #, obtienes el tiempo mayor (dilatado) en tu marco de referencia fijo. Cuando divides la longitud en un marco de referencia en movimiento entre #, obtienes la longitud más corta (contraída) en tu marco fijo.

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1. Imagina una nave espacial rápida equipada con una fuente luminosa destellante. Si la frecuencia de los destellos cuando se aproxima es el doble de cuando estaba a una distancia fija, ¿en cuánto cambió el periodo (el intervalo de tiempo entre los destellos)? Ese periodo, ¿es constante para una rapidez relativa constante? ¿Y para el movimiento acelerado? Defiende tus respuestas. 2. La nave espacial Enterprise pasa frente a la Tierra al 80% de la rapidez de la luz, y manda una sonda teledirigida hacia delante a la mitad de la rapidez de la luz, según el Enterprise. ¿Cuál es la rapidez de la sonda respecto a la Tierra? 3. Supongamos que la nave Enterprise del problema anterior viaja a c con respecto a la Tierra, y que dispara una sonda teledirigida hacia delante con la rapidez c con respecto a la Enterprise misma. Aplica la ecuación de la suma relativista de velocidades, para demostrar que la rapidez de la sonda con respecto a la Tierra sigue siendo c. 4. Un pasajero de un vehículo expreso interplanetario que viaja a v $ 0.99 c toma una siesta de 5 minutos, según su reloj. ¿Cuánto duró su siesta desde tu punto de observación, en un planeta fijo? 5. Según la mecánica de Newton, la cantidad de movimiento del expreso del problema anterior es p $ mv. Según la relatividad, es p $ #mv. ¿Cómo se compara la cantidad de movimiento real del expreso que se mueve a 0.99 c con la que tendría si se calculara de acuerdo con la mecánica clásica? ¿Cómo se compara la cantidad de movimiento de un electrón que se mueve a 0.99 c con su cantidad de movimiento clásica? 6. El expreso del problema anterior mide 21 metros de largo, según los pasajeros y el conductor. ¿Cuál es su longitud, vista desde un punto de observación en un planeta fijo? 7. Si el expreso del problema 4 desacelerara hasta “sólo” el 10% de la rapidez de la luz, ¿cuánto habría durado la siesta del pasajero, desde tu punto de vista? 8. Si el conductor del expreso del problema 4 decidiera conducir a 99.99% de la rapidez de la luz, para compensar algo del tiempo perdido, ¿qué longitud del vehículo medirías desde tu puesto de observación? 9. Imagina que los taxis-cohete del futuro van por el Sistema Solar a la mitad de la rapidez de la luz. Por cada hora de viaje, determinada con un reloj en el taxi, se le paga al conductor 10 “estelares”. El sindicato de taxistas pide que la paga sea de acuerdo con el tiempo en la Tierra, y no con el tiempo en el taxi. Si se cumple esa demanda, ¿cuál será la nueva tarifa por el mismo viaje? 10. El cambio fraccionario de masa a energía en un reactor de fisión es 0.1 % aproximadamente, o 1 parte en mil. Por cada kilogramo de uranio que se fisiona, ¿cuánta energía se libera? Si la energía cuesta 3 centavos de dólar por megajoule, ¿cuánto vale esta energía?

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Capítulo 3 Movimiento rectilíneo

C A P Í T U L O

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Teoría de la relatividad general

Richard Crowe comienza su exposición sobre relatividad general con una esfera celeste.

L

a teoría de la relatividad general es “especial” porque utiliza marcos de referencia que se mueven uniformemente, es decir, que no aceleran. La teoría de la relatividad general es una nueva teoría de la gravitación, y abarca los marcos de referencia que aceleran. En la base está la idea de que los efectos de la gravitación y de la aceleración no se pueden distinguir entre sí. Einstein presentó una nueva teoría de la gravitación. Recordamos que Einstein en 1905 postuló que ninguna observación hecha dentro de una cámara cerrada puede determinar si la cámara está en reposo, o si se mueve con velocidad constante; esto es, que ninguna medición mecánica, eléctrica, óptica o de cualquier otra índole física que se pueda hacer dentro de un compartimiento cerrado en un tren que se mueve suavemente por una vía recta (o dentro de un avión que vuela en aire tranquilo, con las cortinas de las ventanillas bajadas) puede dar una información acerca de si el tren está en movimiento o en reposo (o si el avión está en el aire o estacionado en la pista). Pero si la pista no fuera lisa y recta (o si el aire estuviera en turbulencia), la situación cambiaría por completo: el movimiento uniforme se transformaría en movimiento acelerado, que se notaría con facilidad. La convicción de Einstein, de que las leyes de la naturaleza se deben expresar en la misma forma en todo marco de referencia, acelerado o no acelerado, fue la principal motivación que lo condujo a la teoría de la relatividad general.

Principio de equivalencia Mucho antes de que hubiera naves espaciales, Einstein se pudo imaginar en el interior de un vehículo, muy lejos de las influencias gravitacionales. En esa nave espacial en reposo o en movimiento uniforme, en relación con las estrellas lejanas, él y todo lo que hubiera dentro del vehículo flotarían libremente; no habría “arriba” ni “abajo”. Pero cuando se encendieran los motores del cohete y acelerara la nave, las cosas serían diferentes: se observarían fenómenos parecidos a la gravedad. La pared adyacente a los motores empujaría contra los ocupantes, y se transformaría en el piso, mientras que la pared opuesta sería el techo. Los ocupantes de la nave podrían pararse en el piso y hasta saltar. Si la aceleración de la nave fuera igual a g, los ocupantes se convencerían de que la nave no aceleraría, sino que estaría en reposo en la superficie terrestre.

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Capítulo 36 Teoría de la relatividad general

FIGURA 36.1 Nada tiene peso en el interior de una nave espacial con rapidez uniforme, alejada de influencias gravitacionales.

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Para examinar esta nueva “gravedad” en una nave en aceleración, veamos la consecuencia de dejar caer dos esferas dentro de ella, una de madera y la otra de plomo. Cuando se sueltan, continúan moviéndose de un lado a otro, con la velocidad que tenía la nave al momento de soltarlas. Si la nave se moviera con velocidad constante (aceleración cero), las esferas quedarían suspendidas en el mismo lugar, porque tanto éstas como la nave recorrerían la misma distancia en cualquier intervalo de tiempo. Sin embargo, como la nave acelera, el piso se mueve hacia arriba con más rapidez que las esferas, y el resultado es que el piso pronto las alcanza (figura 36.3). Las dos esferas, independientes de su masa, llegan al piso al mismo tiempo. Recordando la demostración de Galileo en la Torre Inclinada de Pisa, los ocupantes de la nave tenderían a atribuir sus observaciones a la fuerza de gravedad. Las dos interpretaciones de la caída de las esferas tienen igual validez, y Einstein incorporó esta equivalencia, o imposibilidad de distinguir entre gravitación y aceleración, en la base de su teoría de la relatividad general. El principio de equivalencia establece que las observaciones hechas en un marco de referencia acelerado son indistinguibles de las hechas en un campo gravitacional newtoniano. Esta equivalencia hubiera sido interesante, pero no revolucionaria, si sólo se aplicara a los fenómenos mecánicos, pero Einstein fue más allá y afirmó que el principio es válido para todos los fenómenos naturales: para fenómenos tanto ópticos como electromagnéticos.

FIGURA 36.2 Cuando la nave acelera, un ocupante en su interior siente una “gravedad”.

FIGURA 36.3 Figura interactiva

Para un observador dentro de la nave que acelera, una esfera de plomo y una de madera parecen caer juntas al soltarlas.

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Parte ocho Relatividad

b

a

FIGURA 36.4 Figura interactiva a) Un observador externo ve una esfera lanzada horizontalmente que se mueve en línea recta. Como la nave acelera hacia arriba mientras la esfera viaja horizontalmente, ésta llega a la segunda pared, en un punto debajo de la ventana. b) Según un observador en el interior, la esfera describe una trayectoria curva como si estuviera en un campo gravitacional.

Flexión de la luz por la gravedad Una esfera lanzada hacia un lado de una nave espacial estacionaria, en una región sin gravedad, seguirá una trayectoria rectilínea según tanto un observador dentro de la nave como también otro fuera de ella. Pero si la nave acelera, el piso alcanza a la pelota igual que en el ejemplo anterior. Un observador fuera de la nave sigue viendo una trayectoria rectilínea; pero un observador dentro de la nave que acelera la ve curva, una parábola (figura 36.4). Lo mismo sucede con la luz. Supón que un rayo de luz entra a la nave en dirección horizontal, por una ventanilla lateral, y pasa a través de una lámina de vidrio en la mitad de la cabina, dejando una huella visible, para después llegar a la pared opuesta; todo ello en un tiempo muy corto. El observador externo ve que el rayo entra a la ventanilla y se mueve en dirección horizontal a lo largo de una recta, con velocidad constante hacia la pared opuesta. Pero la nave espacial está acelerando hacia arriba. Durante el tiempo que tarda la luz en llegar a la lámina de vidrio, la nave subió alguna distancia, y durante el tiempo igual en que la luz continuó y llegó a la pared opuesta, la nave se movió mayor distancia que la anterior. Así, para los observadores dentro de la nave, la luz ha seguido una trayectoria que se curva hacia abajo (figura 36.5). En este marco de referencia en aceleración, el rayo de luz se desvía hacia abajo, hacia el piso, de igual manera que se desvía la esfera lanzada como en la figura 36.4. La curvatura de la esfera, con movimiento lento, es muy pronunciada, pero si fuera lanzada horizontalmente a una velocidad igual a la de la luz, su curvatura coincidiría con la curvatura del rayo de luz. Un observador dentro de la nave siente “gravedad” por la aceleración. No le sorprende la desviación de la esfera lanzada, pero podría llevarse una enorme sorpresa con la deflexión de la luz. De acuerdo con el principio de equivalencia, si la luz se desvía por la aceleración, debe desviarse por la gravedad. Pero, ¿cómo puede la gravedad desviar la luz? De acuerdo con la física de Newton, la gravitación es la

Capítulo 36 Teoría de la relatividad general

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Punto opuesto a la ventanilla Desviación

Lámina de vidrio

a

La luz llega aquí

b

FIGURA 36.5 a) Un observador externo ve que la luz recorre una trayectoria horizontal, en línea recta; pero como la esfera de la figura anterior llega a la pared opuesta abajo de un punto opuesto a la ventanilla. b) Para un observador interno, la luz se desvía como si respondiera a un campo gravitacional.

FIGURA 36.6 La trayectoria de un haz luminoso es idéntica a la trayectoria que tendría una pelota de béisbol si se pudiera “lanzar” con la rapidez de la luz. Las dos trayectorias de desviarían por igual en un campo gravitatorio uniforme.

A B

FIGURA 36.7 La luz de las estrellas se desvía cuando pasa rozando el Sol. El punto A define la posición aparente, y el punto B indica la posición real.

interacción entre masas; una esfera en movimiento se desvía por la interacción entre su masa y la masa de la Tierra. Pero, ¿y la luz, que es energía pura y no tiene masa? La respuesta de Einstein fue que la luz quizá no tenga masa, pero sí tiene energía. La gravedad tira de la energía de la luz, porque energía equivale a masa. Ésta fue la primera respuesta de Einstein antes de terminar de desarrollar su teoría de la relatividad general. Después presentó una explicación más profunda: que la luz se desvía al propagarse por una geometría de espacio-tiempo que está flexionada. Después en este capítulo veremos que la presencia de la masa provoca la flexión o torcimiento del espacio-tiempo. La masa de la Tierra es demasiado pequeña como para torcer en forma apreciable el espacio-tiempo que la rodea, que es prácticamente plano; así, cualquier flexión de la luz en nuestra cercanía inmediata no se detecta de ordinario. Sin embargo, cerca de cuerpos con masa mucho mayor que la de la Tierra, la flexión de la luz es suficientemente alta como para detectarse. Einstein predijo que la luz de las estrellas que pase cerca del Sol sería desviada un ángulo de 1.75 segundos de arco, lo suficientemente grande como para medirse. Aunque las estrellas no son visibles cuando el Sol está en el firmamento, la desviación de su luz se puede observar durante un eclipse solar. (Desde las mediciones iniciales hechas durante un eclipse total en 1919, medir tal desviación se ha vuelto práctica normal en cada eclipse solar total.) Una fotografía tomada del firmamento oscurecido en torno al Sol eclipsado muestra la presencia de las estrellas brillantes cercanas a él. Las posiciones de las estrellas se comparan con las de otras fotografías de la misma zona tomadas en otras ocasiones, durante la noche, con el mismo telescopio. En todos los casos, la desviación de la luz de las estrellas ha respaldado la predicción de Einstein (figura 36.7). También la luz se desvía en el campo gravitacional terrestre, pero no tanto. No lo notamos porque el efecto es diminuto. Por ejemplo, en un campo gravitacional constante de 1 g, un rayo dirigido horizontalmente “caerá” una distancia vertical de 4.9 metros en 1 segundo (igual que una pelota de béisbol); pero recorrerá una distancia horizontal de 300,000 kilómetros en ese segundo. Apenas se notará su desviación estando cerca del punto de partida. Pero si la luz recorriera 300,000 kilómetros con reflexiones múltiples entre espejos paralelos ideales, el efecto sería muy

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Parte ocho Relatividad

FIGURA 36.8 a) Si una pelota se lanza horizontalmente entre un par de paredes verticales paralelas, rebotará de un lado a otro y caerá una distancia vertical de 4.9 m en 1 segundo. b) Si un rayo de luz horizontal se mueve entre un par de espejos perfectamente reflectores, ideales, en un campo gravitacional uniforme, se reflejará una y otra vez y caerá una distancia vertical de 4.9 m en 1 s. La cantidad de reflexiones se representa muy simplificada en el diagrama; por ejemplo, si los espejos estuvieran a una distancia de 300 km, habría 1,000 reflexiones en 1 s.

Paredes

Espejos perfectamente reflectores

Láser

4.9 m

a

b

notable (figura 36.8). (Hacer esta demostración sería un gran proyecto casero para obtener una calificación extra, por ejemplo, ganarse un doctorado.) EXAMÍNATE 1. ¡Caramba! Antes aprendimos que el tirón de la gravedad es una interacción entre masas. Y también aprendimos que la luz no tiene masa. Ahora nos dicen que la gravedad puede desviar la luz. ¿No es una contradicción? 2. ¿Por qué no notamos desviaciones de la luz en nuestro ambiente cotidiano?

Gravedad y tiempo: corrimiento gravitacional al rojo Según la teoría de la relatividad general de Einstein, la gravitación hace que el tiempo transcurra más despacio. Si te mueves en la dirección que actúa la fuerza gravitacional, desde el techo de un rascacielos hasta la calle, por ejemplo, o desde la superficie terrestre hasta el fondo de un pozo, el tiempo transcurrirá más despacio en el punto donde llegas que en el punto de donde saliste. Se puede comprender el retraso de los relojes debido a la gravedad, si se aplica el principio de la equivalencia y de la dilatación del tiempo a un marco de referencia acelerado. Supón que nuestro marco de referencia acelerado es un disco giratorio grande. Imagina también que se mide el tiempo con tres relojes idénticos, uno en el centro del disco, otro en la orilla del disco y el tercero en reposo en el piso, en un lugar cercano (figura 36.9). De acuerdo con las leyes de la relatividad especial sabemos que el reloj que está en el centro, como no se mueve con respecto al piso, debería caminar al parejo del que está en el suelo, pero no al parejo del que está en la orilla. El reloj de la orilla está en movimiento con respecto al piso y, en consecuencia, se debe ver que se retrasa respecto al reloj que está en el piso, y en consecuencia que se retrasa con respecto al que está en el centro del disco. Aunque los relojes del disco está fijos a un mismo marco de referencia, no avanzan sincronizados; el reloj de la periferia camina más lento que el del centro. COMPRUEBA TUS RESPUES TAS 1. No hay contradicción cuando se comprende la equivalencia entre masa y energía. Es cierto que la luz no tiene masa, pero sí tiene energía. El hecho que la gravedad desvíe la luz es prueba de que la gravedad tira de la energía de la luz. En realidad, ¡la energía equivale a la masa! 2. Sólo porque la luz se propaga tan rápido; así como en una distancia corta no notamos que la trayectoria de una bala es curva, no notamos la curvatura de un rayo de luz

Capítulo 36 Teoría de la relatividad general FIGURA 36.9 Los relojes 1 y 2 están en un disco giratorio, y el reloj 3 está en reposo en un marco de referencia inicial. Los relojes 1 y 3 caminan iguales, mientras que el reloj 2 se retrasa. Desde el punto de vista de un observador en el reloj 3, el reloj 2 se retrasa, porque está en movimiento. Desde el punto de vista del observador en el reloj 1, el reloj 2 se retrasa porque está en un campo de fuerzas centrífugas más intenso.

La astrofísica va más allá de describir cómo se ve el cielo al explicarnos por qué es y se ve así. ¡EUREKA!

Reloj 1

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Reloj 2

Reloj 3

Un observador en el disco rotatorio, y uno en reposo en el piso, verán la misma diferencia en las marchas de los relojes, el del centro y el del piso con respecto al de la orilla. Sin embargo, las interpretaciones de la diferencia, según los dos observadores, no son iguales. Para el observador en el piso, el retraso del reloj de la orilla se debe a su movimiento. Pero para un observador sobre el disco giratorio, los relojes del disco no están en movimiento uno del otro; en vez de ello hay una fuerza centrífuga que actúa sobre el reloj en la orilla, y sobre el del centro no actúa fuerza alguna. Es probable que el observador sobre el disco llegue a la conclusión de que la fuerza centrífuga tiene algo que ver con el retraso del tiempo. Observa que al avanzar en dirección de la fuerza centrífuga, alejándose del centro y acercándose al borde del disco, el tiempo transcurre más lento. Al aplicar el principio de equivalencia, que dice que cualquier efecto de la aceleración se puede asemejar con el de la gravedad, se debe llegar a la conclusión de que al movernos en la dirección en la que actúa una fuerza gravitacional, también se atrasará el tiempo. Este retraso se aplicará a todos los “relojes”, ya sean físicos, químicos o biológicos. Un ejecutivo que trabaje en la planta baja de un rascacielos envejecerá con más lentitud que su hermana gemela que trabaje en el último piso. La diferencia es muy pequeña, de tan sólo algunas millonésimas de segundo por década, porque de acuerdo con los patrones cósmicos, la distancia es pequeña y la gravitación es débil. Para mayores diferencias de gravitación, por ejemplo entre la superficie solar y la terrestre, las diferencias en el tiempo son mayores (aunque todavía diminutas). Un reloj en la superficie solar debe retrasarse en una cantidad medible respecto a uno en la superficie terrestre. Años antes de que Einstein terminara la teoría de la relatividad general, sugirió una forma de hacer la medición, cuando presentó su principio de equivalencia en 1907. Todos los átomos emiten luz a frecuencias específicas características de la vibración de los electrones dentro del átomo. En consecuencia, cada átomo es un “reloj”, y un retraso de la vibración electrónica indica el retraso de esos relojes. Un átomo en el Sol debe emitir luz de menor frecuencia (vibración más lenta) que la emitida por el mismo elemento en la Tierra. Como la luz roja está en el extremo de las bajas frecuencias del espectro visible, una disminución de la frecuencia desplaza el color hacia el rojo. A este efecto se le llama corrimiento gravitacional al rojo. Se observa en la luz solar, pero diversos efectos perturbadores evitan las mediciones exactas del corrimiento, el cual es diminuto. No fue sino hasta 1960 que se aplicó una técnica totalmente nueva, usando rayos gamma de átomos radiactivos, que al permitir las mediciones increíblemente precisas, se observó que se apegaban y confirmaban la dilatación gravitacional del tiempo entre los pisos superiores e inferiores de un edificio de los laboratorios en la Universidad de Harvard.1 1 A finales de la década de 1950, poco después de la muerte de Einstein, el físico alemán Rudolph Mössbauer descubrió un efecto importante en la física nuclear, que permite tener un método extremadamente exacto usando núcleos atómicos como relojes. El efecto Mössbauer, por el cual su descubridor recibió el Premio Nobel, tiene muchas aplicaciones prácticas. En 1959, Robert Pound y Glen Rebka, de la Universidad de Harvard, concibieron una aplicación que era una prueba de la relatividad general, y llevaron a cabo este experimento que la confirmó.

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Parte ocho Relatividad

FIGURA 36.10 Figura interactiva

Si te acercas desde un punto lejano hasta la superficie terrestre, te mueves en la misma dirección de la fuerza gravitacional: hacia un lugar donde los relojes caminan lentos. Un reloj en la superficie terrestre camina más despacio que otro más alejado.

El sistema de posicionamiento global (SPG) debe tomar en cuenta el efecto de la gravedad además de la rapidez de los relojes atómicos en orbita. A causa de la gravedad, los relojes funcionan más rápido en órbita. A causa de la rapidez, funcionan lentamente. Los efectos varían durante cada órbita elíptica y no se anulan. Cuando tu unidad SPG te indique exactamente dónde estés, dale las gracias a Einstein. ¡EUREKA!

Así, las mediciones del tiempo no sólo dependen del movimiento relativo, como vimos en el capítulo anterior, sino también de la gravedad. En la relatividad especial, la dilatación del tiempo depende de la rapidez de un marco de referencia en relación con otro. En la relatividad general, el corrimiento al rojo gravitacional depende de la localización de un punto sobre un campo gravitacional en relación con otro. Visto desde la Tierra, un reloj se atrasará en la superficie de una estrella respecto a uno en la Tierra. Si la estrella se contrae, su superficie se acerca al centro y la gravedad es todavía mayor, lo que causa que el tiempo sobre su superficie transcurra todavía con más lentitud. Mediríamos mayores intervalos entre los tic-tac del reloj en la estrella. Pero si hiciéramos nuestras mediciones en la superficie misma de la estrella, no notaríamos nada raro en esos tic-tac. Por ejemplo, imagina que un voluntario indestructible se para en la superficie de una estrella gigante que comienza a colapsarse. Nosotros, como observadores externos, notaremos un alentamiento progresivo del tiempo en el reloj del voluntario, a medida que la superficie de la estrella se contrae y pasa a regiones de gravedad más intensa. El voluntario mismo, sin embargo, no nota diferencia alguna en su propio tiempo. Ve los eventos dentro de su propio marco de referencia y no nota nada raro. A medida de que sigue la contracción de la estrella y se transforma en un agujero negro, y el tiempo avanza con normalidad según el voluntario, nosotros, en el exterior, percibimos que el tiempo en el reloj del voluntario tiende a detenerse por completo. Lo vemos congelado en el tiempo, con una duración infinita entre los tic-tac de su reloj, o los latidos de su corazón. Desde nuestra perspectiva, su tiempo se detiene por completo. El corrimiento gravitacional al rojo, en vez de ser un efecto diminuto, es lo que domina. Es posible entender el corrimiento gravitacional hacia el rojo desde otro punto de vista: en términos de la fuerza gravitacional que actúa sobre los fotones. Cuando un fotón sale despedido de la superficie de una estrella, es “retardado” por la gravedad de la estrella. Pierde energía (pero no rapidez). Como la frecuencia de un fotón es proporcional a su energía, la frecuencia disminuye a medida que su energía disminuye. Al observar el fotón vemos que tiene menor frecuencia que si fuera emitido por una fuente menos masiva. Su tiempo se ha prolongado, de igual modo que se prolonga el tic-tac de un reloj. En el caso de un agujero negro, un fotón no puede escapar. Pierde toda su energía y toda su frecuencia en el intento. Su frecuencia se corre gravitacionalmente más allá del rojo, hasta cero, y coincide con nuestra observación que el ritmo del paso del tiempo en una estrella en colapso tiende a cero. Es importante notar la naturaleza relativista del tiempo tanto en la relatividad especial como en la relatividad general. En ambas teorías no hay forma de poder prolongar nuestra propia existencia. Otros que se muevan con distintas rapideces o en diferentes campos gravitacionales podrían atribuirte más longevidad, pero la longevidad vista desde su marco de referencia, nunca desde tu marco de referencia. Los cambios en el tiempo siempre se atribuyen “al otro”. EXAMÍNATE ¿Una persona que viva en la azotea de un rascacielos envejecerá más o menos que una que vive al nivel de la calle?

COMPRUEBA TU RESPUES TA Más; al ir de la azotea del rascacielos hasta la calle se va en dirección de la fuerza gravitacional, y es ir hacia un lugar donde el tiempo corre con más lentitud.

Capítulo 36 Teoría de la relatividad general

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Gravedad y espacio: movimiento de Mercurio

FIGURA 36.11 Una órbita elíptica con precesión.

Una hipótesis incorrecta, pero tratada de la forma adecuada, algunas veces produce más información útil nueva que la observación sin guía. ¡EUREKA!

De acuerdo con la teoría de la relatividad especial, sabemos que tanto las mediciones de espacio como de tiempo sufren transformaciones cuando interviene el movimiento. De igual manera sucede con la teoría general: las mediciones de espacio son diferentes en distintos campos gravitacionales; por ejemplo, cerca y lejos del Sol. Los planetas describen órbitas elípticas en torno al Sol y las estrellas, y se alejan periódicamente del Sol y se acercan a él. Einstein dirigió su atención a los campos gravitacionales variables que sienten los planetas en órbita en torno al Sol, y calculó que siendo elípticas esas órbitas, deberían tener precesión (figura 36.11), en forma independiente de la influencia newtoniana de los demás planetas. Cerca del Sol, donde es máximo el efecto de la gravitación sobre el tiempo, la rapidez de precesión debería ser máxima, y lejos del Sol, donde el tiempo se afecta menos, toda desviación respecto a la mecánica newtoniana debería ser prácticamente indetectable. Mercurio, que es el planeta más cercano al Sol, está en la parte de mayor intensidad del campo gravitacional solar. Si la órbita de algún planeta mostrara una precesión medible, debería ser la de Mercurio, y el hecho de que la órbita de Mercurio sí tenga precesión, independiente de la debida a los efectos de los demás planetas, había sido un misterio para los astrónomos desde principios del siglo XIX. Las mediciones cuidadosas indicaban que la órbita de Mercurio precesa unos 574 segundos de arco por siglo. Las perturbaciones debidas a los demás planetas se calcularon como explicativas de toda precesión observada, excepto de 43 segundos por siglo. Aun después de haber aplicado todas las correcciones conocidas, debidas a perturbaciones posibles por otros planetas, los cálculos de los físicos y astrónomos no pudieron explicar los 43 segundos adicionales. O Venus era mucho más masivo, o había otro planeta invisible (llamado Vulcano), que tiraba de Mercurio. Y entonces vino la explicación de Einstein, cuyas ecuaciones de campo de la relatividad general, al aplicarse a la órbita de Mercurio, predicen ¡43 segundos más de arco por siglo! Se había resuelto el misterio de la órbita de Mercurio, y una nueva teoría de la gravedad había merecido el reconocimiento. La ley de Newton de la gravitación, que había sido un pilar inamovible de la ciencia durante más de dos siglos, resultó ser un caso límite especial de la teoría más general de Einstein. Si los campos gravitacionales son comparativamente débiles, sucede que la ley de Newton es una buena aproximación según la nueva ley, la suficiente como para que sea más fácil trabajar matemáticamente con la ley de Newton, y que sea la que más apliquen los científicos en la actualidad, excepto en casos donde intervengan campos gravitacionales enormes.

Gravedad, espacio y una nueva geometría Entenderemos por qué las mediciones del espacio se alteran en un campo gravitacional si de nuevo examinamos el marco de referencia acelerado de nuestro disco giratorio. Imagina que medimos la circunferencia del borde con una regla. Recuerda la contracción de Lorentz, de la relatividad especial. La regla parecerá contraída a un observador que no se mueva con ella; mientras que una regla idéntica que se mueva con mucho menor rapidez cerca del centro casi no será afectada (figura 36.12). Todas las mediciones de distancia a lo largo de un radio del disco rotatorio no deben afectarse en lo más mínimo debido al movimiento, porque éste es perpendicular al radio. Como sólo se afectan las mediciones de distancia paralelas a la circunferencia, o en torno a ella, la relación entre circunfe-

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Parte ocho Relatividad

FIGURA 36.12 Una regla colocada en la dirección del borde del disco giratorio parece contraída; mientras que otra en el centro, que se mueve con más lentitud, no se contrae tanto. Una regla colocada a lo largo de un radio no se contrae. Cuando el disco no gira, C/D " !, pero cuando gira, C/D no es igual a !, y ya no es válida la geometría euclidiana. Sucede lo mismo en un campo gravitacional.

El modelo estándar de la cosmología supone un Universo plano dominado por la materia y la energía negras que se formó por la inflación rápida de sus orígenes densos y calientes. ¡EUREKA!

rencia y diámetro, cuando el disco gire, ya no será la constate fija ! (3.14159...), sino que será una variable que depende de la rapidez angular y del diámetro del disco. Según el principio de equivalencia, el disco rotatorio equivale a un disco estacionario con un fuerte campo gravitacional cerca de la orilla, y un campo gravitacional cada vez menor hacia el centro. Entonces, las mediciones de la distancia dependerán de la intensidad del campo gravitacional (o con más exactitud, para los entusiastas gravitacionales, del potencial gravitacional), aun cuando no haya movimiento relativo. La gravedad hace que el espacio sea no euclidiano: las leyes de la geometría euclidiana que hemos aprendido ya no son válidas al aplicarlas a objetos en presencia de campos gravitacionales intensos. Las conocidas reglas de la geometría euclidiana son propias de diversas figuras que se pueden trazar sobre una superficie plana. La relación de la circunferencia de un círculo entre su diámetro es igual a !; todos los ángulos de un triángulo suman 180°; la distancia más corta entre dos puntos es una recta. Las reglas de la geometría euclidiana son válidas en un espacio plano, pero si trazas las figuras sobre una superficie curva, como la de una esfera o un objeto en forma de silla de montar, ya no valen las reglas euclidianas (figura 36.13). Si mides los ángulos de un triángulo en el espacio y los sumas, dirás que el espacio es plano si la suma es 180°; que es esférico o con curvatura positiva si la suma es mayor que 180°; y que parece silla de montar, o tiene curvatura negativa si la suma es menor que 180°. Desde luego que las líneas que forman los triángulos de la figura 36.13 no son “rectas”, desde una perspectiva tridimensional, pero son “las más rectas”, o las distancias más cortas entre dos puntos, si nos confinamos a la superficie curva. A esas líneas de distancia mínima se les llama líneas geodésicas, o simplemente geodésicas. La trayectoria de un rayo de luz describe una geodésica. Imagina que tres personas, una en la Tierra, otra en Venus y una tercera en Marte, midieran los ángulos del triángulo formado por los rayos de luz que viajan entre esos tres planetas. Al pasar por el Sol, los rayos se desvían, y resulta que la suma de esos ángulos es mayor que 180° (figura 36.14). Así, el espacio en torno al Sol tiene curvatura positiva. Los planetas que giran en torno al Sol viajan a lo largo de geodésica tetradimensional en este espacio-tiempo con curvatura positiva. Los objetos en caída libre, los satélites y los rayos de luz, todos se mueven a lo largo de geodésicas en el espacio-tiempo tetradimensional. Desde luego, partes “pequeñas” del Universo tienen curvatura. Pero, ¿es posible que todo el Universo tenga una curvatura general? Un estudio reciente de la radiación a baja temperatura en el espacio que es un residuo del Big Bang sugiere que el Universo es plano. Si tuviera sus extremos abiertos, como la silla de montar de la figura 36.13c, se prolongaría sin límites y los rayos de luz que empezaran paralelos se apartarían. Si estuviera cerrado como la superficie esférica de la figura

a b c FIGURA 36.13 La suma de los ángulos de un triángulo depende de en qué superficie se trace el triángulo. a) En una superficie plana, la suma es 180°. b) En una superficie esférica, la suma es mayor que 180°. c) En una superficie como de silla de montar, la suma es menor que 180°.

Capítulo 36 Teoría de la relatividad general

FIGURA 36.14 Los rayos de luz que unen los tres planetas forman un triángulo. Como la luz que pasa cerca del Sol se flexiona, la suma de los ángulos del triángulo que resulta es mayor que 180°.

Una de las predicciones de la relatividad general era una deformación sutil del espacio-tiempo alrededor de un objeto masivo que gira. Una prueba para este efecto de “arrastre del marco” serían diminutos cambios predecibles en la orientación de las órbitas de un satélite y de un giroscopio que orbita. En 2004 los investigadores encontraron evidencia confirmatoria. ¡EUREKA!

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FIGURA 36.15 La geometría de la superficie curva de la Tierra es distinta de la geometría euclidiana del espacio plano. Observa que en el globo de la izquierda la suma de los ángulos de un triángulo equilátero, cuando cada lado es igual a 1/4 de la circunferencia de la Tierra, es claramente mayor que 180°. El globo de la derecha muestra que la circunferencia de la Tierra sólo es dos veces el diámetro en vez de 3.14 veces ese diámetro. La geometría euclidiana tampoco es válida en un espacio curvo.

36.13b, los rayos de luz que empezaran paralelos al final de cuentas se cruzarían y darían vuelta para regresar a su punto de inicio. En tal Universo, podrías ver infinitamente hacia el espacio con un telescopio ideal, hacia el infinito, y verías ¡tu propia nuca! (Suponiendo que esperaras pacientemente durante los suficientes miles de millones de años.) En nuestro Universo plano real, los rayos paralelos de luz nunca regresarán y se mantendrán paralelos. Así, la relatividad general necesita una nueva geometría: más que ser el espacio una región de la nada, es un medio flexible que se puede doblar y torcer. La forma en que se dobla y se tuerce describe un campo gravitacional. La relatividad general es una geometría del espacio-tiempo tetradimensional curvo.2 Las matemáticas que se usan en esta geometría son demasiado complejas como para presentarlas aquí. Sin embargo, lo esencial es que la presencia de la masa produce la curvatura o deformación del espacio-tiempo. Por la misma razón, una curvatura del espacio-tiempo se revela como una masa. En vez de visualizar fuerzas de gravitación entre masas, se abandona por completo la noción de fuerza y se imaginan masas que en su movimiento son dirigidas por la distorsión del espacio-tiempo que ocupan. Son las elevaciones, depresiones y torcimientos del espacio-tiempo geométrico los que son fenómenos de la gravedad. No podemos visualizar las elevaciones ni las depresiones tetradimensionales en el espacio-tiempo, porque somos seres tridimensionales. Podemos tener una idea de ese torcimiento imaginando una analogía simplificada en dos dimensiones: una esfera pesada que descansa a la mitad de un colchón de agua. Cuanto más masiva sea la esfera, más penetra o tuerce la superficie bidimensional. Una FIGURA 36.16 Una analogía bidimensional del espaciotiempo tetradimensional distorsionado. El espacio-tiempo cercano a una estrella se curva en una forma parecida a la superficie de una cama de agua sobre la que descansa una esfera pesada. 2 No te desanimes si no puedes visualizar el espacio-tiempo tetradimensional. A menudo, el mismo Einstein le decía a sus amigos: “No lo intenten. Yo tampoco podría hacerlo.” ¡Quizá no somos tan diferentes a los grandes pensadores de la época de Galileo que no pudieron imaginarse una Tierra en movimiento!

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Parte ocho Relatividad

canica que rueda por el colchón, alejada de la esfera, seguirá una trayectoria relativamente rectilínea, mientras que otra que rueda cerca de la esfera se desviará al atravesar la superficie deformada. Si la curva se cierra en sí misma, su forma recuerda a una elipse. Los planetas en órbita en torno al Sol recorren, en forma parecida, una geodésica tetradimensional en el espacio-tiempo deformado que rodea el Sol.

Ondas gravitacionales

El Universo está en expansión, llevándose a las galaxias consigo. La luz visible en los orígenes del Universo se expandió hasta ser ahora radiación de microonda de longitud relativamente larga. ¡EUREKA!

Todo objeto tiene masa y, en consecuencia, deforma al espacio-tiempo que lo rodea. Cuando un objeto sufre un cambio en su movimiento, la deformación a su alrededor se mueve, para reajustarse a la nueva posición. Esos ajustes producen ondulaciones en la geometría general del espacio-tiempo. Es algo parecido a mover una esfera que descanse sobre la superficie de un colchón de agua. Una perturbación se propaga por la superficie del colchón en forma de ondulaciones; si se mueve una esfera más masiva, se provoca una mayor perturbación, y se producen ondas más pronunciadas. Es igual en el espacio-tiempo del Universo. Se propagan ondas similares, alejándose de una fuente gravitacional con la rapidez de la luz, y son las ondas gravitacionales. Todo objeto que acelera produce una onda gravitacional. En general, cuanto más masivo sea el objeto y mayor sea su aceleración, la onda gravitacional producida será más intensa. Pero hasta las ondas más fuertes, producidas por los eventos astronómicos ordinarios, son extremadamente débiles, las más débiles que se conocen en la naturaleza. Por ejemplo, las ondas gravitacionales que emite una carga vibratoria son billones de billones de veces más débiles que las ondas electromagnéticas que emite esa carga. Es enormemente difícil detectar las ondas gravitacionales, y hasta la fecha no se ha confirmado su detección. Se espera que unos detectores recién terminados detecten ondas gravitacionales producidas por las supernovas, que pueden irradiar hasta el 0.1% de su masa en forma de ondas gravitacionales, y quizá las producidas por eventos todavía más cataclísmicos, como choques entre los agujeros negros. Aun con lo débiles que son, las ondas gravitacionales están en todas partes. Agita tu mano y producirás una onda gravitacional. No será muy fuerte, pero existe.

Gravitación según Newton y según Einstein Cuando Einstein formuló su nueva teoría de la gravitación, se dio cuenta de que si debía ser válida, sus ecuaciones de campo se deberían reducir a las ecuaciones de Newton para la gravitación en el límite de un campo débil. Demostró que la ley de Newton de la gravitación es un caso especial de la más amplia teoría de la relatividad. La ley de Newton de la gravitación sigue siendo una descripción exacta de la mayoría de las interacciones entre los cuerpos del sistema solar y más allá. De acuerdo con la ley de Newton, se pueden calcular las órbitas de cometas y asteroides, y hasta predecir la existencia de planetas desconocidos. En la actualidad, incluso al calcular las trayectorias de las sondas espaciales a la Luna y los planetas, sólo se usa la teoría ordinaria de Newton. Eso se debe a que el campo gravitacional de esos cuerpos es muy débil y, desde el punto de vista de la relatividad general, el espacio-tiempo que los rodea es esencialmente plano. Pero para regiones de gravitación más intensa, donde el espacio-tiempo se curva en forma más apreciable, la teoría newtoniana no puede explicar en forma adecuada diver-

Capítulo 36 Teoría de la relatividad general

Si el primer curso de física de un estudiante es disfrutable, la disciplina de un segundo curso será agradable y significativa. ¡EUREKA!

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sos fenómenos, como la precesión de la órbita de Mercurio al pasar cerca del Sol y, en el caso de campos más intensos, el corrimiento gravitacional hacia el rojo y otras distorsiones aparentes en las mediciones de espacio y tiempo. Esas distorsiones llegan a su límite en el caso de una estrella que se colapsa y forma un agujero negro, donde el espacio-tiempo se dobla por completo sobre sí mismo. Sólo la gravitación de Einstein llega hasta este ámbito. En el capítulo 32 vimos que la física newtoniana se relaciona, por un lado, con la teoría cuántica, cuyo ámbito es lo muy ligero y lo muy pequeño: partículas diminutas y átomos. Y ahora hemos visto que la física newtoniana se relaciona por otro lado con la teoría de la relatividad, cuyo ámbito es lo muy masivo y lo muy grande. Ya no vemos al mundo como lo veían los egipcios, los griegos o los chinos en la antigüedad. No es probable que las personas en el futuro vean al Universo como lo vemos nosotros. Nuestra perspectiva del Universo puede ser bastante limitada, y quizás esté plagada de errores; pero con toda seguridad es más clara que la de quienes nos precedieron. La perspectiva actual se desarrolló con los hallazgos de Copérnico, Galileo, Newton y, más recientemente, Einstein; sus hallazgos fueron combatidos, con frecuencia porque disminuían la importancia de los seres humanos en el Universo. En el pasado, ser importante equivalía a sobresalir de la naturaleza, apartarse de ella. Desde entonces hemos ampliado nuestra perspectiva, con enormes esfuerzos, penosas observaciones y un deseo inquebrantable de entender lo que nos rodea. Vista desde nuestra comprensión actual del Universo, encontramos nuestra importancia, que es en mucho una parte de la naturaleza, y no algo aparte. Somos la parte de la naturaleza que cada vez tiene más conciencia de sí misma.

Resumen de términos Corrimiento gravitacional al rojo Alargamiento de las ondas de la radiación electromagnética que escapan de un objeto masivo. Geodésica Distancia más corta entre dos puntos, en diversos modelos de espacio. Onda gravitacional Perturbación gravitacional generada por una masa acelerada, que se propaga por el espacio-tiempo. Principio de equivalencia Las observaciones hechas en un marco de referencia que acelera son indistinguibles de las observaciones hechas en un campo gravitacional. Así, todo efecto producido por la gravedad se puede copiar en un marco de referencia en aceleración. Teoría de la relatividad general Segunda de las teorías de la relatividad de Einstein, que estudia los efectos de la gravedad sobre el espacio y el tiempo.

Lecturas sugeridas Einstein, Albert. Relativity: The Special and General Theory. Nueva York: Crown, 1961. (Publicado originalmente en 1916.) Hawking, Stephen W. A Brief Story of Time: From the Big Bang to Black Holes. Nueva York: Bantam Books, 1988.

Thorne, Kip S. Black Holes and Time Warps, Einstein’s Outrageous Legacy. Nueva York: Norton, 1994. Explicación accesible de un experto acerca de agujeros negros, estrellas de neutrones, ondas gravitacionales, máquinas del tiempo y otras cuestiones más.

Preguntas de repaso 1. ¿Cuál es la diferencia principal entre la teoría de la relatividad especial y la teoría de la relatividad general?

Principio de equivalencia 2. En una nave espacial que acelere a g, lejos de la gravedad terrestre, ¿cómo se compara el movimiento de una pelota dejada caer con el de una pelota dejada caer en la Tierra? 3. Exactamente, ¿qué es lo equivalente en el principio de equivalencia?

Flexión de la luz por la gravedad 4. Compara las desviaciones de pelotas de béisbol y fotones debidas a un campo gravitacional. 5. ¿Por qué debe estar eclipsado el Sol para medir la desviación de la luz de las estrellas que pase cerca de él?

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Parte ocho Relatividad

Gravedad y tiempo: corrimiento gravitacional al rojo 6. ¿Qué efecto tiene una gravitación intensa sobre las mediciones del tiempo? 7. ¿Qué camina más lento, un reloj que está en la parte más alta de la Torre Sears o uno en la orilla del Lago Michigan? 8. ¿Cómo se compara la frecuencia de determinada línea espectral observada en la luz del Sol, con la frecuencia de esa raya observada en una fuente sobre la Tierra? 9. Si vemos los eventos que suceden en una estrella que se esté colapsando hasta transformarse en un agujero negro, ¿vemos que el tiempo transcurre más aprisa o más lento?

Gravedad y espacio: movimiento de Mercurio 10. De todos los planetas, ¿por qué Mercurio es el mejor candidato para encontrar la prueba de la relación entre gravitación y espacio? 11. ¿En qué clase de campo gravitacional son válidas las leyes de Newton?

Gravedad, espacio y una nueva geometría 12. Una regla colocada en la circunferencia de un disco giratorio parecerá contraída, pero no si se orienta a lo largo de un radio. Explica por qué. 13. La relación de circunferencia entre diámetro para círculos trazados en un disco es igual a p cuando el disco está en reposo, pero no cuando el disco está girando. Explica por qué. 14. ¿Qué efecto tiene la masa sobre el espacio-tiempo?

Ondas gravitacionales 15. ¿Qué sucede en el espacio vecino cuando un objeto masivo sufre un cambio en su movimiento? 16. Una estrella a 10 años luz de distancia explota y produce ondas gravitacionales. ¿Cuánto tardarán esas ondas en llegar a la Tierra? 17. ¿Por qué son tan difíciles de detectar las ondas gravitacionales?

Gravitación según Newton y según Einstein 18. ¿La teoría de la gravitación de Einstein invalida la teoría de la gravitación de Newton? Explica por qué. 19. ¿La física newtoniana es adecuada para llevar un cohete a la Luna? 20. ¿Cómo se relaciona la física de Newton con la teoría cuántica y con la teoría de la relatividad?

Ejercicios 1. ¿Qué es diferente acerca de los marcos de referencia que se aplican a la relatividad especial y a la relatividad general?

2. Una astronauta despierta en su cápsula cerrada, que está descansando en la Luna. ¿Puede ella decir si su peso se debe a la gravitación o a un movimiento acelerado? Explica por qué. 3. Te despiertas por la noche en una litera del tren, y te ves impulsado hacia un costado del mismo. Naturalmente, supones que el tren está tomando una curva, pero te inquieta no escuchar ruidos de movimiento. Describe otra explicación posible que sólo implique la gravedad, y no la aceleración de tu marco de referencia. 4. Como la gravedad puede reproducir los efectos de la aceleración, también puede equilibrar tales efectos. Describe cómo y cuándo un astronauta quizá no sienta la fuerza neta (medida por una báscula) porque se anulan los efectos de la gravedad y de la aceleración. 5. A un astronauta se le proporciona “gravedad” cuando se activan los motores de la nave para acelerarla. Para ello se requiere usar combustible. ¿Habría forma de acelerar y proporcionar “gravedad” sin uso continuo de combustible? Explica cómo. (Tal vez te ayuden las ideas del capítulo 8.) 6. En una nave espacial lejos del alcance de la gravedad, bajo qué condiciones sentirías como si la nave estuviera estacionaria en la superficie terrestre? 7. En su famosa novela De la Tierra a la Luna, Julio Verne afirmó que los ocupantes de una nave espacial cambiarían su sentido de arriba y abajo, cuando la nave cruzara el punto en que la gravitación lunar se hiciera más grande que la de la Tierra. ¿Eso es correcto? Defiende tu respuesta. 8. ¿Qué sucede con la distancia entre dos personas si ambas caminan hacia el norte al mismo ritmo, partiendo de dos lugares distintos en el ecuador terrestre? Y sólo por diversión, ¿en qué lugar del mundo un paso en cualquier dirección es un paso al sur? 9. Notamos con facilidad la desviación de la luz por reflexión y por refracción, pero, ¿por qué no notamos de ordinario la desviación de la luz debida a la gravedad? 10. La luz realmente se curva en un campo gravitacional. ¿Por qué tal curvatura no se toma en cuenta por los topógrafos que usan los rayos láser como si fueran líneas rectas? 11. ¿Por qué decimos que la luz se propaga en línea recta? Estrictamente, ¿es correcto decir que un rayo láser permite tener una línea perfectamente recta para usarla en topografía? Explica por qué. 12. Tu amigo dice que la luz que pasa por el Sol se desvía, ya sea que la Tierra experimente o no un eclipse solar. ¿Estás de acuerdo con él? ¿Por qué? 13. En 2004 cuando Mercurio pasó entre el Sol y la Tierra, la luz no se desvió apreciablemente cuando pasó por Mercurio. ¿Por qué sucedió esto?

Capítulo 36 Teoría de la relatividad general

14. Después de 1 s, una bala disparada horizontalmente baja una distancia vertical de 4.9 m respecto a su trayectoria rectilínea, en un campo gravitacional de 1 g. ¿Qué distancia bajará un rayo de luz de su trayectoria rectilínea si viajara por un campo uniforme de 1 g durante 1 s? ¿Y durante 2 s? 15. La luz cambia su energía al “caer” en un campo gravitacional. Sin embargo, el cambio de energía no se traduce en cambio de rapidez. ¿Cuál es la prueba de ese cambio de energía? 16. ¿Notaríamos un retraso o un adelanto del reloj, si lo pusiéramos en el fondo de un pozo muy hondo? 17. Si presenciamos eventos que sucedan en la Luna, donde la gravitación es más débil que en la Tierra, ¿esperaríamos observar un corrimiento gravitacional hacia el rojo o un corrimiento gravitacional hacia el azul? Explica por qué. 18. Tienes un equipo de detección muy sensible, y te encuentras en la parte delantera de un furgón que acelera hacia adelante. Tu amigo en la parte posterior del furgón enciende una luz verde dirigida hacia ti. ¿Crees que la luz tendrá corrimiento hacia el rojo (bajará de frecuencia), corrimiento hacia el azul (aumentará de frecuencia) o nada de lo anterior? Explica por qué. (Sugerencia: piensa en términos del principio de equivalencia. ¿A qué equivale tu furgón que acelera?) 19. ¿Por qué la intensidad del campo gravitacional aumenta en la superficie de una estrella que se contrae? 20. ¿Un reloj en el ecuador se adelantará o se retrasará ligeramente con respecto a uno idéntico que se encuentre en uno de los polos terrestres? 21. ¿Envejeces más rápidamente en la cima de una montaña o al nivel del mar? 22. Una persona muy preocupada por su envejecimiento, ¿debe vivir en el último piso o en la planta baja de un edificio alto de apartamentos? 23. El tiempo se alenta en un campo gravitacional intenso. ¿El tiempo se alentaría en la gravedad artificial producida en un hábitat espacial giratorio? ¿Por qué? 24. Prudencia y Caridad son gemelas que crecieron en el centro de un reino giratorio. Caridad va a vivir a la orilla del reino, durante algún tiempo, y después regresa a casa. Cuando se vuelvan a reunir, ¿cuál de las gemelas envejeció más? (No tomes en cuenta efecto alguno de dilatación del tiempo que se asocie con los viajes hacia la orilla y de regreso.) 25. Si diriges un rayo de luz de color hacia un amigo que está arriba de una torre alta, en el caso extremo, ¿será el color que ve el mismo que el que tú le mandas? Explica por qué.

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26. ¿La luz que se emite desde la superficie de una estrella masiva tiene corrimiento hacia el rojo o hacia el azul, debido a la gravedad? 27. Desde nuestro marco de referencia en la Tierra, los objetos se desaceleran y se detienen al acercarse a agujeros negros en el espacio, porque cerca de ellos el tiempo se estira en forma infinita debido a la fuerte gravedad en esos lugares. Si los astronautas que por accidente cayeran en un agujero negro trataran de mandar señales a Tierra con destellos de luz, ¿qué clase de “telescopio” necesitaríamos para ver las señales? 28. ¿Un astronauta que cayera en un agujero negro vería el Universo con corrimiento al rojo o con corrimiento al azul? 29. ¿Cómo podemos “observar” un agujero negro si ni la materia ni la radiación pueden escapar de él? 30. ¿Sería posible, en principio, que un fotón describiera círculos en torno a una estrella? 31. ¿Por qué varía la atracción gravitacional entre el Sol y Mercurio? ¿Variaría si la órbita de Mercurio fuera perfectamente circular? 32. Tu amigo dice que en el Polo Norte, un paso en cualquier sentido es un paso hacia el sur. ¿Estás de acuerdo con él? ¿Por qué? 33. En el triángulo astronómico que se muestra en la figura 36.14, con sus lados definidos por rayos de luz, la suma de los ángulos interiores es mayor que 180 grados. ¿Hay algún triángulo astronómico cuyos ángulos interiores sumen menos de 180 grados? 34. ¿Las estrellas binarias (sistemas de dos estrellas que giran en órbita en torno a un centro de masa común) irradian ondas gravitacionales? ¿Por qué? 35. Las ondas gravitacionales son difíciles de detectar. ¿Esto se debe a que tienen longitudes de onda largas o cortas? 36. Con base en lo que conoces de la emisión y absorción de las ondas electromagnéticas, sugiere cómo se emiten las ondas gravitacionales y cómo se absorben. (Los científicos que tratan de detectar ondas gravitacionales deben diseñar equipos para tratar de absorberlas.) 37. ¿Se puede aplicar el principio de correspondencia para comparar las teorías de Newton y de Einstein de la gravitación? 38. Los hallazgos de investigación actuales sugieren que el Universo es plano. ¿Cuáles son las implicaciones de tales hallazgos? 39. Redacta una pregunta de opción múltiple para evaluar la comprensión de tus compañeros acerca del principio de equivalencia. 40. Redacta una pregunta de opción múltiple para evaluar la comprensión de tus compañeros acerca del efecto de la gravedad sobre el tiempo.