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Capítulo IV:Teoría de Números

Teoría de los Números

Introducción La teoría de los números estudia las propiedades de los enteros y se dice que esta tuvo su comienzo con el matemático griego Diofanto de Alejandría en el siglo III d.C. Diofanto escribió trece libros (siete de los cuales se han perdido) dedicados a la resolución de ecuaciones algebraicas, intentando dar métodos para encontrar sus soluciones enteras o racionales. Algunos ejemplos de los problemas que trataba en su libro son: ¿Qué números son suma de dos números al cuadrado? ¿Qué números son suma de tres números al cubo? Pero la contribución (indirecta) más importante de Diofanto fue a partir de la traducción al latín de los seis primeros libros con el nombre de Aritmética en 1621 por

Claude-Gaspard

Bachet,

matemático

francés.

Esta

traducción fue la que inspiró al verdadero padre de la teoría de números, Pierre de Fermat (1601-1665), quien fue el que propuso lo siguiente: “Para cualquier número natural n mayor o igual que 3, la ecuación: =

+

no tiene soluciones naturales salvo que x, y ∧ z sean cero”.

A esta expresión, conocida como el último Teorema de Fermat, se asocia una famosa frase mencionada por Fermat en uno de sus escritos de ecuaciones diofánticas y dada a conocer por su hijo, en la cual afirmaba lo siguiente: “Tengo una demostración maravillosa de este resultado pero este margen es demasiado estrecho para contenerla”. Pero la realidad es que tuvieron que transcurrir 350 años para que los esfuerzos de cientos de connotados matemáticos dieran fruto, ya que en 1994, después de varios intentos, el matemático Andrew Wiles logró

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demostrar el último Teorema de Fermat, con métodos que para la época de Fermat eran desconocidos, razón por la cual se duda que realmente Fermat tuviese la prueba de dicho teorema.

Esta rama de la matemática se presta para enunciar resultados

que son

relativamente fáciles de enunciar y de probar como por ejemplo: “El producto de n enteros positivos consecutivos siempre es par”, esto ha inspirado a muchos aficionados a las matemáticas a proponer y dar resultados a través de la historia. También existen problemas que son fáciles de redactar pero “difíciles” o se diría casi imposibles de probar, como es el caso de la conocida conjetura de Goldbach (1742) que dice: “Todo número par mayor que 2 puede escribirse como suma de dos números primos”. En efecto los primeros pares se pueden expresar así, 4 = 2 + 2, 6 = 3 + 3, 8 = 3 + 5, 10 = 5 + 5, ….Aunque en la actualidad se ha comprobado esta conjetura por medio de poderosos computadores para números pares menores que 10 , la realidad es que hasta el momento no se ha logrado probar.

1. Divisibilidad y números primos Si a, b ∈ ℤ , cuando la división

÷

es exacta, es decir tiene residuo 0, decimos

que b es múltiplo de a. Una manera más formal de definirlo es la siguiente:

Sean a y b dos números enteros. Se dice que “a divide a b”, si podemos expresar b de la forma b = k ⋅ a, donde k es un número entero.

En esta definición es equivalente a decir “b es divisible por a”, “b es múltiplo de a ” ó “a es un divisor de b”.

En tal caso, se denota | . Otra manera de verlo es que la división de b entre a es un entero y por lo tanto esta notación no debe confundirse con 7|35, −4|8 y para cualquier número entero n se cumple 1|

y

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a . Por ejemplo: b |0. Cuando la

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definición no se cumple decimos que a no divide a b, por ejemplo: 6 ∤ 27. Otras maneras de decir que b es múltiplo de a, es decir que a es un factor de b, a es un divisor de b o de la manera más común, b es divisible por a.

Los números naturales que sólo son divisibles por 1 y por sí mismos se llaman números primos.

Por ejemplo, los números primos menores son 2,3, 5, 7,11,13,… . La cantidad de números primos es infinita. El primero que lo demostró fue el matemático griego Euclides, después lo demostraron Euler y Chebichev, matemáticos muy importantes del milenio anterior.

Los números que tienen un divisor primo distinto a sí mismos se llaman números compuestos.

Por ejemplo, los números compuestos menores son 4, 6,8, 9,10,12,… . Los números 1 y 0 no son ni primos ni compuestos.

Ejercicio 1. Conteste las siguientes preguntas 1. ¿Cuántos números son pares y primos al mismo tiempo?

2. Si n es múltiplo de 7 y n es primo, ¿cuál es el valor de n?

3. ¿Puede un número primo terminar en 0? o ¿Puede terminar en 5?

4. ¿Cuántos números primos hay menores que 20?

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5. Si hay 168 números primos menores que 1000, ¿Cuántos números compuestos hay menores que 1000?

6. A una pareja de números primos tales que su diferencia es 2 se les llama primos gemelos. Por ejemplo, 29 y 31. Encuentre otras cinco parejas de primos gemelos.

7. Encuentre cuatro números primos tales que la diferencia entre dos consecutivos aumente de dos en dos. Es decir, la diferencia entre los dos menores es 2, la diferencia entre los siguientes dos es 4 y así sucesivamente.

8. Si p representa un número primo, ¿Por qué p + 1 no puede ser múltiplo de p?

9. Si p representa un número primo y q es un múltiplo de p. ¿Por qué q + 1 no puede ser múltiplo de p?

10. El siguiente procedimiento justifica que existe una infinidad de números primos.

Supongamos que existe una cantidad finita de primos. Sea más grande que existe.

Analice el número

=

∙

el número primo ∙

∙ …∙

resultado de sumar 1 al producto de todos los números primos hasta

¿Puede q ser múltiplo de algún número menor o igual que

+ 1 (el ).

diferente de 1?

¿Por qué? Si no es múltiplo de ningún número menor que

entonces ¿q puede ser

compuesto?

Las respuestas correctas a estas preguntas garantizan que el número q sería primo y mayor que

y entonces la suposición que hicimos que existe una

cantidad finita de primos es incorrecta. Por lo tanto, existe una cantidad infinita de números primos.

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2. Criterios de divisibilidad Para determinar si un número es divisible por un número primo dado, podemos utilizar los siguientes criterios, basados en probar la divisibilidad con números menores que el número original.

Regla

POR 2:

Ejemplo

Un número es divisible entre 2 si su

El número 3124 es divisible por 2 (par),

último dígito es 0, 2, 4, 6 u 8

mientras que el número 12447 es impar. En 1476 la suma de los dígitos es

POR 3:

Un número es divisible por 3 si la suma

1 + 4 + 7 + 6 = 18 = 3 ⋅ 6 ; como este

de sus dígitos es divisible por 3.

número es divisible por 3, entonces 1476 es divisible por 3.

POR 5:

Un número es divisible por 5 si la última

El número 54345 es divisible por 5,

cifra es 5 ó 0.

mientras que 13228 no lo es.

Para saber si un número es divisible por 7 se debe hacer lo siguiente: Al número

POR 7:

que se obtiene de suprimir la cigra de

Para 371, tenemos 37 − 2⋅1 = 37 − 2 = 35

las unidades del número dado, réstele el

que sí es divisible por 7. En efecto, 371 =

doble de la cifra que suprimió. Si

7⋅53.

el

resultado de esa resta es divisible por 7, el número original también lo es. Primero, enumere las cifras del número.

POR 11:

!

Sea I la suma de la primera, tercera,…

Por ejemplo, para 1 5 6 3 1 ,

todas las cifras en posición impar. Y sea

I = 1+ 6 +1 = 8" y P = 5 + 3 = 8" .

P la suma de la segunda, la cuarta.,… todas las cifras en posición par. Si I − P ó P − I es múltiplo de 11 (incluyendo 0

Luego, I − P = 8 − 8 = 0 que es múltiplo de

11 . En efecto, 15631 = 11⋅1421.

), entonces el número original lo es.

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Al número que resulta de suprimir la POR 13:

última cifra, réstele nueve veces ésta. Si el resultado de la resta es divisible por 13 el número original también lo es.

Por ejemplo, para 1157, tenemos

115 − 9 ⋅ 7 = 52 = 13 ⋅ 4 que sí es divisible por 13. En efecto, 1157 = 13·89.

Nota: Para los casos de divisibilidad por 3, 7, 11 y 13 se puede aplicar recurrentemente si lo amerita. Para algunos números compuestos tenemos las siguientes reglas.

Criterios de divisibilidad para algunos números compuestos Regla POR 4:

Un número es divisible por 4 si el

Un número es divisible por 8 si el

16 lo es. 21522 no es divisible por 4 . El número 57824 es divisible por 8 porque

número formado por sus últimos tres dígitos lo es.

POR 9:

El número 3216 es divisible por 4 porque

número formado por sus últimos dos dígitos lo es.

POR 8:

Ejemplo

Un número es divisible por 9 si la suma de sus dígitos lo es.

824 lo es. 13308 no es divisible por 8 . Para el número 4574 la suma de las cifras es 4 + 3 + 7 + 4 = 18 y como 18 es múltiplo de 9, 4374 también lo es.

Otros criterios de divisibilidad se pueden deducir utilizando el siguiente principio: Si a divisible por n y a es divisible por m, donde n y m no tienen factores primos en común, entonces con certeza a es divisible entre n⋅m.

Entonces, por ejemplo, para que un número sea divisible por 10 es necesario que sea divisible entre 2 y por 5, que al comparar los criterios de divisibilidad podemos establecer que para que un número sea divisible por 10 basta que su último dígito sea 0.

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Sin embargo, la condición “n y m no tienen factores primos en común” del principio anterior debe interpretarse con cuidado. Por ejemplo, el número 12 es divisible por 6 y también es divisible por 4, y esto no significa que sea divisible por 6⋅4 = 24. Esto sucede porque 6 y 4 si tienen un factor en común (2). Ejemplo 1: Si #$%&' es un número de cinco dígitos que es divisible por 72, determine los dígitos a y b. Aquí tenemos un problema de construcción de un número. Se sabe que tanto a como b son dígitos, así que su valor está entre 0 y 9. Por otra parte, nos dicen que 679 es divisible por 72, pero 72 es el producto de 8 por 9 (números que no tienen divisores primos comunes), así que el número es divisible por 9 y también por 8. Usaremos primero que sea múltiplo de 9, esto nos dice la suma de sus cifras es un múltiplo de 9. Así que

+6+7+9+

ó 14 ya que. 0 <

+

=

+

+ 22 es un múltiplo de 9, y entonces,

+

es 5

≤ 18.

Por otro lado como 679 es divisible por 8, entonces sabemos que el número que se forma con sus últimas tres cifras también lo es, así 79b es divisible por 8. Pero entre 790 y 799 solamente existe un número que es divisible por 8 y es 792. Por tanto b = 2. Luego de las ecuaciones anteriores tenemos que a = 3 ó a = 12, pero como a es una cifra, entonces a = 3. Ejemplo 2: Encuentre los enteros positivos n, tales que, n2 + 1 es un múltiplo de n + 1. Supongamos que

+ 1 dividiera a n2 + 1, entonces aplicando la propiedad de

linealidad (si un número divide a otros dos entonces también divide a la suma o a la diferencia de estos dos números), + − 1,+ + 1, = 2 (de otra forma sí

+ 1 divide al número 1 ∙ +

+ 1 divide a dos expresiones, también divide

a la suma o a la resta de estas). Luego, esto solamente sucede si ó + 1 = 2, es decir

=1 ó

+ 1, − +1=1

= 0, pero esta última no es una solución válida

pues el enunciado indica que debe ser positivo.

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Ejemplo 3: Encuentre cuántas parejas +., 0, de enteros existen tales que 1 .

1

1

0

12

+ =

Podemos hacer unas modificaciones: 12 + 12 =

, de allí que

.30 45

=

y de allí podemos obtener

− 12 − 12 = 0, luego aplicamos una estrategia

que consiste en: sumar a ambos lados el cuadrado de la constante (en nuestro − 12 − 12 + 144 = 144 y

caso la constante es 12), así que tenemos: factorizando + − 12,+ − 12, = 144.

A partir de aquí aplicamos todo nuestro conocimiento de divisibilidad y luego obtenemos que + − 12, debe dividir a 144, así que debe ser igual a uno de los divisores de 144.

Ahora, por cada divisor de 144 existe una única solución y cada solución se puede asociar a un divisor. Para encontrar la cantidad de divisores positivos de un número natural se utiliza el siguiente procedimiento: Si

=

67

∙

68

∙ …∙

6: 9

está escrito en su factorización prima única, entonces n

tiene exactamente +; + 1,+; + 1, … +;9 + 1, divisores positivos. Como 144 = 2 ∙ 3 tiene (4 + 1)(2 + 1) = 5⋅3 = 15 divisores positivos y 30 tomando en cuenta divisores negativos, entonces el problema original tiene 30 soluciones. Ejercicio 3. I PARTE: En la siguiente tabla, utilice los criterios de divisibilidad para determinar si el número es divisible entre los factores de cada columna. (No utilice división) Por 2

Por 3

Por 5

Por 7

Por 11

Por 4

Por 8

Por 9

Por 6

91

5005 792 102487

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Por 10

Por 14

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II PARTE: Conteste las siguientes preguntas. Si su respuesta es sí, justifíquela, y si es no, dé un contraejemplo 1. Si el número n es divisible por 9, ¿podemos asegurar que n es divisible por 3?

2. Si el número n es divisible por 14, ¿podemos asegurar que n es divisible por 7?

3. Si el número n es divisible por 13, ¿podemos asegurar que n es divisible por 26? 4. Si el número n es divisible por 15 y es divisible por 10, ¿podemos asegurar que n es divisible entre 150?

5. El criterio de divisibilidad por 4 dice que basta considerar las últimas 2 cifras. El criterio de divisibilidad por 8 dice que basta considerar las últimas 3 cifras. ¿Podemos establecer algún criterio de divisibilidad para 16 basado en la observación anterior? 6. Si p representa cualquier número primo ¿Cuántos divisores positivos tiene p2? ¿Y p20?

7. Si p y q representan números primos diferentes ¿Cuántos divisores positivos tiene pq?

4. Propiedades de la divisibilidad Propiedades:

Si

Sean a, b, c, x ∧ y enteros

| entonces | < para cualquier entero c.

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|

Si

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= = ∙ , luego < = = ∙

entonces existe un valor entero k tal que

∙< ⟹

< = +=< , y entonces podemos ver que < es múltiplo de a.

Por ejemplo, si a es múltiplo de 5 entonces 3a también es múltiplo de 5.

(Propiedad Transitiva) Si | y |< entonces |