Probabilidad y Estadística

Titular: Ing. Daniel Fernandez JTP: Mg. Ing. Julio Ortigala Notas de la clase utilizadas por el Ing. Julio Ortigala. Marzo 2011

Bibliografía

• Unidades 2 a 10: Probabilidad y Estadística para Ingenieros de Walpole Myers 8º Edición E. Pearson

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Unidad 2: Probabilidad Si se mide la densidad de un producto químico no siempre obtendremos el mismo resultado. Los valores cambian debido a pequeñas variaciones en las variables que no están controladas en la experiencia, como son los cambios de temperatura ambiente, ligeras variaciones en el instrumento de medición, pequeñas impurezas en la composición química del producto en distintas partes del mismo, diferencias entre los distintos operarios, etc.

Experimento Los estadísticos utilizan la palabra experimento para describir cualquier proceso que genere un conjunto de datos. Tirar un dado y ver que número sale, sería un experimento. Si sacamos tres computaras de la línea de producción, y corroboramos si son defectuosas o no, estamos realizando un experimento estadístico. Si medimos la velocidad de esas computadoras y anotamos los resultados obtenidos, también estamos realizando un experimento estadístico.

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Tipos de datos

Los datos obtenidos en un experimento aleatorio o estadístico reciben distintas denominaciones, según sus características. Cuando medimos la velocidad de una reacción química o la velocidad de una computadora, cuando medimos la altura de una botella, o el diámetro de un pistón, obtenemos datos cuantitativos. Estos son aquellos que pueden expresarse en números. .

Datos cualitativos o categóricos: son aquellos que no pueden expresarse numéricamente. Por ejemplo, si analizamos los productos fabricados con PVC y los clasificamos según su pureza en minima media alta Estamos generando datos cualitativos o categóricos. De la misma manera que si analizamos el estado civil de los empleados de una organización.

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Datos dicotómicos: cuando solo hay dos resultados posibles. Por ejemplo: el sexo de las personas, si una pieza es defectuosa o no. Si tiro el dado y observo si el número es par o impar.

Experimentos aleatorios

• Un experimento aleatorio es aquel que proporciona diferentes resultados aun cuando se repita siempre de la misma manera.

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Espacio muestral del experimento aleatorio

• Se denomina así al conjunto de los posibles resultados de un experimento aleatorio. El espacio muestral se denota con la letra S. • Supóngase que se analiza un componente de polipropileno usado en bombas para líquidos corrosivos. Se considera si cumple o no con el grado de resistencia a la tracción establecido. El espacio muestral de este experimento tiene dos resultados posibles: si y no

S = {si ; no }

Espacio muestral

• Considérese el experimento donde se analizan dos componentes y se clasifican como defectuoso o no defectuoso, dependiendo si cumplen o no con el grado de pureza. Simbolizamos con D: defectuoso y D’: no defectuoso. • El espacio muestral de este experimento está formado por cuatro resultados posibles:

S = {DD; DD′; D′D; D′D′}

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Muestreo con o sin reemplazo

• En experimentos aleatorios que implican la selección de artículos de un lote, es necesario indicar si el artículo seleccionado será colocado de nuevo o no, en el lote antes de seleccionar el siguiente. • Por ejemplo, si el lote contiene tres artículos {a,b,c} y el experimento consiste en seleccionar dos de ellos sin remplazo, entonces el espacio muestral puede representarse como

S = {ab, ac, ba, bc, ca, cb}

Muestreo con reemplazo • Sin embargo, si los artículos se devuelven al lote antes de seleccionar el siguiente, el muestreo se denomina con reemplazo. • En este caso, los resultados posibles son

S = {aa, ab, ac, ba, bb, bc, ca, cb, cc}

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aplicación

• Suponga que se extraen tres artículos, en forma aleatoria (con reemplazo), de un proceso de fabricación. Cada artículo se inspecciona y se clasifica como defectuoso o sin defectos. ( D, D′ ). • Muestre el espacio muestral del experimento.

Espacio muestral discreto

• Un espacio muestral es discreto si tiene o pocos resultados posibles o infinitos contables • Ej: tirar un dado y observar el número que sale • Tirar el dado hasta que salga por primera vez un cinco.

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Espacio muestral continuo Un espacio muestral es continuo, cuando tiene muchos resultados posibles. En un intervalo dado, se pueden encontrar infinitos resultados, sobre todo si se mide con algún instrumento de alta resolución Por ejemplo: medir la altura de las botellas producidas en un cristalería.

Evento

Se denomina así a cualquier subconjunto del espacio muestral. Para simbolizarlos utilizaremos las primeas letras del alfabeto, en mayúscula. Suponga que se extraen dos componentes de la línea de fabricación y se clasifican como defectuoso (D) o no defectuoso (N), según cumplan o no con las especificaciones de pureza, densidad y peso. El espacio muestral tiene cuatro resultados posibles.

S = {NN , ND, DN , DD}

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El evento en el que ambos componentes son defectuosos esta formado por solo un resultado

B = {DD}

El evento C: al menos un elemento es defectuoso C= { ND; DN; DD}

Eventos Si nos interesa el evento donde al menos uno de los componentes es no defectuoso, tenemos que

A = {ND, DN , NN } El evento donde se obtienen tres componentes defectuosos, es vacío.

C=Ø

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Complemento de un evento

El complemento de un evento A con respecto a S, es el subconjunto de todos los elementos de S que no pertenecen a A. El complemento de A es el conjunto

A′ = {DD}

Eventos

Si nuestro espacio muestral está formado por todos los elementos químicos del grupo II de la Tabla Periódica y definimos el evento A como todos los elementos de S que tienen 20 o menos electrones en su átomo, el evento A esta formado por

A = {Be, Mg , Ca} El complemento de A es

A′ = {Sr , Ba, Ra}

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Operaciones con eventos

Consideremos ciertas operaciones entre eventos que tendrán como resultado la formación de nuevos eventos. Estos nuevos eventos serán subconjuntos del espacio muestral como los eventos dados. Si definimos el evento A: elementos químicos pertenecientes al grupo I de la Tabla Periódica y el evento B elementos químicos pertenecientes al periodo 6 de la Tabla, encontramos que el elemento Cs (cesio) pertenece a ambos eventos

La intersección de dos eventos A y B , simbolizada como A ∩ B, es el evento que contiene a todos los elementos que son comunes a A y B

A ∩ B = {Cs}

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Eventos mutuamente excluyentes o disjuntos • Dos eventos son mutuamente excluyentes si no poseen elementos en común, es decir su intersección es vacía. • Sea A: elementos químicos del grupo VIII de la Tabla Periódica (gases nobles) y el evento B: elementos con carácter metálico de la Tabla Periódica, el evento A ∩ B, no tiene elementos en común ya que ningún gas noble tiene características de metal, por lo que A y B son disjuntos o mutuamente excluyentes • A ∩ B= { ø }

Unión de dos eventos

• La unión de dos eventos A y B, que se simboliza como A υ B, es el evento que contiene todos los elementos que pertenecen a A o a B o a ambos. • Supongamos que A es el evento formado por los alumnos de Ing. Química de 2º año que no fuman y B el evento formado por los alumnos de Ing. Química de 2º año que no beben en exceso, entonces el evento A υ B es el conjunto de todos los alumnos de Ing. Química de 2º año que no fuman, que no beben en exceso o que no hacen ambas cosas.

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Aplicación Considere el espacio muestral S={ cobre, sodio, nitrógeno, potasio, uranio, oxigeno, cinc} Y los eventos A= {cobre, cinc, sodio} B= {sodio, nitrógeno, potasio} C= {oxígeno} Ubique los elementos de los conjuntos en un diagrama de Venn Liste los elementos de los conjuntos que corresponden a los eventos siguientes b1) A ∩ B b2) A ∩ C b3) A ∩ B ∩ C b4) A υ B υ C b5) (A υ B υ C)´

Probabilidad de un evento Con frecuencia es útil cuantificar la posibilidad de que se presente un resultado de un experimento aleatorio. “La posibilidad de que llueva hoy es de un 30 %”. Es una afirmación que refleja la creencia sobre la posibilidad de que llueva. La probabilidad de un resultado se cuantifica asignándole un número del intervalo [0,1] o un porcentaje del 0 al 100%. Mientras más grande sea el número, mayor es la posibilidad de que el evento ocurra. Un cero indica que el resultado no se presentará; un uno indica un resultado seguro

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La probabilidad de un resultado puede interpretarse como la probabilidad subjetiva o grado de creencia, de que ocurra el resultado. Personas distintas no dudan en asignar probabilidades diferentes a los mismos resultados.

Probabilidad frecuencial de un evento

Otra interpretación de la probabilidad se basa en el modelo conceptual de la repetición del experimento aleatorio. La probabilidad del resultado se interpreta como el valor límite de la proporción de veces que el resultado aparece en n repeticiones del experimento aleatorio, a medida que n crece sin cota alguna.

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Por ejemplo, se asigna la probabilidad de 0,25 al resultado del evento, “aparece una molécula rara en una muestra de aire tomada en los alrededores de una planta de refinación de crudos”. Este resultado puede surgir por la experiencia de muchos ensayos realizados en la zona considerada. Se debería esperar que en los próximos 1000 ensayos realizados, en 250 aparezca una molécula rara. Este ejemplo proporciona una interpretación de frecuencia relativa para la probabilidad.

Probabilidad de un evento

El modelo de la probabilidad establece que la suma de las probabilidades de todos los resultados de un experimento sea uno.

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Resultados igualmente probables En muchos experimentos, como lanzar un dado no cargado o una moneda legal, todos los resultados tienen la misma probabilidad de ocurrencia. Cada vez que un espacio muestral esté formado por N resultados igualmente probables, la probabilidad de cada uno de ellos será 1/N. Ejemplo: la probabilidad de que salga un cinco cuando tiramos un dado legal es 1/6

Definición clásica Se basa en que todos los resultados son - igualmente probables o equiprobables. - mutuamente excluyentes - colectivamente exhaustivos P(A)= n/N donde P(A) es la probabilidad de ocurrencia del evento A n= Número de resultados favorables N= Número de resultados posibles

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Aplicación

En un deposito hay 500 contenedores con acido sulfúrico y se sabe que el 1% no cumple con las especificaciones en cuanto a pureza. Supóngase que se elige un contenedor al azar, ¿cual es la probabilidad de que no cumpla con las especificaciones en cuanto a pureza?

Eventos formados de varios resultados

A menudo es necesario asignar probabilidades a eventos que estén compuestos de varios resultados del mismo espacio muestral. Para un espacio muestral discreto, la probabilidad de un evento E, denotada por P(E), es igual a la suma de las probabilidades de los resultado en E.

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Ejemplo: se estudia la probabilidad de fallas, por mes, en las válvulas de un yacimiento de gas ubicado en el sur de la Argentina y se hallan los siguientes resultados: La probabilidad de que no falle ninguna, en un mes, es 0,4 La probabilidad de que falle 1, en un mes, es 0,3 La probabilidad de que fallen 2 es 0,15 La probabilidad de que fallen 3 es 0,1 La probabilidad de que fallen 4 es 0,05. Si E es el evento “fallan más de dos válvulas en un mes determinado”, la probabilidad de que ocurra E es P(E)= 0,1 + 0,05 = 0,15

Eventos formados de varios resultados

Si se sabe que cuando fallan más de una válvula en un mes, se registra una merma en la producción de gas, la probabilidad de que se registre una merma en la producción de gas es la probabilidad de ocurrencia del evento A: se registra una merma en la producción de gas. P(A)= 0,15 + 0,1+ 0,05= 0,3 O lo que es lo mismo, podemos afirmar que en 3 de cada 10 meses habrá una merma en la producción de gas

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Axiomas de la probabilidad

Ahora que se ha definido la probabilidad de un evento, es posible reunir las hipótesis realizadas hasta el momento con respecto a las probabilidades en un conjunto de axiomas que deben satisfacer las probabilidades de cualquier experimento aleatorio. Los axiomas aseguran que las probabilidades asignadas en un experimento pueden interpretarse como frecuencias relativas, y que son consistentes con el conocimiento intuitivo de las relaciones entre frecuencias relativas

Axiomas de la Probabilidad

Si S es el espacio muestral y E es cualquier evento del experimento aleatorio, entonces: • P(S) = 1 • 0 ≤ P(E) ≤ 1 • P(E) + P(E´) = 1

o

P(E´)= 1 – P (E)

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Reglas aditivas

Si A y B son dos cualesquiera eventos, entonces P(A υ B)= P(A) + P(B) – P(A ∩ B) Si A y B son mutuamente excluyentes, entonces P(A υ B) = P(A) + P (B) Para tres eventos: P(A υ B υ C) = P(A) + P (B) + P(C) – P(A ∩ B) – P(A ∩ C) – P (B ∩ C) + P (A ∩ B ∩ C)

Aplicación

La probabilidad de que una empresa cualquiera certifique Normas ISO 9001 es 2/3 y la probabilidad de que certifique ISO 14000 es 4/9. Si la probabilidad de que realice ambas certificaciones es ¼, ¿Cuál es la probabilidad de que la empresa certifique al menos una de las normas? ¿Cuál es la probabilidad de que solo certifique ISO 9001? De cada 1000 empresas ¿Cuántas no certificarán ninguna de estas normas?

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Probabilidad condicional

La probabilidad de que un evento B ocurra cuando se sabe que ya ocurrió algún evento A se llama probabilidad condicional y se denota por P (B │ A). Este símbolo se lee “la probabilidad de que ocurra B dado que ocurrió A” o la “probabilidad de B dado A”. La probabilidad condicional de B dado A se calcula como: P(A ∩ B) P (B │ A)= P(A)

Aplicación

Por experiencia pasada se sabe que el 70% de los alumnos de 2º año de Ing. Química promocionan Probabilidad y Estadística y el 55 % de los alumnos promocionan AMII. También se sabe que la probabilidad de que promocione ambas asignaturas es del 49%. Si se elige un alumno al azar y se sabe que promocionó Probabilidad y Estadística, ¿cuál es la probabilidad de que también haya promocionado AMII?

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Reglas multiplicativas

Si se reordena la fórmula dada para la probabilidad condicional, se obtiene una expresión para la intersección de dos eventos P (A ∩ B) = P(A | B). P(B) = P (B | A). P(A)

Aplicación

La probabilidad de que la batería de un automóvil sujeta a altas temperaturas dentro del compartimiento del motor, reciba una carga mayor que la normal, es 0,7. La probabilidad de que la batería quede expuesta a altas temperaturas es 0,05. Sean A: el evento donde la batería experimenta una corriente de carga mayor que la normal y B: el evento donde la batería está expuesta a altas temperaturas. ¿Cuál es la probabilidad de que la batería experimente tanto una corriente de carga mayor que la normal como una temperatura alta?

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Regla de probabilidad total

En ciertas ocasiones debemos calcular la probabilidad de ocurrencia de un evento que depende de otros. Por ejemplo, supóngase que durante el proceso de fabricación de semiconductores, la probabilidad de que un circuito integrado que esté sujeto a grandes niveles de contaminación sea causa de una falla en un producto es 0,1. Por otra parte, la probabilidad de que un circuito que no está sujeto a altos niveles de contaminación durante el proceso de fabricación, sea la causa de una falla es 0,005.

Regla de probabilidad total

En una corrida de producción particular, el 20 % de los circuitos están sujetos a altos niveles de contaminación. ¿Cuál es la probabilidad de que un producto que utilice alguno de estos circuitos integrados falle? Es evidente que la probabilidad pedida depende de si el circuito estuvo o no expuesto a altos niveles de contaminación.

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Regla de probabilidad total

• Si designamos como F: el evento donde el producto falla y A: el evento donde el circuito está expuesto a altos niveles de contaminación. La probabilidad pedida es P (F) y la información proporcionada puede expresarse de la siguiente manera.

Regla de probabilidad total

P(F│A)=0,1 P(F│A´)=0,005 P(A)= 0,2 por consiguiente P(A´)=0,8 El evento F depende de A y A´. Por lo que se puede escribir F= (A ∩ F) υ ( A´∩ F) Si queremos calcular la probabilidad de F, debemos tener en cuenta que los eventos encerrados en los paréntesis son mutuamente excluyentes

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Regla de probabilidad total

P(F)= P(A ∩ F) + P(A´ ∩ F) Por otro lado, P(A ∩ F)= P(F│A). P(A) Reemplazando en P(F) P(F)= P(F│A).P(A) + P(F│A´). P(A´) Reemplazando por los datos P(F)= 0,1 (0,2) + 0,005(0,8)= 0,024

Regla de la probabilidad total para varios evento

Dados varios eventos en un espacio muestral S (E1, E2,…Ek) siendo estos mutuamente excluyentes y exhaustivos (significa que la unión de todos ellos es S), y un evento D, que tiene elementos comunes con todos ellos, entonces P (D)= P (D ∩ E1) + P (D ∩ E2) +… + P (D ∩ Ek) = = P (D │ E1). P (E1) + P (D │ E2). P (E2) + …+ P (D │ Ek ). P (Ek)

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Independencia En ciertas ocasiones podemos observar que la ocurrencia de un evento A no tiene ninguna influencia sobre la ocurrencia del evento B. En este caso se dice que A y B son eventos independientes. Para formalizarlo matemáticamente, se dice que dos eventos A y B son independientes si y solo si, cualquiera de las siguientes proposiciones es verdadera. P(A | B)= P(A) P(B | A)= P(B) P(A ∩ B) = P(A).P(B) Obsérvese que la tercera igualdad permite calcular la intersección de dos eventos cuando se sabe que son independientes.

Intersección de eventos no independientes

Si los eventos A1, A2, A3 no son independientes, para calcular la intersección entre ellos, debemos hacer P (A1∩ A2 ∩ A3)= P(A1)P(A2| A1)P(A3| A1∩ A2)

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Aplicación En un almacén, se hallan 50 contenedores con acido sulfúrico. De éstos, el 90 % cumplen con los requerimientos de humedad solicitados. Si se extraen tres contenedores con reemplazo del stock existente, ¿cuál es la probabilidad de que los tres cumplan con los requerimientos de humedad? Si se extraen tres contenedores sin remplazo, ¿cual es la probabilidad de que los tres cumplan con los requerimientos de humedad?

Teorema o Regla de Bayes

• El Teorema o Regla de Bayes se utiliza cuando en un espacio muestral S se definen más de un evento mutuamente excluyentes y exhaustivos. A su vez existe un evento que tiene elementos en común con los eventos definidos en primer lugar.

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Teorema o Regla de Bayes Supongamos que una bodega de Mendoza existen tres Proveedores de botellas. El proveedor 1 provee el 70% de la totalidad de las botellas, el proveedor 2, el 20 % y el proveedor 3 , el resto. A su vez se sabe que en el caso del proveedor 1, el 95% de las botellas cumple con los requerimientos de calidad, el 90 % de las botellas del proveedor 2 cumple con los requerimientos y el 80 % de las botellas del proveedor 3 cumple con los requerimientos de calidad.

Suponga que en la línea de envasado se halla una botella que no cumple con los requerimientos y provoca un paro en la línea ¿Cuál es la probabilidad de que sea una botella provista por el proveedor 3?

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Teorema o Regla de Bayes Si definimos los eventos D: botella defectuosa E1= botella provista por 1 E2= botella provista por 2 E3= botella provista por 3 La preguntan que se nos efectúa es, sabiendo que la botella es defectuosa ¿cuál es la probabilidad de que sea del proveedor 3?

Teorema o Regla de Bayes

Simbólicamente: P (E3| D) Eso es una probabilidad condicional como las que estamos acostumbrados a resolver P (E3| D) =

P( E3 ∩ D) P( D)

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Teorema o Regla de Bayes

La probabilidad de ocurrencia de D lo obtenemos con la Regla de la Probabilidad Total P (D) = P (D │ E1). P (E1) + P (D │ E2). P (E2) + …+ P (D │ Ek ). P (Ek)

Teorema o Regla de Bayes

Reemplazando P(E3|D)= P( E3 ∩ D) P( D)

=

P ( E3 ∩ D ) P ( D | E1).P( E1) + P ( D | E2 ).P( E2 ) + P ( D | E3 ).P( E3 )

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Teorema o Regla de Bayes Si aplicamos las ecuaciones para nuestro ejemplo P(E1)= 0,7 P(E2)= 0,2 P(E3)= 0,1 P(D |E1)= 0,05 P(D |E2)= 0,1 P(D |E3)= 0,2 P (D)= 0,05.0.7 + 0,1.0.2 + 0,2.0,1= 0,075 Por lo tanto, el 7,5 % de todas las botellas es defectuosa

Teorema o Regla de Bayes

• Reemplazando • P(E3|D)=

P( D | E3 ).P( E3 ) 0,2.0,1 P( E3 ∩ = D) = = 0,27 = P( D) 0,075 0,075

• Interpretación: la probabilidad de que una botella defectuosa haya sido provista por el proveedor 3, es 0,27.

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