Story Transcript
U N I DAD
2
Bases para el manejo algebraico en el área económico-administrativa
Introducción L os logaritmos son un tema fundamental para el desarrollo de las matemáticas f inancieras, ya que están involucrados en casi todos los problemas de tasas de interés, anualidades, entre otros, de ahí la importancia de aplicarlos adecuadamente. En esta unidad se presentan, además de las propiedades de los logarit mos y sus aplicaciones, las leyes de los exponentes, cuyo manejo es importante para simplificar expresiones y para plantear y resolver ecuaciones. Se pondrá mucho énfasis en los exponentes fraccionarios, los cuales se utilizan también para resolver ecuaciones.
Competencia
Al f inalizar la unidad, el alumno podrá: Resolver problemas de la empresa en el ámbito financiero y administrativo tomando decisiones basadas en la aplicación de las herramientas aritméticas y algebraicas.
Contenido
2.1.
Exponentes y su aplicación en decisiones de inversión y oportunidades de negocio.
2.2.
Exponentes fraccionarios.
2.3.
Radicación.
2.4.
Raíz cuadrada. 2.4.1. Raíces de orden superior. 2.4.2. Raíces y exponentes fraccionarios.
2.5.
L ogaritmos y su aplicación a crecimiento de población e inversiones
2.6.
Identificación de los procesos donde se requiere aplicar las bases matemáticas a la solución eficiente de problemas económico-administrativos.
2.1. Exponentes y su aplicación en decisiones de inversión y oportunidades de negocio En la unidad anterior se revisaron las leyes de los exponentes y se aplicaron en algunas decisiones de negocios. A continuación se plantean otros ejemplos que nos muestran la ut ilidad de los exponentes para facilitar las operaciones necesarias que permiten determinar si una inversión resulta conveniente o no.
Ejemplo 1 El gobierno de un país ha determi nado que su población act ual es de 10 327 183 habitantes y que ha aumentado anualmente con un factor de 1.041. Se desea determinar cuál será el tamaño de la población dentro de tres años para determinar la amplit ud de los proyectos sociales durante estos años. Sabemos que la población inicial es de 10 327 183 habitantes, y que, el factor de crecimiento es de 1.041, esto signif ica que al cabo de un año la población habrá aumentado y serán: (10 327 183)(1.041) habitantes L a cantidad anterior es ahora la población inicial para el segundo año. Como el factor de crecimiento se mantiene constante, para el final del segundo año la población será: (10 327 183)(1.041) (1.041) habitantes Aplicando la ley de los exponentes tendremos: (10 327 183)(1.041)(1.041)
(10 327 183)(1.041)2
Nuevamente, la cant idad anterior es ahora la población inicial para el tercer año. Como el factor de crecimiento se mantiene constante, para el f inal del tercer año la población será: (10 327 183)(1.041) 2 (1.041) habitantes Aplicando la ley de los exponentes obtenemos: (10 327 183)(1.041)2 (1.041)
(10 327 183)(1.041)3
Finalmente realizamos las operaciones: (10 327 183)(1.041)3
(10 327 183)(1.12811)
11 650 218
R espuesta: Aproximadamente 11 650 218 habitantes
¿Te imaginas cuántas operaciones habríamos tenido que hacer si nos hubieran pedido el cálculo para 6 o 12 años? Si observas la última expresión, verás que el resultado se puede expresar como: Población final = ( población inicial) ( factor de crecimiento) n donde n representa el número de periodos durante los cuales se calcula el crecimiento de la población. Veamos otro ejemplo.
Ejemplo 2 Una compañía ha iniciado una promoción en la venta de equipo de cómputo y renta de internet. Su éxito ha sido tan grande que planea comprar la producción total de sus actuales proveedores. Sin embargo, antes de hacerlo desea determinar si tendrá clientes suficientes para un pedido tan amplio. Con base en los datos de las primeras semanas se determinó que el número de ventas ha crecido semanalmente con un factor de 1.28 teniendo inicialmente 200 clientes. Si se logra mantener esta tendencia, ¿cuántos clientes tendrá dentro de 7 semanas? Si hacemos las cuentas de manera semejante al ejemplo anterior, obtendremos que el número de clientes para la semana 7 estará dado por (200)(1.28)7 Realizando las operaciones obtenemos (200)(1.28)7
(200)(5.63)
1 126
R espuesta: D entro de 7 semanas tendrá aproximadamente 1 126 clientes
Ejemplo 3 Un t rabajador gana $3 000 y se le ofrece un aumento bimest ral de 3.5%, ¿cuánto ganará en tres años? El sueldo inicial es $3 000 y el aumento es de 3.5% = 0.035 cada bimestre, por lo tanto, al terminar el primer bimestre la cantidad aumentada será: (3 000)(0.035) Que agregado al sueldo inicial nos da: (3 000) (3 000)(0.035)
(3 000)(1 0.035)
Por lo tanto al inicio del segundo bimestre su sueldo será: (3 000)(1 0.035) Para el segundo bimestre a la cantidad anterior se le aumenta el: 3.5% = 0.035 Por lo tanto, al terminar el segundo bimestre la cantidad aumentada será: (3 000)(1 0.035)(0.035)
Agregando esta cantidad al sueldo que se tenía al inicio del segundo bimestre se tiene: (3 000)(1 0.035) (3 000)(1 0.035)(0.035)
(3 000)(1 + 0.035)(1 + 0.035)
Aplicando las leyes de los exponentes tenemos: (3 000)(1 + 0.035)(1 + 0.035) = (3 000)(1 + 0.035) 2 Siguiendo este procedimiento, y considerando que en un año hay 6 bimestres, el sueldo más los aumentos correspondientes serán: (3 000) (1 + 0.035) 6 Finalmente, al término del tercer año el sueldo total será:
(3 000)((1 0.035)6 )3
(3 000)(1 0.035)18
Realizamos las operaciones y obtenemos: (3 000)(1.035)18
(3 000)(1.8575)
5 572.47
Respuesta: El sueldo final a los 3 años será de aproximadamente $5 572.47
Como puedes ver, el sueldo final se obtuvo con la siguiente ecuación: F
n
C(1 i ) ,
donde C es el sueldo inicial, i es el porcentaje de aumento, expresada como número decimal, n es el número de periodos durante los cuales se realiza el análisis y F es el valor del sueldo al final del último periodo. Veamos otro ejemplo.
Ejemplo 4 Si act ualmente Juan recibe un sueldo de $3 500, ¿qué le conviene más, un aumento de 2% trimestral durante un año o un aumento de 8% anual? H agamos los cálculos para cada situación. Si acepta un aumento de 8% anual al término del año tendrá: Sueldo final: = 3 500(1 0.08) Realizamos las operaciones y obtenemos: 3 500(1 0.08)
3 780
Para calcular la siguiente opción ut ilizaremos el razonamiento seguido en el ejemplo anterior, recordando que un año tiene 4 t rimestres. Si acepta un aumento de 2% trimestral al término del primer año tendrá: Sueldo final: (3 500)(1 0.02)4
(3 500)(1.02)4
Realizando las operaciones tendremos:
(3 500)(1.02)4
(3 500)(1.082)
3 788.5
R espuesta: L e conviene más el aumento de 2% trimestral.
Nota: La ley de crecimiento natural es una ecuación que podemos expresar como: Pe r
A
n
(e
que nos presenta la cantidad total A, que se obtiene si P aumenta cont inuamente a un porcentaje r durante n años.
Apliquemos la ley de crecimiento natural en los siguientes ejemplos.
Ejemplo 5 La población de cierta ciudad en el año 2001 era de 200 000 habitantes y crece 3% anual, según la ley del crecimiento natural. Encuentra la cantidad de habitantes que habrá en 2007. Sabemos que la población inicial es: P = 200 000. El porcentaje decrecimiento es: r = 3% anual. El cálculo es para: n = 6 años.(2006 - 2007) Aplicando la ley de crecimiento nat ural se tiene que: A
(200 000)( e) 0.03
6
Utilizando la calculadora para realizar las operaciones tenemos: A
(200 000)(2.71828) 0.18
Por lo tanto: A
(200 000)(1.197 217)
239 443.4
Respuesta: Para el año 2007 habrá aproximadamente 239 444 habitantes.
Ejemplo 6 L a población de cierta ciudad es de 500 000 habitantes y crece 23.1% anual, según la ley del crecimiento nat ural. Encuentra la cant idad de años que se requerirán para que se duplique la población. Sabemos que la población inicial es: P = 500 000
El porcentaje de crecimiento es: r = 23.1% anual. Se requiere que la población final se duplique, por lo que: A= 2 (500 000)= 1 000 000 Queremos determinar el número de años n. Aplicando la ley de crecimiento nat ural se tiene: 1 000 000
(500 000)( e) 0.231
n
O bien: 1 000 000
(500 000)(2.71828) 0.231
n
A partir de este momento, tendremos que continuar por exploración, dándole valores a n y elevado la expresión (500 000) (2.718 28) (0.231)(n) hasta obtener un valor cercano a A= 1 000 000. Para n = 1 tendremos (500 000)(2.71 828) 0.231
1
Para n = 2 tendremos (500 000)(2.71 828) 0.231
2
Para n = 3 tendremos (500 000)(2.71 828) 0.231
3
Para n = 4 tendremos (500 000)(2.71 828) 0.231
4
R espuesta: L a población se duplicará dentro de 3 años aproximadamente.
N ota: El método utilizado para resolver el ejercicio anterior será mejorado aplicando las propiedades de la función logaritmo.
Actividad 1 Resuelve los siguientes problemas (redondea tus resultados a cuatro decimales). a)
Se le ha solicitado a un laboratorio un cultivo de bacterias, de aceptar el pedido deberán entregarlo en 24 horas y en caso de incumplimiento serán fuertemente multados. Se requiere que el cultivo de bacterias específ ico pese 1 200 gramos. El laboratorio sabe que este tipo de cultivos crece cada hora conforme a un factor de 1.18. Si en este momento la colonia de bacterias que posee pesa 70 gramos, ¿deberían aceptar el pedido o sería mejor rechazarlo?
b)
¿Cuánto se ganará dentro de cinco años, si el sueldo actual es de $25 000 y se ofrece un aumento de 7% t rimestral?
c)
Si el sueldo actual de un trabajador es de $1 500, ¿qué le conviene más, un aumento de 2% bimestral durante cinco años o un aumento de 3% trimestral durante tres años?
2.2. Exponentes fraccionarios Recordemos la expresión que representa una potencia, m n
a
Base
Exponente fraccionario
pero ahora con exponentes fraccionarios. En la unidad 1 vimos que la potencia con exponente n entero y base a es igual que multiplicar
n veces la base a. De hecho, se permitía que el exponente tomara cualquier valor entero, positivo, negativo o cero. Sin embargo, no existe ningún entero n que pueda satisfacer la ecuación: (5n )(5n )
5
Ya que: si n > 0, entonces 5n
5 y por lo tanto (5n )(5n )
si n = 0, entonces 50
1 y por lo tanto (5n )(5n )
si n =
m con m > 1 5m
(5n )(5n )
1 5m
0, entonces 5n
5 5
1 1 1 1 5m < 1 5m
y por lo tanto
1
Si consideramos que también podemos ut ilizar exponentes fraccionarios y suponemos que podemos usar las leyes de los exponentes, ¿cuánto debe valer n para que la siguiente igualdad sea válida?
(5n )(5 n )
5
D e acuerdo con las leyes de los exponentes:
(5n )(5 n )
5n
n
52 n
Por lo que la ecuación inicial se transforma:
52 n
51
5
Cuya solución es 2 n 1
1
52
52
1 1 2
52
1 , es decir, n 51
1 2
5
Si seguimos aplicando la ley de los signos tendremos:
a
1 n
m
m
an
D e esta forma podemos extender las leyes de los exponentes para fracciones: m k , y números a n l
0, b 0.
Ejemplo:
a
m n
a
k l
m k n l
a
1
a
k l
m k n l
45 4
a
54
13
3
54
Ejemplo:
m
an a
1
5 4 53
5
2 3
13
43
Ejemplo:
k l
m n
4
2 3
m n
a
k l
7
2
7
34
34
2
14
34
Ejemplo:
( ab)
a b
m n
a
m n
m n
a
2
m n
2
(5 3) 3
b
2
5 3 33
Ejemplo:
m n
2 3
m
bn
4
4 3
23 4
33
Ejemplo:
a
m n
1 a
3
m n
2 4
1 2
34
m
N ota: Nunca olvides que es necesario a 0 , porque aunque a n puede m , también puedes llegar a resultados tener sent ido para a < 0, y algún n contradictorios.
Por ejemplo: 1
1
(( 1) 2 ) 2
(1) 2
1
y ( 1)
2
1 2
2
( 1)1
( 1) 2
1
Por lo tanto: 1
(( 1) 2 ) 2
( 1)
2
1 2
L a diferencia proviene de aplicar las leyes de los exponentes a una base negativa, en este caso (–1).
Ejemplo 7 Simplifica las siguientes expresiones. 1
a)
2
1 2 3
a2 a3
3 4 6
a2
7
a
a6
3
b)
a
c)
d)
3 1 4
a5
a5
1 4
1 3
3 7
a
a
3 4
2 7
3 7
1 3
( a)
5 6
a b3
12 5 20
2 3
a b
2
e)
a
a b
2
5 6
3
5 6
7
a 20
a
3 4
2 3
( b)
10 6
a
15 6
b
3 21
1
2 7
a
Simplifica las siguientes expresiones. 4
5
a3 a4
b)
a2 a4
3
6
c)
a7 5
a2 3 5
d)
a
e)
a5 b10
f)
4 3
2 3
4 5
2
a b
6 2
1
a7
5 3
Actividad 2
a)
3
a 21 2 3
5 2
b
1
( a)
1 3
a
1
b2
1 a
6 12
5
( b)
4 21
1 7
4
4
( b) 21
( b) 21
6
1
( a)12
( a) 2
2.3. Radicación En la unidad anterior aprendimos a elevar un número
Grado
n n a Radicando
a una potencia entera. Sin embargo, en algunas ocasiones resulta necesario realizar el proceso inverso: dado un número encontrar ot ro que elevado a la potencia indicada coincida con el primero. En esta
sección aprenderemos a resolver este t ipo de sit uaciones y comprenderemos su relación con los exponentes enteros y fraccionarios.
2.3.1. Raíz cuadrada El Teorema de Pitágoras establece: “ Para un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos”. c2
a2
b2
Por lo tanto, si sabemos que a= 3 y b= 4 y deseamos determinar el valor de c, tendremos: c
a
c2
(3) 2
(4) 2
9 16
25
Es decir, c es un número que elevado al b
cuadrado da 25. Observemos ( 5)2
que
(5)2
25
y
también
25 .
Como la hipotenusa es una longitud, debe ser positiva, determinamos que: c= 5 En general, se dice que una raíz cuadrada r de un número a es un número tal que al elevarlo al cuadrado da como resultado a. Entonces: si r 2
a , se dice que r es una raíz cuadrada de a.
Por ejemplo: (2) 2
4
y
( 2) 2
4
Con lo cual tenemos que 2 y
2 son raíces cuadradas de 4.
Por lo tanto, si r es una raíz cuadrada de a, entonces –r también lo es, ya que: ( r )2
( r )( r )
r2
Se utiliza el símbolo símbolo
a
a para denotar la raíz cuadrada no negativa de a y el
a para denotar la raíz cuadrada negat iva de a.
O bserva: Normalmente se buscan raíces cuadradas con valores reales, por este motivo cuando le pides a una calculadora que calcule
4 te marca
error, pues el cuadrado de cualquier número real, sea positivo o negat ivo, siempre es positivo, por lo cual decimos que no existen raíces cuadradas reales de números negat ivos.
Ejemplo 8 Relaciona las siguientes potencias con las raíces cuadradas correspondientes. a) Si 2 2 b) Si 4 c)
2
Si 32
4 , entonces
4
2
16 , entonces 16 9 , entonces
9
4
3
D el mismo modo que existen las leyes de los exponentes, podemos hablar de las propiedades de la raíz cuadrada, que se resumen en la siguiente tabla:
Ejemplo: ( a)( b)
( a)( b)
324
(81)(4)
( 81)( 4)
(9)(2)
18
Ejemplo: a b
a b
25 9
25 9
5 3
Ejemplo 9 Utiliza las propiedades de la raíz cuadrada para simplificar las siguientes expresiones. a)
225
(9)(25)
( 9)( 25)
b)
7 056
c)
14 400
d)
81 144
81 144
9 12
e)
64 121
64 121
8 11
f)
75 3
(4)(36)(49)
75 3
25
5
15
( (4)(36))( 49)
(4)(9)(16)(25) 3 4
(3)(5)
( 4)( 36)( 49)
( 4)( 9)( 16)( 25)
(2)(6)(7)
(2)(3)(4)(5)
120
84
2.3.2. Raíces de orden superior Si realizamos un razonamiento semejante al utilizado para encontrar la raíz cuadrada, pero permit iendo que el valor de n sea cualquier valor entero posit ivo, se puede definir la raíz de grado n de un número a como el número b tal que a = bn . Y escribimos:
bn que es equivalente a b
a
En donde al símbolo
na
se le llama radical, al número a se le llama radicando y al
número n se le llama grado o índice de la raíz. D e esta forma podemos decir que: 4 es la raíz cúbica o de grado t res de 64 porque 43 = 64 y se representa como: 4
3
64
2 es la raíz cuarta o de grado cuatro de 16 porque 2 4 = 16 y se representa como: 2
4
16
3 es la raíz quinta o de grado cinco de 243 porque 35 = 243 y se representa como: 3
5
243
Observa: Normalmente, la raíz cuadrada se escribe sin índice,
, en vez de
2
.
Siempre debes tener presente los siguientes puntos:
Si n es par, an siempre es mayor o igual que cero, así que un número negativo no puede tener raíz de grado par. Si n es par, y tenemos la igualdad b= an, entonces b= ( a ) n; por lo tanto, b tendrá dos raíces de grado par, a y –a
Si n es impar, todo número (posit ivo o negativo) tiene exactamente una raíz.
N ota: A part i r de este momento, a menos que se especif ique lo cont rario, consideraremos que los radicandos son mayores o iguales que cero, de est a forma la raíz de grado n siempre será posit iva y única, lo cual facilitará su est udio.
Ahora veamos los principios básicos para la obtención de raíces de grado mayor que 2:
Nuevamente, podemos hablar de las propiedades de las raíces de grado n que se resumen en la siguiente tabla:
Por ejemplo: n
an b
n
ab
3
216
3
( 3 27)( 3 8)
(27)(8)
(3)(2)
Por ejemplo: n
a n b
n
n
( a)
m n
a
m
a b
n
5
96 3
96 3
5
5
a
Por ejemplo: ( 4 16) 2 4 16 2
m
m n
5
Por ejemplo: 2 3 6 729 729
a
32
4
2
256
2 3
729
4
2
9
Ejemplo 10 Relaciona las siguientes potencias con las raíces correspondientes.
a) Si 33
27, entonces
b) Si 2 6
64, entonces
c)
3
2
27
3
64
2
Si 45 = 1 024, entonces 5 1 024
4
1
d) 53
125 , entonces (125) 3
3
125
5
1
e)
84
4 096, entonces (4 096) 4
f)
75
16 807, entonces (16 807) 5
4
4 096
8
1 5
16 807
7
3
6
Ejemplo 11 Utiliza las propiedades de las raíces de grado n para simplificar las siguientes expresiones.
a)
( 3 9)2
b)
4
c)
3
3
4
16 81
3
d)
3
2
3
16 81
4
16
9
81
2 3 3
(8)(2)
6
64
64
83 2
23 2
2
2.3.3. Raíces y exponentes fraccionarios 3
1
¿Te has preguntado cuánto puede valer 2 4 o 16 2 ? Aunque ya sabemos que existen potencias fraccionarias y hemos aplicado sus leyes en algunos ejemplos algebraicos, aún no hemos aprendido a realizar este tipo de cálculos. Sin embargo, podremos resolverlos si relacionamos, de manera adecuada, las raíces de grado n con los exponentes fraccionarios. Al inicio de esta sección se estableció que el exponente que hace válida la ecuación: 1 5n 5 es n y se llegó a la siguiente ecuación: 2 1
1
52
52
5
1
1
Es decir, 5 2 multiplicado por sí mismo es 5, entonces 5 2 es la raíz cuadrada de 5. Esto sugiere la siguiente def inición: 1
52
2
5
5
Si hacemos lo mismo para cualquier n entero positivo tendremos: 1
an
n
a con a
0 y n un entero positivo.
Generalizado y aplicando las leyes de los exponentes y radicales se tiene: n
am
1
( an ) m
m
an con a
Veamos como lo podemos aplicar.
0 y n un entero positivo.
Ejemplo 12 U t i li za l as propi edades de los exponent es y las raíces para si mpli f i car las si gui ent es expresi ones: 1
a)
(64 a15 )3
b)
(16 a24 )
1
15
(64) 3 ( a15 ) 3
1
( 3 64) a 3
1 4
1
1
(16 a24 )
c)
100 a 49 b8
1 4
3 2
3 2
6
4 a5
4
6
(100) ( a ) 3
1
16( a24 )
1 4
2a
3
(49) 2 ( b8 ) 2
( 49)3 b
3 2
6
( 100)3 a
3 2
1 2 a6
24 4
(10)3 a9 1 (7)3 b12
3 2
8
3
( 16)3
d) 16 2
43
2
e)
33
f)
57
64 1
3
32
3
9
7
53
7
125
93
3
1
1257
Ejemplo 13 U t i l i za las propiedades de los exponent es y las raíces para si mpl i f icar las si guient es expresiones: b10 a5
4
a)
4
2
ba
4
b10 a5 b2 a
1 4
b8 a4
8
( b8 a4 ) 4
4
( b 4 a 4 ) b2 a 42
b)
3 7
a42 b9
c)
4 3
a36 b24
(3
7
a42 ) ( 3
7
b9 )
( 21 a42 )( 21 b9 ) 1
12
a36 b24
( a36 b24 )12
36
24
a12 b12
9
3
a 21 b21
a2 b7
a3 b2
a2 7 b3
Actividad 3 Utiliza las propiedades de los exponentes y las raíces para simplificar las siguientes expresiones.
a)
3
b)
( 9 8)3
c)
( 8 25)
27
4
2
d) (64) 3
e)
4
a13 b4
4
a5 b3
2.5. Logaritmos y su aplicación a crecimiento de población e inversiones R eflexión: John Napier (o Neper) (1550-1617), matemático y teólogo escocés, simultáneamente con John Brigg (1561-1631), matemático inglés, introdujeron el concepto de logaritmos como una herramienta matemática práct ica y teórica. Antes del advenimiento de las calculadoras y computadoras, los logarit mos eran usados en estadística, navegación, astronomía y otras ramas de las matemáticas prácticas, ya que gracias a sus propiedades se pueden transformar multiplicaciones en sumas, divisiones en restas y potencias en productos. En la act ualidad, los logarit mos han dejado de tener la importancia computacional que tenían hace algunos años; sin embargo, siguen teniendo importancia para describir algunos fenómenos nat urales, por ejemplo: la escala R itcher, que se ut iliza para medir la intensidad de un temblor y es una escala logarítmica. L a palabra logarit mo, que se debe a Napier, está formada de las palabras griegas (logos), que significa razón o cociente, y
o (arithmos), con el significado de número, y se
def ine, literalmente como un número que indica una relación o proporción. Observa los números que aparecen en la siguiente tabla:
30 = 1
40 = 1
50 = 1
100 = 1
31 = 3
41 = 4
51 = 5
101 = 10
32 = 9
42 = 16
52 = 25
102 = 100
33 = 27
43 = 64
53 = 125
103 = 1 000
34 = 81
4 4 = 256
54 = 625
104 = 10 000
D e ellos se puede decir que el exponente al que se tiene que elevar es: el número 3 para obtener 81 es 4: 34= 81 el número 4 para obtener 64 es 3: 43= 64 el número 5 para obtener 25 es 2: 52= 25
Forma exponencial
el número 10 para obtener 1 es 0: 100= 1
Usando estas af irmaciones decimos, respectivamente, que el logarit mo de base: 3 del número 81 es 4 y se escribe log3 (81) = 4 4 del número 64 es 3 y se escribe log4 (64) = 3 5 del número 25 es 2 y se escribe log5 (25) = 2
Forma logarítmca
10 del número 1 es 0 y se escribe log10 (1) = 0
En general, el logaritmo base a, a > 0, de un número x, x > 0, es el exponente y, al que tenemos que elevar la base para que obtengamos el número x, y se escribe como: log a ( x)
y
x
ay
N ota: Si la base es 1, todas las potencias son iguales a 1.
O bserva: En t u calculadora encont rarás dos funciones que te permitirán resolver cualquier problema de logarit mos: la función log (logarit mo base diez) e ln (logarit mo nat ural o base e). Si calculas log (10) e ln (e) en ambos casos te dará 1.
Sus propiedades se pueden resumir en la siguiente tabla:
log an
n log a
Ejemplo: log(12) 2
y
3
ln an
ln(7) 2
n ln a
log( ab)
log a log b
log(7 a)
ln( ab)
a b
ln a ln b
log( ab) n
ln a ln b
n log( ab)
ln
n(log a log b)
y ln( ab) n
ln(8) ln(2)
Ejemplo:
log a log b
log a b
log(7) log( a)
ln((8)(2))
y ln
3 ln(7) 2
Ejemplo:
y
log
2 log(12)
13 21 57 b
log(13) log(21) ln(57) ln( b)
Ejemplo: log(5a)10
n ln( ab)
n(ln a ln b)
ln((9)(11))
(10)(log(5) log( a)) 7 6
7 (ln(9) ln(11)) 6
Ejemplo 14 Cambia las siguientes expresiones de la forma exponencial a la logarítmica y viceversa.
a)
34
81, entonces log3 (81)
b)
54
625, entonces log5 (625)
c)
103
4
4
1 000, entonces log10 (1 000)
d) 7 1
7, entonces log7 (7)
1
e)
log 49 (7)
1 1 , entonces 49 2 2
f)
log 2 (16)
4, entonces 2 4
g)
log 1 (16)
2, entonces
4
3
7
16 1 4
2
16
Ejemplo 15 Ut iliza las propiedades de los logarit mos para escribir como un solo logarit mo las siguientes expresiones. a) log3 (41)+ log3 (10)–log3(2) Primero simplifiquemos la expresión: log3 (10) log3 (2) log3 (41) log3 (10) log3 (2)
log3 (41) log3
Realizamos la división indicada: log3 (41) log3
10 2
log3 (41) log3 (5)
Ahora simplif iquemos la expresión: log3 (41) log3 (5) log3 (41) log3 (5)
log3 ((41)(5))
Realizamos la mult iplicación indicada: log3 ((41)(5))
log3 (205)
10 2
Por lo tanto: log3 (41) log3 (10) log3 (2)
b)
log3 (205)
log9 (35) (4)(log9 (15) log9 (3)) Recuerda que pri mero debemos reali zar las operaciones ent re paréntesi s, por lo que empezaremos simplif icando la expresión: (log9 (15) log9 (3)) log9 (35) (4)(log9 (15)
log 9 (3))
log 9 (35) (4) log9
Realizamos la división indicada:
log 9 (35) (4) log9
15 3
log9 (35) (4)(log 9 (5))
Ahora simplif iquemos la expresión: (4)(log9 (5)) log 9 (35) (4)(log 9 (5))
log 9 (54 )
log 9 (35)
Simplificamos la expresión anterior y obtenemos:
log9 (35) log9 (54 )
35 54
log 9
Finalmente, como: (35)
(7)(5)
log9
35 54
log9
(7)(5) 54
7 53
log9
Por lo tanto: log9 (35) (4)(log9 (15) log9 (3))
c)
1 log2 (49) 6
log9
7 53
1 log2 (7) 3
Primero nos concentraremos en los factores 1 log 2 (49) 6
1 log 2 (7) 3
1
1
log2 49 6
log 2 7 3
Ahora simplif iquemos la expresión anterior: 1
log2 49
1 6
log2 7
1 3
log 2
1 1 y 6 3
49 6 1
73
15 3
Aplicando la ley de los exponentes tenemos:
log2
49 7
1 6
log2
1 3
49 7
1 3
1 2
log 2
1 3
49 7
1 2
1 3
1
Como (49) 2
log2
49 7
1 2
49
7 , entonces:
1 3
log 2
7 7
log2 (1)
0
1 3
Finalmente: 7 7
log2
1 3
Por lo tanto: 1 log2 (49) 6
1 log2 (7) = 0 3
Ahora veamos cómo se pueden aplicar las propiedades del logaritmo a problemas de crecimiento poblacional y de inversión.
Ejemplo 16 Una bacteria se reproduce por bipartición (se divide en dos) cada segundo. Si se requieren 15 975 bacterias para preparar vacunas, ¿cuánto t iempo habrá que esperar si en este momento sólo se cuenta con una bacteria? Como se reproducen por bipart ición, la expresión que nos permite saber cuantas bacterias hay cada segundo es 2 n, donde n representa los segundos que han transcurrido. Por lo tanto: 2n
15 975
Como nos interesa conocer el valor de n, podemos utilizar las propiedades de los logaritmos. Aplicamos logaritmo en base 10 en ambos lados de la ecuación y obtenemos: log(2n )
log(15 975)
Usando las propiedades del logarit mo: ( n) log(2)
log(15 975)
Finalmente: n
log(15 975) log(2)
Con ayuda de la calculadora obtenemos (redondea a 4 decimales): n
4.2 034 0.3 010
13.9 648
Respuesta: H abrá que esperar 14 segundos para obtener las 15 975 bacterias.
Ejemplo 17 ¿Cuánto t iempo tardará en triplicarse un sueldo de $3 500 si se solicita un aumento de 2% anual? Utilicemos el razonamiento seguido en el ejemplo 4. Si el sueldo act ual es de $3 500 y deseamos se triplique t riplique con un aumento de 2% anual, tendremos: 3(3 500)
10 500
10 500 = 3 500(1 0.02)n Entonces: 10 500 = (1.02) n 3 500 O bien: 3 (1.02) n Ahora podemos aplicar el logarit mo base 10 en ambos lados de la ecuación: log(3)
log(1.02 n )
Aplicando las propiedades del logaritmo tenemos: log(3)
( n)(log(1.02))
Por lo tanto:
n
log(3) log(1.02)
Con ayuda de la calculadora obtenemos (redondea a cuatro decimales): n
0.4 771 0.0 086
55.4 767
R espuest a: Se t endr á que esperar aproxi madament e 55.48 años; como el aument o ocur re cada año, habr á que esper ar 56 años, par a t r i pl i car el suel do.
Actividad 4 1.
Utiliza las propiedades de los logaritmos para resolver las siguientes operaciones (redondea t us resultados a cuatro decimales). a) log(125)4 8 9
b) log
2.
Cambia las siguientes expresiones de la forma exponencial a la logarítmica y viceversa.
a) 35
243
b) 6 4 = 1 296
c) log6 (7 776)
5
d) log 1 (117 649)
6
7
e) log 3 4
3.
16 9
2
Escribe como un solo logarit mo las siguientes expresiones.
a) log7 (15) + log7 (19) – log7 (27) =
b) log5 (45) (3)(l og5 (75) log5 (5)) =
c)
1 log (49) 2
2 log (7) = 3
2.6. Identificación de losprocesosdonde se requiere aplicar lasbasesmatemáticas a la solución eficiente de problemas económico-administrativos En las secciones anteriores se aplicaron las propiedades de los exponentes, raíces y logarit mos principalmente a ejercicios de t ipo algebraico. En los siguientes ejemplos veremos la forma en qué podemos aplicar estas mismas propiedades a problemas económico-administrat ivos para resolverlos de manera ef iciente.
Ejemplo 18 ¿Qué porcentaje de aumento anual debe solicitarse si se desea que un sueldo de $2 000 se duplique en tres años? (Redondea a cuatro decimales.) Tenemos: Sueldo inicial: C = $2 000 Tiempo: n = 3 años Sueldo final esperado: F = 2(2 000)= $4 000 D eseamos determinar el porcentaje de aumento que se necesita = i. Como vimos en los ejemplo 3 y 4 el sueldo f inal después de 3 años está dado por: 4 000 = (2 000) (1+ i) 3 Por lo tanto, tendremos: 4 000 2 000
(1 i )3
O bien: (1 i )3
2
Si sacamos la raíz de grado 3 de ambos lados de la igualdad: 3
2
3
(1 i )3
Se t iene: 3
2
1 i
Por lo tanto, el porcentaje de aumento buscado es: i
3
2 1 (1.2599) 1
0.2599
R espuesta: Se requiere un aumento del 25.99% anual aproximadamente.
Ejemplo 19 Se ofrece un trabajo con un sueldo inicial de $12 000 y un aumento anual constante que permit irá duplicarlo en 10 años, ¿qué porcentaje de aumento anual se está ofreciendo? (redondea a cuatro decimales.) Nuevamente podemos realizar un análisis como en el ejemplo anterior. Tenemos sueldo inicial: C = $12 000 Tiempo: n = 10 años Sueldo final esperado: F = 2 (12 000)= $24 000 D eseamos determi nar el porcentaje de aumento: = i El sueldo final después de 10 años es dado por: 24 000 = (12 000) (1+ i)10 Por lo tanto tendremos: 24 000 12 000
(1 i )10
Es decir: (1 i )10
2
Si sacamos la raíz de grado 10 de ambos lados de la igualdad: 10
2
10
(1 i )10
Se t iene: 10
2
1 i
Por lo tanto, el porcentaje de aumento buscado es: i
10
2 1 (1.0718) 1
0.0718
Respuesta: Se está ofreciendo un aumento de 7.18% anual aproximadamente.
Ejemplo 20 L a población de cierta ciudad es de 500 000 habitantes y crece 2.1% anual, según la ley del crecimiento natural. Se considera que los servicios públicos actuales resultarán ineficientes en el momento en que la población llegue a 1 000 000 de habitantes, por este motivo, se planean iniciar obras que ayuden a prevenir esta situación. D etermina en cuántos años deberán estar listas dichas obras para garantizar que los servicios públicos continúen siendo adecuados.
Sabemos que la población inicial es: P = 500 000 El factor de crecimiento es: r = 2.1% = 0.021 L a población final será: A = 1 000 000 D eterminar los años (n) L a ley de crecimiento natural queda de la siguiente forma: 1 000 000
(500 000)( e) 0.021
n
Entonces: 1 000 000 500 000
e 0.021
n
Por lo tanto: 2
e 0.021
n
A hora podemos aplicar el logarit mo nat ural (base e) en ambos lados de la ecuación: ln(2)
ln( e 0.021 n )
Utilizando las propiedades del logaritmo tenemos: ln(2)
(0.021)( n)(ln( e))
Como ln( e) ln(2)
1 , entonces:
(0.021)( n)
Por lo tanto: n
ln( 2 ) 0.021
Con ayuda de la calculadora obtenemos: n
0.69315 0.021
33
R espuesta: L as obras deberán estar listas en aproximadamente 33 años. Ejemplo 21 Un cultivo de bacterias crece 10% cada minuto, si en este momento se cuenta con sólo 5 bacterias y se requieren 1 000 para la fabricación de una vacuna, ¿cuánto t iempo se tendrá que esperar? Sabemos que la población inicial es: P= 5
El factor de crecimiento es: r = 10% = 0.10 cada minuto L a población final: A = 1 000 D eterminar los minutos (n). L a ley de crecimiento natural queda de la siguiente forma: e 0.1
200
n
Entonces: 1 000 5
e 0.1
n
Por lo tanto: e0.1
200
n
Ahora podemos aplicar el logaritmo nat ural (base e) en ambos lados de la ecuación y obtendremos: ln(200)
ln( e 0.1 n )
Por las propiedades del logarit mo nat ural tendremos: ln(200)
(0.1)( n)(ln( e))
Como: ln( e)
1
ln(200)
(0.1)( n)
Por lo tanto: n
ln(200) 0.1
Con ayuda de la calculadora obtenemos: n
5.2 983 0.1
52.983
Si en lugar de aplicar el logarit mo natural aplicamos el logarit mo base 10 obtendremos: log(200)
log( e 0.1 n )
Por las propiedades del logarit mo base 10 tendremos: log(200)
(0.1)( n)(log( e))
Finalmente: n
log(200) (0.1)(log( e))
Con ayuda de la calculadora obtenemos: n
2.3 010 (0.1)(0.4 343)
52.98
Observa que obt uvimos el mismo resultado que en el análisis hecho con el logaritmo natural. R espuesta: L a población necesaria de bacterias estará lista en 53 minutos.
Ejemplo 22 Para ofrecer un servicio óptimo, una compañía planea abrir una sucursal en el momento en que logre triplicar el número actual de clientes. Con base en los datos de los primeros meses se determinó que la clientela está creciendo mensualmente con un factor de 1.28. Si act ualmente cuenta con 200 clientes, ¿en cuántos meses será necesaria la nueva sucursal? Si hacemos las cuent as de manera semejante al ejemplo 2, obtendremos que el t iempo de espera para t riplicar el número act ual de clientes est á dado por: (200)(1.28) n
600
Entonces: 600 = (1.28) n 200 Por lo tanto: 3 (1.28) n Ahora podemos aplicar el logarit mo base 10 en ambos lados de la ecuación: log(3)
log(1.28n )
Por las propiedades del logaritmo tendremos: log(3)
( n)(log(1.28))
Por lo tanto: n
log(3) log(1.28)
4.45
Respuesta: La nueva sucursal se necesitará en aproximadamente cuatro meses y medio.
Ejemplo 23 Si se cuenta con un sueldo act ual de $5 000, ¿cuánto tiempo tendrá que esperarse para duplicarlo, si se acepta un aumento de 2% trimestral? Nuevamente utilicemos el razonamiento seguido en el ejemplo 4. Si nuestro sueldo actual es de $5 000 y deseamos que se duplique con un aumento de 2% trimestral tendremos: 10 000 = 5 000(1 0.02)n Entonces: 10 000 = (1.02) n 5 000 Por lo tanto: 2
(1.02) n
Ahora podemos aplicar el logarit mo base 10 en ambos lados de la ecuación: log(2)
log(1.02 n )
Por las propiedades del logaritmo tendremos: log(2)
( n)(log(1.02))
Por lo tanto: n
log(2) log(1.02)
Con ayuda de la calculadora obtenemos: n
0.30 103 0.0 086
35.003
R espuesta: Se tendrá que esperar 36 trimestres.
Actividad 5 Resuelve los siguientes planteamientos (redondea tus resultados a cuatro decimales). a) ¿Qué porcentaje de aumento anual debe solicitarse si se desea que un sueldo de $7 000 se duplique en cuatro años? b) Se ofrece un trabajo con un sueldo inicial de $10 000 y un aumento anual constante que permitirá triplicarlo en 8 años. ¿Qué porcentaje de aumento anual se está ofreciendo? c)
Un cult ivo de bacterias crece 47% cada hora, si en este momento se cuenta con sólo 10 bacterias y se requieren 17 000 para producir una vacuna, ¿cuántas horas se tendrá que esperar?
d) Para poder abrir una franquicia se debe contar con un público potencial de 700 personas. En este momento se analiza la posibilidad de establecerse en una nueva plaza comercial. Con base en los datos de los primeros meses se determinó que la clientela potencial es de 150 personas y que está creciendo mensualmente en un factor de 1.38. ¿En cuántos meses se contará con el público necesario para abrir la franquicia? e) ¿Cuantos años se tendrá que esperar para triplicar un sueldo de $55 000, si se acepta un aumento de 2% anual?
Autoevaluación 1.
Cuál de las siguientes expresiones es equivalente a: a5 b6
3 2
b)
5 6
a b
a)
5
3 2
6
3 2
a
b
3 2
15
c)
2.
a2 b9
Cuál de las siguientes expresiones es equivalente a: 5 4
a60 b20
a60 b20
a)
9
b)
a3 b
c)
( a60 b20 ) 9
1
3.
Cuál de las siguientes expresiones es equivalente a: log3 (41) + log3 (7) – log3 (2)
4.
(41)(7) 2
a)
log3
b)
log3 ((41)(7)( 2))
c)
log3 (41 7 2)
Se ofrece un trabajo con un sueldo inicial de $10 000 y un aumento anual constante que permitirá duplicarlo en 12 años, ¿qué porcentaje de aumento anual se está ofreciendo? a) 8.7% b) 5.95% c)
4.87%
5.
Un cultivo de bacterias crece 20% cada minuto, si en este momento se cuenta con sólo 7 bacterias y se requieren 1 000 para producir una vacuna, ¿cuánto t iempo se tendrá que esperar? a) Aproximadamente 30 minutos. b) Aproximadamente 27 minutos. c)
6.
Aproximadamente 25 minutos.
Si se cuenta con un sueldo de $15 500 ¿cuantos bimestres se tendrá que esperar para triplicarlo, con un aumento del 3.5% bimestral? a) 30 bimestres. b) 32 bimestres. c)
29 bimestres.
Respuestasa lasactividades Actividad 1 a)
El peso inicial del cultivo de bacterias es de 70 gramos y crecen cada hora conforme un factor de 1.18, por lo tanto, después de 24 horas el cultivo pesará: (70)(1.18)24
(70)(53.11)
3 717.6 gramos
Como el pedido solicita 1 200 gramos, sí se puede cubrir en el tiempo establecido. R espuesta: Sí deben aceptar el pedido.
b)
Si el porcentaje de aumento es de 7% t rimestral y si cada año tiene 4 trimestres, al término del primer año tendremos: (25 000)(1
0.07)4
Por lo tanto, al término del quinto año se tendrá: Sueldo final = (25 000)((1
0.07)4 )5 pesos
Aplicando la ley de los exponentes: 0.07)4 )5
(25 000)((1
(25 000)(1.07)20
H aciendo los cálculos: (25 000)(1.07)20
(25 000)(3.87)
96 750
R espuesta: A l térmi no delosci nco añossetendrá un sueldo de aproxi madamente $96 750
c)
H agamos los cálculos para cada caso. Pr i mero revi semos la cant idad que se obt iene al acept ar un aument o de 2% bi mest ral . Como un año tiene 6 bimestres, después de un año se tendrá: (1 500)(1
0.02)6
(1 500)(1.02)6
Por lo tanto, al término del año se tendrá un sueldo de: Sueldo final = (1 500)((1.02)6 )5 pesos Aplicando la ley de los exponentes: (1 500)((1.02)6 )5
(1 500)(1.02)30
H aciendo los cálculos: (1 500)(1.02)30
(1 500)(1.81 136)
2 717.04
A hora revi semos l a cant i dad que se obt i ene al acept ar un aument o del 3% t rimest ral. Como un año tiene 4 trimestres, después de un año se tendrá: 0.03)4
(1 500)(1
(1 500)(1.03)4
Por lo tanto, al término del tercer año se tendrá un sueldo de: Sueldo final = (1 500)((1.03)4 )3 pesos Aplicando la ley de los exponentes: (1 500)((1.03)4 )3
(1 500)(1.03)12
H aciendo los cálculos: (1 500)(1.03)12
(1 500)(1.4 258)
2 138.70
R espuesta: Conviene más aceptar un aumento del 2% bimestral durante los cinco años.
Actividad 2 Resuelve las siguientes operaciones. 4
5
a)
a3 a4
b)
a2 a4
4 5 4
16 15 12
a3
31
a
a12
3 3
3
a2 ( a 4 )
a2
4
a
3 8 2
a
5 2
1 5
a2
6
c)
6
a7 a
a7
5 2
5 2
6 5 2
12 35 14
a7
a
a
23 14
1 23
a14 2 3
3
d)
a5
e)
a5 b10
f)
a
4 3
3
a5 4 5
2 3
( a5 ) ( b10 )
2
a b
6 2
4
a3
6
2
a15
a5
4 5
5
4 5
10
4 5
a
4 5
b 6 2
b
2
6 2
a4 b8
a
24 6
b
a b2 12 2
4
a 4b 6
1 a4 b6
1 a2 b3
2
Actividad 3 Utiliza las propiedades de los exponentes y las raíces para simplificar las siguientes expresiones. 3 porque 33 = (3) (3) (3) = 27
a)
3
b)
( 9 8)3
c)
( 8 25) 4
27
3
1
1
89
89
1
3
4
3
1
89
83
1
25 8
258
4
3
25
8
4 8
2
25
1 2
1 25
1 2
1 25
1 5
2
d) (64) 3
4
e)
( 3 64) 2
a13 b4
4
a5 b3
4
a13 b4 a5 b3
(4) 2
4
16
a13 5 b4
3
4
a8 b
1
1
( a8 b) 4
a2 ( b) 4
a2 4 b
Actividad 4 1.
2.
Resuelve las siguientes operaciones.
a)
log(125)4
b)
log
8 9
4 log(125)
(4)(2.0 969)
log(8) log(9)
0.0512
8.3 876
Cambia las siguientes expresiones de la forma exponencial a la logarítmica y viceversa.
a)
35
243 entonces log3 (243)
b)
64
1 296 entonces log6 (1 296)
c)
log6 (7 776)
5 entonces 65
5
4
7 776
d)
log 1 (117 649)
1 7
6 entonces
7
e)
log 3 4
3.
16 9
2 entonces
3 4
2
6
117 649 16 9
Escribe como un solo logarit mo las siguientes expresiones: a) log7 (15) + log7 (19) – log7 (5) = Primero simplificamos la expresión: log7 (19) – log7 (5) log7 (15) + log7 (19) – log7 (5) = log7 (15) log7
19 5
Ahora simplif icamos los términos restantes: log7 (15) log7
19 5
log7 (15)
19 5
Como (15) es divisible entre (5) tenemos: log7 (15)
19 5
log7 ((3)(19))
H acemos la mult iplicación indicada: l og7 ((3)(19))
log7 (57)
Finalmente: log7 (15) + log7 (19) – log7 (27) = log7 (57)
b) log5 (45) – ( 3 ) (log5 (75) – log5 (5)) = Primero simplificamos la expresión encerrada entre paréntesis: log5 (45) – ( 3 ) (log5 (75) – log5 (5)) = log 5 (45) (3) log5
Realizamos la división indicada: log5 (45) (3) log5
75 5
log5 (45) (3) log5 (15)
Aplicamos la propiedad de la potencia de los logarit mos: log5 (45) (3) log5 (15)
log5 (45) log5 (153 )
Simplificamos los términos restantes: log5 (45) log5 (153 )
log5
45 153
log5
1 75
75 5
Finalmente: log5 (45) – ( 3 ) (log5 (75) – log5 (5)) = log5
c)
1 75
1 2 log (49) – log (7) = 2 3 Primero aplicamos la ley de la potencia de los logarit mos: 1 1 2 log (49) – log (7) = log 49 2 2 3
2
log 7 3
Simplificamos los términos restantes: 1
2
log 49 2
log 7 3
log
7 2
73 Simplificamos la división indicada: log
7
log 7
2
1
2 3
1
log 7 3
73 Finalmente: 1 1 2 log (49) – log (7) = log 7 3 2 3
Actividad 5 a) Tenemos un sueldo inicial C = $7 000 Tiempo: n = 4 años Sueldo final esperado: F = $14 000 D eseamos determinar el porcentaje de aumento = i Como el sueldo f inal después de 3 años es dado por: 14 000
(7 000)(1
Entonces tendremos: 14 000 7 000
(1 i )4
i )4
O bien: (1 i )4
2
Si sacamos la raíz de grado 4 de ambos lados de la igualdad: 4
2
4
(1 i ) 4
Aplicando la ley de los exponentes: 4
2
1 i
Por lo tanto, el porcentaje de aumento buscado es: 4
i
2 1
H aciendo los cálculos: i
(1.18 921) 1
0.1 892
Respuesta: Se requiere de una aumento de 18.92% anual aproximadamente.
b) Tenemos Sueldo inicial es: C = $10 000 Tiempo: n = 8 años Sueldo final esperado: F = $30 000 D eseamos determinar el porcentaje de aumento = i Como el sueldo f inal después de 8 años es dado por: 30 000
(10 000)(1
i )8
Por lo tanto, tendremos: 30 000 1 000
(1
i )8
O bien: i )8
3 (1
Si sacamos la raíz de grado 8 de ambos lados de la igualdad: 8
3
8
(1
i )8
Aplicando la ley de los exponentes: 8
1 i
3
Por lo tanto, el porcentaje de aumento buscado es: i
8
3 1
H aciendo los cálculos: i
(1.1 472) 1
0.1 472
R espuesta: Se requiere un aumento de 14.72% anual aproximadamente.
c)
L a población inicial es: P = 10 El factor de crecimiento es: r = 47% cada hora L a población final: A = 17 000 D eterminar las horas (n). L a ley de crecimiento natural queda de la siguiente forma: (10)( e) 0.47
17 000
n
Entonces: 17 000 10
e 0.47
n
Por lo tanto: 1 700
e 0.47
n
Ahora podemos aplicar el logarit mo natural en ambos lados de la ecuación: ln(1 700)
ln( e 0.47
n
)
Por las propiedades del logaritmo nat ural tendremos: ln(1 700)
(0.47)( n)(ln( e))
Como: ln( e)
1
ln(1 700)
(0.47)( n)
Por lo tanto: n
ln(1 700) 0.47
15.83
H aciendo los cálculos: n
7.4 384 0.47
15.83
R espuesta: L a población necesaria de bacterias estará lista en 16 horas.
d) El t iempo que se tendrá que esperar para alcanzar el número de clientes requerido está dado por:
(150)(1.38) n
700
Entonces:
700 150
(1.38) n O bien:
(1.38) n
4.6667
Ahora podemos aplicar el logarit mo base 10 en ambos lados de la ecuación y obtendremos: log(4.6 667)
log(1.38n )
Por las propiedades del logaritmo tendremos: log(4.6 667)
( n)(log(1.38))
Por lo tanto: n
log(4.6 667) log(1.38)
H aciendo los cálculos: n
0.669 0.1 399
4.78
R espuesta: Se contará con el público necesario dentro de 5 meses.
e) El sueldo actual es de $55 000 y deseamos que se triplique con un aumento de 2% anual. 165 000 = 55 000(1 0.02) n Entonces: 165 000 = (1.02) n 55 000 Por lo tanto: 3 (1.02)n Ahora podemos aplicar el logarit mo base 10 en ambos lados de la ecuación: log(3)
log(1.02 n )
Por las propiedades del logaritmo tendremos: log(3)
( n)(log(1.02))
Por lo tanto: n
log(3) log(1.02)
H aciendo los cálculos: n
0.47 712 0.0 086
55.48
Respuesta: Se tendrán que esperar 56 años para triplicar el valor del sueldo inicial.
Respuestas a la autoevaluación 1.
c)
2.
b)
3.
a)
4.
b)
5.
c)
6.
b)