Ejercicio extra

The shortest path between two truths in the real domain passes through the complex domain. Jacques Hadamard Introducción En este ejercicio vamos a emprender un enfoque distinto de la geometría analítica utilzando los números complejos, en vez de usar puntos y vectores. Como veremos a continuación, el hecho de poder hacer más operaciones (¿Cuáles son estas?) entre los números complejos de las que podemos hacer con los vectores, nos va a proporcionar unas herramientas muy útiles para resolver problemas que de otra forma serían muy complicados. Esta herramientas tan útil en dos dimensiones, sin embargo, no se generaliza bien para más dimensiones, al contrario que la geometría analítica que os hemos enseñado. En lo que sigue identificaremos tanto el punto P = (x, y) como el vector ~v = (x, y) con el número complejo z = x + iy. De manera natural tenemos que y si A y B son dos puntos que hacemos corresponder con los −→ números complejos z1 y z2 respectivamente, entonces el vector AB se corresponderá con el número complejo −→ z2 − z1 y |AB| = |z2 − z1 |. La suma entonces de dos vectores o de un vector y un punto se correponderá con la suma de los números complejos a los que han sido asociados. Ejemplo 1 Consideremos los puntos A(2, −1), B = (2, 3) y ~v = (−1, −2) que se corresponden con los númneros complejos z1 = 2 − i, z2 = 2 + 3i y z3 = −1 − 2i respectivamente. −→ Puedes comprobar entonces que AB = (0, 4) se corresponde con z2 −z1 = 4i y A− 2~v = (4, 3) se corresponde con el número complejo z1 − 2z3 = 4 + 3i Tenemos entonces una correspondencia entre los puntos/vectores del plano y los números complejos en la que se respetan las operaciones. Supongamos ahora que el punto C divide el segmento AB en una razón n : m, es decir, cumple que n AC = , si expresamos la relación anterior mediante sus coordenadas complejas (zc , za y zb las de C, A CB m y B respectivamente), tendremos entonces que

zc − za n mza + nzb ⇒ m (zc − za ) = n (zb − zc ) ⇒ (n + m) c = mza + nzb ⇒ zc = = zb − zc m m+n 4

Ejercicio 1 Sea un triángulo ABC y sean za , zb y zc las coordenadas complejas de sus vértices, respectiva4

mente. Demuestra que las coordenadas del baricentro de ABC vienen dadas por

G=

za + zb + zc 3

Pista: El baricentro es el punto en el que se cortan las medianas, y divide a cada mediana en la proporción 1 : 2 (hacia el vértice). Proposición 1 La ecuación de una recta en el plano complejo es de la forma:

αz + α z + β = 0 donde α ∈ C∗ y β ∈ R Demostración: La ecuación de una recta en el plano es de la forma ax + by + c = 0. si z = x + iy entonces z+z z−z tenemos que x = e y = −i . 2 2     z+z z−z a − bi a + bi Substituyendo, tenemos que a − bi +c=0⇒ z+ z+c=0 2 2 2 2 a − bi Con lo que obtenemos el resultado haciendo α = 2

1

Ejercicio extra

Observa que a = α + α y b = i (α − α) por lo que la pendiente m de la recta será igual a:

m=−

a α+α =i b α−α

Ejercicio 2 ¿Qué condición se tiene que dar para que dos rectas r1 : α1 z+α1 z+β1 = 0 y r2 : α2 z+α2 z+β2 = 0 sean paralelas?¿Y para que sean perpendiculares? Transformaciones

Recuerda que el número eiθ = cos θ + i sen θ

Proposición 2 Supongamos que el punto C es el resultado de rotar el punto B respecto del A un ángulo θ y que a, b y c son las coordenadas complejas de A, B y C, en ese lugar se cumplirá que:

c = a + eiθ (b − a) Demostración: Lo puedes ver en el siguiente esquema

a11 a12 a13 Recuerda que el determinante de una matriz a21 a22 a23 = a11 · a22 · a33 + a12 · a23 · a31 + a13 · a21 · a32 − a31 a32 a33 a13 · a22 · a31 − a12 · a21 · a33 + a11 · a23 · a32 a11 a12 a13 a11 − λa12 a12 a13 Puedes comprobar que a21 a22 a23 = a21 − λa22 a22 a23 Luego en un determinante podemos a31 a32 a33 a31 − λa32 a32 a33 sumar o restar a una columna (o fila) una combinación lineal de las demás y el resultado da lo mismo. Ejercicio 3 En este ejercicio vamos a hallar las coordenadas del circuncentro zO del triángulo que tiene vértices en las coordenadas complejas za , zb y zc a) Demuestra que la ecuación de la recta que pasa por w y es perpendicular al segmento AB es:

z(za − zb ) + z (za − zb ) = w(za − zb ) + w (za − zb ) b) Aplica la fórmula anterior tomando como w el punto medio del segmento AB. Demuestra que la ecuación de la mediatriz del segmento AB tiene por ecuación:

z(za − zb ) + z (za − zb ) = |za |2 − |zb |2 c) Escribe también la ecuación de la mediatriz de BC. Elimina z de las dos ecuaciones para obtener el valor de z 2

Ejercicio extra

1 d) Demuestra que zO · za za

1 zb zb

1 zc zc

1 = za |za |2

1 zb |zb |2

1 zc |zc |2



e) Deduce las ecuaciones del circuncentro de un triángulo de vértices de coordenadas za , zb y zc 4

Triángulos equiláteros: Diremos que un triángulo ABC tiene orientación positiva, si al recorrer los vértices en el orden A − B − C nos movemos en sentido antihorario. 4

Proposición 3 Si ABC es un triángulo orientado positivamente, cuyos vértices tienen coordenadas complejas za , zb y zc enconces es equivalente: 4

a) ABC es equilátero. π

b) (zc − za ) = ε (zb − za ) con ε = ei 3

c) za + ωzb + ω2 zc = 0 donde ω = ei

2π 3

Demostración: a) ⇔ b) es inmediato, ya que el triángulo es equilátero si y sólo si el lado b = zc − za es el resultado de girar 60o en sentido positivo el lado c = zb − za y girar 60o en sentido positivo es quivalente a multiplicar por ε √ 3 1 π π iπ b) ⇔ c) tenemos que (zc − za ) = ε (zb − za ) con ε = e 3 = cos 3 + i sen 3 = + i . 2 2 Si pasamos todo a un miembro obtenemos que

zc + (ε − 1) za − zb = 0 √

pero ε − 1 = 21 + i 23 − 1 = − 21 + i lo anterior es equivalente a:

√

3 2

= cos 23π + i sen 23π = ω y −ε = − 21 − i

√

3 2

= cos 43π + i sen 43π = ω2 luego

zc + ωza + ω2 zb = 0 Pero como se cumple que ω3 = 1 (compruébalo), si multiplicamos lo anterior por ω2 obtenemos que lo primero es equivalente a que

ω2 zc + ω3 za + ω4 zb = za + ωzb + ω2 zc = 0 tal y como queríamos demostrar. Fíjate que realmente lo único que es importante es que las coordenadas de los puntos vayan en orden antihorario, así que también es equilátero si se cumple que: zc + ωza + ω2 zb = 0 o que zb + ωzc + ω2 za = 0 4

Ejercicio 4 (Teorema de Napoleón) * Supongamos un triángulo ABC y sobre cada lado construyamos un triángulo equiátero hacia fuera. Demuestra que los baricentros de los tres triángulos así construidos forman a su vez un triángulo equilátero.

3

Ejercicio extra

El ejercicio va a ser demostrarlo, siguiento los siguientes pasos: a) Supongamos que las coordenadas complejas de los tres vértices son za , zb y zc , y z0a , z0b y z0c son las coordenadas de los nuevos vértices de los triángulos equiláteros construidos sobre cada lado (en cada triángulo ponemos la letra que falta). Halla las coordenadas de z0a , z0b y z0c en función de las de za , zb y zc (pista, el punto c) de la proposición anterior te puede ser útil). b) Halla las coordenadas de los ortocentros O1 , O2 y O3 en función de za , zb y zc . c) Demuestra que O1 , O2 y O3 forman un triángulo equilátero (de nuevo el apartado c) de la proposición anterior te puede resultar de utilidad). Ortogonalidad y producto real

Si z es un número complejo, llamemos parte real de z al número

< (z) =

1 (z + z) 2

(si z = a + bi comprueba que entonces < (z) = a). Llamamos producto real de dos números complejos a y b al número

< a, b >=



1 ab + ab = < ab 2

Ejercicio 5 Halla el valor de < a, b > y concluye que el producto real de dos números complejos es realmente un número real. Ejercicio 6 Dados los vectores ~ u = (2, −3) y ~v = (4, 2) halla las coordenadas complejas de los dos, halla su producto escalar y halla el producto real de sus coordenadas. ¿Qué observas?¿Podrías justificar por qué es así? Proposición 4 Si el punto O tiene como cordenada compleja el 0, el punto A el a y el punto B el b, entonces, OA ⊥ OB si y sólo si < a, b >= 0

4

Ejercicio extra


1 a a a Demostración: < a, b >= ab + ab = 0 ⇔ ab = −ab ⇔ = − = − luego entonces si llamamos 2 b b b a a z cumple que z = −z, luego entonces z ha de ser un número imaginario puro, por lo que = ik con z= b b k ∈ R luego a y b son perpendiculares (¿Por qué?). Con lo que queda demostrado. Si tenemos entonces cuatro puntos A, B, C y D con coordenadas a, b, c y d respectivamente, AB ⊥ CD sí y sólo sí (b − a) · (d − c) >= 0 4

Ejercicio 7 (Coordenadas del ortocentro) Supongamos un triángulo ABC y sean za , zb y zc las coordenadas de los tres vértices respectivamente. Si el circuncentro O tiene por coordenada el origen en el plano (el 0) entonces las cordenadas del ortocentro son zh = za + zb + zc Para la demostración vamos a usar el produto real: a) Demuestra que un punto de coordenada z está en la altura ha si cumple que < z − za , zb − zc >= 0 b) Substituye z por zh = za + zb + zc y demuestra que zh está en la altura ha ¿(dónde estás utilizando que el circuncentro tiene por coordenada el 0?). c) Demuestra que zh está en todas las alturas. Concluye que zh es el ortocentro. d) Halla la coordenada del ortocentro de un triángulo de vértices za , zb y zc y de coordenada zo del circuncentro. Área y producto complejo

Si z es un número complejo, llamemos parte imaginaria a

= (z) =

1 (z − z) 2i

(si z = a + bi comprueba que entonces = (z) = b Dados dos números complejos a y b, definimos el producto complejo de los dos

a × b = = (ab) i =


1 ab − ab 2

Puedes comprobar que a × b = −a × b luego a × b es siempre un número complejo. Del mismo modo que el producto real < a, b > es la versión compleja del producto escalar, el producto complejo a × b va a ser la versión compleja del producto vectorial que veréis el año que viene. Si el producto escalar es importante para trabajar con ortogonalidad (como hemos visto antes) , el producto vectorial está especialmente indicado para trabajar con el área. Para demostrar el siguiente resultado vamos a necesitar el siguiente lema: 1 = (z). En particular |z| 

Proposición 5 Si z es un número complejo, entonces sen (arg (z)) =

    zb |za | zb sen arg = = za |zb | za Demostración: Consideremos

5

Ejercicio extra

En la figura está claro que sen θ =

b =(z) = |z| |z|

4

Proposición 6 Si el triángulo OAB está positivamente orientado, y las coordenadas de O, A y B son respectivamente 0, za y zb entonces se cumple que:

[OAB] =

1 a×b 2i

Demostración:

        1 1 zb 1 zb |za | 1 zb 1 1 zb zb [OAB] = ab sen γ = |zb ||za | sen arg = |zb ||za |= = |za |2 = = |za |2 − = za 2 za |zb | 2 za 2 2i za za 2  2 1 zb zb 1 1 1 (zb za − zb za ) = za × zb za za − = 4i za za 2i 2 2i Donde hemos usado que |za |2 = za za 4

Proposición 7 Consideremos el triángulo ABC orientado positivamente y sean za , zb y zc las coordenadas de sus tres vértices, entonces se tiene que:

[ABC] =

1 = (zb za + zc zb + za zc ) 2 6

Ejercicio extra

Demostración: Si transladamos el triángulo secún −zc no cambia su área. C pasa a ser el 0, A pasa a A0 , con coordenadas za − zc y B pasa a B0 de coordenadas zb − zc . Tenemos entonces que: 1 ((za − zc ) × (zb − zc )) [ABC] = [CAB] = [OA0 B0 ] = 2i 1 y (za − zc ) × (zb − zc ) = ((za − zc )(zb − zc ) − (zb − zc )(za − zc )) = 2 1 = (za zb − za zc − zc zb + zc zc − zb za + zb zc + zc za − zc zc ) = 2 1 = (za zb − zb za + zb zc − zc zb + zc za − za zc ) = 2 1 1 1 = (za zb − zb za ) + (zb zc − zc zb ) + (zc za − za zc ) = 2 2 2 = = (za zb ) + = (zb zc ) + = (zc za ) = = (za zb + zb zc + zc za ) 4

Ejercicio 8 (Teorema de Menelao) Vamos a demostrar que si en un triángulo ABC tomamos puntos A0 en BC, B0 en CA y C0 en AB que dividen los lados en uns proporciones λ1 , λ2 y λ3 respectivamente (es decir, A0 BA0 divide BC en una proporción λ1 quiere decir que 0 = λ1 ). En esas condiciones, se cumple que: AC

[A0 B0 C0 ] =

1 − λ1 λ2 λ3 [ABC] (1 − λ1 ) (1 − λ2 ) (1 − λ3 )

Como consecuencia de eso tenemos el teorema de Menelao, que dice que A0 ,B0 y C0 están alineados si y sólo si BA0 CB0 AB0 = λ1 λ2 λ3 = 1 A0 C B0 A B0 C Vamos a demostrarlo por pasos: a) sean z1 , z2 y z3 las coordenadas complejas de A, B y C y x1 , x2 y x3 las de A0 , B0 y C0 respectivamente. BA0 Usando que 0 = λ1 demuestra que: AC z2 − λ1 z3 x1 = 1 − λ1 y análogamente para x2 y x3 . b) Aplica la fórmula del teorema anterior para deducir el resultado. c) Deduce como consecuencia el teorema de Menelao.

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