Capítulo 3

TRANSFORMACIONES Y SIMETRÍA

3.1.1, 3.1.2, y 3.1.4

El estudio de las transformaciones de las figuras geométricas es el fundamento de una idea clave de la geometría: la congruencia. Los alumnos exploran tres movimientos rígidos: traslación, reflexión, y rotación. Estos conceptos se exploran utilizando papel de calcar y herramientas dinámicas en una computadora u otro dispositivo. Los alumnos aplican uno o más de estos movimientos a la figura original para crear una figura idéntica en una nueva posición sin cambiar su forma ni su tamaño. Las transformaciones rígidas también llevan directamente al estudio de la simetría de las figuras. Estas ideas nos ayudarán a describir y clasificar figuras geométricas más adelante en este capítulo. Para más información sobre las transformaciones rígidas, consulta el recuadro de Apuntes de matemáticas de la Lección 3.1.4.

Ejemplo 1 Decide qué transformación se usó en cada par de figuras a continuación. En algunos casos puede tratarse de una combinación de transformaciones. a.

b.

c.

d.

e.

f.

Punto (a): el paralelogramo fue reflejado (dado vuelta) a lo largo de una línea vertical invisible (imagina un espejo colocado verticalmente entre las dos figuras de forma que una sea el reflejo de la otra). Reflejar una figura una vez cambia su orientación. Por ejemplo, los dos lados de la figura de la izquierda se inclinan a la derecha en el extremo superior, mientras que, en su reflejo, se inclinan hacia la izquierda. De igual forma, los ángulos en la figura de la izquierda “cambian de posición” en la figura de la derecha. Punto (b): la figura fue trasladada (o desplazada) a la derecha y hacia abajo. La orientación permanece inalterada y todos los lados tienen la misma inclinación. Punto (c): esta es una combinación de transformaciones. El triángulo fue primero reflejado (dado vuelta) a lo largo de una línea horizontal invisible y luego trasladado (desplazado) hacia la derecha. Guía para padres con práctica adicional

© 2015 CPM Educational Program. All rights reserved.

23

Punto (d): el pentágono fue rotado (girado) en sentido horario para crear la segunda figura. Imagina que copias la primera figura con un papel de calcar y luego sujetas el papel a tu hoja debajo del primer pentágono y lo giras 90° hacia la derecha. El resultado sería el segundo pentágono. Algunos alumnos pueden ver esto como una reflexión a lo largo de una línea diagonal. Esto podría ser cierto respecto del pentágono, pero el punto agregado hace que la segunda figura no pueda ser un reflejo de la primera. Si se tratara de una reflexión, el punto debería estar en la esquina debajo de la que se indica en la figura rotada. Punto (e): el triángulo fue rotado (90°). Punto (f): esta es otra combinación de transformaciones. El triángulo fue rotado (el lado más corto se vuelve horizontal en lugar de vertical) y reflejado.

Ejemplo 2 ¿Cómo se vería la figura de la derecha si fuera reflejada respecto de la recta l y luego respecto de la recta m?

P l

La primera reflexión da por resultado la nueva figura que se muestra entre las dos rectas. Si uniéramos cada vértice (esquina) de la figura original con el vértice correspondiente de la segunda figura, esos segmentos serían perpendiculares a la recta l y los vértices (y todos los demás puntos) de la figura reflejada estarían a la misma distancia de l a la que se encuentran en la figura original. Una forma de dibujar el reflejo es usando papel de calcar para copiar la figura y la recta l. Luego debemos dar vuelta el papel de calcar de forma que la recta l quede sobre sí misma. Esto mostrará la posición del reflejo. Transfiere la figura a tu hoja trazando su contorno. Repite este proceso con la recta m para formar la tercera figura. Como lo descubrieron los alumnos en clase, reflejar una figura dos veces a lo largo de dos rectas que se intersectan es equivalente a rotar la figura alrededor del punto P. Coloca el papel de calcar nuevamente sobre la figura original y la recta l. Coloca un alfiler o la punta de un bolígrafo o lápiz en el papel de calcar, sobre le punto P (la intersección de las rectas de reflexión) y rota el papel de calcar hasta que la figura original se encuentre perfectamente sobre la última figura.

24

© 2015 CPM Educational Program. All rights reserved.

m

P

l m

P

l m

CC en español, Matemática Integrada I

Capítulo 3

y

Ejemplo 3 La figura de la derecha es un trapecio ABCD. Traslada el trapecio 7 unidades a la derecha y 4 unidades hacia arriba. Etiqueta el nuevo trapecio A′B′C′D′ e incluye las coordenadas de sus vértices. ¿Es posible trasladar el trapecio original para crear un trapecio A″B″C″D″ que sea un reflejo de ABCD? De ser así, ¿cuál sería la línea de reflexión? ¿Es esto siempre posible con cualquier figura?

Trasladar (o desplazar) el trapecio 7 unidades a la derecha y 4 unidades hacia arriba da por resultado un nuevo trapecio A′(2, 2), B′(4, 2), C′(5, 0), y D′(1, 0). Si regresamos al trapecio ABCD, ¿podremos trasladarlo de forma que se vea como una reflexión en lugar de una traslación? Ya que el trapecio es simétrico, esto es posible. Podemos desplazar el trapecio horizontalmente hacia la izquierda o la derecha. En ambos casos, la figura resultante se verá como una reflexión.

x A(–5, –2) B(–3, –2)

D(–6, –4) C(–2, –4)

y

A′(2, 2) D′ (1, 0)

B′ (4, 2) C′ (5, 0)

x A(–5, –2) B(–3, –2)

D(–6, –4) C(–2, –4)

Esto no funcionará en todos los casos. Funciona en este caso porque comenzamos con un trapecio isósceles, que tiene una línea de simetría propia. Los alumnos exploraron qué polígonos tienen líneas de simetría y cuáles tienen simetría de rotación. Usaron papel de calcar y diversas tecnologías para investigar estas propiedades. Explorar estas transformaciones y las propiedades de simetría de las figuras ayuda a mejorar las habilidades de visualización de los alumnos. Estas habilidades suelen ser ignoradas o dadas por sentado, pero muchas consignas requieren que los alumnos visualicen imágenes, problemas, o situaciones matemáticas. Por eso les pedimos que “visualicen” o “imaginen” cómo podría verse algo además de practicar la transformación de figuras.

Guía para padres con práctica adicional

© 2015 CPM Educational Program. All rights reserved.

25

Problemas Realiza las transformaciones indicadas para cada polígono dado a continuación y crea una nueva figura. Te recomendamos usar papel de calcar para observar el movimiento de la figura. 1.

Rota la Figura A 90° en sentido horario alrededor del origen.

2.

Refleja la Figura B respecto de la recta l.

y

y

A

B x

3.

x

Traslada la Figura C 6 unidades a la izquierda.

4.

Rota la Figura D 270° en sentido horario alrededor del origen (0, 0). y

y

C x

x

D

Completa los puntos 5 a 20 utilizando las siguientes figuras: Figura A

Figura B

y

Figura C

y

C

B C A

y

A x

B

A

B x

x

C

26

© 2015 CPM Educational Program. All rights reserved.

CC en español, Matemática Integrada I

Capítulo 3

Menciona las nuevas coordenadas resultantes tras cada transformación. 5.

Traslada la Figura A 2 unidades a la izquierda y 3 unidades hacia abajo.

6.

Traslada la Figura B 3 unidades a la derecha y 5 unidades hacia abajo.

7.

Traslada la Figura C 1 unidad a la izquierda y 2 unidades hacia arriba.

8.

Refleja la Figura A respecto del eje x.

9.

Refleja la Figura B respecto del eje x.

10.

Refleja la Figura C respecto del eje x.

11.

Refleja la Figura A respecto del eje y.

12.

Refleja la Figura B respecto del eje y.

13.

Refleja la Figura C respecto del eje y.

14.

Rota la Figura A 90° en sentido antihorario alrededor del origen.

15.

Rota la Figura B 90° en sentido antihorario alrededor del origen.

16.

Rota la Figura C 90° en sentido antihorario alrededor del origen.

17.

Rota la Figura A 180° en sentido antihorario alrededor del origen.

18.

Rota la Figura C 180° en sentido antihorario alrededor del origen.

19.

Rota la Figura B 270° en sentido antihorario alrededor del origen.

20.

Rota la Figura C 90° en sentido horario alrededor del origen.

21.

Marca los puntos A(3, 3), B(6, 1), y C(3, –4). Traslada el triángulo 8 unidades a la izquierda y 1 unidad hacia arriba para crear ∆A′B′C′. ¿Cuáles son las coordenadas del nuevo triángulo?

22.

¿Cómo puedes trasladar ∆ABC en el último problema de forma que las coordenadas del punto A″ sean (4, –5)?

23.

Refleja la Figura Z a lo largo de la recta l y luego refleja una nueva figura a lo largo de la recta m. ¿A qué son equivalentes estas dos reflexiones?

Z m l

Guía para padres con práctica adicional

© 2015 CPM Educational Program. All rights reserved.

27

Para cada una de las figuras dadas a continuación, (i) dibuja todas las líneas de simetría y (ii) describe su simetría de rotación, en caso de que la tenga. 24.

25.

26.

27.

Respuestas y

1.

y

2. A′

A

B x

x

B′

y

3.

C′

y

4.

C x

x

D

28

© 2015 CPM Educational Program. All rights reserved.

D′

CC en español, Matemática Integrada I

Capítulo 3

5.

(–1, –3) (1, 1) (3, –1)

6.

(–2, –3) (2, –3) (3, 0)

7.

(–5, 4) (3, 4) (–3, –1)

8.

(1, 0) (3, –4) (5, –2)

9.

(–5, –2) (–1, –2) (0, –5)

10.

(–4, –2) (4, –2) (–2, 3)

11.

(–1, 0) (–3, 4) (–5, 2)

12.

(5, 2) (1, 2) (0, 5)

13.

(4, 2) (–4, 2) (2, –3)

14.

(0, 1) (–4, 3) (–2, 5)

15.

(–2, –5) (–2, –1) (–5, 0)

16.

(–2, –4) (–2, 4) (3, –2)

17.

(–1, 0) (–3, –4) (–5, –2)

18.

(4, –2) (–4, –2) (2, 3)

19.

(2, 5) (2, 1) (5, 0)

20.

(2, 4) (2, –4) (–3, 2)

21.

A′(5, –4) B′(–2, 2) C′(–5, –3)

22.

Trasládala 1 unidad a la derecha y 8 unidades hacia abajo.

23.

Las dos reflexiones dan el mismo resultado que rotar Z alrededor del punto X.

Z″

24.

Esta figura tiene una simetría de rotación de 180°.

Z

X m

l Z′

25.

No tiene simetría de rotación.

26.

El círculo tiene infinitas líneas de simetría de reflexión. También tiene simetría de rotación para grados de todas las medidas posibles.

27.

Esta figura irregular no tiene líneas de simetría y no tiene simetría de rotación ni de reflexión.

Guía para padres con práctica adicional

© 2015 CPM Educational Program. All rights reserved.

29

PENDIENTES DE RECTAS PARALELAS Y PERPENDICULARES

3.1.3

Las rectas paralelas tienen la misma pendiente. La ecuación más comúnmente usada de una recta es su forma pendiente-ordenada al origen o y = mx + b , donde m representa la pendiente y b es el punto de corte con el eje y. En el caso de rectas perpendiculares, el producto de sus pendientes siempre es igual a –1. Para más información sobre las pendientes de rectas paralelas y perpendiculares, consulta el recuadro de Apuntes de matemáticas de la Lección 3.1.6.

Ejemplo 1 Escribe la ecuación de la recta paralela a y = 12 x − 5 que atraviesa el punto (4, 10). Todas las rectas paralelas a la recta y = 12 x − 5 , que tiene una pendiente de 12 , deben tener también una pendiente de 12 . Por lo tanto, la ecuación debe verse como y = 12 x + b . Si sustituimos x e y por el punto dado obtenemos: 10 = 12 (4) + b . Al resolver, hallamos que b = 8 . La ecuación es y = 12 x + 8 .

Ejemplo 2 Escribe la ecuación de la recta perpendicular a y = 12 x − 5 que atraviesa el punto (4, 10). Ya que la recta original tiene una pendiente de 12 , una recta perpendicular debe tener una pendiente de −2 . Por lo tanto, la ecuación debe verse como y = −2x + b . Si reemplazamos x e y por el punto dado obtenemos: 10 = −2(4) + b . Al resolver, hallamos que b = 18 . La ecuación es y = −2x + 18 .

30

© 2015 CPM Educational Program. All rights reserved.

CC en español, Matemática Integrada I

Capítulo 3

Problemas Escribe una ecuación para cada una de las siguientes rectas: 1 , 3

que atraviesa el punto (−2, 5) .

1.

Una recta con una pendiente de

2.

Una recta paralela a y = 23 x + 5 , que atraviesa el punto (3, 2)

3.

Una recta paralela a y = − 43 x − 2 , que atraviesa el punto (−4, 2) .

4.

Una recta paralela a la recta determinada por los puntos (−3, −2) y (2, 4), que atraviesa el punto (0, −1) .

5.

Una recta paralela a y = 7 , que atraviesa el punto (−2, 5) .

6.

Una recta que atraviesa el punto (0, 0), y es paralela a y = 2x − 3 .

7.

Una recta perpendicular a y = 23 x + 5 , que atraviesa el punto (3, 2).

8.

Una recta perpendicular a y = − 43 x + 1 , que atraviesa el punto (−4, 2) .

9.

Una recta perpendicular a y = 23 x − 2 , que atraviesa el punto (0, 3).

10.

Una recta perpendicular a y = 7 , que atraviesa el punto (−2, 5) .

Respuestas 1.

y=

1 3

x + 5 23

2.

y=

4.

y=

6 5

x −1

5.

y=5

7.

y=−

8.

y=

10.

x = −2

3 2

x + 6 12

Guía para padres con práctica adicional

2 3

4 3

x

x+

22 3

3.

y=−

6.

y = 2x

9.

y=−

3 4

3 2

x +1

x+3

© 2015 CPM Educational Program. All rights reserved.

31

MULTIPLICACIÓN DE BINOMIOS

3.2.2 – 3.2.3

Dos formas de hallar el área de un rectángulo son: como el producto (altura) ⋅ (base) o como la suma de las áreas de partes individuales del rectángulo. Para todo rectángulo dado, estas dos áreas deben ser iguales, así que área como producto = área como suma. Los azulejos algebraicos y, más adelante, los modelos de área, ayudan a multiplicar expresiones de forma visual y concreta. Para más información, consulta los recuadros de Apuntes de matemáticas de las Lecciones 3.2.1 y 3.2.2. Para más ejemplos y ejercicios de práctica, consulta el material del Punto de comprobación 6B.

Ejemplo 1: Uso de azulejos algebraicos Los azulejos algebraicos x 2 + 6x + 8 fueron usados para formar el triángulo de la derecha. El área del rectángulo puede escribirse como el producto de su base y su altura o como la suma de sus partes. (x + 4)(x + 2) = x2 + 6x + 8 base

altura

x altura 2

x

x

2 + x

base

área

área como producto

+4

área como suma

Ejemplo 2: Uso de un modelo de área Un modelo de área nos permite organizar el problema en la misma forma que el primer ejemplo sin tener que dibujar los azulejos individuales. No es necesario dibujarlo en forma precisa ni a escala. Multiplica (x – 3)(2x + 1). base

altura

–3

–3

⇒

x 2x

32

+1

⇒ ( x − 3) ( 2x + 1) = 2x 2 − 5x − 3

x

área como producto

2x

área como suma

+1

© 2015 CPM Educational Program. All rights reserved.

CC en español, Matemática Integrada I

Capítulo 3

Problemas Escribe una ecuación que demuestre que el área como producto es igual al área como suma. 1.

2.

3. x

x 2

x

2

2

x

x

x

4.

5. x

6. 3y

6

–5 x

–2

3y

+3

x

+4

Multiplica. 7.

( 3x + 2 ) ( 2x + 7 )

8.

10.

( 2y − 1) ( 4y + 7 )

11.

13.

( 3x − 1) ( x + 2 )

16. 19.

( 2x − 1) ( 3x + 1)

9.

( 2x ) ( x − 1)

( y − 4 )( y + 4 )

12.

( y ) ( x − 1)

14.

( 2y − 5 ) ( y + 4 )

15.

( 3y ) ( x − y )

( 3x − 5 ) ( 3x + 5 )

17.

( 4x + 1)2

18.

( x + y)( x + 2 )

( 2y − 3 )2

20.

( x − 1) ( x + y + 1)

21.

( x + 2 )( x + y − 2 )

Respuestas 1.

( x + 1) ( x + 3 ) = x 2 + 4x + 3

2.

( x + 2 ) ( 2x + 1) = 2x 2 + 5x + 2

3.

( x + 2 ) ( 2x + 3 ) = 2x 2 + 7x + 6

4.

( x − 5 ) ( x + 3 ) = x 2 − 2x − 15

5.

6 ( 3y − 2x ) = 18y − 12x

6.

( x + 4 ) ( 3y − 2 ) = 3xy − 2x + 12y − 8

7.

6x 2 + 25x + 14

8.

10.

8y 2 + 10y − 7

11.

y 2 − 16

12.

xy − y

13.

3x 2 + 5x − 2

14.

2y 2 + 3y − 20

15.

3xy − 3y 2

16.

9x 2 − 25

17.

16x 2 + 8x + 1

18.

x 2 + 2x + xy + 2y

19.

4y 2 − 12y + 9

20.

x 2 + xy − y − 1

21.

x 2 + xy + 2y − 4

Guía para padres con práctica adicional

6x 2 − x − 1

9.

2x 2 − 2x

© 2015 CPM Educational Program. All rights reserved.

33

MÚLTIPLES MÉTODOS DE RESOLUCIÓN DE ECUACIONES

3.3.1 – 3.3.3

Las ecuaciones pueden resolverse de varias formas. Estas secciones del libro usan tres métodos que permiten a los alumnos resolver ecuaciones complejas en formas más eficientes. Estos métodos reciben los nombres Reescribir, Ver adentro, y Deshacer. Para más información, consulta el recuadro de Apuntes de matemáticas de la Lección 3.3.3.

Ejemplo 1 Reescribir x x + =3 2 5

Resuelve:

Resuelve:

Este problema puede reescribirse sin fracciones usando un método de Rompe fracciones. Comienza hallando el denominador común de las fracciones.

10 ⋅

Ejemplo 2 Ver adentro x +1= 6

Este problema incluye una raíz cuadrada y una suma, así que podemos resolverlo viendo adentro.

x +1 = 6 x =5

( 2x + 5x ) = 10(3)

por lo tanto

5x + 2x = 30

x = 25

7x = 30 x=

30 7

≈ 4.29

Ejemplo 3 Deshacer Resuelve:

2 3

x +1 = 7

Resuelve: (x − 3)(x + 6) = x 2 − 12x − 6

Puedes resolver este problema deshaciendo la suma y luego la multiplicación por una fracción. 2 x + 1− 1 = 7 − 1 3 2 3

Ejemplo 4 Reescribir

x=6

( x ) = 23 (6)

3 2 2 3

Puedes resolver este problema reescribiendo el lado izquierdo de la ecuación usando un modelo de área.

(x − 3)(x + 6) = x 2 − 12x − 6

+ 6x x 2 − 3x + 6x − 18 = x 2 − 12x − 6 –3 –3x –18 x +6 −x 2 − x2

x=9

3x − 18 = −12x − 6 + 18 15x = 12 15 x 15

© 2015 CPM Educational Program. All rights reserved.

+ 18

= 12 15

x = 12 15 =

34

x

4 5

CC en español, Matemática Integrada I

Capítulo 3

Ejemplo 5: Resolver ecuaciones exponenciales reescribiendo y viendo adentro Resuelve: 10 −5 x+7 = 100 x Reescribe la ecuación de forma que las bases sean iguales y luego podrás resolver el problema viendo adentro de los exponentes. Una vez que la ecuación haya sido reescrita de forma que las bases sean iguales, los exponentes deben ser iguales. Reescribir: 10 −5 x+7 = 100 x 10 −5 x+7 = (10 2 ) x = 10 2 x

Ver adentro: ⇒ 10 −5 x+7 = 10 2 x −5x + 7 = 2x 7 = 7x x =1

Problemas Halla todas las soluciones posibles a las siguientes ecuaciones: 1.

3x 2

+ 12 = 5

4. 625 = 5 −6 x+5 7.

x −3= 7

2. (x − 1)(x + 3) = x 2 − 2x + 13

3.

5. 3(2x − 7) = −21

6. 2 4 x−1 = 32

8. (x + 1)2 = 81

9.

2x + 5 = 10

x 2

− 5x = 3

10. 3x+3 = 27

11. 2 x − 3 = 8

12. 0.04(x − 1) = 0.16

13. 400 + 300x = 1300

14. 10 − (x + 7) = 5

15.

16. x 2 + 5 = 4

17. x(3x − 1) + 8 = (3x + 1)(x − 5)

18. 0.2x − 0.4 = 1.2

19. (y − 1)2 = 9

20. 20,000 − (3000x) = 10,000

m 3

− 2m 5 =

1 5

Respuestas 1. x = 3

2. x = 4

3. x =

4. x = − 16

5. x = 0

6. x = 1.5

7. x = 100

8. x = 8 o –10

9. x = 10

95 2

10. x = 0

11. x = 19

12. x = 5

13. x = 3

14. y = –2

15. m = –3

16. sin solución

17. x = –1

18. x = 8

19. y = 4 o −2

20. x = 103

Guía para padres con práctica adicional

= 47.5

© 2015 CPM Educational Program. All rights reserved.

35