Matemáticas 2

Actividades de apoyo

Bloque 1

Triángulos: ángulos y relaciones métricas Actividad 1.1. Indicador. Deduce y demuestra de manera gráfica la clasificación de ángulos (correspondientes, opuestos por el vértice y alternos, internos) a partir de dos rectas paralelas y una secante. Nivel de aprendizaje. Conceptual y procedimental Actividades: • El alumno revisa la clasificación que se encuentra en el cuadro sinóptico

1. Correspondientes

Clasificación de ángulos a partir de dos rectas paralelas y una secante

2. Opuestos por el vértice 3. Alternos e internos

• Con el apoyo del docente, todo el grupo hace un repaso de los conceptos básicos para abordar la actividad: rectas paralelas, secante, ángulo y vértice. • Ver el video del link: http://www.asesoriasdematematicas.com/preparatorias/2semestre_p/a3m2p.html • Mediante el uso de la técnica QQQ, copia en tu cuaderno el siguiente cuadro:

¿Qué veo?

¿Qué no veo?

¿Qué infiero?

¿Qué veo? Lo que se observa, conoce o reconoce del tema. ¿Qué no veo? Lo que no se muestra de manera explícita en el tema, pero está contenido en él. ¿Qué infiero? Lo que se deduce del tema. • Traza cada tipo de ángulo en tu cuaderno. Evaluación. Participación de la puesta en común de los conceptos, observación del video, elaboración del cuadro QQQ, trazo de los diferentes tipos de ángulos. Evidencia de aprendizaje. Cuadro QQQ, representar gráficamente cada tipo de ángulo.

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Actividades de apoyo

Bloque 1

Actividad 1.2. Indicador. Identifica y aplica la fórmula de Herón como alternativa para calcular el área de un triángulo. Nivel de aprendizaje. Conceptual y procedimental Actividades: • Entra a: http://www.geoka.net/triangulos/area_triangulo.html, en ella se muestra cómo se calcula el área del siguiente triángulo, utilizando la fórmula tradicional

3 cm 4 cm • Una vez localizada la fórmula de Herón, plantea una hipótesis que permita inferir si es posible obtener el área del triángulo. • Empléala para obtener el área y compara los resultados. • Contrasta la hipótesis y el resultado obtenido utilizando la fórmula de Herón. • Redacta tu conclusión. Evaluación. Revisión del contenido de la página, proceso de elaboración de hipótesis, aplicación de la fórmula de Herón, contrastación de la hipótesis, conclusión. Evidencia de aprendizaje. Hipótesis inicial, contrastación de las hipótesis, conclusión.

Actividad 1.3. Indicador. Identifica y aplica el teorema de Pick para calcular el área de una figura trazada sobre una cuadrícula, a partir de sus nodos. Nivel de aprendizaje. Conceptual y procedimental Actividades: • Entra a: http://www.unizar.es/ttm/2006-07/Pick.pdf • Sigue los pasos que se muestran en la actividad. Para corroborar el teorema de Pick. Puedes utilizar tu cuaderno para hacer anotaciones. • Aplica el teorema de Pick para calcular el área de una figura que traces en una cuadrícula. • Anota tus conclusiones acerca de la aplicación del teorema. Nota: considera que las coordenadas enteras, que forman parte del borde también se cuentan. Evaluación. R  evisión del contenido en la dirección de Internet, calcular el área de una figura trazada en una cuadrícula aplicando el teorema de Pick; conclusión acerca del teorema aplicado. Evidencia de aprendizaje. Área de la figura trazada, conclusión.

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Bloque 2

Actividades de apoyo

Congruencia de triángulos Actividad 2.1. Indicador. Deduce cómo se construye un triángulo a partir de sus medidas. Nivel de aprendizaje. Conceptual Actividades: • Entra a: http://coleccion.educ.ar/coleccion/CD22/ms/triangulos/index.html • Verás que aparece el logo de GeoGebra; espera un momento a que se cargue el applet. • Mueve los puntos extremos del segmento b y del segmento c, hasta que se formen un triángulo, ¿en qué punto del arco rosa y el arco rojo se encuentra el vértice del triángulo que se formó? • Borra todo y selecciona otra medida para, a, b o c, forma otro triángulo. • Contesta: ¿Siempre es posible formar un triángulo? Sí, No. Explica el porqué. • Encuentra nueve medidas para las cuales no sea posible formar un triángulo, ¿qué relación observas entre ellas? • Anota tus conclusiones. Evaluación. Trabajo realizado en el sitio web formando triángulos, elaboración de respuestas, con explicaciones y conclusiones. Evidencia de aprendizaje. Preguntas contestadas, explicación y conclusiones.

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Bloque 3

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Semejanza de triángulos y teorema de Pitágoras Actividad 3.1. Indicador. Refiere otras demostraciones del teorema de Pitágoras. Nivel de aprendizaje. Conceptual Actividades: • Entra a: http://www.geogebra.org/en/upload/files/inma_gijon_cardos/Geometria/perigal.html • El teorema de Pitágoras tiene muchas demostraciones. En el applet anterior, si mueves el punto que se llama deslizador, podrás ir viendo, paso por paso, cómo el área del cuadrado sobre la hipotenusa es igual a la suma del área de los catetos del triángulo rectángulo. • Investiga: ¿Quién fue Perigal? ¿Cuándo demostró el teorema de Pitágoras? • Investiga dos demostraciones alternativas del teorema de Pitágoras. • Anota tus conclusiones. Evaluación. Ingresar al sitio web y observar la demostración, realizar la investigación para responder las preguntas y las demostraciones alternativas del teorema de Pitágoras, elaboración de conclusiones. Evidencia de aprendizaje. Investigación escrita incluyendo conclusiones.

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Bloque 4

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Propiedades de los polígonos Actividad 4.1. Indicador. Deduce las causas por las que se forman los hexágonos en la naturaleza y en la química, y propone alguna aplicación. Nivel de aprendizaje. Conceptual, procedimental, actitudinal. Actividades: • Formen equipos de tres a cuatro personas. • Realicen la lectura del texto en el sitio web: http://www.cienciateca.com/ctshexag.html “Hexágonos en un mundo empaquetado”. • Concluyendo la lectura se formulan hipótesis, y se anotan en el cuaderno. • Construyan un cuadro de causa-efecto. • Propongan la aplicación de este fenómeno. • Contrasten las hipótesis. • Redacten la conclusión. Evaluación. C  olaboración en equipo, lectura, elaboración de hipótesis, construcción del cuadro de causa-efecto, aplicación de este fenómeno, contrastación de hipótesis. Evidencia de aprendizaje. Hipótesis, cuadro de causa-efecto, ejemplo de la aplicación de este fenómeno, contrastación de hipótesis y conclusión.

Actividad 4.2. Indicador. Esquematiza el significado de polígono, considerando el uso adecuado del manejo de conceptos. Nivel de aprendizaje. Conceptual Actividades: • Contesten mediante una lluvia de ideas las siguientes preguntas: ¿qué es un polígono?, ¿cuáles son sus propiedades?, ¿cómo están clasificados?, ejemplos de polígonos. • Se anotan en el pizarrón las respuestas, en forma de listado. • Formen equipos de tres personas, construyan un mapa mental de los polígonos. • Lean la información del link http://www.escueladigital.com.uy/geometria/3_poligonos.htm • Realicen los ejercicios solicitados, en el cuaderno. Evaluación. P  articipación en la lluvia de ideas, elaboración y colaboración en equipo del mapa mental, lectura y ejercicios resueltos. Evidencia de aprendizaje. Mapa mental, ejercicios resueltos.

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Bloque 4

Actividades de apoyo

Actividad 4.3. Indicador. Demuestra el uso de los polígonos para el recubrimiento con mosaicos a partir de dos piezas o figuras: dardo (cóncavo) y cometa (convexo). Nivel de aprendizaje. Conceptual, procedimental y actitudinal Actividades: • Ingresa al link: http://mimosa.pntic.mec.es/clobo/geoweb/mosa7.htm • Realiza la lectura y observa los videos del sitio. • Construye un cuadro QQQ (¿Qué veo, Qué no veo, Qué infiero?) en tu cuaderno. • Arma un mosaico a partir de las dos piezas o figuras, en el mismo sitio web, (ya que es interactivo) • Cada alumno construirá un tapete, una cubierta, una cortina, un mouse pad, o algún objeto de utilidad, tomando como base las piezas: cometa (convexo) y dardo (cóncavo) • El material puede ser papel, plástico, tela, mica, tijeras, regla, escuadra, compás, etcétera. • El tamaño, características y la fecha de entrega lo determina el profesor. • Exposición, en panel (donde compartirán sus experiencias), sobre el trabajo. Lo más complicado, lo más fácil, lo que aprendieron al construir algún objeto con las piezas dardo (cóncavo) y cometa (convexo). Evaluación. R  evisión del avance del proceso de trabajo, ingreso al sitio web, lectura y observación del video, construcción del cuadro QQQ, elaboración del producto, exposición y explicación del proceso, conclusión escrita. Evidencia de aprendizaje. Cuadro QQQ, objeto elaborado con las piezas (cometa, dardo), exposición grupal, conclusión.

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Actividades de apoyo

Bloque 5

La circunferencia Actividad 5.1. Indicador. Identifica las propiedades de la circunferencia a partir de la observación de un caso. Nivel de aprendizaje. Conceptual y actitudinal Actividades: • Plantear al grupo la pregunta: ¿Cuáles son las propiedades de la circunferencia? • Mediante una lluvia de ideas el grupo responde y hace un listado de las respuestas. • Los alumnos forman equipos de tres a cuatro personas e ingresan a los siguientes links para leer y observar la información: http://www.elmaky.com/construccion/la-rueda-de-falkirk.html http://www.youtube.com/watch?v=ux1NxbKsmCU • Cada equipo encontrará las propiedades de la circunferencia aplicadas en la rueda de Falkirk. • Elaboren, por equipos, un mapa mental de las propiedades de la circunferencia. • Cada equipo explica al grupo su mapa mental y se genera una retroalimentación grupal. Evaluación. Participación en equipos, proceso de elaboración del mapa mental, exposición del mapa. Evidencia de aprendizaje. Mapa mental con exposición oral.

Actividad 5.2. Indicador. Demuestra que en el caso de dos secantes que se intersecan en el interior de una circunferencia, la suma de los arcos que determinan es igual al doble del ángulo de intersección entre las secantes. Nivel de aprendizaje. Procedimental Actividades: • Lee con atención: En la siguiente figura se muestran dos secantes que se intersecan en el interior de una circunferencia. Coloca la letra C en el centro de la circunferencia; la letra P en la intersección de las secantes, y el símbolo  para indicar el ángulo que forman dichas secantes.

B ψ

F φ E

A

Los arcos rojo y azul son los que determinan las rectas secantes. Vamos a representar la longitud del arco AB por  y la longitud del arco EF por . Como punto de partida.

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Bloque 5

• Escribe en el siguiente recuadro el objetivo de esta actividad, en forma de ecuación:

• Partiendo del punto C, traza segmentos de recta con los puntos extremos de cada uno de los arcos; también traza el segmento de recta AE. La clave para demostrar lo que escribiste en forma de ecuación es el triángulo AEP. Recuerda que la suma de los tres ángulos interiores de un triángulo es 180°. • Ahora usaremos la propiedad del ángulo inscrito con respecto al ángulo central: “El ángulo inscrito a un arco mide la mitad del ángulo central”. En la siguiente imagen se muestra este resultado.

B C

E

A

El ángulo inscrito AEB mide la mitad del ángulo central BCA

• Para finalizar la demostración, completa la siguiente tabla.

Afirmación

Justificación

El ángulo APE mide 180° -  El ángulo AEP mide /2 El ángulo PAE mide /2 180°   + /2 + /2 = 180°

 5

 2

• La última afirmación debe coincidir con la ecuación que escribiste al principio, en el recuadro. Evaluación. Elaboración de la ecuación, además de la tabla completa. Evidencia de aprendizaje. Ecuación, gráfica y tabla resuelta. 8

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Bloque 6

Actividades de apoyo

Relaciones trigonométricas para resolver triángulos rectángulos Actividad 6.1 . Indicador. Identifica las funciones trigonométricas y sus aplicaciones, de una manera gráfica, compartiendo la información con el grupo. Nivel de aprendizaje. Conceptual, procedimental y actitudinal Actividades: • Formen equipos de tres o cuatro personas e ingresen al link: http://contenidos.educarex.es/cnice/descartes/Esp/Geometria/Triangulos/index.htm#base • Cada equipo encontrará las funciones trigonométricas. • Construyan un mapa mental que describa la trigonometría y sus aplicaciones. • Realicen los ejercicios. • Pueden complementar el mapa con ejemplos vistos en los ejercicios. • Expongan de manera oral el mapa mental, incluyendo las conclusiones. Evaluación. Colaboración en equipo, proceso de elaboración del mapa mental, solución de ejercicios, exposición del mapa y conclusiones. Evidencia de aprendizaje. Mapa mental con exposición oral.

Actividad 6.2. Indicador. Define con sus palabras la racionalización de fracciones con radicales. Nivel de aprendizaje. Conceptual Actividades: • Ingresa al link: http://platea.pntic.mec.es/anunezca/ayudas/racionalizar/racionalizar.htm • Mediante una lluvia de ideas, el alumno define con sus palabras: ¿qué es racionalizar? • Crea, en tu cuaderno, un mapa cognitivo de telaraña o de sol, acerca de la definición de racionalizar. • Identifica las desventajas y ventajas de racionalizar una fracción con radicales escribiéndolas en el cuaderno. • Resuelve el cuadro QQQ (¿Qué veo? ¿Qué no veo? ¿Qué infiero?)

¿Qué veo?

¿Qué no veo?

¿Qué infiero?

Evaluación. Proceso de elaboración del mapa mental, exposición y conclusiones. Evidencia de aprendizaje. Mapa cognitivo, ventajas y desventajas, cuadro QQQ, exposición y conclusiones. 9

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Bloque 6

Actividades de apoyo

Actividad 6.3. Indicador. Deduce las razones trigonométricas de los ángulos de 30°, 45° y 60°, a partir de las funciones seno, coseno y tangente, aplicando la racionalización de fracciones con radicales. Nivel de aprendizaje. Conceptual y procedimental Actividades: • Ingresa al link: http://www.gobiernodecanarias.org/educacion/3/Usrn/matematicas/geogebra/razones_trigonometricas/page_04.htm • Observa cómo se obtienen las razones trigonométricas de los ángulos de 30°, 45°, 60°; con base en ello, completa la siguiente tabla. • En caso de que obtengas una fracción con radicales, racionaliza.

30°

45°

60°

sen cos tan cot sec csc

• Una vez resuelta la tabla escribe tus conclusiones y compáralas con las de tus compañeros. Nota: R  ecuerda que el triángulo equilátero te sirve para deducir las razones trigonométricas de los ángulos de 30° y 60°. Y el cuadrado para obtener las razones trigonométricas del ángulo de 45°. Evaluación. Proceso de elaboración de la tabla, exposición y conclusiones. Evidencia de aprendizaje. Tabla resuelta, exposición y conclusiones.

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Bloque 7

Funciones trigonométricas Actividad 7.1. Indicador. Demuestra las funciones trigonométricas de los ángulos mayores de 90°. Nivel de aprendizaje. Procedimental Las funciones trigonométricas se pueden definir a partir de la longitud de distintos segmentos relacionados con el círculo unitario. En el libro se detalla como crear una aplicación en GeoGebra para observar los segmentos relacionados con seno y coseno. En las siguientes ligas puedes entrar a páginas interactivas en las que se pueden observar los segmentos relacionados con las demás funciones trigonométricas, moviendo un punto en el círculo unitario. Tangente y secante. Página interactiva para observar los valores de las funciones tangente y secante al variar un punto en el círculo unitario. Cotangente y cosecante.Página interactiva para observar los valores de las funciones cotangente y cosecante al variar un punto en el círculo unitario. Actividades: • Para acceder a las siguientes ligas y ejecutar correctamente el graficador GeoGebra, requieres un navegador, como: Internet Explorer 8.0, Google Chrome 8.0 y/o Safari 8.0. • Ingresa a las ligas: • Mueve el punto P en la primera parte del cuadrante. • Anota el signo en el cuadrante que corresponde en la tabla.

I

II

III

IV

sen cos tan cot sec csc

• Redacta tus conclusiones en el cuaderno. Ejemplo: cos 150° = cos 30° Evaluación. Proceso de elaboración de la tabla. Evidencia de aprendizaje. Tabla resuelta y conclusiones escritas. 11

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Bloque 8

Leyes de los senos y cosenos Actividad 8.1. Indicador. Comprueba la ley de cosenos a partir de un triángulo obtusángulo Nivel de aprendizaje. Procedimental Actividades: Para explorar las leyes de senos y cosenos, se propone un sitio de Internet, el cual te permite variar la posición del vértice, un triángulo, con lo que se puede ver cómo varían los valores de los lados y ángulos del triángulo, tanto en el dibujo como en las expresiones matemáticas respectivas. • Ingresa a http://tutormatematicas.com/archivoCAR/Interactivo_Trigonometria_Ley-Senos_Ley-Cosenos.html Ley de cosenos, caso de triángulos obtusángulos. Para comprobar la ley de cosenos en triángulos obtusángulos, se utiliza coseno de ángulos entre 90° y 180°. M

F G

N

C a

b

A

c

B

En la figura anterior tenemos un cuadrado en el lado BC del triángulo ABC. • Observa los rectángulos BCFG y BNMG. Tenemos las siguientes relaciones con las áreas: Área ( BCFG )= Área (BNMG)Área (CNMF) Las áreas se pueden calcular usando la función coseno. • Calcula primero BN=C*COS(B), luego tenemos el área del rectángulo Área (BNMG)=a*c*COS(B) La distancia CN se calcula como CN=b*cos(180°C), por lo que tenemos la siguiente área: Área (CNMF)=a*b*cos(180°C) • Podemos escribir entonces: a2= a*c*cos(B) a*b*cos(180°C) Usando la propiedad de coseno, cos(180)=cos(), podemos rescribir la expresión anterior como a2= a*c*cos(B) + a*b*cos(C) Esta expresión es igual a la que aparece en el libro de texto para triángulos acutángulos. • Siguiendo los mismos pasos que se presentan en el libro se comprueba la ley de cosenos para el caso de los triángulos obtusángulos. • Encuentra expresiones similares para b2 y c2 y comprueba ley de cosenos para triángulos oblicuángulos. • De alguno de los anteriores casos elabora un diagrama de flujo, en tu cuaderno. • Redacta tus conclusiones en el cuaderno. Evaluación. Seguimiento del procedimiento de los ejercicios anteriores, elaboración de un diagrama de flujo y conclusiones. Evidencia de aprendizaje. Procedimiento de los ejercicios resueltos, diagrama de flujo y conclusiones.

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Bloque 9

Actividades de apoyo

Estadística elemental Actividad 9.1. Indicador. Identifica las herramientas básicas para hacer cálculos de estadística descriptiva en Excel. Nivel de aprendizaje. Conceptual Actividades: • Entra a: http://www.youtube.com/watch?v=q3LR_CfGvS4 • Observa el video que ahí se presenta y después sigue los pasos que se explican para que aprendas a utilizar las funciones básicas de estadística descriptiva en Excel. • Responde las siguientes preguntas, en el cuaderno: 1. ¿Qué funciones estadísticas aparecen en el video? 2. ¿Cuáles son las características de cada uno? 3. Menciona tres funciones estadísticas qué se observan, solamente con los datos. Evaluación. Observación del video y responder las preguntas. Evidencia de aprendizaje. Preguntas con sus respuestas.

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Bloque 10

Actividades de apoyo

Conceptos elementales de probabilidad Actividad 10.1. Indicador. Opera por medio de un simulador un experimento aleatorio de tirar varias monedas al mismo tiempo y obtiene la gráfica de la distribución de probabilidades. Nivel de aprendizaje. Conceptual y procedimental Instrucciones para el uso del simulador: 1. Se requiere instalar previamente software Java en la versión más reciente 2. Ingresa a: http://www.math.uah.edu/stat/applets/BinomialCoinExperiment.xhtml 3. En la parte inferior de esta página se encuentra una sección que dice: “Browser Requirements”. Da clic en MathPlayer plug-in, como se muestra en la siguiente imagen. Browser Requirements Some pages on this site include MathML (the Mathematics Markup Language). To view these pages, you will need either Mozilla Firefox with the apropriate fonts installed, or Internet Explorer with the Math Player plug-in.

4. A continuación, haz clic en Download MathPlayer para iniciar la descarga del complemento.

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Bloque 10

Actividades de apoyo

6. Da clic en el botón Ejecutar.

7. Al término de la descarga y ejecución del programa, en necesario reiniciar el equipo de cómputo. Actividades: • Con el programa instalado en el equipo encontrarás un simulador del lanzamiento de una o varias monedas. Puedes elegir el valor de n, lo cual indica cuántas monedas lanzarás al mismo tiempo, en este caso, las monedas en rojo corresponden al “sol” y tendrán una letra H (del inglés Head), las monedas en verde serán las “águilas” y tendrán una letra T (del inglés Tail) • Comienza haciendo el experimento con tres monedas, así que mueve n hacia el tres. • Si oprimes la tecla de la flecha que se encuentra del lado superior izquierdo es como si lanzaras las tres monedas al mismo tiempo. • La gráfica que aparece representa el número de veces que se obtuvieron monedas con cara roja, en el lanzamiento. • Si oprimes el botón de la doble flecha, puedes hacer el experimento muchas veces, observarás que la gráfica tiende a ajustarse dependiendo del número de lanzamientos que efectúes. • Explica, en términos de probabilidad, qué significa la gráfica. ¿Cuántas monedas con cara roja son más probables que se muestren al lanzar tres monedas al mismo tiempo? • Cambia el valor de n, realiza el experimento y en cada caso identifica cuántas monedas con cara roja son más probables que se obtengan para cada valor de n, ¿podrías aplicar esto para saber cómo ganar una apuesta en el lanzamiento de varias monedas? Justifica tu respuesta. Evaluación. Explicación de la gráfica con base en el manejo adecuado de los conceptos de probabilidad. Respuesta de las preguntas. Evidencia de aprendizaje. Explicación de la gráfica, preguntas con sus respuestas.

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