Robert Hooke (1635 – 1703)

Tomada de Gordon, J.E.

INTRODUCCIÓN A LA ELASTICIDAD PARA SUELOS

Luis Ortuño Thomas Young (1773-1829)

ELASTICIDAD El modelo más simple para un suelo o una roca sería un material de “CHILE” (Continuo, Homogéneo, Isótropo, Lineal y Elástico). Sólo requiere 2 parámetros: E, ν. La historia de su desarrollo desarrollo, tiene su gracia (ver Gordon Gordon, JJ.E. E 1987):

1.- Robert Hooke (1635-1703) su sobrina, su amigo el relojero y…. Newton 1676: Hooke publica “La La verdadera teoría de la elasticidad “. Como subtítulo, un aviso sin falsa modestia: “Una décima de una centésima parte de las invenciones que pretendo publicar” publicar , y un jeroglífico: CEIIINOSSSTTUV ESTABLECE LA PROPORCIONALIDAD ENTRE FUERZA Y DESPLAZAMIENTO 1679: Posteriormente, en “De De potentia restitutiva, or of a spring”, resuelve el jeroglífico:

UT TENSIO SIC VIS (como la extensión, así la fuerza), Nótese que no existe por el momento el concepto de tensión. Hay que esperar unos cuantos años) Luis Ortuño

ELASTICIDAD 2.- Módulo de elasticidad. Thomas Young (1773-1829) y los jeroglíficos egipcios gp Young, que entre otras cosas dedicó parte de su vida al estudio de los jeroglíficos egipcios, definió su módulo (E), (E) la “constante constante de proporcionalidad” entre tensiones y deformaciones, antes de que existieran los conceptos t de d tensión t ió y d deformación. f ió (P (Por eso quizás no le entendieron muy bien en su momento): “The modulus of elasticity of any substance is a column of the same substance,, capable p of producing a force on its base which is to the weight causing a certain degree of compression as the length of the substance is to the diminution of its length”.

σ E= ε Luis Ortuño

Tomados de Gordon, J.E.

ELASTICIDAD Material Goma Cartílago (humano) Tendón (humano) Polietileno, Nylon Madera (laminada) Madera (según la fibra) Hueso (fresco) Hormigón / Concreto Aleaciones de Mg

E[1]

[2]

[ MPa ] 7

24 600 1400 7000 14 000 21000 27 000

Algunos valores de E (internet) Material E[1] [2] [ MPa ] 50 000 Granito vidrio 70 000 Aleaciones de 70 000 Al Latón 105 000 110 000 Bronce Hierro colado < 175 000 190 000 Hierro forjado Acero 210 000 Zafiro 420 000

42 000 Luis Ortuño

ELASTICIDAD

3.- Tensión, deformación y … coeficiente de Poisson Si se aplica li a una probeta b t d de un d determinado t i d material elástico un incremento de tensiones en una dirección, por la ley de Hooke se tendrá un incremento de deformación en la misma dirección, de valor:

δε v =

δε v =

δσ v

∆L L

E

Ahora bien, también se observa que, en general, los incrementos

de tensión en una dirección producen deformaciones en perpendicular a dicha dirección.

δ h = −νδε δε δ v =−

ν E

δ v δσ

Donde ν se denomina coeficiente de Poisson Luis Ortuño

ELASTICIDAD Tensión, deformación y … coeficiente de Poisson El efecto Poisson es de sobra conocido (y cumple una función fundamental en muchos materiales y estructuras). En palabras simples, es el efecto por el cuál , en general un cuerpo “adelgaza cuando es estirado” o “engorda al ser comprimido”.

δε v =

δσ v E

δε h = −

ν E

δσ v Luis Ortuño

ELASTICIDAD Algunos valores del coeficiente de Poisson. Se pueden observar aspectos curiosos: ‰El corcho tiene ν =0 0 (bueno para estar abriendo y cerrando botellas) ‰ A la arcilla saturada saturada, Wikipedia le asigna ν = 0,5. Esto, para un material elástico, equivale a decir que no cambia bi d de volumen l ((ver más á adelante) d l t ) ‰ Hay materiales con coeficiente de Poisson negativo. Se llaman “auxéticos” y pueden ser muy útiles

material foam glass concrete sand cast iron steel stainless steel clay copper aluminium-alloy titanium magnesium saturated clay gold auxetics cork rubber

poisson's ratio 0.10 to 0.40 0.18-0.3 0.20 0.20-0.45 0.21-0.26 0.27-0.30 0.30-0.31 0.30-0.45 0.33 0.33 0.34 0.35 0.40-0.50 0.42 negative ~ 0.00 ~ 0.50

Fuente: Wikipedia

Luis Ortuño

ELASTICIDAD Materiales “auxéticos” (figuras tomadas de internet) “engordan al estirarse”

Luis Ortuño

ELASTICIDAD 4.- Tensiones normales. Ley de Hooke generalizada. Para un material isótropo, suponiendo un incremento general de tensiones normales en tres planos perpendiculares (y aplicando el concepto de la ley de Hooke y el efecto Poisson, se tiene:

∆ v ∆σ

δε x =

δ 'x δσ

ν'

(δσ ' y +δσ ' z ) E' ν' δε y = − (δσ ' x +δσ ' z ) E' E' δ 'z ν ' δσ − (δσ ' y +δσ ' x ) δε z = E' E'

∆σv

E' δ 'y δσ

−

OBSERVACIONES: ‰ Como tratamos de suelos, empleamos tensiones efectivas (también le podemos poner un apóstrofe a E y a ν, para indicar que se trata de los parámetros de tensiones efectivas). ‰ En suelos y en rocas, las compresiones son positivas. ‰ Obsérvese que en un material elástico las deformaciones normales sólo dependen Luis Ortuño de la tensiones normales.

ELASTICIDAD Tensiones normales. Ley de Hooke generalizada.

δ x= δε

δσ ' x E' δσ ' y

−

ν'

(δσ δ ' y +δσ δ 'z )

E' ν' δε y = − (δσ ' x +δσ ' z ) E' E' δσ ' z ν ' δε z = − (δσ ' y +δσ ' x ) E' E'

La deformación volumétrica será:

∆V = δv = δε x + δε y + δε z V 1 − 2ν ' [δσ ' x +δσ ' y +δσ ' z ] δv = E'

Teniendo en cuenta que la presión efectiva media (o la presión octaédrica… ) es: Resulta:

δv =

δp' =

δσ ' x +δσ ' y +δσ ' z 3

3(1 − 2ν ' ) δp' E' Luis Ortuño

ELASTICIDAD OBSERVACIONES:

∆V 3(1 − 2ν ' ) = δv = δp' V0 E'

δp' =

δσ ' x +δσ ' y +δσ ' z 3

‰ Un “suelo” elástico cualquiera q tendrá en g general un módulo E’ y un coeficiente de Poisson ν’. Ahora bien, si durante un proceso de carga no hay cambio de volumen, tampoco habrá cambios en la tensión efectiva media. ‰ Lo anterior es consecuencia de asumir que el suelo es elástico.

∆V = 0 ⇒ δp' = 0 V0 Luis Ortuño

ELASTICIDAD Tensiones tangenciales

δγ máx = δε1 − δε 3 δ máx = δε δγ δ 1 − δε δ 3=

δ '1 δσ

ν'

(δσ '2 +δσ '3 ) E' E' δσ '3 ν ' δε 3 = − (δσ '1 +δσ '2 ) E' E'

δε1 =

−

1 +ν ' 1 +ν ' [δσ δ '1 −δσ δ '3 ] = 2δτ δ máx E' E'

δγ máx =

2(1 + ν ' ) δ δτ δτ máx = máx E' G

Luis Ortuño

ELASTICIDAD Tensiones tangenciales

δγ máx =

2(1 + ν ' ) δτ δτ máx = máx E' G

G=

δτ máx = G δγ máx

E' 2(1 + ν ' )

OBSERVACIONES: ‰ G es el módulo de rigidez transversal o de corte. ‰ Las deformaciones tangenciales dependen de los incrementos de tensiones tangenciales. ‰ Un incremento de tensión tangencial no produce cambio de volumen. Luis Ortuño

ELASTICIDAD Condiciones edométricas o de deformación lateral nula en un suelo elástico e isótropo. Tomando la vertical como dirección de ∆σ’1 y de ∆ε1 : ‰ En condiciones edométricas o unidimensionales resulta:

∆ε2= ∆ε3=0, ∆σ’2 =∆σ’3

∆σ ' 3 ν ' − ( ∆σ '3 + ∆σ '1 ) = 0 E' E' ∆σ ' 3 ν' (1 − ν ' ) = ∆σ '1 E' E'

∆ε 3 =

⎫ ⎪⎪ ν' ∆ σ ' ∆σ '1 = ⎬ 3 1 − ν ' ⎪ ⎪⎭ Luis Ortuño

ELASTICIDAD Condiciones edométricas o de deformación lateral nula en un suelo elástico e isótropo. ‰ En definitiva, suponiendo que la presión vertical efectiva es la principal mayor mayor, y la horizontal la principal menor (suelo normalmente consolidado o ligeramente sobreconsolidado), el hacer la hipótesis de que el suelo es elástico obligatoriamente implica que el coeficiente de empuje al reposo es:

∆σ 'H =

ν' ν' ∆σ 'V ⇒ K0 = 1 −ν ' 1 −ν '

Luis Ortuño

ELASTICIDAD Módulo de compresibilidad volumétrica (mv) y módulo edométrico Em en un suelo elástico e isótropo. Recordando definiciones y resultados previos:

Em =

∆σ '1 ∆ε 1

mv =

∆ε 1 ∆σ '1

∆σ ' 2 = ∆σ ' 3 =

⎫ ∆σ '1 ν ' ∆ε1 = − ( ∆σ '3 + ∆σ '3 ) ⎪ E' E' ⎪ ∆σ '1 ν ' ⎡ ν ' ⎤ ⎪⎪ ∆ε1 = − ⎢2 ∆σ '1 ⎥ ⎬ E E' ⎣ 1 −ν ' ⎦⎪ ⎪ ∆σ '1 ⎡ 2ν '2 ⎤ ∆ε1 = 1− ⎪ E ' ⎣⎢ 1 − ν ' ⎥⎦ ⎪⎭

ν' ∆σ '1 1 −ν '

∆ε1 1 ⎡ 2ν '2 ⎤ mv = = 1− ∆σ '1 E ' ⎢⎣ 1 − ν ' ⎥⎦ Em =

∆σ '1 ⎡ 1 −ν ' ⎤ = E' ⎢ 2 ∆ε1 ⎣1 − ν '−2ν ' ⎥⎦ Luis Ortuño

ELASTICIDAD Módulo de deformación E’ y coeficiente de Poisson ν’ deducidos de un triaxial con drenaje (CD) para un suelo elástico En un triaxial CD, durante la aplicación del desviador se

mide la deformación vertical (∆ε1) y la volumétrica (∆V/V0). Además, en la fase de rotura se mantiene la presión efectiva de cámara constante:

∆σ '1 > 0 ∆ σ ' 2 = ∆σ ' 3 = 0

∆σ '1 ν ' ⎫ − ( ∆σ ' 2 + ∆ σ ' 3 ) ⎪ ∆σ '1 ⎪ E' E' ⎬E ' = ∆σ '1 ∆ε 1 ⎪ ∆ε 1 = ⎪⎭ E'

∆ε 1 =

Luis Ortuño

ELASTICIDAD Módulo de deformación E’ y coeficiente de Poisson ν’ deducidos de un triaxial con drenaje (CD) para un suelo elástico

⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ∆σ '1 ν ' ∆σ '1 ∆ε 1 = − [∆σ '2 + ∆σ '3 ] = ⎪ E' E' E' ⎪ ∆V ∆σ '3 ν ' ν' V0 ⎪ ∆ε 2 = ∆ε 3 = − [∆σ '1 + ∆σ '3 ] = − ∆σ '1 ⎬ = 1 − 2ν ' E' E' E' ∆ ε 1 ⎪ ∆V ∆σ '1 ⎪ = (1 − 2ν ' ) ⎪ V0 E' ⎪ ∆V ⎪ = ∆ε1 (1 − 2ν ' ) ⎪ V0 ⎭ ∆V ∆V = ∆ε1 + ∆ε 2 + ∆ε 3 V0

Luis Ortuño

ELASTICIDAD Módulo de deformación Eu y coeficiente de Poisson νu deducidos de un triaxial sin drenaje para un suelo elástico ‰ En un triaxial sin drenaje, durante la aplicación del desviador se mide (∆ε1) y (∆u). De la curva (∆σ1 , ∆ε1 ) se puede d deducir d d i un “módulo “ ód l de d d deformación f ió sin i d drenaje” j ” Eu. (Ojo, que está definido en tensiones totales y no es E’)

Eu =

∆σ 1 ∆ε 1

‰Por otra parte, si la saturación es completa, en un ensayo sin drenaje no hay cambio de volumen, y por lo tanto el coeficiente de Poisson en tensiones totales asociado a procesos sin drenaje, νu , será (Ojo, que no es ν’):

∆V 3(1 − 2ν u ) = δp = 0 ⇒ V0 Eu

νu =

1 2 Luis Ortuño

ELASTICIDAD Relación entre módulos E y ν, con y sin drenaje en suelo elástico e isótropo Como el agua no soporta tensiones tangenciales, el módulo de corte del terreno ha de ser igual en condiciones con o sin drenaje:

G' =

1 E' Eu = Gu = ; con ν u = 2(1 + ν ' ) 2(1 + ν u ) 2

Eu = E '

2(1 + ν u ) 2(1 + ν ' )

Eu =

3 E' 2(1 + ν ' )

De nuevo, el resultado anterior es consecuencia directa de suponer el suelo elástico e isótropo Luis Ortuño

ELASTICIDAD Parámetros de presión intersticial en suelo elástico e isótropo

∆u = B[∆σ 3 + A( ∆σ 1 − ∆σ 3 )] B=1 si saturación completa y fluido incompresible:

δv = 0 ⇒ ∆p' = 0 ⇒

∆u = ∆σ 3 + A( ∆σ 1 − ∆σ 3 )

( ∆σ 1 − ∆u ) + ( ∆σ 2 − ∆u ) + ( ∆σ 3 − ∆u ) ∆σ '1 + ∆σ '2 + ∆σ '3 =0⇒ = ∆p − ∆u = 0 3 3

∆p = ∆u Triaxial (∆σ2= ∆σ3):

∆u =

( ∆σ 1 + 2 ∆σ 3 ) 1 = ∆σ 3 + ( ∆σ 1 − ∆σ 3 ) ⇒ 3 3

A=

1 3 Luis Ortuño

ELASTICIDAD Los tejidos, los vestidos ceñidos y…. una ingeniosísima introducción del Prof. Gordon (1987) a la anisotropía: anisotropía El corte al bies, inventado por Madeleine Vionnet)

Trama y urdimbre en vertical y horizontal. poco extensibles bajo j p peso del tejido: j Hilos p E elevado. Poco contracción lateral: ν pequeño Se necesitan lazos para ceñir la ropa Trama y urdimbre a 45º. Extensión mayor bajo peso propio tejido: E pequeño Gran contracción lateral: ν grande La ropa se ciñe sola y no hacen falta lazos Tomada de Gordon, J.E. , 1987

Luis Ortuño

BIBLIOGRAFÍA ‰ González de Vallejo, L., Ferrer, M., Ortuño, L. & Oteo, C. (2002): “Ingeniería Geológica”. Prentice Hall. Madrid. ‰ Gordon, J.E. (1987). “Structures or why things don’t fall down”. Pelican Books. Penguin. ) Geotecnia y Cimientos II. Editorial Rueda. Madrid. ‰ Jiménez Salas, J.A. et al. ((1976):

Luis Ortuño