TRIGONOMETR´IA 1.

´ Angulos

Hasta ahora se han considerado los ´angulos como la porci´on del plano comprendida entre dos semirrectas con el origen com´ un. De esta manera, el ´angulo est´a comprendido entre 0 y 360 grados. En este cap´ıtulo, un a´ngulo va a ser tambi´en la medida de un giro. As´ı, los ´angulos podr´ an ser mayores de una vuelta (360o ) y podr´ an tener dos sentidos: contrario al movimiento del reloj al que asignaremos signo positivo, o seg´ un el movimiento del reloj al que asignaremos a´ngulos negativos.

Y

................................................................... ......... ............. ......... ........ ....... ........ ...... ....... . . . . . ...... .... . . .... . . .. .... . . . .... .. . . . .... .... .. . .. .......... . ........ ..... . . .. . . . . . . ... ..... . . . .. . . . . . ... ..... ... ........ .. .. .. ........ .. .. ............ . . . . . . ... .. . ... ..... . . .. . . . . . ... ... .. .... ........ ... . . .. .. .. .. .. .. . . .. . . .. . ... .. ... ... ... .. ... .. . . ... . .... ... .... .... .... .... .... .... . . ...... ..... ...... ..... ....... ....... ........ ....... ......... ......... . . . ............. . . . . . . . ..............................................................

r

ϕ

O

... ... l ...

X

Representaremos los ´angulos sobre una circunferencia centrada en el origen de coordenadas tomando como origen de ´angulos el eje OX. El ´angulo en radianes es igual a la longitud del arco partido por el radio: ϕ=

longitud del arco l = radio r

Como el arco de circunferencia correspondiente a una vuelta mide 2πr, el ´angulo correspondiente (360o ) mide 2πr/r = 2π radianes. El a´ngulo llano (180o ) mide π radianes y el ´angulo recto π/2. Para pasar de grados a radianes se multiplica por π/180 y para pasar de radianes a grados por el inverso de este n´ umero 180/π. Un radi´ an es aproximadamente 57,2958o .

Algunos c´alculos se simplifican utilizando el radi´ an como medida de ´angulos. Por ejemplo la longitud de un arco de circunferencia es l = rϕ y el ´area de un sector circular es S = 12 r2 ϕ. ´ Angulos inscritos en una circunferencia. Se llaman as´ı los ´ angulos que tienen su v´ertice sobre una circunferencia y sus lados son secantes de ella. Los ´ angulos inscritos tienen las siguientes propiedades: El ´ angulo inscrito es igual a la mitad del ´ angulo central que abarca el mismo arco. Todos los ´ angulos inscritos en el mismo arco son iguales. Los ´ angulos inscritos en una semicircunferencia son rectos.

2.

Razones trigonom´ etricas de ´ angulos agudos

En un tri´ angulo rect´angulo, llamemos a a la hipotenusa y b y c a los catetos; A ser´a el ´angulo recto y B y C los ´angulos agudos tal como se representa en la figura: B es el ´angulo opuesto al cateto b y C es el ´angulo opuesto al cateto c. Entre los elementos del tri´angulo se cumple una relaci´on entre los lados, el teorema de Pit´agoras: a2 = b2 + c2 y una relaci´on entre los ´angulos: B + C = 90o

(B y C complementarios) 1

Vamos a definir unas funciones que relacionan los lados y los a´ngulos de un tri´ angulo rect´angulo. Estas funciones son las siguientes:

sen B =

cateto opuesto b = hipotenusa a

cos B =

cateto contiguo c = hipotenusa a

tg B =

cateto opuesto b = cateto contiguo c

B

C .. ............ . . . . . . ....... .... ....... ... ........ . . ... . . . . a............. ... .. . . . . . . . ... b . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . ... ....... . . . . . . . . . ... .... . ........ ............................................................................................................. c

A

Para el ´angulo C, estas funciones ser´ıan: sen C =

c a

cos C =

b a

tg C =

c b

Las rec´ıprocas de estas funciones se llaman cosecante, secante y cotangente: cosec B =

1 sen B

sec B =

1 cos B

cotg B =

1 tg B

Cuando se utilizan para resolver tri´ angulos rect´angulos, las f´ ormulas anteriores pueden recordarse de esta manera:  seno del ´angulo opuesto un cateto = hipotenusa × coseno del ´angulo comprendido  tangente del ´angulo opuesto (al 1o ) un cateto = otro cateto × cotangente del ´angulo comprendido (por el 1o )

3.

´ Angulos cualesquiera Para ´angulos cualesquiera, las razones trigonom´etricas se definen a partir de las coordenadas del extremo del arco E(x, y):

Y

.................................................................. ............. .......... .......... ......... ......... ....... ....... ....... . . . . . . ...... ..... . ...... . . . .... .... . . .... .. . . . .... ... . .... . ... ... . .. ........... . . . ...... .... . . . .. . . . . . ... ..... . . .. . . . . . . ... ..... .. ... ........ .. ........ .. ... .......... . .. . . . . . ... . .. ..... ... . . . . ... . . ... . ... ..... . . . .. . . . . ... . ... .... ... ... ........ ... ... ... .. . . .. . . .. . .. .. ... ... ... .. ... .. . . ... ... ... .... .. .... .... .... .... . . . .... ... .... .... ...... ...... ...... ...... ....... ....... . ....... . . . . . ......... ... ........... ......... ............... ........... ............................................................

r

O

ϕ x

ordenada de E y = radio r abscisa de E x cos ϕ = = radio r ordenada de E y tg ϕ = = abscisa de E x

E(x, y)

sen ϕ =

y

X

Si el radio de la circunferencia es igual a 1, el seno es la ordenada y el coseno la abscisa del extremo del arco.

2

Puesto que el seno, coseno y tangente se han definido a partir de las coordenadas de un punto, pueden ser positivos o negativos dependiendo del cuadrante en que se encuentre el punto. En la figura de la izquierda se han representado los signos de las tres funciones en cada cuadrante.

(0,1)

................................................................... ............ ......... ......... ........ ....... ........ ...... ....... . . . . . ...... ..... . .... . . .. .... . . . .... ... . . .... ... ... . ... .. . ... .. . ... .. . ... .... .. .. ... .. ... .. .. ... .. r=1 . ... .. .. .. (−1,0)..... ... . .. . . .. .. ... ... ... ... ... .. ... . ... ... .... .... .... .... .... .... . .... . ...... ..... ...... ..... ....... ....... ........ ....... ......... ........ . . . . . ............. . . . . . ..............................................................

+−−

+++

O

−−+

(1,0)

−+−

(0,−1)

Los puntos de corte de la circunferencia con los ejes de coordenadas se corresponden con los ´angulos de 0o (o 360o ), 90o , 180o y 270o . La abscisa y la ordenada de estos puntos cuando la circunferencia tiene radio 1 son, respectivamente el coseno y el seno de esos ´angulos. Estos valores se han se˜ nalado tambi´en en la figura.

Conocida una de las razones trigonom´etricas de un ´angulo, pueden calcularse las dem´as (salvo el signo) por medio de las siguientes relaciones: i)

sen x = tg x cos x

iii)

1 + tg2 x =

1 cos2 x

ii)

sen2 x + cos2 x = 1

iv)

1 + cotg2 x =

1 sen2 x

La primera de las f´ormulas relaciona las tres funciones de modo que conocidas dos de ellas puede calcularse la tercera. Las siguientes relacionan seno con coseno, coseno con tangente y seno con tangente.

4.

Resoluci´ on de tri´ angulos A .

B

. ........ ...... .... . . . . ... ..... ... ...... ... ..... . . . . ... . . . . . ... c......... ... . . . ... . . . . . . . ... b h . . a . . . . ... . . . ... ..... . . . . . ... . . . . . . . ... . . . . . ... ..... . . . ... . . . . . .. . . . . . .................................................................................................................................................................

Un tri´ angulo tiene tres lados a, b y c, y tres ´ngulos A, B y C. Conocidos tres de estos elemena tos que no sean los ´angulos, pueden calcularse los otros tres. Para ello son u ´tiles los siguientes teoremas:

Teorema del seno. En un tri´ angulo las longitudes de los lados son proporcionales a los senos de los ´angulos opuestos: a b c = = a C sen A sen B sen C La constante de proporcionalidad es el di´ ametro de la circunferencia circunscrita al tri´ angulo.

El teorema del seno se demuestra f´ acilmente a partir de la siguiente propiedad: el seno de un ´ angulo inscrito en una circunferencia es igual a la longitud de su cuerda dividida por el di´ ametro.

Teorema del coseno. Un lado al cuadrado es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos menos el doble del producto de estos dos lados por el coseno del ´angulo que forman: a2 = b2 + c2 − 2bc cos A b2 = a2 + c2 − 2ac cos B c2 = a2 + b2 − 2ab cos C

3

El teorema del coseno permite calcular tambi´en los ´angulos cuando se conocen los lados: cos A =

b2 + c2 − a2 2bc

cos B =

a2 + c2 − b2 2ac

cos C =

a2 + b2 − c2 2ab

´ Area de un tri´ angulo. El ´ area de un tri´ angulo es igual a la mitad de la base por la altura. Como base se puede tomar cualquiera de los lados de forma que: 1 a ha S= 2 Como ha = b sen C resulta: 1 a b sen C S= 2 es decir, el ´ area de un tri´ angulo es igual a la mitad del producto de dos de sus lados por el seno del ´ angulo que forman. Si se conocen los tres lados, puede calcularse el ´ area por la f´ ormula de Her´ on: S=

5.



p(p − a)(p − b)(p − c)

p = semiper´ımetro

Reducci´ on al primer cuadrante

Por la simetr´ıa de la circunferencia, basta conocer las razones trigonom´etricas de los ´angulos del primer cuadrante para poder calcular las de todos los a´ngulos. Las f´ormulas que relacionan las razones trigonom´etricas de cualquier ´angulo con los del primer cuadrante son las siguientes: .......................................... ............... .......... .......... ........ ........ ....... ...... ...... . . . . . .... ... . . . .... ... . .... . ... ... . ...........E(x,y) . .. . ... . . . . ..... .................................. . . . . .. ... . . . . . . . . . . ..... ......... ... ..... . . . . . .... . ........... .. . ... . . . . . ... . . .. ..... ... .... . . . .. . . . ... .... . . .. .. ......... ϕ ... .... ... ... . .. .. .. . . ... .. .. . . . .. . . ... . . .. . . . . . .... ... ... ...... ... ... ...... .......... ... ... ................................ ... 360o +ϕ ...... .... . .... .... .... ... ...... .... ....... ...... ........ ....... . . . . . .......... . . ............... ........ ...........................................

sen(360o k + ϕ) = sen ϕ cos(360o k + ϕ) = cos ϕ tg(360o k + ϕ) = tg ϕ ..................................... ................ ........... .......... ........ ........ ....... ....... ...... . . . . . .... ... . . .... . ... .... . . .....E(x,y) ... . .. ........ .... . o . . . . ..... ... . 180 +ϕ . . .. . . . . . ... ..... . .............................. . . . . . . . . . .... . . . .. .... ........... . .. .... .. .......... .... ϕ .. . . . .. . . . ... . . .. ...... ... ... . . .. . . . . . ... . . ... ..... . . .. . .. . . . . ... .......... .. .. . .. . . . . ..... . .. . . . . . . . . ... ....... ... ... ........ ... ............... ... .. ............ .. .... . . . E(−x,−y) .... ... .... ... ...... ..... ....... ...... ........ ....... . . . . . .......... . . ............... ......... ............................................

sen(180o + ϕ) = − sen ϕ cos(180o + ϕ) = − cos ϕ tg(180o + ϕ) = tg ϕ

.......................................... ............... .......... .......... ........ ........ ....... ...... ...... . . . . . .... ... . . . .... ... . .... . ... ...E(x,y) . ............. . .. . . . . . ... ..... . . .. . . . . . . ... ..... . . . . . . .... . . .. . ......... .. .. ........ .... ϕ .. . . . . . . . ... .. ... .... ... ............... .. . .. . . . . . .. . . ........ . .. .. ........ ..−ϕ .. . . ......... .. . . . ........ ... ........ ... ... ........ ... ........ .... ........... ... .... . . E(x,−y) . .... ... .... ... ...... ..... ....... ...... ........ ....... . . . . . .......... . . ........ ............... ...........................................

sen(−ϕ) = − sen ϕ cos(−ϕ) = cos ϕ tg(−ϕ) = − tg ϕ ..................................... ................ ........... .......... ........ ........ ....... ....... ...... . . . . . .... ... . . .... . ... .... . . .....E(x,y) ... . .. ........ .... . . . . . ..... ... . . . .. . . . . . ... ..... . .............................. . . . . . . . . . . .... . . .... ......... .. . .... .. .. ................. ϕ .. .. . . . . . . . ... . . .. ...... ... ... . . . . . . ..... . ... . ....... .. .. . . . . . ........ ... .. .. . . . . .. . . . .... . ................ .. . . . . . . ........ ........ ... .. ............................ ........ ... .. ........ ... 360o −ϕ ........ .... ......... ... .... . . E(x,−y) . .... ... .... ... ...... ..... ....... ...... ........ ....... . . . . . .......... . . ............... ......... ............................................

sen(360o − ϕ) = − sen ϕ cos(360o − ϕ) = cos ϕ tg(360o − ϕ) = − tg ϕ 4

.......................................... ............... .......... .......... ........ ........ ....... ...... ...... . . . . . .... ... . . . .... .. . . .... . E(−x,y)............... ...E(x,y) ............. . . ........ . o . . . . ........180 −ϕ .... ... . . . .. . . . . . . . ........ ... ........ ....................................... ............... .... .. ........... .. ....... . .. ........ .. ........... .... ϕ .. . . ........ . . . . . ... .. ..................... ... ... ... .. . .. .. .. .. .. .. . . .. . . ... ... ... ... ... .. ... .. .... . . . .... ... .... ... ...... ..... ....... ...... ........ ....... . . . . . .......... . . ........ ............... ...........................................

sen(180o − ϕ) = sen ϕ cos(180o − ϕ) = − cos ϕ tg(180o − ϕ) = − tg ϕ ..................................... ................ ........... .......... ........E(y,x) ........ . ....... ....... . . . . ... .......... . ... . .... .. . . .... .. ... . . . . ... E(x,y) . ... ... .... .. .. ........ .. . . . . ...... ..... . . ..... . .. . . . . . . . ... .. ....... ............... . .... .. . o .. ... ............. .. .. ... .......... ... ... 90 −ϕ .... .. ............. ϕ.... ... ... . .. .. .. .. .. .. .. .. . . ... ... ... ... ... .. ... .. .... . . . .... ... .... ... ...... ..... ....... ...... ........ ....... . . . . . .......... . . ............... ......... ............................................

sen(90o − ϕ) = cos ϕ cos(90o − ϕ) = sen ϕ tg(90o − ϕ) = cotg ϕ

6.

Suma y diferencia de ´ angulos Las razones trigonom´etricas de la suma de dos ´angulos α y β se relacionan con las razones trigonom´etricas de los sumandos por las siguientes f´ormulas: sen(α + β) = sen α cos β + cos α sen β cos(α + β) = cos α cos β − sen α sen β tg α + tg β tg(α + β) = 1 − tg α tg β Si en las f´ormulas anteriores se cambia β por −β y se aplican las f´ormulas vistas en el apartado anterior, resulta para la diferencia de a´ngulos: sen(α − β) = sen α cos β − cos α sen β cos(α − β) = cos α cos β + sen α sen β tg α − tg β tg(α − β) = 1 + tg α tg β Si en las f´ormulas de la suma se hace β = α resulta par el ´angulo doble: sen 2α = 2 sen α cos α cos 2α = cos2 α − sen2 α 2 tg α tg 2α = 1 − tg2 α Puesto que cos2 A2 + sen2 A2 = 1 y cos2 A2 − sen2 A2 = cos A despejando el seno y coseno del ´angulo mitad resulta:    A 1 − cos A 1 + cos A 1 − cos A A A sen = cos = tg = 2 2 2 2 2 1 − cos A Las ra´ıces deber´an tomarse con signo m´as o menos dependiendo del cuadrante en que se encuentre el ´angulo mitad. Sumando y restando las f´ ormulas de la suma y de la diferencia de ´ angulos se obtiene: sen(α + β) + sen(α − β) = 2 sen α cos β sen(α + β) − sen(α − β) = 2 cos α sen β cos(α + β) + cos(α − β) = 2 cos α cos β cos(α + β) − cos(α − β) = −2 sen α sen β llamando α + β = A y α − β = B, estas f´ ormulas se pueden escribir: sen A + sen B = 2 sen

A+B A−B cos 2 2

sen A − sen B = 2 cos

cos A + cos B = 2 cos

A−B A+B cos 2 2

cos A − cos B = −2 sen

5

A+B A−B sen 2 2 A+B A−B sen 2 2