LA VALIDACIÓN DEL TEOREMA DE PITÁGORAS: DE YOUTUBE A LA DEMOSTRACIÓN EUCLIDIANA Prof.Esp. Marina Nagel - Prof.Mg. Beatriz Vega Escuela Normal Superior N° 32 “Gral. San Martín” [email protected] - [email protected]

Trabajo de investigación - La educación matemática en la escuela secundaria - Nivel Secundario y Superior Resumen: Este trabajo es un avance de una investigación que estamos realizando desde la cátedra de Didáctica Específica y Taller de Docencia III, del Profesorado en Matemática para la Educación Secundaria de la Escuela Normal Superior N° 32 “Gral. San Martín”, IFD de la ciudad de Santa Fe. La propuesta surge con la intención de realizar aportes a la formación inicial de un profesor en Matemática, en un aspecto central de la gestión de la clase: la validación, a la luz del encuadre que brindan los Núcleos de Aprendizaje Prioritarios (NAP) y las Orientaciones Curriculares de la Provincia de Santa Fe. Analizamos materiales didácticos utilizados para validar el teorema de Pitágoras desde videos de YouTube ysoftware educativos, pasando por los múltiples rompecabezas que intentaron verificar esta importante relación de los lados de los triángulos rectángulos, para aproximarnos al tratamiento realizado por Euclides en el siglo III AC. También consideramos las propuestas sobre el tema en libros de texto utilizados actualmente en las aulas. En esta comunicación no reflexionamos sobre el valor de estos recursos en la enseñanza de la Matemática, sino sobre el tipo de actividad matemática que permiten generar, la gestión de la clase que deviene a partir desu usoy el grado de problematización que pueden propiciar. Introducción Este trabajo es un avance de una investigación que estamos realizando desde la cátedra de Didáctica Específica y Taller de Docencia III, del Profesorado en Matemática para la Educación Secundaria de la Escuela Normal Superior N° 32 “Gral. San Martín”, IFD de la ciudad de Santa Fe. La propuesta surge con la intención de realizar aportes a la formación inicial de un profesor en Matemática, en un aspecto central de la gestión de la clase: la validación, a la luz del encuadre que brindan los Núcleos de Aprendizaje Prioritarios (NAP) y las Orientaciones Curriculares de la Provincia de Santa Fe. El Teorema de Pitágoras representa históricamente el paso dela especulación empíricae inductiva a los dominios del razonamiento deductivo.Este clásico en la enseñanza de todos los niveles, a menudo es convertido en un ‘monumento’ de visita obligada, reducido a su mera enunciación y su aplicación inmediata, y no una oportunidad para desplegar un verdadero trabajo matemático que aportea la problematización, a la elaboración de conjeturas, a su validación, al debate y la comunicación de procesos y resultados, al modo de una “microsociedad científica”,tal como lo proponen los documentos curriculares. Por esta razón es importante “introducir a los alumnos en las formas de trabajo de esta disciplina; entonces, la enseñanza de los modos de argumentar válidos en ella y, en particular, la iniciación en la demostración, aparecen en primer plano en la escolaridad secundaria”. (Chemello y Crippa, 2011,p.55) El teorema de Pitágoras es tratado en la enseñanza de múltiples formas. Es nuestra intención en esta comunicación poner en tensión algunas de ellas a la luz de lo que entendemos por actividad matemática, y en particular, por validación, ya que siguiendo a Sadovsky, si no hay validación de la actividad que se realiza, no hay Matemática, sea cual sea el año escolar del que se trate. (1999, p. 126). Haremos un breve recorrido por los recursosmás utilizadosa propósito de la validación de este teorema, que van desde los actualísimos videos de YouTube y los software educativos, pasando por los rompecabezas que intentaron verificar esta importante relación de los lados de los triángulos rectángulos, para aproximarnosal tratamiento realizado por Euclides en el siglo III antes de nuestra era (Libro I Proposición 47). En esta comunicación no reflexionamos sobre el valor de estos recursos en la enseñanza de la Matemática, sino sobre el tipo de actividad matemática que permiten generar, la gestión de la clase que deviene a partir de su uso y el grado de problematización que pueden propiciar. Delimitación del estudio Al abordar el tema, consideramos necesario recordar las transformaciones que sufren los objetos del saber y su impacto en el sistema educativo, que son la expresión del proceso de transposición didáctica, que implica dos fases: la primera concierne al pasaje del saber sabio al saber a enseñar y la segunda, el pasaje del saber a enseñar al saber enseñado. En esta segunda fase, podemos

mencionar los libros de texto y los materiales didácticos. La idea de transposición didáctica tracciona la necesidad de la vigilancia epistemológica, es decir, una atenta mirada respecto de la brecha que existe entre el saber académico y el saber a enseñar, más aún en un momento en el que, junto a los libros de texto, el sistema educativo ha incorporado el uso de recursos informáticos. Consideramos el Teorema de Pitágoras por su gran valor práctico, teórico y didáctico, dada la variedad de prácticas de validación que permite desplegar y porque puede ser el umbral que inicia las prácticas deductivas. Las preguntas que guiarán nuestra tarea serán:¿Qué papel juegan los recursos didácticos en torno a la validación del Teorema de Pitágoras?¿Todo recurso puede llevar a los estudiantes a realizar diversidad de prácticas (dar ejemplos, medir, calcular, relacionar, argumentar, validar) o por el contrario,una presentación ostensiva laslimita a la mera observación y verificación?¿Se responsabiliza a los estudiantes de la necesidad de validar?¿Qué tipo de validaciones en la escuela secundaria? Metodología Desde el punto de vista del proceso de investigación, si tenemos en cuenta que “las investigaciones exploratorias pretenden darnos una visión general, aproximada, respecto a un determinado objeto de estudio” y que “la preocupación primordial de las investigaciones descriptivas radica en describir algunas características fundamentales de fenómenos, utilizando criterios que permitan poner de manifiesto su estructura o comportamiento” (Sabino, 1996, p. 44), podemos caracterizar nuestra investigación como exploratoria descriptiva. Cabe aclarar que para esta presentación realizaremos fundamentalmente un análisis a priori de las actividades presentadas. Consideramos videos de YouTube, el software GeoGebra, rompecabezas y actividades planteadas en libros de texto de Matemática de uso habitual en los primeros años de la escuela secundaria. Analizamos el tratamiento de la validaciónasí como el tipo de prácticas que se ponen en juego a partir de los distintos recursos. Para tal fin consideramos como indicadores siel recurso favorece las tareas de validación ylos tipos de pruebas (pragmáticas o intelectuales) que permiten desplegar. Elementos teóricos que orientan el análisis La Geometría, y en particular el tratamiento escolar del tema que nos convoca: el teorema de Pitágoras, se caracteriza por una fuerte componente ostensiva.Para Bosch los objetos ostensivos son aquellos objetos materiales que se perciben a través de los sentidos, o que están dotados de cierta materialidad como las escrituras, gráficos, gestos o discursos, a diferencia de los objetos noostensivoscuyaexistencia no se puede percibir ni mostrar por sí mismos, y que pueden ser “invocados” o “evocados” mediante la manipulación de ciertos objetos ostensivos apropiados. En esta categoría se incluyen las ideas, los conceptos, las creencias, etc. Bosch postula la coexistencia permanente y dialéctica de los objetos ostensivos y los objetos no ostensivos, ya que mientras estos últimos emergen de la manipulación de los primeros, al mismo tiempo, la manipulación de los objetos ostensivos está siempre guiada y controlada por objetos noostensivos. (Bosch, 2001). Por otra parte, desde la aproximación ergonómica o instrumental (Rabardel, 1995; Trouche, 2011) se plantea la constante presencia de artefactos en la actividad matemática en la historia, y particularmente en la matemática escolar. Lo que es necesario reconocer es que esta mediación influye en la naturaleza transpuesta del saber matemático, en el proceso de conceptualización por parte del estudiante, producto de las tareas realizadas, en las acciones del profesor en relación a la gestión didáctica de dichos instrumentos. (Trouche, 2011). Por lo expresado, es central considerar el problema epistémico en relación a dichos artefactos a modo de considerar el riesgo que una actividad pensada como matemática termine siendo una actividad práctica o lúdica. Por otra parte, para delimitar qué entendemos por validación, acordamos con Margolinas(2009) que es un proceso que funciona en paralelo a la resolución de un problema, garantizando la validez de su desarrollo y resultado, produciendo una explicación, una demostración o una prueba. Ahora bien, es necesario tensionar las distintas connotaciones que tiene la palabra demostración según la institución en la que se considera: no se interpreta del mismo modo en la institución ‘vida cotidiana’ y en la institución ‘matemática’, y además, corresponde diferenciar su sentido en la institución ‘escolar’, en la que, en el nivel secundario, se inicia al alumno con esta tarea que caracteriza el saber matemático.Por ello, consideramos como marco teórico la postura de Balacheff (2000)quien distingue los conceptos de explicación, prueba y demostración, según cada comunidad de referencia.

Una explicación es todo discurso sostenido por una persona o grupo, cuyo objetivo es el de comunicar a otro el carácter de verdad de una proposición o de un resultado. Las pruebas, son explicaciones aceptadas por una comunidad dada en un momento dado. En la comunidad matemática, se aceptan pruebas que adoptan una forma particular: las demostraciones, caracterizadas por la presencia de algunos enunciados considerados como axiomas, otros que se deducen de ellos o de otros enunciados anteriormente demostrados por un conjunto de reglas lógicas, operando sobre objetos ideales. Distingue dos tipos de pruebas: las pragmáticas y las intelectuales. Las pruebas pragmáticas son las ligadas a la acción y a la experiencia. Las intelectuales, dan cuenta de un distanciamiento de la acción por parte del autor, considerando a la demostración una prueba intelectual particular. (Balacheff, 2000) Ahora bien, siguiendo a Chevallard (1989), es fundamental considerar que si la demostración ha de convertirse en contenido de enseñanza, debe sufrir una transformación adaptativa, una transposición didáctica, como todo objeto matemático. Para analizarla, en primer lugar debemos preguntarnos ¿por qué querer demostrar en la escuela secundaria? Es decir, plantearnos ‘su razón de ser’ en el currículum. Para el grupo IREM la demostración tiene dos funciones: - convencer o convencerse de la validez de un resultado o procedimiento producto de una incertidumbre, - comprender en un sentido matemático, o sea, establecer lazos entre las evidencias y las propiedades conocidas por el estudiante. (IREM, citado en Arsac, 1992, p. 6) En otras palabras, la primera función responde a la pregunta ¿es verdad?, mientras la segunda a ¿por qué es verdad?, denotando –según Arsac- otro nivel de complejidad. Por tanto, pensando en las primeras experiencias de los estudiantes encaminados hacia la validación, sin dudas, la primera función resulta más accesible porque dispondrá como herramientas de pruebas pragmáticas, las vinculadas con la verificación de la conjetura o la constatación empírica producto de la visualización o la medición sobre un dibujo, para avanzar sobre pruebas intelectuales, reconociendo la insuficiencia de las primeras. Por último, y en estrecha relación con lo anterior, es necesario que en el contrato didáctico establecido en el aula para el desarrollo de tareas de validación, se consideren las reglas del debate matemáticoidentificadas por Arsac(1992), que se refieren a enunciados generales y cuestionanotros modos de validar externos a la Matemática naturalizados por el uso social. Algunas de esas reglas son: - que un enunciado es verdadero o es falso (principio de tercero excluido) - que un contraejemplo es suficiente para invalidar un enunciado, - que no son suficientes algunos ejemplos que verifican un enunciado para probar que es verdadero, - que no se puede constatar un enunciado en un dibujo para decidir si es verdadero. Los recursos seleccionados y su análisis Para desarrollar nuestro trabajo imaginemos una clase de matemática de primero o segundo año de la escuela secundaria santafesina, un profesor que anuncia el tema a abordar: el Teorema de Pitágoras y la mayoría de los alumnos con sus netbooky la posibilidad de conexión a Internet. Siguiendo con la escena imaginada, es muy factible que alguno ingrese a Google y tipee‘Teorema de Pitágoras’. En la lista desplegada, aparecen variados videos de YouTube, tal como el que se encuentra en la siguiente dirección y que consideraremos simplemente a efectos ilustrativos: http://www.youtube.com/watch?v=1er3cHAWwIM (ilustración 1. El dispositivo está compuesto de

tres recipientes prismáticosde la misma altura, apoyados en los lados de un triángulo rectángulo, que contienen un líquido coloreado, que se va trasvasando al girar el disco sobre el que están ubicados.

Hemos expresado que el uso de recursos siempre genera efectos sobre la actividad matemática del estudiante y en la conceptualización. Sin lugar a dudas, este recurso se caracteriza por una fuerte componente ostensiva, ariesgo de que el concepto quede pegado al dispositivo, a la anécdota, de modo que en vez de interpretar la propiedad, los estudiantes piensen, por ejemplo: “que el agua de dos recipientes chicos entra en el recipiente más grande”, o “que la capacidad de los dos recipientes más pequeños es igual a la capacidad del mayor”.O bien, en el mejor de los casos planteen que “el volumen del prisma más grande es igual a la suma de los volúmenes de los prismas más pequeños”. Por otra parte, el mismo video habla de ‘Demostración’ cuando en realidad lo que se hace es una mera mostración de un hecho físico –el llenado de recipientes-, no matemático.Y nos preguntamos: ¿Cómo se enuncia desde este dispositivo el teorema de Pitágoras? En respuesta a la pregunta anterior, nos interesa destacar que en el museo interactivo de la Ciudad de Buenos Aires, “Prohibido no tocar”, que muchas escuelas visitan, se encuentra este mismo artefacto acompañado por un poster (ilustración 2) cuya pretensión es responder la pregunta planteada.
Para hacer y observar 1. Girá el dispositivo, de modo que el cuadrado “H” quede arriba y horizontal. 2. Notá que el líquido azul se deposita cubriendo la totalidad de los cuadrados “A” y “B”. 3. Ahora ubicá el dispositivo de modo que el cuadrado “H” quede abajo.
¿Qué está sucediendo? Tenemos 3 cuadrados: “A”, “B” y “H” y un triángulo definido por los lados “a”, “b” y “h”. El líquido azul que estaba sobre la superficie de los cuadrados “A” y “B” ocupa la misma superficie que el cuadrado “H”. …

Las explicaciones del poster, que pretenden explicar el fenómeno observado, conllevan serios errores conceptuales en un ámbito que pretende la difusión científica, de modo que si quien lo lee no tiene formación matemática, le aporta solo confusiones conceptuales en relación a objetos de Geometría y Medida: diferencia entre figura y cuerpo y entre superficie y volumen. Seguidamente, y a través de un salto injustificado, se muestra el caso particular del triángulo de lados 3, 4 y 5. De este modo, se enuncia una propiedad y el lector puede llegar a entender que la mera verificación de un caso particular es suficiente para establecer la verdad de dicho enunciado. De allí la importancia del rol del profesor en esta tarea de vigilancia epistemológica a la que hicimos referencia anteriormente, y de una adecuada intervención de modo de no quedarse en la simple observación de un fenómeno, ni la trivialización de los procesos de validación en Matemática, porque una verificación de una propiedad general en unos o muchos ejemplos no es suficiente para garantizar su veracidad. Por tanto, es tarea del profesor recuperar de la institución ‘vida cotidiana’ recursos de este tipo y cuestionarlos a la luz de lo que es el proceso de validación en Matemática. En este caso, se podríaavanzar, por ejemplo, con un trabajo algebraico que permita establecer una prueba más elaborada de la relación pitagórica a partir de la relación entre los volúmenes de los tres paralelepípedos de alturas constantes.En efecto, si expresamos la altura de los paralelepípedos con y, obtenemos: Volumen H = Volumen A + Volumen B Superficie base H x y = Superficie base A x y + Superficie base B x y h2 .y = a2 . y + b2 .y ⇒h2 = a2 + b2 Una situación similar es la experiencia de construir y pesar placas de madera del mismo material (espesor y densidad). De este modo, como el peso es proporcional al área, se verifica la relación. Ahora bien, estos recursos bien utilizados –y sin errores conceptuales- pueden propiciar el desarrollo de pruebas más elaboradas, que sin llegar a ser pruebas intelectuales propias de la

comunidad matemática, aportan a la comprensión de un estudiante del ciclo básico, del proceso de validación en esta ciencia. Continuamos el análisis conlos puzzles y los applets. Ambos ofrecen a los estudiantes la posibilidad de realizar pruebas empíricas del Teorema de Pitágoras. Sin duda, esta es la manera devalidar de un alumno de la escuela primaria o inicios de la secundaria, pero necesariamente en este nivel hay que avanzar hacia las pruebas intelectuales, de lo contrario reducimos el recurso a una propuesta manipulativa. De todos modos, como profesores no podemos desconocer que la mayoría de los estudiantes quedarán convencidos de la veracidad del teorema a partir de trabajar con los puzzles o de la visualización de los applets.Por tanto, pedirles que demuestren la relación entre los lados de un triángulo rectángulo no sería adecuado, ya que los estudiantesno comprenderíanla necesidad de demostrar algo que es obvio. Pero dado que un puzzle no es una buena pruebaporque se trabaja con casos particulares y en algunos de ellos sus piezas parecen estar juntas y sin embargo no lo están, este es el momento de introducir la necesidad del trabajo desde otros marcos, tal como el algebraico. Una propuesta al respecto es la demostración realizada por el monje, matemático y astrónomo hindú, Bhaskara, del siglo X d.C., quien propone partir de un triángulo rectángulo ABC y descomponer el cuadrado BCJI sobre la hipotenusa a, en cuatro triángulos iguales al ABC más un cuadrado PLQM de lado c-b. De este modo resulta que:

Como podemos observar, el trabajo con puzzles se ve enriquecido por el trabajo con el álgebra. Sin dudas, el pasaje entre los distintos marcos (Douady (s/f, p. 6) permite a los estudiantes entender la Matemática como un todo, y la potencialidad del álgebra para modelizar. Del mismo modo, el uso de software educativo, tal como el GeoGebra permite conjeturar las relaciones entre los lados del triángulo rectángulo, pero de ningún modo validarlas. Entonces… ¿qué hacer para que los estudiantes reconozcan que en la actividad matemática es necesario validar? Luego, ¿los estudiantes deben aprender a demostrar? Si bien la demostración es una tarea propia del hacer matemática, no estamos postulando la necesidad de volver a las demostraciones de teoremas al modo de la Geometría Euclidiana, sino más bien planteamos la importancia de presentar situaciones problemáticas, que por sí mismas involucren la actividad de validación en la institución escuela secundaria. Indagando libros de texto de 1° año de la escuela secundaria, encontramos distintas opciones. A modo de ejemplo, consideramos dos: Libro 1:

La prueba intelectual posible del inciso c) para un estudiante de primer año puede ser: Área del cuadrilátero MNQP: A =

=

Suma de las áreas de los tres triángulos que forman el trapecio: S = Como A = S, se obtiene que: Libro 2:

=

⇒

=

⇒

+

La posibilidad de ‘demostrar’ en este caso es un tanto dificultosa, ya que el procedimiento debe sustentarse en la congruencia de triángulos y en la equivalencia de áreas, con un procedimiento similar al que se da a continuación: Utilizando un argumento similaral de la de Euclides, se consideran los triángulos JBC, JAB, BCG y BMG y se comparan sus áreas. En efecto: • área ∆JBC = área ∆ JBA, pues tienen la misma base JB y la misma altura por ser IA paralela JB. • Por otra parte, los triángulos JBA y BCG son congruentes, ya que: BA ≅ BG JB ≅ BC ángulo JBA ≅ ángulo CBG, ya que ambos resultan de agregarle al ángulo CBA, un ángulo recto. Luego: área ∆ JBA= área BCG. • área ∆ BCG = área ∆ BMG, porque tienen la misma base BG y la misma altura por ser BG paralela a CD. Por otra parte, el área del cuadrado JICB es el doble del área del triánguloJCB, ya que tienen la mismabase y altura, así como el área del rectángulo BMDG es el doble del área del triángulo BMG, por tener igual base y altura. Luego resulta que el área del rectángulo BMDG es igual alárea del cuadrado JICB. Razonando de forma análoga se demuestra que el área del rectángulo MAHD es igual al áreadel cuadrado CFEA. Este tipo de propuestainvolucra relaciones complejas y se necesita de un trabajo previo en geometría que proporcione la posibilidad de ser realizado por estudiantes de 1° Año de la escuela secundaria. Por ello apelamos a la importancia de que el profesor realice un análisis a priori de las actividades a seleccionar que considere los saberes disponibles de los estudiantes en esa etapa de la escolaridad. A modo de reflexiones finales Esta brevísima reseña sobre formas de validar el teorema de Pitágoras, nos ha permitido elaborar algunas reflexiones en torno a la actividad matemática: -necesidad de la vigilancia epistemológica, es decir, una atenta mirada respecto de la brecha que existe entre el saber académico y el saber a enseñar, más aún en este momento en el que, en la escuela han incorporado los recursos informáticos. -la persistencia en las aulas de un modelo didáctico en el que el profesor “muestra las nociones, las introduce, provee los ejemplos y el alumno escucha, imita, se ejercita y al final aplica” (Charnay,1994, p.55), no permite que los estudiantes vean la necesidad de la validación, ya que el profesor es el responsable de la legitimidad y la validez de lo que se construye. -para superar esta dificultad en la enseñanza se impone una gestión de la clase diferente,comenzando por un profesor que plantee situaciones problemáticas a partir de las cuales el alumno ensaye, busque, proponga soluciones, las confronte con las de sus compañeros y se responsabilice de sus producciones. Esto significa que el profesor no debe tomar las decisiones, sino participar con buenas preguntas y devoluciones durante la resolución del problema propuesto, favoreciendo la construcción de pruebas autónomas por parte de los estudiantes. -en el caso de los puzzles, se deberá trabajar para que el estudiante comprenda que constituyen pruebas empíricas en casos particulares y más aún,se deberían manipular falsos puzzles para convencerlos de la necesidad de otras herramientas tal como la demostración, porque “un puzzle en el que el que no se justifica el encastramiento de los trozos por cálculos de ángulos o por demostraciones geométricas, no es prueba de igualdad de áreas. Nose debería mostrar un puzzle a los alumnos paradespués admitir el teorema de Pitágoras, pareciendo que se hizo una demostración.”(Berté,1999, p. 180)

-más allá del Teorema de Pitágoras elegido como eje del trabajo, las situaciones que se propongan para cualquier tema en la clase de Matemática deben favorecer la elaboración de pruebas y la discusión sobre cómo hacerlas, y facilitar la evolución de los modos naturales de razonar hacia los modos válidos en la cultura matemática. ReferenciasBibliográficas Arsac, G.; Chapiron, G.; Colonna, A.; Germain, G. ; Guichard, Y. ; Mante, M. (1992) Initiation au reisonnement déductif au collège. IREM: Lyon. Balacheff, N. (2000) Procesos de prueba en los alumnos de Matemáticas. Bogotá: Una empresa docente. Berté, A. (1999). Matemática dinámica. Buenos Aires: AZ Editora. Bosch Casabó, M. (2001). “Un punto de vista antropológico: La evolución de los ‘instrumentos de Representación’ en la actividad matemática. En Contreras L. (eds.) Cuarto Simposio de la Sociedad Española de Investigación en Educación Matemática. Universidad de Huelva. Charnay, R. (1994). “Aprender (por medio de) la resolución de problemas”. En Parra, C y Saiz, I (Compiladoras). Didáctica de Matemáticas. Aportes y reflexiones. Paidós Educador Chemello, G. (Coord.) (2010). Matemática II. Buenos Aires: Longseller Educación. Chemello, G. y Crippa, A. (2011). “Enseñar a demostrar: ¿una tarea posible?” En Díaz, A (Coordinadora). Enseñar Matemáticas en la Escuela Media. Buenos Aires: Biblos. Chevallard, Y. (1989). La transposición didáctica. Del saber sabio al saber enseñado. Buenos Aires: Aique. González Urbaneja, P. (2008). “El teorema llamado de Pitágoras. Una historia geométrica de 4.000 años”. Revista Sigma Nº 32, pp.103-130. Itzcovich, H. (Coord.) (1998). El libro de la Matemática-8. Buenos Aires: Editorial Estrada. Margolinas, C. (2009) La importancia de lo verdadero y lo falso en la clase de Matemáticas. Traducción: Acosta Gempeller. Colombia: Univ. Industrial de Santander. Rabardel, P. (1995). L’homme et les outils contemporains. Paris: A. Colin. Sabino, C. (1996). El proceso de investigación. Editorial Lumen HVMANITAS. Buenos Aires. Sadovsky, P. (1999) “Pensar la Matemática en la escuela”. En Poggi, M (compiladora) Apuntes y aportes para la gestión curricular. Buenos Aires: Kapelusz. Trouche, L. (2011) De los libros de texto a los recursos en línea: evoluciones tecnológicas, evolución de los acercamientos/enfoques didácticos. Mimeo de Escuela de Invierno en Didáctica de la Matemática. UNSAM: Buenos Aires. Libros y Páginas web consultadas: Douady, R. Relación enseñanza – aprendizaje, dialéctica instrumento - objeto, Juego de marcos. Cuaderno de Didáctica de la Matemática Nº 3. Disponible en: http://www.slideshare.net/favalenc/dialectica-douady Video YouTube. Disponible en: http://www.youtube.com/watch?v=1er3cHAWwIM