Trabajo No 3. Teor´ıa de Portafolios BONOS Norman Giraldo G´ omez EIO - Universidad Nacional de Colombia [email protected] Junio, 2009

1.

Introducci´ on

El Trabajo No 3 consiste de dos puntos. Cada grupo ´o persona individual tiene asignados 1 punto de los 2 que se enuncian a continuaci´on. Al final de este tema est´ a la tabla de asignaci´ on de puntos para cada grupo. En la p´agina del curso hay algunas funciones en R para los c´alculos de este trabajo, que pueden ser de utilidad. Los c´alculos pueden hacerse en otro software p.ej. Excel.

2.

Notas

Base Para los c´alculos se asumir´a que todos los meses son de 30 d´ıas y el a˜ no tiene 360 d´ıas. Es decir, una base 30/360. Estructuras de Tasas de Inter´ es. Una estructura temporal proporciona las tasas i(0, t) de los CDT para distintos vencimientos t. En este trabajo indicaremos por D(t) el correspondiente factor de descuento D(t) = (1 + i(0, t))−t . El t est´a en a˜ nos o fracciones de a˜ nos. Por ejemplo, t = 5/12 indica cinco meses en forma de fracci´on. Y t = 3 indica tres a˜ nos. Para este Trabajo utilizaremos las estructuras de tasas de inter´es dadas por las expresiones (1) y (2), correspondientes a 19/10/2001 y 08/06/2009, respectivamente. D1 (t) = 1.004142 − 0.117324t + 0.004957t2 ,

1

(1)

D2 (t) = 1.003386 − 0.068290t + 0.001890t2 .

(2)

Ejemplo 1. Si t = 1 (un a˜ no) y D1 (1) = 0.8955 esto significa que el factor de descuento a 1 a˜ no el 19/10/2001 fu´e 0.8955. De manera equivalente, utilizando la relaci´on (1), la tasa efectiva anual para un a˜ no, el 19/10/2001 era: i(0, 1) = D1(1)−1 −1 = 1/0.8955−1 = 0.1167. Tasas forward. El s´ımbolo f(t1,t2) indica la tasa efectiva forward, que se define como la tasa efectiva anual para el per´ıodo futuro [t1,t2], dentro de t1 a˜ nos. Las tasas forward son tasas diferidas. Aplican dentro de t1 a˜ nos para un per´ıodo de t1 a t2 a˜ nos. La tasa f(t1,t2) se define por la identidad (3): (1 + i(0, t1))t1(1 + f (t1, t2))t2−t1 = (1 + i(0, t2))t2

(3)

(1 + f (t1, t2))t2−t1 = D(t1)/D(t2),

(4)

f (t1, t2) = [D(t1)/D(t2)]1/(t2−t1) − 1.

(5)

de donde y Ejemplo 2. Suponga la estructura (1). Se colocar´an $100 a inter´es dentro de 8 meses por un per´ıodo de 4 meses. Usando la ecuaci´on (4) el valor futuro de esos $100 dentro de 8+4=12 meses es igual a 100D1 (8/12)/D1 (1) = 103.57. Como usamos fracciones de a˜ no colocamos 8/12 en lugar de 8 y 1 en lugar de 12. La tasa de inter´es durante los 4 meses la llamamos tasa forward a cuatro meses, dentro de ocho meses. Se obtiene reemplazando t1=8/12, t2=1=(8+4)/12, 1/(t2-t1) = 3, en (4). Entonces f (8/12, 1) = [D1 (8/12)/D1 (1)]3 − 1 = (0.9275/0.8955)3 − 1 = 0.111. Esta es una tasa efectiva anual. Margen. Definimos el margen de un CDT, im , como una tasa que resulta de la diferencia entre la tasa de emisi´on del CDT id y la tasa seg´ un la estructura temporal de tasas vigente en la fecha de emisi´on del CDT, i(0, d), seg´ un la ecuaci´on siguiente im = (1 + id )/(1 + i(0, d)) − 1

(6)

Note que a partir de (6) se tiene aproximadamente: i(0, d) + md = id , que es la relaci´on de la Circular Externa 20/95 de la Superbancaria, sec. 6.5.2: “...para determinar las tasas de descuento para cada pago basta con tomar la tasa cero cupon del plazo correspondiente al pago... y sumarle el margen para obtener la tasa de descuento buscada ”.

Uso de algunas funciones en R 2

1. Uso de la funcion tir(). Colocando i = tir(A,t,cf), donde A es el precio de emisi´on, nos o fracciones de a˜ no, y t = (t1 , . . . , tn ) es el vector de los tiempos de pagos en a˜ cf = (C1, . . . , Cn ) es el flujo de pagos del bono, se obtiene la tasa interna de retorno a la emisi´on del bono. Por ejemplo, si es un bono con 12 pagos semestrales, con tasa de cup´on 0.08 efectiva semestral, con valor facial 100, y valor de redenci´on 100, con precio A = 98, se coloca source("tir.r") A = 98 t = seq(1,12,1)/2 cf = rep(0.08*100, 12) cf[12] = cf[12] + 100 i = tir(A,t,cf) calcula una tir efectiva anual de 0.172218, que equivale a una tasa efectiva semestral de 0.08269017. 2. Uso de la funci´on precio.bono(). Colocando (con los valores anteriores) n = 12 is = (1+i)^(1/2)-1 A = precio.bono(F,C,r,is,n) se obtiene el valor 98.000. 3. Para calcular con las estructuras temporales se define una funci´on que dependa del tiempo en a˜ nos o fracciones de a˜ no. Por ejemplo, para calcular la tasa spot efectiva anual a 1 a˜ no con la estructura (2) se coloca d2 = function(t) 1.0054 - 0.1287*t + 0.0166*t^2 i = (d2(1))^(-1) - 1 y se obtiene 0.07359263.

3.

Puntos del Trabajo

1. Suponga que se invierten A = $100 millones en un portafolio de CDT’s a 60, 90, 180 y 360 d´ıas. Las tasas efectivas anuales de los CDT son y = (y1, y2 , y3, y4). Los porcentajes invertidos en cada CDT se indican con w = (w1, w2 , w3, w4 ). 3

Este portafolio tiene un flujo de cuatro pagos Cj , j = 1, 2, 3, 4, en los tiempos t1 = 60/360, t2 = 90/360, t3 = 180/360, t4 = 1. En la p´agina http://www.larepublica.com.co/indicadores/financiera.php escoja los cuatro CDT y las tasas que ofrecen para los per´ıodos indicados. Adem´as, escoja los porcentajes a invertir en cada CDT. Con estos datos calcule lo siguiente. a) Encuentre el valor de los pagos Cj usando las tasas de los CDT. b) Encuentre la TIR de este portafolio al momento de emisi´on. Comp´arela con la tasa spot a 1 a˜ no seg´ un la estructura temporal (2). Encuentre el margen. c) Encuentre la duraci´on D de este portafolio. Nota: la duraci´on en d´ıas es 360D. d ) Suponga que este portafolio se negocia en una fecha igual a la duraci´on para inmunizarlo contra cambios en las tasas de inter´es. A qu´e precio se negocia?. Sugerencia: encuentre cu´antos pagos faltan por realizarse en el intervalo de tiempo desde D hasta 1. Descuente estos pagos usando las tasas de inter´es de los CDT (es lo mismo que usar las tasas spot mas margen). e) Calcule el valor futuro de los pagos, reinvertidos seg´ un la estructura (2), es decir, calcule 4 X VF = Cj (1 + f (tj , 1))1−tj . j=1

Es un valor futuro calculado al momento de la inversi´on. f ) Encuentre la tasa de rendimiento al vencimiento ie dada por ie = (V F/A) − 1. Esta es la tasa que obtiene el inversionista reinvirtiendo los pagos de los CDT seg´ un la estructura temporal de las tasas. 2. El bono A tiene vencimiento a 10 a˜ nos, tasa de cup´on de 7 % y valor facial 100000. El bono B tiene vencimiento a 10 a˜ nos, tasa de cup´on de 9 % y valor facial 100000. Los precios de emisi´on de los bonos A y B son P a = 100000 y P b = 142100, respectivamente. Considere un portafolio con estos dos activos, con Na unidades del bono A y Nb del bono B. La fecha de compra de ambos bonos es 19/10/2001. El vencimiento de ambos es 19/10/2011. Los valores Na y Nb se asignan en la lista al final del tema. a) Encuentre el valor V del portafolio, los porcentajes invertidos en cada bono wa = NaP a/V, wb = 1 − wa, y el flujo de pagos de este portafolio: cf b) Encuentre la TIR de ambos bonos. c) Encuentre la TIR de este portafolio, al momento de emisi´on. Comp´arela con la tasa spot a 1 a˜ no seg´ un la estructura temporal (2). Calcule el margen. 4

d ) Encuentre las duraciones Da y Db de los dos bonos y la del portafolio, D. Recuerde que D = wa Da + wb Db . Encuentre la fecha de la duraci´on: dd/mm/aa. Luego contabilice cu´antos dias faltan para los pagos de los cupones restantes. Y el valor de estos pagos. e) Suponga que este portafolio se negocia en la fecha correspondiente a D, es decir, la duraci´on. A qu´e precio deber´ıa negociarse?. Con los datos de los d´ıas que faltan para los pagos restantes y los valores de los mismos encuentre el valor presente descontando con la estructura temporal (2) m´as el margen. f ) Encuentre el valor futuro de los pagos ya causados hasta D usando la tir del portafolio. g) Encuentre la tasa de rendimiento al vencimiento ie en la fecha D: ie = ((V F + P V )/V )1/D − 1, donde V = valor del portafolio, PV = precio de venta, VF = valor acumulado de pagos. Se cumple ie ≥ T IR?.

4.

Presentaci´ on y Valor del trabajo

Presentar el informe con procesador Word ´o LaTex. Hojas tama˜ no carta, numeradas. Presentaci´on con formato tipo art´ıculo, es decir, el contenido debe estar en este orden: t´ıtulo, autores, resumen, introduccion, desarrollo, conclusiones, bibliograf´ıa. Gr´aficas numeradas. El valor de este trabajo es 33 %.

Referencias [1] Elton, Gruber (2004). Modern Portfolio Theory and Investment Analysis. Wiley.

5

Asignaci´ on de Puntos Grupos Estudiantes 1 Juan Jos´e Escobar Puerta – Fabio Andr´es G´ omez 2 Gisela D´ıaz Ochoa – Jorge Moreno Bedoya 3 Natalia Alvarea Lopera – Lina Betancur G´ omez 4 Viviana Rojas 5 Luisa Fernanda Rodriquez – Yurian P´erez Cort´es 6 Andr´es Fern´ andez Toro – Sergio Usme 7 Laura Pineda Arango – Victoria Bol´ıvar Giraldo 8 Mar´ıa Isabel Cifuentes – Estefan´ıa V´elez Vasco 9 Lucas Escobar Vallejo – Carlos A. Huertas Cardona 10 Juliana Cano Angel – Herbert Bol´ıvar Vasquez 11 Fabi´ an Granda – Daniel Lopera 12 Karen Fontecha – Pilar Monta˜ nez 13 Nataly Hincapi´e – Yairo Oviedo 14 Danny Cardona – Zulay Marcela Giraldo 15 Marcela Urrego Bedoya – Natalia Daza Gutierrez 16 Alexander Rodr´ıguez G´ omez – Catalina Guti´errez 17 Edgar Andr´es Cardona – Ana Isabel Montoya 18 David Mar´ın Garc´es – David Lopera Arroyave 19 M´ onica Betancur 20 Sebastian Casta˜ no – Sebasti´ an L´ opez A. 21 Maria Elena Giraldo Carvajal 23 Daniela Montoya G. – John Correa Bedoya 25 Natalia Zuluaga B. 26 Juan Solano – Jorge Gallego 27 Juliana Ochoa Giraldo

6

1)

2) Na = , Nb = , 310, 290

1 300, 150 1 320, 80 1 120, 280 1 300, 150 1 250, 250 1 100, 150 1 90, 350 1 110, 450 1 500, 150 1 200, 150 1 300, 350 1 150, 150