Story Transcript
U N I DAD
3
Manejo algebraico
Introducción El álgebra es una parte de las matemáticas siempre presente en los cursos de matemát icas financieras. En esta unidad se presentan los principios fundamentales del álgebra, como la reducción de términos semejantes, las operaciones entre expresiones algebraicas, los productos notables y los diferentes casos de factorización. También se muestra la solución de ecuaciones lineales y cuadráticas, lo cual es importante porque se utilizan para modelar problemas financieros y administrat ivos, por ejemplo, cálculo de interés y presupuestos. Se resolverán asi mismo desigualdades, lineales y cuadráticas, que también sirven para el modelado de fenómenos y la solución de problemas f inancieros.
Competencia
Al f inalizar la unidad, el alumno podrá: •
Resolver problemas de la empresa en el ámbito financiero y administrativo tomando decisiones basadas en la aplicación de las herramientas aritméticas y algebraicas
Contenido
3.1.
Operaciones algebraicas básicas. 3.1.1.
Polinomios.
3.1.2.
Reducción de términos semejantes.
3.1.3.
Eliminación de los signos de agrupación.
3.1.4.
Suma y resta de polinomios.
3.1.5.
Multiplicación y división de polinomios. 3.1.5.1. Multiplicación. 3.1.5.2. D ivisión.
3.2.
3.3.
3.4.
Productos notables. 3.2.1.
Producto de binomios conjugados.
3.2.2.
Cuadrado de un binomio.
Simplificación de expresiones algebraicas (factorización). 3.3.1.
Factorización.
3.3.2.
Factor común.
3.3.3.
D iferencia de cuadrados.
3.3.4.
Trinomio cuadrado perfecto.
Ecuaciones de una variable (lineales y cuadrát icas). 3.4.1.
Ecuaciones lineales de una variable.
3.4.2.
Ecuaciones caudráticas de una variable. 3.4.2.1. Resolución de ecuaciones cuadráticas por factorización. 3.4.2.2. Resolución de ecuaciones cuadráticas por fórmula general.
3.5.
D esigualdades lineales y cuadrát icas de una variable. 3.5.1.
D esigualdades lineales de una variable.
3.5.2.
D esigualdades cuadráticas de una variable.
3.6.
Valores absolutos.
3.7.
Solución de problemas de la empresa a través del manejo algebraico: inversiones,
determinaciónde precios y utilidad.
3.1. Operaciones algebraicas básicas R ef lexión:
ara poder entender el comportamiento de muchos fenómenos en el área
económica-administ rativa es necesario conocer los principios fundamentales del álgebra, por que es una herramienta que nos permite representar de forma general el comportamiento matemát ico de cualquier fenómeno. Además se aplicarán algunas técnicas que facilitan el desarrollo estas operaciones, como son la reducción de términos semejantes y la eliminación de signos de agrupación, sin perder de vista las propiedades de los exponentes y radicales.
3.1.1. Polinomios Antes de iniciar el estudio de los polinomios se requiere def inir algunos elementos básicos del álgebra:
Variable Es un valor que cambia de acuerdo con las condiciones de la sit uación a la que se ref iere; se representa con cualquier letra del abecedario.
Coeficiente Es un valor conocido y constante, el cual puede ser entero, fraccionario o decimal; posit ivo o negativo, y sirve como factor.
Exponente Es un valor constante o variable que indica la potencia a la cual se eleva una variable o toda una expresión algebraica.
Expresión algebraica Es una represent ación matemát ica la cual i ncluye coef icientes y variables elevadas a cier t o exponent e. Se consideran expresiones algebraicas fraccionarias las que contienen variables como parte del denominador, mientras que los polinomios son aquellas expresiones donde las variables no forma parte del denominador.
Termino algebraico Un término algebraico está constit uido por dos partes: el coeficiente y x7 y3 z
- 21
la parte literal, la cual incluye todas las variables junto con sus
coeficiente parte literal
exponentes. L os polinomios son expresiones algebraicas que pueden estar formadas por uno o más términos algebraicos, separados mediante signos de suma (+ ) o resta (–). Polinomio:
2 x3
x2
Términos algebraicos:
2x3 ; x 2 ;
5 x 11 5x y 11
L os polinomios se clasifican de acuerdo con la cantidad Expresión algebraica
2 x3
x2
5x
de términos que los conforman. Así, aquellos
11
Cuatro términos algebraicos
polinomios que constan de un solo término se denominan monomios; los formados por dos término,
binomios; por tres término, trinomios, y de cuatro términos en adelante se llaman polinomios.
5xy2
Monomio (un término) 1 3 y 2
3x
1 2 x 2 y3
Binomio (dos términos) 3 s xy 5
Trinomio (tres términos)
L os polinomios también pueden clasificarse de acuerdo con su grado.
Grado de un polinomio El grado de un poli nomio se determi na por el mayor grado de los términos que lo conforman, mient ras que el grado de cada término es la suma de los exponentes de las variables que lo const it uyen. Si el polinomio t iene una sola variable, su grado corresponde al mayor exponente de la variable en cuest ión.
Ejemplo 1 Determina el grado de los siguientes polinomios. a) 7 x2 y2
+
2 + 2 = cuarto grado
13 x2 y
15
2 + 1 = tercer grado
grado cero
Por lo tanto se trata de un polinomio de cuarto grado.
9x6
b)
+
sexto grado
21 x4
5x2
cuarto grado
segundo grado.
Por lo tanto se trata de un polinomio de sexto grado.
En un polinomio de varias variables es posible referirse a su grado solo respecto a una de las variables; éste será el mayor exponente de dicha variable.
Ejemplo 2 D et ermi na el grado del poli nomio 9 x7 y2
12 xy3
7 con respect o a cada una de sus
vari ables. a) Respecto a x : 9x7 y2
+
sépt imo grado
12xy3
7
primer grado
grado cero
Polinomio de 7mo. grado respecto a x
b) Respecto a y : 9x7 y2
+
segundo grado
12xy3
7
tercer grado
grado cero
Polinomio de tercer grado respecto a y
Para facilitar las operaciones con polinomios se sugiere ordenarlos. Un polinomio está ordenado cuando se escriben los términos de manera ascendente o descendente con respecto a los exponentes de una misma variable.
Ejemplo 3 Ordena el siguiente polinomio con respecto a x:
21 3 x3 y 10 x 5 x 2 y2
a) Polinomio ordenado de forma descendente respecto a x: 14 x 4 y3
3 x 3 y 5 x 2 y2
10 x
21
b) Polinomio ordenado de forma ascendente respecto a x: 21 10 x 5 x 2 y2
3 x3 y 14 x 4 y3
14 x 4 y3
3.1.2. Reducción de términos semejantes Se llaman térmi nos semejantes aquellos que t ienen las mismas variables elevadas a los mismos exponentes. D e esta manera, las expresiones: ( 5 x 2 y6 w) ,
2 6 2 y wx , (3.87 wy6 x 2 ) 5
Son términos semejantes, ya que, aunque en dist into orden, todas tienen las mismas variables con sus respectivos exponentes. L a reducción de términos semejantes consiste en sumar algebraicamente suscoef icientes dejando la misma parte literal.
Ejemplo 4 Reduce los términos semejantes de las siguientes expresiones: a)
7 x3
2 a2 x 5a3
4 ax 2
9 a3
2 x3
5ax 2
Pri mero vamos a ident if icar los términos semejantes y acomodarlos en forma de columna: + 7x3
2 a2 x
+ 2 x3
5a3
4 ax 2
9 a3
5ax 2
Se suman solamente los coef icientes de cada columna: 7 + 2 = 9,
–2,
5 + 9 = 14;
4 – 5 = –1
Por lo tanto: 7x3
2 a2 x
2 x3 9 x3
2 a2 x
5a3
4 ax 2
9 a3
5ax 2
14 a3
1ax 2
R espuesta: 7 x3
2 a2 x 5a3
4 ax 2
9 a3
2 x3
5ax 2
9 x3
2 a2 x 14 a3
ax 2
Observa que el término ( 1ax 2 ) se escribió como ( ax 2 ) porque el coef iciente 1 nunca se escribe cuando acompaña a una variable.
b)
x3 a2
7 x2 b 8 x
4 b 5 x 3 a2
6 x2 b 4 x
b
A diferencia del ejemplo anterior, en el cual la reducción se hace en forma vert ical, en este ejemplo se hará en forma horizontal.
Primero ordenemos los términos semejantes: x3 a2
5 x3 a2 7 x 2 b 6 x 2 b 8 x
4 x 4b b
Ahora reduzcamos los términos semejantes: x3 a2 5 x3 a2 7 x 2 b 6 x 2 b 8 x 4 x 4 b b 12 x 5b 6 x3 a2 13 x 2 b R espuesta: x 3 a2
7 x2 b 8 x
4 b 5 x 3 a2
6 x2 b 4 x
b 6 x 3 a2
13 x 2 b 12 x 5b
Actividad 1 Reduce los términos semejantes de las siguientes expresiones:
a)
3a 14 a 8 a 6 a 11a
b)
7 x 11 x
x 2 x 11 x
c)
5m 4 m 3m 10 m 11m 2 m
d)
7 4 4 b b b 3 5 3
e)
x
x2
5x 7 x2
8x
3.1.3. Eliminación de signos de agrupación L os paréntesis ( ), corchetes [ ] y llaves { } son signos de agrupación, en t anto se ut ili zan para agrupar términos algebraicos que van a ser afectados por el coef iciente i nmediato anterior a t ales signos. Para eli mi nar el signo de agrupación se mult iplica el coef iciente o signo i nmediato anterior por cada uno de los coef icientes de los térmi nos algebraicos agrupados, al hacerlo se deben aplicar las leyes de los signos referentes a la mult iplicación. Es necesario considerar que para eli mi nar los signos de agrupación se supri mirán pri mero los más i nternos hast a terminar con el más externo.
A cont inuación ejemplif icamos lo expresado:
7x – (–9x2 + 2y – 6) a)
Para eliminar el paréntesis se mult iplica el signo negat ivo por el signo de cada término aplicando las leyes de los signos: 7 x ( 9 x2
b)
7 x 9 x2
2 y 6)
( 3)( 7 x 2 y2
2y 6
z3 )
En est e caso, lo que afect a a los térmi nos contenidos en el signo de agrupación es –3, por lo tanto, cada uno de los coef icientes de los térmi nos deberá ser mult ipl icado por este factor: ( 3 )( 7 x 2 y2
z3 )
21 x 6 y2
3 z3
Ejemplo 5 Eli mi na los signos de agrupación y reduce los tér mi nos semejantes de las si guient es expresiones. a)
a3
b2
3a2 b2
(5a2 b2
4 ab3
a3
b2
4 a3 b)
Primero aplicamos las leyes de los signos para eliminar el paréntesis: a3
b2
3a2 b2
(5a2 b2
4 ab3
a3
b2
3a2 b2
5a2 b2
4 ab3
a3
b2
a3
4 a3 b)
b2
4 a3 b
Reduciendo términos semejantes tenemos: a3
b2
3a2 b2
5a2 b2
4 ab3
a3
b2
4 a3 b
8 a2 b2
4 ab3
4 a3 b
Finalmente: a3
b2
3a2 b2
(5a2 b2
4 ab3
R espuesta: L a solución es,
b)
3 xy 5
2 y 10 9
a3
b2
8 a2 b2
5 xy 2 xy2 3
4 a3 b)
4 ab3
8 a2 b2
4 a3 b
4 y 9 3
Se aplican las leyes de los signos para eliminar el corchete: 3 xy 5
2 y 10 9
5 xy 2 xy2 3
3 xy 5
2 5 y 10 xy 2 xy2 9 3
4 y 9 3 4 y 9 3
4 ab3
4 a3 b
Reduciendo términos semejantes tenemos: 3 xy 5
2 5 y 10 xy 2 xy2 9 3
4 y 9 3
34 xy 2 xy2 15
14 y 1 9
R espuesta: L a solución es: 34 xy 2 xy2 15
c)
(3 xy 2 x3
14 y 1 9
3x2 y
y3 ) (5 y3
x3
5 xy) (2 xy 3 x3 )
Primero eliminamos los signos de agrupación aplicando las leyes de los signos: 3 xy 2 x3
3 x2 y
y3
5 y3
x3
5 xy 2 xy 3 x3
Ahora se reducen los términos semejantes: 2 x3 - x3 + 3 x3 - 3 x 2 y + 3 xy - 5 xy + 2 xy + y3 + 5 y3 4 x3 - 3 x2 y +0 xy +6 y3 R espuesta: L a solución es 4x3 – 3x2 y + 6y3 Observa que el término (0 xy) no fue incluido en la solución f inal debido a que 0 xy
d)
0
x3 (2 x 2
x3
x)
4 x2
x
7
3 x3
2 x2
2x 8
Observemos que esta expresión está formada por dos partes: la primera está ent re corchetes y la segunda entre llaves. x3 (2 x 2
x3
x)
4 x2
primera parte
x
7
3 x3
2 x2
2x 8
segunda parte
Se eliminan los signos de agrupación, comenzando por los más internos de cada parte. En la primera se elimina el paréntesis multiplicando el signo (–) por los términos contenidos en él. De esta manera la primera parte queda así: x3
2 x2
x
L a segunda parte cont iene dos signos de agrupación internos, cada uno de ellos se elimina aplicando las leyes de los signos. En el primer corchete se multiplica el signo (+ ) que le antecede (si no aparece se da por entendido que el signo es + ) por los términos contenidos en él: x3
4 x2
x3
x
4 x2
x
El número 7, que no t iene signo de agrupación, se queda igual. Para el segundo corchete se mult iplica el signo (–) que le antecede por los términos contenidos en él: 3 x3
2 x2
2x 8
3 x3
2 x2
2x 8
Por lo tanto, la segunda parte queda: x3
4 x2
x 7 3 x3
2 x2
2x 8
Una vez eliminados los signos de agrupación internos, la expresión inicial queda de la siguiente manera: x3
2 x2
x3
x
4 x2
x 7 3 x3
2 x2
2x 8
D e esta expresión los signos de agrupación que quedan se eliminan de manera similar y se obtiene: x3
2 x2
x3
x
4 x2
x 7 3 x3
2 x2
2x 8
Se reducen los términos semejantes y se obtiene: x3 + x3 - 3 x3 - 2 x 2 + 4 x 2 + 2 x 2 + x - x - 2 x + 7 - 8 - x3 -1 - 2x +4 x 2 x3
R espuesta: El resultado final es
4 x2
2x 1
Actividad 2 Elimina los signos de agrupación y reduce los términos semejantes:
a)
(7 x 8 y 2 xy) ( 5 x
b)
x2
( 6x2
c)
6m (
d)
(
(3 x 2
2 x) 2 x
5m
a
2 y 3 xy)
n
5 x)
3m 2 n) (2 m 3n)
3b c
5a 2 b 3c)
2c
3.1.4. Suma y resta de polinomios Ahora que contamos con los conocimientos básicos sobre expresiones algebraicas podemos realizar la suma y resta de polinomios. Para sumar dos polinomios se escribe uno a cont inuación del otro, respetando sus signos, y f inalmente se reducen los términos semejantes. Por ejemplo: Suma los polinomios: 5 x2
10 xy 7 a2 y
3x2
6 x 2 y 11 y2
3 xy
Primero escribimos un polinomio a continuación del ot ro, respetando sus signos: 5 x2
10 xy 7 a2
3 x2
6 x 2 y 11 y2
3 xy
Ahora reducimos los términos semejantes: 2x2
13 xy 7 a2
6 x 2 y 11 y2
Por lo tanto: (5 x 2
10 xy 7 a2 ) ( 3 x 2
6 x 2 y 11 y2
3 xy)
2 x2
13 xy 7 a2
6 x 2 y 11 y2
Para restar dos polinomios cada uno de ellos es colocado dentro de un signo de agrupación uno a cont inuación del ot ro, pero el polinomio que “ resta” debe estar afectado por el signo ( – ), después se eliminan los signos de agrupación tomando en consideración las leyes de los signos y se reducen los términos semejantes. Por ejemplo: Restar 5 x3
x2
menos 6 x3
9 x2
7 8y 1
Cada uno de los polinomios es colocado dentro de signos de agrupación y el signo menos afecta al segundo polinomio: (5 x3
x2
7 y) (6 x3
9x2
8 y 1)
Eliminamos los signos de agrupación: (5 x3
x2
7 y) (6 x3
9x2
5 x3
8 y 1)
x2
7 y 6 x3
9 x2
8y 1
Reducimos términos semejantes: 5 x3
x2
7 y 6 x3
R espuesta: (5 x3
9 x2 x2
8y 1
x3
7 y) (6 x3
9x2
10 x 2
y 1
8 y 1)
x3
10 x 2
y 1
Ejemplo 6 Suma los siguientes polinomios. a)
10 x 2
8 x 5; 6 x3
9 x2
5x 2
Colocamos los polinomios uno a continuación del otro respetando sus signos: 10 x 2
8 x 5 6 x3
9x2
5x
2
Ahora reducimos los términos semejantes: 10 x 2
8 x 5 6 x3
R espuesta: (10 x
b)
4 a3 b 9 ab2 ;
2
9x2
5x
2
6 x3
3
2
8 x 5) (6 x
7 a3 b 2 ab2
9x
x2
13 x 3
5 x 2)
6 x3
x2
13 x 3
3b2
Colocamos los polinomios uno a continuación del ot ro respetando sus signos: 4 a3 b 9 ab2
7 a3 b 2 ab2
3b2
Ahora reducimos los términos semejantes: 4 a3 b 9 ab2
7 a3 b 2 ab2
3b2
3a3 b 7 ab2
R espuesta: (4 a3 b 9 ab2 ) ( 7 a3 b 2 ab2
3b2
3b2 )
3a3 b 7 ab2
3b2
Ejemplo 7 Encuentra la resta del primer polinomio menos el segundo. a)
7x
4 y 5; 8 x 4 y 2
Cada uno de los polinomios es colocado dentro de signos de agrupación y el signo menos afecta al segundo polinomio: (7 x
4 y 5) (8 x
4 y 2)
Eliminamos los signos de agrupación: (7 x
4 y 5) (8 x
4 y 2)
7x
4 y 5 8x
4y 2
Ahora reducimos los términos semejantes: 7x
b)
4 y 5 8x 4 y 2
x 8y 3
R espuesta: (7 x
4 y 5) (8 x
5 x3
3 x3
4 y3
7 z;
9 y3
4 y 2)
x 8y 3
5z
Cada uno de los polinomios es colocado dentro de signos de agrupación y el signo menos afecta al segundo polinomio: (5 x3
4 y3
7 z) ( 3 x3
9 y3
5z)
Eliminamos los signos de agrupación: (5 x3
4 y3
7 z) ( 3 x3
9 y3
5z)
5 x3
4 y3
7 z 3 x3
9 y3
5z
Ahora reducimos los términos semejantes: 5 x3
4 y3
7 z 3 x3
R espuesta: (5 x3
4 y3
9 y3
5z
8 x3 13 y3
7 z) ( 3 x3
9 y3
12 z 5z)
Actividad 3 Realiza las operaciones indicadas. 1. En los siguientes ejercicios suma los polinomios dados. a)
9 x3 12 x 5;
b)
7 ab3
c)
7 a2 b3
9 a2 b;
7 x3 7 ab3
9 a2 b 2 a2 ;
9 x2
5 x 21
2 a2 b 3a2 7 ab3
2 a2 b 3a2
8 x3 13 y3
12 z
2. En los siguientes ejercicios resta el segundo polinomio al primero.
a)
4 x2
5 y3
b)
7 x2
3 y 7;
c)
3
3
9x y
d) 5 x 2 y2
5; 8 x 2
4 y3
3x2
9y 3
3
13 x3 y3
4 y x 7 x; 2 y2
4 y3 ;
2y
3 x 2 y2
9 y3 x 3 x y3 10
3.1.5. Multiplicación y división de polinomios Para realizar estas dos operaciones es necesario recordar y aplicar las leyes de los exponentes y los radicales, como se hizo en las unidades uno y dos, así que ten a la mano las tablas que resumen esas propiedades.
3.1.5.1. Multiplicación El producto de dos monomios o más se realiza multiplicando sus coeficientes y posteriormente las variables aplicando la ley de los exponentes.
Ejemplo 8 Multiplica los siguientes monomios.
a)
( x)( y)
xy
b)
m5 m2
m5
c)
(3 x 2 )( 6 y)
2
m7
(3)( 6)( x 2 y)
18 x 2 y
7
d) ( m2 )( m7 )
e)
f)
7 x3 (5 x 4 )
(7)(5) x3 x 4
8a5 (6a3 )
g) ( a3 b2 )
( m2 ) m 2
( 8)(6) a5 a3
7 5 a 8
1 4 ab 3
m
2
35 x 3
7 2
4
48a5 7 8
11
m2
35 x 7
3
48a8 1 ( a3 a5 a)( b2 b4 ) 3
7 9 6 ab 24
El producto de dos polinomios se obtiene multiplicando cada uno de los términos del primer polinomio por todos los términos del segundo; en caso de obtener en el producto términos semejantes se deben reducir a su mínima expresión.
Ejemplo 9 Realiza las siguientes multiplicaciones.
a)
(8 m4 n3 )(2 m 7)
b)
( x3
c)
(3a2 x
x)(3 x
4)
2b2 y)( x 2
(8 m4 n3 )(2 m) (8m4 n3 )( 7)
( x3
y2
x)(3 x) ( x3
2 z2 )
3a2 x3
x)( 4)
3a2 xy2
16 m5 n3
3x 4
3x2
6 a2 xz2
56 m4 n3
4 x3
2 x 2 yb2
4x
2 y3 b2
En tanto no hay términos semejantes que reducir, el resultado se deja así.
Actividad 4 Realiza las siguientes multiplicaciones.
a)
(4 a2 b4 )( 8a3 b2 )
b)
( m3 n6 )( n3 )( m5 n)
c)
( 2 m4 n 4 p3 )
d)
1 abc2 3
e)
x 4 ( 5 x3 )
1 2 3 4 mn p 4
2 3 4 1 a b c 3
1 2 ab 2
4 yz2 b2
3.1.5.2. División El tema de división entre polinomios lo abordaremos a través de unos ejemplos: Ejemplo 10 Realiza la división: 20 x5 y2 z3 4 xy3 z Es una división ent re monomios; para obtener su resultado pri mero se dividen los coef icientes: 20 5 4 Para dividir las literales se aplica la propiedad de los exponentes, en la que se indica que al exponente del numerador se le resta el exponente del denominador, por lo tanto: x 5 y2 z3 xy3 z
x5 y2 z3 x y3 z
x 5 1 y2 3 z 3 1
Se hacen las operaciones indicadas con los exponentes: x 5 y2 z3 xy3 z
x 4 y 1 z2
R espuesta: El resultado de la división es: 20 x5 y2 z3 4 xy3 z
5 x 4 y 1 z2
5 x 4 z2 y
Para reali zar las divisiones ent re polinomios se ut ili za un procedimiento muy si milar al empleando en arit mét ica, sólo que en lugar de números se utilizan polinomios, por lo demás se trabaja de la misma manera. A continuación presentamos un ejemplo de este t ipo de método.
Ejemplo 11 Realiza la división: 8x
2 x 3 10 2x 2 A ntes de efect uar la división se requiere que los términos de ambos polinomios estén ordenados en forma descendente en sus exponentes con respecto a la misma literal.
Se escribe la división en esta forma: 2x
2 2 x3
8 x 10
Nótese que entre 2x3 y 8x se reserva el lugar del término de x2 que no aparece en el polinomio, debido a que en el momento en que se efectúe la división aparecerá un término con x2. Empecemos el procedimiento: se divide el primer término del dividendo entre 2 x3 el primer término del divisor x 2 ; este resultado es el primer término del 2x cociente y se escribe: x2 2 x 2 2 x3
8 x 10
El primer término del cociente se multiplica por el divisor: x 2 (2 x 2)
2 x3
2 x2
Este resultado se resta al dividendo: 2x
x2 2 2 x3 (2 x
3
8 x 10 2 x2 )
Se elimina el signo de agrupación multiplicando por el signo menos – y se escribe: 2x
x2 2 2 x3 8 x 10 2x3
2 x2
Se reducen los términos semejantes y bajando los siguientes términos del dividendo se obtiene el primer residuo: 2x
x2 2 2 x3 8 x 10 2 x3
2 x2 2 x2
8 x 10
El primer término del primer residuo se divide entre el primer término del divisor: 2x2 2x
x
Este resultado es el segundo término del cociente y se escribe:
2x
x2 2 2 x3 2 x3
x 8 x 10 2 x2 2 x2
8 x 10
El segundo término del cociente se multiplica por el divisor: x(2 x
2)
2 x2
2x
Este resultado se le resta al residuo: 2x
x2 2 2 x3 2 x3
x 8 x 10 2 x2 2 x2 (2 x
2
8 x 10 2 x)
Se elimina el signo de agrupación multiplicando el signo menos: 2x
x2 2 2 x3 2 x3
x 8 x 10 2 x2 2 x2 2x
2
8 x 10 2x
Se reducen los términos semejantes: 2x
x2 2 2 x3 2 x3
x 8 x 10 2 x2 2 x2 2x
2
8 x 10 2x 10 x 10
Se divide el primer término del residuo entre el primer término del divisor: 10 x 2x
5
Este resultado es el tercer término del cociente y se escribe: 2x
x2 x 5 2 2 x3 8 x 10 2 x3
2 x2 2 x2 2x
2
8 x 10 2x 10 x 10
El tercer término del cociente se multiplica por el divisor: 5(2 x 2)
10 x 10
Este resultado se resta al residuo: x2 x 5 2 x 2 2 x3 8 x 10 2 x3
2 x2 2 x2 2x
2
8 x 10 2x 10 x 10 (10 x 10)
Se elimina el signo de agrupación multiplicando el (–) menos:
2x
x2 2 2 x3 2 x3
x 5 8 x 10 2 x2 2 x2 2x
2
8 x 10 2x 10 x 10 10 x 10
Se reducen los términos semejantes y se obtiene: x2 x 5 2 x 2 2 x3 8 x 10 2 x3
2 x2 2 x2 2x
2
8 x 10 2x 10 x 10 10 x 10 0
R espuesta: El cociente es x 2
Actividad 5 Realiza las siguientes divisiones.
a)
7 a3 b2 c5 7 a3 b2 c5
b)
x5 y2 z x 4 y3
x
5 y el residuo es cero.
c)
4 a2 b 5ab3
d)
14 a4 b 1 c3 28 a2 bc 2
e)
3 u3 v u 3 v2
f)
48 x 2 8 x 8 6x 2
g)
2 u 5 v2 u 3 v2
10 x3
u2 v u 3 v2
2
26 x 2 17 x 3 5x 3
3.2. Productos notables Se llaman productos notables a ciertos productos que cumplen reglas f ijas y por lo tanto el resultado puede ser escrito por simple inspección, es decir, sin efectuar la mult iplicación. En esta sección nos ocuparemos de aquellos productos notables cuya aparición y aplicación es más frecuente: el binomio al cuadrado y el producto de binomios conjugados.
.2.1. Producto de binomios conjugados Entenderemos por binomios conjugados aquellos binomios que tienen los mismos términos y sólo dif ieren en un signo. Este producto da como resultado la diferencia de los cuadrados de los términos. El producto de binomios conjugados es: (x
y)( x
x2
y)
y2
Ejemplo 12 Realiza los productos indicados. a)
(3a 5)(3a 5) En este caso podemos considerar: x
3a
y
y 5
Por lo tanto tendremos: (3a 5)(3a 5)
(3a)2
(5) 2
R espuesta: (3a 5)(3a 5)
9 x2
25
b ) (9 a2
7 b)(9 a2
7 b)
En este caso podemos considerar: x
9 a2
y 7b
y
Por lo tanto tendremos: (9 a2
7 b)(9 a2
7 b)
R espuesta: (9 a2
c)
1 2 m n 5p 4
(9 a2 )2
7 b)(9 a2
(7 b) 2 7 b)
81a4
49b2
1 2 m n 5p 4
En este caso podemos considerar: x
1 2 mn 4
y
y 5p
Por lo tanto tendremos: 1 2 m n 5p 4
2
1 2 m n 5p 4
1 2 mn 4
1 2 m n 5p 4
1 4 2 mn 16
(5 p)2
R espuesta: 1 2 m n 5p 4
25 p2
d) Realiza el producto 5a3 b2
2 c
2 5a3 b2 c
En este caso podemos considerar: x
5 a3 b2
y
y
2 c
Por lo tanto tendremos: 5a3 b2
2 c
2 5a3 b2 c
(5a3 b2 ) 2
2 5a3 b2 c
25a6 b4
2 c
R espuesta: 5a3 b2
2 c
4 c2
2
Actividad 6 Realiza los productos indicados.
a)
(x
2 y)( x
2 y)
2 2 b) ( xy z w)( xy z w)
c)
1 3 x 2
d)
1 2 1 3 mn p 3 5
e) ( x
f)
4
1 3 x 2
2)( x
4 =
1 2 1 3 mn p = 3 5
2)
( ab2 z 4 abc)( ab2 z 4 abc)
3.2.2. Cuadrado de un binomio El cuadrado de un binomio es el producto de éste por sí mismo, matemáticamente se expresa de la siguiente manera.
El cuadrado de un binomio Es: (x
y)2
(x
y)( x
y)
x2
2 xy
y2
(x
y)2
(x
y)( x
y)
x2
2 xy
y2
Es usual que estos binomios se resuelvan ut ilizando los siguientes pasos: El cuadrado del primer término M ás (menos) el doble producto del primer término por el segundo M ás el cuadrado del segundo término
En los siguientes ejemplos se muest ra su aplicación.
Ejemplo 13 Desarrolla los siguientes binomios. a)
(3a2
4 a)2
En este caso podemos considerar: x
3a2
y
y
4a
Por lo tanto tendremos: (3a2
4 a)2
(3a2 )2
R espuesta: (3a2 b)
(5a3
2(3a2 )(4 a) (4 a)2
4 a)2
9 a4
24 a3
16 a2
3b)2
En este caso podemos considerar: x
5a3
y 3b
y
Por lo tanto tendremos: (5a3
3b)2
(5a3 )2
R espuesta: (5a3
c)
3 2 a 2
2 3 b 5
2(5a3 )(3b) (3b)2
3b)2
25a6
30 a3 b 9b2
2
En este caso podemos considerar: x
3 2 a 2
y
y
2 3 b 5
Por lo tanto tendremos: 3 2 a 2
2 3 b 5
2
3 2 a 2
2
2
3 2 a 2
2 3 b 5
2 3 b 5
2
R espuesta: 3 2 a 2
2 3 b 5
2
9 4 a 4
12 2 3 ab 10
Actividad 7 D esarrolla los siguientes bi nomios.
a)
(5a 2)2
b)
(2 x 3 y)2
4 6 b 25
9 4 a 4
6 2 3 ab 5
4 6 b 25
c)
1 2 x 2
1 3 y 3
d)
1 2 m 5
1 2 n 7
2
2
3.3. Simplificación de expresiones algebraicas (factorización) En la sección anterior se revisaron algunos métodos que permiten realizar mult iplicaciones. En esta sección se est udiará el proceso inverso de la mult iplicación, denominada factorización, ya que consiste en encontrar los factores que dan lugar a la expresión original. L os procedimientos de factorización que se desarrollarán en esta unidad son: factor común, diferencia de cuadrados y t rinomio cuadrado perfecto.
3.3.1. Factorización Factorización es el proceso que consiste en descomponer una expresión algebraica en factores, que al multiplicarse dan como resultado la expresión algebraica inicial. Por ejemplo, descomponer en factores al número 24, podría llevarnos a: (8) (3) = 24 (6) (4) = 24 (12) (2) = 24 Entre otros resultados. Por lo tanto, la descomposición factorial no es única.
Cabe mencionar que el máximo común divisor (mcd) nos será út il para encontrar los factores de un polinomio. El mcd se define como la expresión algebraica de mayor grado que divide exactamente a un polinomio. L a manera de obtenerlo es: 1. Se determina el número mayor que divida exactamente a todos los coeficientes del polinomio. 2. Se identif ican las literales comunes de menor exponente que dividan exactamente a las literales del polinomio.
Ejemplo 14 Encuentra el máximo común divisor de los siguientes polinomios. a)
6 xy3
14 x3 y2 10 x 2 y
Primero encontramos el mcd de los coef icientes; en este caso es 2, porque es el número más grande que divide exactamente a todos los coeficientes 6 2
3;
14 2
7;
10 2
5
Ahora no fijamos en las literales comunes de menor exponente, en este caso son x, y. R espuesta: El mcd del polinomio, 6 xy3
b)
4 a5 b7 c4
16 a4 b2 c2
14 x3 y2
10 x 2 y es 2xy
32 a3 b3 c4
Primero encontramos el mcd de los coeficientes; en este caso es 4, porque divide exactamente a 4, 16 y 32. A hora no f ijamos en las literales comunes de menor exponente, en este caso 3 2 2 son a b c
R espuesta: El mcd del polinomio: 4 a5 b7 c4
16 a4 b2 c2
32 a3 b3 c4 es 4a3 b2 c2
Actividad 8 Encuent ra el mcd de los siguientes polinomios. a) rs + 4st b)
6 a3
c)
3 x 2 y2
8 a 14 9 x2 y
d) 10 x 2 y 15 xy2 e)
8 p2 qr 3 12 p3 q3 r 2
3.3.2. Factor común Una de las formas más simples de factorizar es ident ificar aquellos factores que son comunes a cada uno de los térmi nos que conforman a la expresión algebraica. Estos se denomi nan factor común (primer factor).
Por ejemplo: ax
bx
cx
x( a b c)
El factor común es el mcd. Para obtener el segundo factor es necesario dividir la expresión algebraica que se quiere descomponer entre el primer factor. En los siguientes ejemplos se muestra la manera de encontrar la factorización de un polinomio por factor común.
Ejemplo 15 Factoriza los siguientes polinomios. a)
6 a2 b4
9 a3 b5
3 a4 b3
El máximo común divisor es el factor común, en este caso es: 3a2 b3 D ividiendo el polinomio original entre este factor tenemos: 6 a2 b4
9 a3 b5
3 a4 b3 2 b 3 ab2
3a2 b3
a2
R espuesta: L a factorización es: 6 a2 b4
b)
9 a3 b5
5m5 n3 p4
3 a4 b3
m4 np3
3a2 b3 (2b 3ab2
a2 )
37 m2 n2
El máximo común divisor es el factor común, en este caso es: m2 n D ividiendo el polinomio original entre este factor tenemos: 5m5 n3 p4
m4 np3
37 m2 n2
m2 n
5m3 n2 p4
m2 p3
37 n
R espuesta: L a factorización es: 5m5 n3 p4
m4 np3
37 m2 n2
Actividad 9 Factoriza los siguientes polinomios. a)
x3
b)
12 a4
c)
x2
x 15a 6 a2
18m2 n3
6mn2
42m3 n
m2 n(5 m3 n2 p4
m2 p3
37 n)
d)
3 x5 y2
12 x 2 y3
12 xy5
e)
35m5 n4 p3 14 m3 n3 p3
28m4 n4 p2
3.3.3. Diferencia de cuadrados Diferencia de cuadrados Es una expresión de la forma a2
b2
Esta expresión se factoriza de la siguiente forma: a2 – b2 = (a + b) (a – b) Una manera de factori zar la di ferencia de cuadrados es ut i li zando el siguiente procedimiento: 1. Se calcula la raíz cuadrada de cada término. 2. Con estas raíces cuadradas se forman dos binomios conjugados. 3. Estos binomios conjugados se escriben como producto y forman la factorización.
Apliquemos este procedimiento en los siguientes ejemplos.
Ejemplo 16 Factoriza los siguientes polinomios. a)
16 z2
25 g2
Primero se determina la raíz cuadrada de cada término: 16 z2
4z
25 g2
y
5g
Ahora utilizamos estas raíces para hacer el producto de binomios conjugados: (4 z 5 g)(4 z 5 g) R espuesta: L a factorización es: 16 z2
b)
x2 36
25 g2
(4 z 5 g)(4 z 5 g)
y2 4
Primero se determina la raíz cuadrada de cada término: x2 36
x 6
y
y2 4
y 2
Ahora utilizamos estas raíces para hacer el producto de binomios conjugados: x 6
y 2
y 2
x 6
R espuesta: L a factorización es: x2 36 c)
( x6
y2 4
y 2
x 6
y4 )2
x 6
y 2
4 y8
Primero se determina la raíz cuadrada de cada término: ( x6
y4 )2
( x6
y4 ) y
4 y8
2 y4
Ahora utilizamos estas raíces para hacer el producto de binomios conjugados: (( x6
y4 ) 2 y4 )(( x6
y4 ) 2 y4 )
Se eliminan los signos de agrupación internos de cada término: ( x6
y4
2 y4 )( x 6
y4
2 y4 )
Se reducen los términos semejantes: ( x6
y4 )( x 6
3 y4 )
R espuesta: L a factorzación es: ( x6
y4 )2
4 y8
( x6
y4 )( x 6
3 y4 )
Actividad 10 Factoriza las siguientes diferencias de cuadrados.
a)
4 x2
9 y2
b)
16 m2
c)
25 x 2 y4
d)
m2 n 4
e)
1 9m2 n4 p6
49
64 p6
3.3.4. Trinomio cuadrado perfecto El trinomio cuadrado perfecto Es un t ri nomio en el cual dos de sus términos son cuadrados perfectos (tienen raíz cuadrada exacta) y el tercer término es el doble producto de las raíces cuadradas de los ot ros dos. L a factorización de un trinomio cuadrado perfecto se puede visualizar como la operación inversa de elevar al cuadrado un binomio de la forma: ( a b) o ( a b) . Por lo tanto: a2
2 ab b2
( a b)2
a2
2 ab b2
( a b)2
Para factorizar un trinomio cuadrado perfecto se puede seguir los siguientes pasos. 1. Se ordena el trinomio respecto a una variable. 2. Se obtiene la raíz cuadrada de los términos cuadrados perfectos. 3. Se verifica que el doble producto de estas raíces sea el segundo término del trinomio y de ser así. 4. L a factorización se escribe como un binomio elevado al cuadrado cuyos términos son las raíces cuadradas; el signo del binomio es el signo del segundo término del trinomio que se está factorizando.
Veamos los siguientes ejemplos.
Ejemplo 17 Factoriza los siguientes polinomios. a)
x2
6x
9
Primero se obtiene la raíz cuadrada del primer y tercer términos: x2
x y
9
3
Ahora se verifica que el doble producto de estas dos raíces sea el segundo térmi no del t ri nomio: 2( x)(3)
6x
Se escribe un binomio con las dos raíces; el signo del binomio es el signo del segundo término del t ri nomio: ( x 3)
Se eleva al cuadrado este binomio: ( x 3)2 R espuesta: L a factori zación es: x2
b)
6x
4 x2
( x 3) 2
9
12 xy 9 y2
Pri mero se calcula la raíz cuadrada del primer y tercer térmi no: 4 x2
9 y2
2x y
3y
Ahora se verifica que el doble producto de estas dos raíces sea el segundo térmi no del t ri nomio: 2(2 x)(3 y)
12 xy
Se escribe un binomio con las dos raíces; el signo del binomio es el signo del segundo término del t ri nomio: (2 x 3 y) Se eleva al cuadrado este binomio: (2 x 3 y)2 R espuesta: L a factori zación es: 4 x2
c)
12 xy 9 y2 = (2 x 3 y)2
16 x 2 9
56 x 18
49 36
Primero se calcula la raíz cuadrada del primer y tercer término: 16 x 2 9
4 x 3
y
49 36
7 6
Ahora se verifica que el doble producto de estas dos raíces sea el segundo térmi no del t ri nomio: 2
4x 3
7 6
56 x 18
Se escribe un binomio con las dos raíces; el signo del binomio es el signo del segundo término del t rinomio: 4x 3
7 6
Se eleva al cuadrado este bi nomio: 4x 3
7 6
2
R espuesta: L a factorización es: 16 x 2 9
56 x 18
49 36
4x 3
7 6
2
Actividad 11 Factoriza los siguientes trinomios cuadrados perfectos.
a)
x2
18 x 81
b)
x2
14 x
c)
4 a2
8ab b2
d)
m2
6 mn 9 n2
e)
16 a2
49
40 ab 25b2
3.4. Ecuaciones de una variable (lineales y cuadráticas) En muchos de los problemas que hemos planteado y resuelto en las secciones anteriores se incluía, de manera implícita, el concepto de ecuación. En esta sección aprenderemos las técnicas necesarias para encontrar los valores numéricos que resuelven tanto las ecuaciones lineales como las cuadráticas.
3.4.1. Ecuaciones lineales de una variable Una ecuación es una igualdad entre dos expresiones algebraicas en las que intervienen variables y cantidades conocidas. Las expresiones de cada lado de la igualdad se llaman miembros de la ecuación. 5x 6 primer miembro
7 x 10 segundo miembro
N ormalmente las ecuaciones ref lejan, de forma algebraica, las condiciones que deben sat isfacerse para resolver un problema. Por este mot ivo, result a i mportante encont rar los valores numéricos que al ser sust it uidos en lugar de las variables, hacen cierta la igualdad. A este proceso se le llama resolver la ecuación. Para resolver una ecuación es necesario despejar la variable, es decir, dejar sola a la variable de un lado de la ecuación, para lograrlo revisaremos las siguientes dos propiedades.
Propiedad de la suma Si a, b y c son números reales y a a c b c
b entonces 3 2
Ejemplo: Si x
3 2
2 5
Por lo tanto: x
19 10
1
Ejemplo: Si x
5 2
Entonces: x
a c b c
Entonces: x
3 2
2 5
5 2
Por lo tanto: x
3 2
9 10
3 4
5 2
3 4
5 2
7 4
Observa que si tenemos un término sumando en un lado de la ecuación: a b
c
Podemos aplicar la propiedad de la suma con el valor ( b) y tendremos: a b b
c b
O bien: a
c b
Parece que el término ( b) “pasó” al otro lado de la ecuación pero, con signo diferente. En resumen: Si a b
c entonces a
c b
D el mismo modo: Si a b
c entonces a
c b
Propiedad de la multiplicación Si a,b y c son números reales y a= b entonces ( a)( c)
( b)( c)
Ejemplo: Si
1 x 4
1 5
Entonces (4)
1 x 4
(4)
Por lo tanto x
Si además c 0 entonces: 1 a c
4 5
Ejemplo: Si 5 x
1 b c
Entonces
8
1 5x 5
Por lo tanto x
1 5
1 8 5 8 5
1
3 5
Observa que si tenemos un término distinto de cero multiplicando en un lado de la ecuación: ab
c
Podemos aplicar la propiedad de la multiplicación con el valor ab
1 b
c
1 y tendremos: b
1 b
O bien: c a b El término (b) “ pasó” al otro lado de la ecuación, pero dividiendo. En resumen: Si
ab
c entonces a
c b
D el mismo modo: a c entonces a bc b Antes de continuar debemos remarcar que la propiedad de la multiplicación nos permite Si
“pasar” términos de un lado de la ecuación a otro, pero cuando el coeficiente tiene signo negativo (–) nos permite decidir si deseamos que el signo “pase” junto con el coeficiente o no. Por ejemplo: Considera la ecuación: 9x
3
Podemos aplicar la propiedad de la multiplicación de las siguientes maneras: a) “ Pasamos” el coeficiente 9 dividiendo al otro lado de la ecuación: 1 3 9
x
1 3
Por lo tanto: 1 3
x
b) “ Pasamos” el coeficiente –9 dividiendo al otro lado de la ecuación: 1 3 9
x
1 3
Por lo tanto: 1 3
x
Ambas respuestas son correctas e iguales, pero normalmente se desea que la variable tenga signo positivo, por lo tanto la respuesta del inciso (b) será la más apropiada.
Ahora veamos cómo utilizar estas propiedades en los siguientes ejemplos.
Ejemplo 18 Utiliza la propiedad de la suma para resolver las siguientes ecuaciones. a)
x 7
6
Primero sumamos el valor x 7 7
en ambos lados de la ecuación:
6 7
Ahora simplif icamos términos semejantes: x
13
R espuesta: El valor numérico que resuelve la ecuación x 7
b)
6 es x
13
2 3 3 Primero restamos el valor y
y
2 3
2 3
3
2 3
2 en ambos lados de la ecuación: 3
Ahora simplif icamos términos semejantes: 7 1 y 2 3 3 R espuesta: El valor numérico que resuelve la ecuación 2 1 y 3 es y 2 3 3 c)
m 3.2
7.3
Primero “ pasamos” el término (3.2) al otro lado de la ecuación: m
7.3 3.2
Observa que “ pasó” con el signo contrario. Ahora simplif icamos términos semejantes: m
4.1
R espuesta: El valor numérico que resuelve la ecuación m 3.2
d)
2 3
a
7.3 es m
4.1
5 3
Primero “ pasamos” el término –
2 al otro lado de la ecuación: 3
5 2 3 3 Observa que “ pasó” con el signo contrario. a
Ahora simplif icamos términos semejantes: 3 1 3 R espuesta: El valor numérico que resuelve la ecuación: a
a
2 3
5 es a 3
1
e) 5 – x = 7 Primero “ pasamos” el término (5) al otro lado de la ecuación: x
7 5
Ahora simplif icamos términos semejantes: x
2
Como normalmente se desea que la variable quede con signo positivo podemos “ pasar” cada término al otro lado de la igualdad cambiando de signo: 2
x
R espuesta: El valor numérico que resuelve la ecuación:
5 x
7 es x
2
Ejemplo 19 Utiliza la propiedad de la multiplicación para resolver las siguientes ecuaciones. a)
3 y 5
2 7
Primero multiplicamos ambos lados de la ecuación por el valor 5 3 y 3 5
5 3
5 2 3 7
Realizamos las multiplicaciones indicadas: y
10 21
R espuesta: El valor numérico que resuelve la ecuación 3 y 5
b)
x 2
2 es y 7
10 21
10
Primero multiplicamos ambos lados de la ecuación por el valor (2): x (2) (2)( 10) 2 Realizamos las multiplicaciones indicadas: x
20
R espuesta: El valor numérico que resuelve la ecuación x 2 c)
10 es x
20
2 5
3m
Primero “ pasamos” el valor ( 3 ) dividiendo al otro lado de la ecuación: m
1 3
2 5
Realizamos las multiplicaciones indicadas: 2 m 15 R espuesta: El valor numérico que resuelve la ecuación: 3m
2 es m 5
2 15
d)
1 m 5
7 9
Primero “ pasamos” el valor (5) multiplicando al otro lado de la ecuación: m (5)
7 9
Realizamos las multiplicaciones indicadas: 35 9
m
3
8 9
R espuesta: El valor numérico que resuelve la ecuación:
e)
1 m 5
7 es m 9
2 x 3
1 2
3
8 9
Primero “ pasamos” el valor (2) dividiendo y el valor (3) multiplicando al otro lado de la ecuación: 3 1 2 2
x
Realizamos las multiplicaciones indicadas: x
3 4
R espuesta: El valor numérico que resuelve la ecuación: 2 x 3
1 es x 2
3 4
Ahora veamos, en los siguientes ejemplos, la forma en que se resuelven ecuaciones que tienen variables en ambos miembros.
Ejemplo 20 Resuelve las siguientes ecuaciones lineales. a)
x
2
3 4x
Primero pasamos todos los términos que cont ienen a la variable de un lado de la ecuación y los otros al otro lado: x
4x
3 2
Observa que los términos 4x y 2 cambiaron de signo.
Ahora simplif icamos los términos semejantes: 5x
5
Por último pasamos el valor 5 dividiendo al otro lado de la ecuación: 1 ( 5) 5
x
1
R espuesta: El valor numérico que resuelve la ecuación lineal: x
b)
2
3
3 4 x es x
x
1
2x 1
5
Primero pasamos el valor (5) mult iplicando al otro lado de la ecuación: 3
x
(5)(2 x 1)
Realizamos la mult iplicación: 3
x
10 x 5
Ahora pasamos todos los términos que contienen a la variable de un lado de la ecuación y los otros al otro lado: x 10 x
5 3
Simplificamos los términos semejantes: 9x
2
Pasamos el valor (–9) dividiendo al otro lado de la ecuación: 2 9
x
2 9
Observa que “el número se llevó el signo negat ivo”. R espuesta: El valor numérico que resuelve la ecuación lineal: 3
x 5
c)
2 x 1 es x
3(2 x 1) 2
2 9
4(2 3 x)
Primero eliminamos los signos de agrupación: 6x 3 2
8 12 x
Ahora pasamos todos los términos que contienen a la variable de un lado de la ecuación y los otros al otro lado:
6 x 12 x
Simplificamos los términos semejantes: 6 x
8 3 2 3
Pasamos el valor (6) dividiendo al ot ro lado de la ecuación: 1 3 6
x
1 2
R espuesta:
El
1 x 5 2
numérico
4(2 3 x) es x
3(2 x 1) 2
d)
valor
que
resuelve
la
ecuación
lineal
1 2
1 x 3 4
Primero pasamos todos los términos que cont ienen a la variable de un lado de la ecuación y los otros al otro lado: 1 x 2
1 x 4
3 5
Simplificamos los términos semejantes: 1 x 4
2
Pasamos el valor (4) multiplicando al otro lado de la ecuación: x
(4)( 2)
8
R espuesta: El valor numérico que resuelve la ecuación lineal: 1 x 5 2
1 x 3 es x 4
8
Actividad 12 Utiliza las propiedades de la suma y el producto para resolver las siguientes ecuaciones.
a)
x 3
5
b)
3x
c)
2x
d)
1 x 5 2
6
4
2
2x 3
e)
11 x 7
12 13 x
f)
x 3 4
g)
2( x 3) 4
x 3 3( x
2)
3.4.2. Ecuaciones cuadráticas de una variable Una ecuación cuadrática o de segundo grado es una ecuación en donde la variable tiene como mayor exponente el valor 2. En esta sección revisaremos dos métodos que nos permitirán resolver este tipo de ecuaciones.
3.4.2.1. Resolución de ecuaciones cuadráticas por factorización Primero aprenderemos a resolver las ecuaciones cuadrát icas mediante la aplicación de las técnicas de factorización que ya hemos visto. Para lograrlo debemos seguir los siguientes pasos: 1. Pasamos todos los términos a un lado de la ecuación. 2. Simplificamos los términos semejantes, con lo cual obtendremos un polinomio igualado a cero. 3. Factorizamos el polinomio. 4. Utilizamos la propiedad del cero en la multiplicación, es decir: 5.
( a)( b)
0 , si y sólo si, a
0 o b 0
Veamos en los siguientes ejemplos la forma en que debemos seguir y aplicar los cuatro pasos anteriores.
Ejemplo 21 Resuelve las siguientes ecuaciones cuadráticas. a)
2 x2
3x
Primero pasamos todos los términos a un lado de la ecuación: 2 x2
3x
0
En este caso no es necesario simplificar términos semejantes; nos queda un polinomio igualado a cero.
Ahora factorizamos el polinomio: x(2 x 3)
0
En este caso se hizo una factorización por término común. Por último utilizamos la propiedad del cero en la multiplicación, es decir, x(2 x 3)
0 , si y sólo si, x
0 o x(2 x 3)
x(2 x 3)
0 , si y sólo si, x
0 o x
0
3 2
Observa que en el paso anterior se resolvió la ecuación lineal (2 x 3) Respuesta: Los valores numéricos que resuelven la ecuación cuadrática 2 x x
b)
9 x2
0 y x
2
0
2
3 x son:
3 2
27
Primero pasamos todos los términos a un lado de la ecuación: 9 x2
2 27
0
Simplificamos los términos semejantes para que nos quede un polinomio igualado a cero: 9 x 2
25
0
Ahora factorizamos el polinomio: (3 x 5)(3 x 5)
0
En este caso se hizo una factorización por binomios conjugados. Por último ut ilizamos la propiedad del cero en la multiplicación, es decir: (3 x 5)(3 x 5)
0 , si y sólo si, (3 x 5)
0 o (3 x 5)
0
O bien: 5 5 o x 3 3 Observa que en el paso anterior se resolvieron las ecuaciones lineales (3 x 5)(3 x 5)
(3 x 5)
0 , si y sólo si, x
0 y (3 x 5)
0
R espuesta: L os valores numéricos que resuelven la ecuación cuadrática: 5 5 9 x 2 2 27 son x y x 3 3 c)
2 x2
9x 3
x2
x 28
Primero pasamos todos los términos a un lado de la ecuación: 2 x2
9 x 3 x2
x
28
0
Simplif icamos los términos semejantes para que nos quede un polinomio igualado a cero:
x2
10 x
25
0
Ahora factorizamos el polinomio: ( x 5)2
0
O bien: ( x 5)( x – 5)
0
En este caso se hizo una factorización de un trinomio cuadrado perfecto. Por último utilizamos la propiedad del cero en la multiplicación, es decir: ( x 5)( x – 5)
0 , si y sólo si, ( x 5)
0 o ( x 5)
0
O bien: x – 5 = 0, si y sólo si, x
5
Observa que en este caso al resolver las dos ecuaciones lineales obt uvimos el mismo valor numérico. R espuesta: El valor numérico que resuelve la ecuación cuadrát ica: 2 x2
9x 3
d) 10 x 2
x2
x 28 es x
x2
2x 3
5
14 x 1
Primero pasamos todos los términos a un lado de la ecuación: 10 x 2
2 x 3 x2
14 x 1
0
Simplif icamos los términos semejantes para que nos quede un polinomio igualado a cero: 9 x2
12 x 4
0
Ahora factorizamos el polinomio: (3 x
2)2
0
O bien: (3 x
2)(3 x
2)
0
En este caso se hizo una factorización de un trinomio cuadrado perfecto. Por último utilizamos la propiedad del cero en la multiplicación, es decir: (3 x
2)(3 x
2)
0 , si y sólo si, (3 x
2)
0 o (3 x 2)
0
O bien: 2 3 R espuesta: El valor numérico que resuelve la ecuación cuadrát ica: 2 10 x 2 – 2 x 3 x 2 – 14 x – 1 es x 3 (3 x
2)(3 x
2)
0 , si y sólo si, x
3.4.2.2. Resolución de ecuaciones cuadráticas por fórmula general En la práctica, cuando debemos resolver una ecuación de segundo grado, la mayoría de las veces resulta complicado determinar el método de factorización que conviene utilizar, además podemos cometer errores que nos lleven a resultados erróneos. En estos casos podemos aplicar la solución general de la ecuación de segundo grado, que se expresa de la siguiente manera:
L as soluciones de una ecuación de segundo grado: ax 2 son: x
b
2
b 4 ac 2a
y
L o cual se abrevia como: x
O bserva:
bx
c 0
2
b – b 4 ac 2a
x b
b2 4 ac conocida como fórmula general. 2a
Antes de renovar una ecuación cuadrát ica considera las
siguientes observaciones: El coef iciente del término cuadrático (a) debe ser diferente de cero para poder realizar la división. (b2 –4ac) es llamado el discriminante, y no debe ser negat ivo para poder obtener la raíz cuadrada. Si el discriminante es negativo signif ica que la ecuación original no tiene como solución números reales.
Para resolver las ecuaciones cuadráticas mediante la aplicación de la fórmula general debemos seguir los siguientes pasos: 1. Pasamos todos los términos a un lado de la ecuación y los ordenamos. 2. Simplificamos los términos semejantes, con lo cual obtendremos un polinomio igualado a cero. 3. Aplicamos la fórmula general.
Veamos en los siguientes ejemplos la forma en que debemos seguir y aplicar los pasos anteriores.
Ejemplo 22 Resuelve las siguientes ecuaciones cuadráticas. a)
3 x2
x 3
4x 5
Primero pasamos todos los términos a un lado de la ecuación: 3 x2
x 3 4x 5
0
Simplificamos los términos semejantes y ordenamos para que nos quede un polinomio igualado a cero: 3 x2
5x
2
0
Ahora aplicamos la fórmula general a la ecuación cuadrática anterior. En este caso: a
3; b
5; c 2
Por lo tanto: b
x
b2 4 ac 2a
( 5)
b2 4 ac 2a
( 5)
( 5) 2
4(3)(2)
2(3)
y b
x
( 5)2
4(3)(2)
2(3)
O también: 5
25 24 6 Finalmente: x
x
6 6
1
y
x
y
x
4 6
2 3
5
25 24 6
R espuesta: L os valores numéricos que resuelven la ecuación cuadrática
b)
3 x2
x 3
4 x 5 son x
3 y2
y 5
y2
1 y x
2 3
2y 4
Primero pasamos todos los términos a un lado de la ecuación: 3 y2
y 5
y2
2y 4
0
Simplificamos los términos semejantes y ordenamos para que nos quede un polinomio igualado a cero: 2 y2
3y 1
0
Ahora aplicamos la fórmula general a la ecuación cuadrática anterior. En este caso: a
2; b
3 ; c 1.
Por lo tanto: ( 3)2
( 3)
b2 4 ac 2a
b
x
4(2)(1)
2(2)
Entonces: x
3
9 8 4
x
y
Finalmente: 4 x 1 y 4
x
2 4
3
9 8 4
1 2
R espuesta: L os valores numéricos que resuelven la ecuación cuadrática: 1 3 y2 y 5 y2 2 y 4 son x 1 y x 2 c)
z2
2z 5
2z 9
Primero pasamos todos los términos a un lado de la ecuación: z2
2z 5 2z 9
0
Simplificamos los términos semejantes y ordenamos para que nos quede un polinomio igualado a cero: z2
4
0
Ahora aplicamos la fórmula general a la ecuación cuadrática anterior. En este caso: a 1; b 0 ; c
4
Por lo tanto: x
b
b2 4 ac 2a
(0)
(0)2
4(1)( 4)
2(1)
D e donde: x
16 2
4 4 2 y x 2 2 2 R espuesta: L os valores numéricos que resuelven la ecuación cuadrática:
Finalmente: x
z2
2z 5
2 z 9 son x
2 y x
2
d)
2 x2
3x
3x 2
2
x 3
Primero pasamos todos los términos a un lado de la ecuación: 2 x2
2 3x 2
3x
x 3
0
Simplificamos los términos semejantes y ordenamos para que nos quede un polinomio igualado a cero: x2
4x 5
0
Ahora aplicamos la fórmula general a la ecuación cuadrática anterior: En este caso: a
1; b
4; c 5
Por lo tanto: b2 4 ac 2a
b
x
( 4) 2
( 4)
4(–1)(5)
2(–1)
D e donde: x
4
16 20 2
Finalmente: x
10 2
5
x
y
2 2
1
R espuesta: L os valores numéricos que resuelven la ecuación cuadrática:
e)
2 x2
3x
5 x2
13 x 12
2
3x 2
x2
x 3 son x
5 y x
1
x 3
Primero pasamos todos los términos a un lado de la ecuación: 5 x2
13 x 12
x2
x 3
0
Simplificamos los términos semejantes y los ordenamos para que nos quede un polinomio igualado a cero: 4 x2
12 x 9
0
Ahora aplicamos la fórmula general a la ecuación cuadrática anterior. En este caso: a
4; b 12;
Por lo tanto: x
b
b2 4 ac 2a
(12)
(12) 2 2(4)
4(4)(9)
O bien: x
12 8
Finalmente: x
3 2
R espuesta: El valor numérico que resuelve la ecuación cuadrát ica 5 x2
x2
13 x 12
x 3 es x
3 2
Actividad 13 Resuelve las siguientes ecuaciones cuadráticas. 1. En los siguientes incisos utiliza algún método de factorización. a)
3 x2
3x
b)
4 x2
5 x 12
3x2
c)
5 x2
14 x 3
x2
2
2 x2
x
2
5x 3
2x 6
2. En los siguientes incisos ut iliza la fórmula general.
a)
4 x2
b)
30 x 2
c)
4 x2
2x 5
x2
20 x 10
2x 3
3x2
12 x 2
2 x2
25 x 8
2x 1
3.5. Desigualdades lineales y cuadráticas de una variable Una desigualdad es una expresión que involucra los símbolos mayor que (>), menor que (< ), mayor o igual que ( ) y menor o igual que ( ) . La creación de estos símbolos nació de la necesidad de comparar cantidades para saber si una es más grande que la otra. Se ve más claro cuando dibujamos una recta numérica y en ella observamos que los números que están a la derecha de la recta serán mayores que los ubicados a la izquierda, sin importar si son negativos, positivos o inclusive el cero.
–5
–4 10
–3 5
–2
–1
0
1
2
3
4
5
(– 10 es menor que – 5)
14
4
(14 es mayor que 4)
5
7
(5 es mayor a –7)
En esta sección est udiaremos la forma en que podemos resolver expresiones algebraicas relacionadas mediante los signos de desigualdad ( ,
,
,
).
L a solución de una desigualdad es un conjunto de números reales que sat isfacen la desigualdad, así la desigualdad x > 5 t iene como solución a todos los números reales mayores que 5; algunos de estos números son: 6, 7, 24/3, 23/3, 5.23, 8.997, etcétera. Para poder describir a todos estos números se utilizan los intervalos. Un intervalo es un conjunto de números reales que satisfacen una desigualdad. Estos intervalos pueden describirse como conjuntos, mediante la notación de intervalo y pueden representarse en la recta numérica. D ados a, b números reales tales que a < b, existen distintos tipos de intervalos def inidos por estos números llamados extremos del intervalo:
Intervalo abierto D enotado por (a, b) es el conjunto de todos los números reales situados entre a y b sin tomar en cuenta a ninguno de los dos. Es decir:
a
b
Intervalo cerrado D enotado por
, es el conjunto de todos los números reales situados entre a y b
incluyéndolos:
a
b
Semiabiertoso semicerrados Se definen de la manera siguiente: semiabierto por la derecha
a
b
semiabierto por la izquierda
a
b
N ota: Observa que en el caso de los intervalos abiertos, los ext remos no están incluidos, mient ras que en el caso de los intervalos cerrados los ext remos sí lo están.
Existen otros intervalos llamados infinitos que describen conjuntos de números que sólo están def inidos por un ext remo.
a
a
b
b
3.5.1. Desigualdades lineales de una variable Al igual que en el caso de las ecuaciones lineales, para resolver una desigualdad lineal deberemos utilizar las propiedades de la suma y de la mult iplicación, así como las propiedades de orden de los números reales. Como las propiedades de la suma y la multiplicación ya fueron revisadas en la sección anterior, sólo nos concentraremos en las propiedades de orden.
Propiedadesde orden Sean a,b y c números reales Ejemplo: a
b y
c 0 entonces ac bc
b y
c 0 entonces ac bc
5
1 4x 4 5 Por lo tanto: x 4
Entonces:
y
1 4
0
1 5 4
Entonces:
Ejemplo: a
Si 4 x
1 x 3 y 7 7 1 x ( 7) ( 7)3 7 Si
Por lo tanto: x
0
21
En la siguiente tabla se resumen las propiedades de la suma, de la mult iplicación y de orden aplicadas a desigualdades lineales. Sean a,b y c números reales Ejemplo: Si x 3 Si a b
c entonces a
c b
Entonces: x
2 3
Por lo tanto: x
5
Ejemplo: Si x 5 Si a b c entonces a
c b
Entonces: x
2
7 5
Por lo tanto: x
2
7
Ejemplo: Si 5 x Si ( a)( b)
Si ( a)( b)
c y
c y
b 0 entonces a
b 0 entonces a
c b
c b
3
3 5
Entonces: x Por lo tanto: x
3 5
Ejemplo: Si
2x
9
Entonces: x
9 2 9 2
Por lo tanto: x
Ejemplo: Si Si
a b
c y
b 0 entonces a
bc
Entonces: x
x 4
9
(4)(9)
Por lo tanto: x
36
x 6 5 Entonces: x> (–5)(6) Ejemplo: Si
Si
a b
c y
b 0 entonces a
bc
Por lo tanto: x
30
Veamos en los siguientes ejemplos la forma en que debemos aplicar estas propiedades para resolver las desigualdades lineales.
Ejemplo 23 Resuelve las siguientes desigualdades lineales. a)
3x 8
2
Pri mero pasamos todos los términos que cont ienen a la variable de un lado de la desigualdad y los otros al otro lado: 3x
2 8
Observa que se cambió el signo del valor numérico (–8) Simplificamos los términos semejantes: 3x
6
Pasamos el valor (3) dividiendo al otro lado de la ecuación: x
6 3
2
Respuesta: L os valores numéricos que resuelve la desigualdad lineal 3 x 8 son x
b)
7x
2
2 , es decir, la solución de la desigualdad es el intervalo (2, )
2
10 x 5
Primero pasamos todos los términos que cont ienen a la variable de un lado de la desigualdad y los otros al otro lado: 7 x 10 x
5 2
Simplificamos los términos semejantes: 3x
7
Pasamos el valor (–3) dividiendo al otro lado de la ecuación: 7 3
x
2
1 3
Observa que se cambió la “dirección” de la desigualdad porque 3
0
R espuesta: 7x
c)
L os valores numéricos que resuelve la desigualdad lineal 1 10 x 5 son x 2 3
2
2x 3
6x
2
Primero pasamos todos los términos que cont ienen a la variable de un lado de la desigualdad y los otros al otro lado: 2x 6x
2 3
Simplificamos los términos semejantes: 4x
5
Pasamos el valor (–4) dividiendo al otro lado de la ecuación: 5 1 x 1 4 4 Observa que se cambió la “dirección” de la desigualdad porque, R espuesta: 2x 3
d)
4
2x
2x
18
y
2x
18
D espejamos la variable de cada una de las desigualdades: 4 2
x
0
L os valores numéricos que resuelve la desigualdad lineal 1 6 x 2 son x 1 4
Tendremos que resolver las desigualdades: 4
4
y
x
18 2
Finalmente: 2
x
y
x
9
R espuesta: L os valores numéricos que resuelven la desigualdad lineal 4 son los mayores que 2 y menores que 9 ( 2
e)
7
2x
4x 2
x
2x
18
9 ), es decir, el intervalo (2, 9)
x 10
Tendremos que resolver las desigualdades: 7
2x
4x 2
y
4x
2
x 10
Pasamos todos los términos que contienen a la variable de un lado de la desigualdad y los otros al otro lado: 2x
4x
2 7
y
4x
x
10 2
Simplificamos los términos semejantes: 6x
5
y 3x
8
D espejamos a la variable de cada una de las desigualdades: x
5 6
5 6
y
x
8 3
2
2 3
R espuesta: L os valores numéricos que resuelven la desigualdad lineal 5 7 2 x 4 x 2 z 10 son los mayores o iguales que pero menores o iguales 6 2 5 2 ,2 que 2 , es decir el intervalo 6 3 3 f)
1 x 2 Tendremos que resolver las desigualdades: 1 x –4 2 x 2 x y 2 x 2 Pasamos todos los términos que contienen a la variable de un lado de la desigualdad 4 2x
2
x
y los otros al otro lado: 2x
x
2 4
y
x
1 x 2
2
Simplificamos los términos semejantes: 3x
6
y
3 x 2
2
D espejamos a la variable de cada una de las desigualdades: x
6 3
2
y x
( 2)
2 3
4 3
O bien: 1 3 R espuesta: L os valores numéricos que resuelven la desigualdad lineal, x
y
2
x
4 2x
2
1
x
1 x 2
1 son menores que 2 pero mayores o iguales que 1 , es decir, el intervalo: 3 1 1 ,2 3
Actividad 14 Resuelve las siguientes desigualdades lineales.
a)
5z 3
b)
6
c)
7x
d) 15
e)
2
2x 3
4
2 9x
8 3t
12 w 4
5
25
1 9 w 6w 7
3.5.2. Desigualdades cuadráticas de una variable Para resolver las desigualdades cuadráticas vamos a seguir los siguientes pasos: 1. Cambiamos el signo de desigualdad por el de igualdad. 2. Resolvemos la ecuación cuadrát ica que resulta del paso 1. 3. Analizamos los resultados obtenidos en el paso 2 para determinar los valores numéricos que resuelven la desigualdad inicial. Veamos, en los siguientes ejemplos, cómo aplicar estos pasos para resolver desigualdades cuadrát icas.
Ejemplo 24 Resuelve las siguientes desigualdades cuadráticas. a)
x2
8x
7
Primero cambiamos el signo ( ) por el de igualdad ( ) y resolvemos la ecuación cuadrática resultante: x2
8x
7
O bien: x2
8x 7
0
En este caso recurrimos a la aplicación de la fórmula general, con: a 1; b
8yc 7
Por lo tanto: b
x
b2 4 ac 2a
( 8)2
( 8)
4(1)(7)
2(1)
O bien: x
8
64 28 2
8 6 2
Finalmente: x
14 2
7
y
x
2 2
1
Por lo tanto, los valores que resuelven la ecuación cuadrática x 2 x
x< 1
7 y x
8x
7 son
1 . Estos valores dividen a la recta numérica en tres intervalos:
1
1< x< 7
7
7< x
Todos los valores de cada uno de estos intervalos o satisfacen la desigualdad original o no la satisfacen. Así qué para determinar qué valores resuelven la desigualdad x 2
8x
7 elegimos un punto de cada uno de estos intervalos y lo
sustituimos en la desigualdad. Tomemos un valor menor que 1( x < 1 ) por ejemplo 0, al sust it uirlo en la desigualdad x 2
8x
7 tenemos (0)2
8(0)
0
Ahora elegimos un valor entre 1 y 7 ( 1< x < 7 ) Por ejemplo 2, al sustit uirlo en la desigualdad tenemos: (2) 2
8(2)
12
Como 12 < 7 ningún valor entre 1 y 7 (1
x
7) satisface la desigualdad.
Finalmente tomemos un valor mayor que 7 (7 en la desigualdad tenemos: (10)2 mayores que 7 (7
8(10)
x) por ejemplo 10, al sustit uirlo
20 . Como 20 >
x) satisfacen la desigualdad.
R espuesta: L os valores que resuelven la desigualdad x 2 menores que 1 y los mayores que 7, es decir (
b)
3 w2
12 w 25
7 todos los valores
2 w2
,1)
8x
7 son los
(7, )
14
Primero cambiamos el signo ( ) por el de igualdad ( ) y resolvemos la ecuación cuadrática resultante: 3 w2
12 w 25
O bien: w2
2 w2
12 w 11
14 0
En este caso recurrimos a la aplicación de la fórmula general, con: a 1; b 12 y c 11 Por lo tanto: w
b
b2 4 ac 2a
(12)
(12) 2
4(1)(11)
2(1)
O bien: w
12
144 44 2
12 10 2
Finalmente: w
2 2
1
y
w
22 2
11
Por lo tanto los valores que resuelven la ecuación cuadrática: 3 w2
12 w 25
2 w2
14 son w
1 y w
11
Estos valores dividen a la recta en tres intervalos:
w
w
w
Todos los valores de cada uno de estos intervalos o satisfacen la desigualdad original o no la satisfacen. Así que para determinar qué valores resuelven la desigualdad 3 w2
12 w 25
2 w2
14 elegimos un punto de cada uno de estos
intervalos y lo sustit uimos en la desigualdad.
Tomemos un valor menor que –11 (w
por ejemplo –12, al sustit uirlo en la
desigualdad tenemos: 3( 12)2
12( 12) 25
2( 12)2
y
14
O bien: 313 y 160 Entonces: 3(–12)2
12(–12)
2(–12)2
25
14
Por lo tanto, todos los valores menores que –11 satisfacen la desigualdad. Ahora elegimos un valor entre: –11 y –1 ( 11
w
1)
Por ejemplo (–2), al sustit uirlo en la desigualdad tenemos: 3(–2)2
12(–2) 25
2(–2)2
y
14
O bien: 13 y 22 Entonces: 3(–2)2
2(–2) 2
12(–2) 25
14
Por lo tanto ningún valor ent re –11 y –1 satisface la desigualdad. Finalmente tomemos un valor mayor que: w)
–1 (–1
Por ejemplo el cero, al sustit uirlo en la desigualdad tenemos: 3(0)2
12(0) 25
2( 0)2
y
14
O bien: 25 y 14 Entonces: 3(0)2
2( 0) 2
12(0) 25
14
Por lo tanto todos los valores mayores que –1 satisfacen la desigualdad. R espuesta: L os valores que resuelven la desigualdad: 3 w2
12 w 25
2 w2
14
Son los menores o iguales que (–11) y los mayores o iguales que (–1) Es decir, (
c)
5 z2
5 z 12
, 11]
[ 1, )
2 z2
4
Primero cambiamos el signo ( ) por el de igualdad ( ) y resolvemos la ecuación cuadrática resultante: 5 z2
5 z 12
2 z2
4
O bien: 3 z2
5z 8
0
En este caso recurrimos a la aplicación de la fórmula general, con: a
3; b 5 y c
8
Por lo tanto: b
z
(5)2
b2 4 ac 2a
(5)
25 96 6
5 11 6
4(3)( 8)
2(3)
O bien: 5
z
Finalmente: z 1
y
16 6
z
2
2 3
Por lo tanto, los valores que resuelven la ecuación cuadrát ica: 5 z2
2 z2
5 z 12
4 son z
1
y
z
2
2. 3
Estos valores dividen a la recta en tres intervalos:
2
2 w< 2 3
2 3
2
2 < z< 1 3
1 z> 1
Todos los valoresde cada uno de estos intervaloso satisfacen la desigualdad original o no la sat isfacen. Así que para determinar qué valores resuelven la desigualdad 5 z2
2 z2
5 z 12
4 elegimos un valor de cada uno de estos intervalos y lo
sustituimos en la desigualdad. Tomemos un punto menor que: 2
2 3
z
2
Por ejemplo el 5( 4) 2
2 3 4 , al sustituirlo en la desigualdad tenemos:
5(–4) 12
O bien: 48 y 28
y
2( 4)2
4
Entonces: 5( 4) 2
5( 4) 12
2( 4)2
>
4
Por lo tanto, ningún valor menor que 2
2 satisface la desigualdad. 3
Ahora elegimos un valor entre 2
2 y 1 3
2
2 3
z 1
Por ejemplo –1, al sust ituirlo en la desigualdad tenemos: 5( 1)2
5( 1) 12
2( 1)2
y
4
O bien: –12 y –2 Entonces: 5( 1)2
5( 1) 12
<
2( 1) 2
4
Por lo tanto todos los valores entre: 2
2 y 1 3
2
2 3
z 1 satisfacen la desigualdad.
Finalmente tomemos un valor mayor que 1 ( 1 < z ) por ejemplo 2, al sustit uirlo en la desigualdad tenemos: 5(2)2
5(2) 12
y
2(2) 2
4
O bien: 18 y 4 Entonces: 5(2)2
5(2) 12 > 2(2) 2
4
Por lo tanto, los valores mayores que 1 no satisfacen la desigualdad. R espuesta: L os valores que resuelven la desigualdad: 2 5 z2 5 z 12 2 z2 4 son mayores que 2 y menores que 1 es decir: 3 2 1 2 z 1 3
Actividad 15 Resuelve las siguientes desigualdades cuadráticas.
a)
3 x2
2x 4
2 x2
b)
5 y2
y 3
c)
2 w2
w
d)
9 z2
5z 1
3 z2
8z 4
e)
2 x2
x
x2
6 x 10
4 y2 w2
2
x 6 10 y 21
3w 4
3.6. Valores absolutos El valor absoluto de un número real es su distancia con respecto al cero. Puesto que un número real puede ser posit ivo, negativo o cero tenemos: a si a a
0
a si a 0 a si a 0
N ota: La letra a representa un número que puede ser positivo, negativo o cero. Por lo tanto, –a no es necesariamente un número negativo y podremos decidirlo hasta que sepamos qué número representa a, por ejemplo:
a) Si a b) Si a c) Si a
2 , entonces a 3
2 3
4 , entonces a 5 0 , entonces a
4 5 0
Veamos algunas de las propiedades del valor absoluto en la siguiente tabla:
a
a
Ejemplo:
5
2
Ejemplo:
3 5
a
a2
Ejemplo:
16
ab
a b
Ejemplo:
3 ( 5) 7
a b
a b
Ejemplo:
5 8
a
2
a
5 2
3 5
2
( 16)2 3 7
5
5 8
Ahora combinemos las propiedades del valor absoluto con lo que hemos aprendido sobre ecuaciones y desigualdades.
Ejemplo 25 Resuelve la siguiente ecuación x
7
Puesto que en la ecuación aparece un valor absoluto, consideramos tres casos: Si x
0 , entonces x
0 como 0
Si x
0 , entonces x
x , donde x
Si x
0 , entonces x
x , donde
Con lo cual tenemos que x
7 y x
7 , entonces no se sat isface la igualdad. 7 x
7 por lo tanto x
7 satisfacen la igualdad.
Respuesta: L osvaloresquesatisfacen la ecuación x este resultado se tiene que: x
7
7 son x
7 . Generalizando
a, entonces son soluciones de la ecuación:
x = a y –x= a Esto también es valido para la expresión: x
a, entonces x < a y –x < a )
a) Resuelve la siguiente ecuación x 3
2x 7
Primero analicemos el término de la derecha: Si 2 x 7
0 , entonces no hay solución dado que el valor absoluto es mayor o
igual a cero.
Si 2 x 7
7 y por lo tanto x 2
0 , entonces x
7 , 2
Ahora, ut ilizando una de las propiedades del valor absoluto tenemos: x 3
2x 7 y
( x 3)
2x 7
Entonces: x 3
2x 7
y
x 3
2x 7
Ahora resolvemos ambas ecuaciones y tenemos: 3 7 10
2x
x
x y 4
y
7 3
2x
x
3x
D e donde: 10
x y
Pero
4 3
4 3
x
7 , 2
Por lo tanto x solución es x
4 no puede ser solución de la ecuación inicial, de donde la única 3 10
R espuesta: El valor que satisface la ecuación: x 3
2 x 7 es x
10
b) Resuelve la siguiente desigualdad: 7x 3
4
Utilizando una de las propiedades del valor absoluto tenemos: 7x 3
4 y
(7 x 3)
Entonces: 7 x 3
4
4 y
7x 3
4
Ahora resolvemos ambas desigualdades y tenemos: 7x x
4 3 y 4 3 7
7 7
7x
4 3
1 y
x
4 3 7
Por lo tanto, todos los valores:
1 7 1 7
x
1 satisfacen la desigualdad inicial.
R espuesta: L os valores que satisfacen la desigualdad: 7x 3
4 son x
1 ,1 7
c)
Resuelve la siguiente desigualdad 2 x 3
x
4
Primero analicemos el término de la derecha: Si x
4
0 , entonces no hay solución.
Si x
4
0
Entonces: x
4
Y por lo tanto: x
( 4, )
Ahora utilizando una de las propiedades del valor absoluto tenemos: 2x 3
x
4 y
(2 x 3)
4 y
2x 3
x
4
Entonces: 2x 3
x
x
4
Ahora resolvemos ambas desigualdades y tenemos: 2x
x
4 3 y
x
7 y
3x
x
7 y
x
2x
x
4 3
1 1 3
1 3
Así, para que x sea solución debe cumplir: 1 4 x y x 7 3 1 Por lo tanto, todos los valores x 7 satisfacen la desigualdad inicial. 3 R espuesta: L os valores que satisfacen la desigualdad: 2x 3
x
4 son x
1 ,7 3
Ejemplo 26 El costo de fabricación de un t ubo metálico es de $4.25 y su precio al público es de $4.90. Se t iene un pedido de 2 000 t ubos y como sólo se cuenta con 1 500, el dueño de la fábrica decide comprar los faltantes a otra fábrica que se los vende a $4.50. Al recibirlos se percata de que no todos t ienen el mismo tamaño. Al revisar las especif icaciones del pedido observa que los t ubos deben medir 12 m, sin embargo, se acepta una diferencia de 15 cm, ¿cuáles son las medidas aceptables de los t ubos y cuál será la ganancia si se ent rega el pedido de 2 000 t ubos? L o primero que debemos hacer es igualar las unidades métricas. 15 cm = 0.15 m
Ahora consideremos x = tamaño de los tubos. Entonces tenemos: 12
x
0.15
Por las propiedades del valor absoluto: 12
x
0.15 y
(12
x)
12
x
0.15 y
12
x
12 0.15 11.85
0.15 0.15
x y
x
0.15 12
y
x
12.15
x
Por lo tanto: x
11.85,12.15
Es decir, el tamaño de los tubos debe estar entre 11.85m y 12.15m, inclusive. Para determinar la ganancia hacemos las siguientes cuentas: Primero las ganancias obtenidas de los 1 500 tubos que ya tiene: (1 500)(4.9 4.25)
(1 500)(0.65)
975
L as ganancias obtenidas de los tubos que compró (500)(4.9 4.5)
(500)(0.4)
200
Por lo que obt uvo $1,175 de ganancia total. R espuesta: L os tubos pueden medir entre 11.85 y 12.15 metros y la ganancia que obtendrá será de $1,175.
Ejemplo 27 El valor absoluto de la suma de dos números enteros consecutivos es menor o igual a 5. Encuentra los números. Consideremos x
al número menor.
Por lo tanto el otro número será = x 1 Que el valor absoluto de la suma de estos números sea menor o igual que 5 se escribe como: x ( x 1) O bien
2x 1
5
5
Entonces, por propiedades del valor absoluto: 2x 1 5
y
2x 1
2x
5 1
y
5 1
2x
4
y
x
4 2
y
x
2
y
6
2x
6 2
x
3
x
5 2x
Por lo tanto: x
3, 2
R espuesta: L os números son –3 y –2; –2y –1; –1 y 0; 0 y 1; 1 y 2; 2 y 3 Ejemplo 28 Ana va a realizar una venta de garage y le encarga a su hermano que ponga precio a un sillón. Ana cree que aunque el valor real del sillón es mayor, un precio de $1 500 estaría bien, con la opción de que si el cliente quiere bajar el precio, se haga con la condición de que la diferencia entre la venta y el precio marcado no sea mayor a $150. ¿En cuánto podría vender el sillón? Consideremos x
al precio de la venta f inal.
Que la diferencia sea menor a $150 se escribe como: 1 500
x
150
Entonces por propiedades del valor absoluto: 1 500
x
150
y
x
y
1 500 150 1 350
x
y
x
1 500 x
x
150
150 1 500
1 650
Por lo tanto: x
1 350,1 650
R espuesta: El valor de la venta final debe estar entre $1 350 y $1 650.
Ejemplo 29 Encuentra todos los números enteros cuya distancia al 7 sea menor o igual a 3. Consideremos x = al número cuya distancia al 7 es menor o igual a 3. Entonces: 7
x
3
L uego, por las propiedades del valor absoluto: 7
x
3
y
7 3
x
y
x
4
y
x
10
x
7
x
3
3 7
Por lo tanto: x
4,10
R espuesta: L os números cuya distancia al 7 es menor o igual a 3 son: 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10
Actividad 16 a) Resuelve la siguiente ecuación: x 8
5x 4
b) Resuelve la siguiente desigualdad: 2x 4
c)
10
El dueño de una fábrica debe entregar a uno de sus compradores 1 800 varillas, cuyo costo de fabricación es de $8.37 cada una. Cada varilla será vendida en $9.46. Como sólo t iene material para 1 250 piezas, decide comprar las restantes a otra fábrica, que se las vende a $9.12 cada una. Al recibir las varillas, observa que no todas tienen el mismo tamaño. D eben medir 13 m de largo, sin embargo, si la diferencia no excede de 8 cm, las puede aceptar. ¿Qué medida pueden tener las varillas? ¿Cuál será la ganancia si entrega las 1 800 varillas?
d) El valor absoluto de la suma de dos números enteros consecutivos es menor o igual a 7. Encuentra los números.
e) Una mesa en liquidación no t iene et iqueta; el comprador pregunta al vendedor por el precio y éste consulta con la gerente, quien le dice: “Aunque creo que su valor es mayor, considero que un precio justo sería $2 000. Ponle el precio que consideres y llega a un acuerdo de tal manera que la diferencia entre el precio en el que lo vendas y el que yo te sugiero no sea mayor a $197”. ¿En cuánto debe vender la mesa?
f ) Encuentra todos los números enteros cuya distancia al 8 sea menor o igual a 2.
3.7. Solución de problemas de la empresa a través del manejo algebraico: inversiones, determinación de precios y utilidad Una de las razones por las cuales se establece una empresa es para obtener una utilidad mediante la producción y venta de art ículos o servicios. Para determinar el precio de venta de un producto, se añade al costo de producción un importe adecuado que sirva para cubrir todos los gastos y conseguir una utilidad. Esta cantidad adicional se conoce como margen de utilidad bruta. L os gastos de la empresa se designan como gastos indirectos. Cualquier importe que resulte después de cubrir los gastos indirectos de la empresa es la utilidad neta. Estas relaciones se pueden representar mediante las siguientes ecuaciones: M argen de ut ilidad bruta = gastos indirectos + utilidad neta Costo + Margen de ut ilidad bruta = precio de venta O bien: C
M
S
D onde: C = Costos M = M argen de ut ilidad bruta S = Precio de venta En los siguientes ejemplos aplicaremos los conceptos algebraicos que hemos aprendido para poder determinar los precios y la utilidad de diferentes negocios.
Ejemplo 30 Un minorista desea vender un aparato en $200. Si su margen de utilidad bruta normal es del 32% del precio de venta, ¿cuánto puede pagar por el aparato si desea obtener ese margen de utilidad bruta? Como va a vender el aparato en $200 signif ica que S = 200 Si el margen de utilidad bruta es del 32% del precio de ventas tendremos: M = 32% de S Es decir: M
(0.32)(200)
Si t ratamos de determinar cuánto puede pagar, signif ica que desconocemos el costo C. Recordamos la ecuación: C
M
S
Con lo cual tenemos: C (0.32)(200)
(200
D espejando el valor de C: C
200 (0.32)(200)
200 64
136
Por lo tanto: C = 136 R espuesta: El costo máximo que debe pagar por el aparato es de $136.
Ejemplo 31 Un diseñador desea producir un traje para venderlo en $2 100. Si normalmente añade 40% del costo para cubrir todos los gastos y la utilidad neta, ¿cuánto es lo más que puede gastar en la confección del el traje? En este caso tenemos que el precio de venta será: S 2 100 Como añade 40% del costo para cubrir todos los gastos, tenemos que la ut ilidad neta es: M = 40% del costo Nuevamente empleamos la ecuación C
M
S
Con lo cual tenemos: C (0.40) C
2 100
Resolvemos la ecuación: (1.40) C C
2 100
2100 1.40
1 500
Por lo tanto: C
1 500
R espuesta: L o máximo que puede gastar en la confección del traje son $1 500.
Ejemplo 32 Un vendedor compró un nuevo producto en $1 200. ¿A qué precio debe vender el producto nuevo si desea añadir un margen de utilidad bruta de 20% sobre el precio de venta para cubrir los gastos indirectos y la utilidad neta? Como el vendedor desea que la utilidad bruta sea de 20% sobre el precio de venta tenemos: M
(0.20)S
Nuevamente empleamos la ecuación: C
M
S
Tenemos: 1 200 (0.20)S S 1 200
S (0.20)S
1 200
(0.80)S
S
1 200 0.80
1 500
Por lo tanto: S 1 500 R espuesta: El vendedor debe vender el producto nuevo en $1 500.
Ejemplo 33 El dueño de una recaudería compró 120 kg de papas a $6 el kilo; aunque probablemente el 5% se echará a perder y tendrá que tirarse. Si requiere un margen de utilidad bruta del 30% del costo para la totalidad del embarque, ¿a qué precio debe dar el kilo de papas? Primero vamos a determinar el costo total. Costo total: = (120)($6)
$720
Sabemos que M
(0.30)720
Ahora para determinar el precio de venta total apliquemos la ecuación: C
M
S
720 (0.30)(720)
S
Por lo tanto: S 1 555.20 Es decir, que el precio total de venta debe ser de $1 555.20, el cual se obt iene de la venta de las papas que no se dañen. Ahora, si consideramos que 5% de las papas puede llegar a dañarse, entonces, en kg se dañarán: (0.05)(120)
6 kilos de papas.
Por lo tanto, la cantidad que se espera vender es de: 120 6 El precio por kilo se obtiene: Precio por kilo
precio total de venta cantidad de kilos a vender
114 kilos
Precio por kilo
1 555.20 114
13.642
R espuesta: El dueño de la recaudería debe dar a $14.00 el kilo de papas para obtener el margen de utilidad bruta requerido, sin i mportar que 5% del producto se eche a perder y no se venda.
N ota: Al f ijar precios al menudeo, siempre se redondea al siguiente dígito más alto, inclusive si el tercer decimal es inferior a 5.
Ejemplo 34 Claudia quiere tener algo de dinero y decide cuidar niños por las tardes. Su tarifa es de $60 más $20 por cada hora que los cuida. Si quiere tener un ingreso de $200 diarios, ¿cuántas horas deberá trabajar cuidando niños? Sea x
número de horas que deberá trabajar; y = ingreso
Como se quiere un ingreso de $200, entonces y El ingreso está dado por la expresión 20 x
20 x
60
200
y , por tanto: 60 20 x
200
200 60
x
140 20
x
7
R espuesta: D eberá trabajar 7 horas diarias para tener $200 de ingreso.
Ejemplo 35 El empleado de una empresa que renta coches recibe de sueldo $650 diarios más $20 por cada auto que promocione para su renta. Si requiere ingresos por $1 000 diarios, ¿cuántos autos deberá promocionar? x
número de autos promocionados por el vendedor; I ngreso = 1 000
Si el ingreso del vendedor está dado por 650 + 20x = I, entonces: 650
20 x
x
340 20
x
17
1000
Respuesta: Debe promocionar 17 autos para tener un ingreso de $1 000 diarios.
Ejemplo 36 El precio de una bomba de agua está dado por la expresión p
q 110 , donde q representa el
número de bombas vendidas y p el precio de venta. ¿Qué cantidad de bombas se deben vender si se sabe que los ingresos están dados por la función I
pq y se quiere que el ingreso sea
superior a $29 736? Tenemos: I
pq y p
q 110
Entonces: I
q2
( q 110) q
110 q
Como se requiere un ingreso superior a 29 736. I
29 736
Entonces: q2
110 q
29736
O bien: q2
110 q 29736
0
Para resolver la desigualdad, primero resolvemos la ecuación cuadrática: q2
110 q 29 736
0
Por lo tanto: q
110 2
110
(4)(29 736)
2
O bien: q
110 362 2
Finalmente: q
236
y
q 126
Ahora tomamos un valor en cada uno de los intervalos generados por las soluciones q q2
110 q
236 y q = 126 para determinar si se satisface la desigualdad
29 736
Primero se toma un punto menor que 236 , por ejemplo ( 300)2
110( 300) y
29 736
O bien: 57 000 y 29 763 Por lo tanto: ( 300)2
110( 300) >
29 736
300
Ahora se toma un punto entre 236 y 126, por ejemplo 0 (0)2
110(0) y
29 736
O bien: 0 y
29 736
Por lo tanto: (0)2
110(0) <
29 736
Finalmente, tomamos un punto mayor que 126, por ejemplo 300: (300)2
110(300) y
O bien: 123 000 y
29 736 29 736
Por lo tanto: (300) 2 + 110 (300) > 29 736 Por lo tanto, los valores que satisfacen la desigualdad: q2
110 q
29 736
son los menores que 236 y los mayores que 126 (
, 236)
(126, )
Respuesta: Como no podemos hablar de ventas negativas se concluye que deben venderse más de 126 bombas de agua para obtener un ingreso superior a $ 29 736.
Actividad 17 Plantea y resuelve los siguientes ejercicios:
a) Un vendedor compró un radio en $800. D esea añadir un margen de ut ilidad bruta de 40% sobre el precio de compra para cubrir los gastos indirectos y la utilidad neta. ¿A qué precio debe vender el radio?
b) Un minorista desea vender un aparato en $400. Su margen de utilidad bruta normal es de 50% del precio de venta. ¿Cuánto puede pagar por el aparato si desea obtener su margen de utilidad bruta normal?
c)
Una empresa produjo 500 calefactores a un costo de $200 cada uno. Esperan venderlos con un margen de utilidad bruta de 40% sobre el costo. Sin embargo, los calefactores son un artículo que se vende por temporada y desean tomar en cuenta una venta especial de 10% de los calefactores a $100 cada uno. ¿Cuál sería el precio original con el fin de que la compañía obtuviera 40% sobre el costo de la venta total?
d) Vas a dejar tu automóvil en un estacionamiento que tiene una tarifa de $10 más $5 por cada hora que el automóvil permanezca en él. Si sólo dispones de $45 para el estacionamiento, determina cuántas horas lo puedes dejar ahí. e) En una papelería el precio de un lápiz adhesivo está dado por la expresión p
q 10 , donde q es el número de lápices y p es el precio de cada uno. Si se
sabe que los ingresos están dados por la función I
pq , ¿cuántos lápices se
necesitan vender para tener un ingreso de $13 200?
Desarrollo de ejercicios seleccionados. Actividad 3 Resolver: (5x2 y2 2 y2 4 y3 ) ( 3x2 y2
y3 10)
Se escribe el minuendo y sustraendo en orden, con respecto a la misma variable (que en este caso es y), identificando los términos semejantes y se acomodan en forma de columna: 5 x 2 y2
2 y2
4 y3
3 x 2 y2
y3
10
Se mult iplica el sustraendo por el signo menos para indicar la resta: 5 x 2 y2
2 y2
( 3 x 2 y2
4 y3 y3 10)
Se elimina el paréntesis y se suman algebraicamente los coef icientes: 5 x 2 y2
2 y2
3 x 2 y2 8 x 2 y2
4 y3 y3 10
2 xy2
5 y3 10
R espuesta: L a solución es: 8 x 2 y 2 xy2
5 y3
10
Actividad 5 Resuelve: 3 u3 v u 3 v2
2 u 5 v2 u 3 v2
u2 v u 3 v2
2
Se realiza cada una de las operaciones: 3u3 v u3 v2
3u3 3 v1
2 u5 v2 u3 v2 u2 v2 u3 v2
2
2 u5 3 v2 u 2 3 v2
3 v
3v 1
2
u
2 u2
2
1 u
1
R espuesta: L a solución final es: 3u3 v u3 v2
2 u5 v2 u3 v2
u2 v u3 v2
2
3 2 u2 v
1 u
Actividad 6 Resuelve: (ab2 z 4abc)(ab2 z 4abc) Se ident if ican los términos: x
ab2 z y
y
4 abc.
Se aplica el producto de binomios conjugados para obtener: ( ab2 z 4 abc)( ab2 z 4 abc)
( ab2 z)2
(4 abc)2
Se aplican las propiedades de los exponentes para obtener: ( ab2 z)2
(4 abc)2
a2 b4 z2
16 a2 b2 c2
R espuesta: L a solución final es: ( ab2 z 4 abc)( ab2 z 4 abc)
a2 b4 z 2
16 a2 b2 c2
Autoevaluación Realiza las siguientes operaciones: 1.
(5 xy 7 x 2 y2
a)
4 xy 10 x 2 y2
b)
6 xy 4 x 2 y2
c)
4 xy 10 x 2 y2 4 3 ab 3
2.
4 z5
10 z
4 z5 10 z
6z
8 2 7 ab 3
4 1 6 a b 3
a)
3.
4 z) ( 3 x 2 y2
b)
32 5 8 ab 9
c)
4 3 2 7 a ba b 3
( xy
xy)2
a)
xy 2 x3 y3
x 2 y2
b)
xy 2 x3 y3
x 2 y2
c)
xy 2 x3 y3
x 2 y2
Factoriza las siguientes expresiones: 4.
9r 4
49t 2
a)
(3r 2
7 t )(3r 2
7t )
b)
(3r 2
7 t )(3r 2
7t )
c)
(3r 2
7 t )(3r 2
7t )
xy 10 z)
5.
6.
w4
12 w2
a)
( w2 6) 2
b)
( w2
c)
( w 6)2
36
6)2
Un comerciante vendió la mitad de sus sandías a $15, tres octavas partes las vendió a $10 y el resto las remató a $6, si obtuvo ingresos por $192, determina el número de sandías que vendió. a) Vendió 16 sandías. b) Vendió 8 sandías c)
7.
Vendió 24 sandías
Un sastre, vende sus trajes a un precio de p
q 1 350 por unidad. Si por concepto
de trajes se deben ingresar más de $12 500 al mes, ¿cuántos trajes se debe vender? a) D eben vender 8 trajes o más. b) D eben vender 10 trajes o más. c)
8.
D eben vender 14 trajes o más.
Un minorista desea vender un radio en $1 200. Su margen de utilidad bruta normal es del 40% sobre del precio de venta. ¿Cuánto puede pagar por el radio si desea obtener su margen de ut ilidad bruta normal? a) Puede pagar hasta $720. b)
Puede pagar hasta $480.
c)
Puede pagar hasta $300.
Respuestasa losejercicios Actividad 1
a)
b)
42a
32x
c)
m
d)
67 b 15
e)
4 x 6 x2
a)
12 x 10 y xy
Actividad 2
b)
8 x2
9x
c)
–12m –2n
d)
4 a 5b
Actividad 3 1. a)
2 x3
9 x2
17 x 16
b)
14 ab3
11a2 b 3a2
c)
7 a2 b3
7 ab3
11a2 b a2
2.
4 x2
a)
9 y3
2y 5
b)
10 x 2 12 y 10
c)
22 x3 y3
d)
8 x 2 y2
5 y3
2 y2 – 5 y3
Actividad 4 a)
32a5 b6
b)
m8 n10
c)
1 6 1 7 mn p 2
d)
1 2 b c 9
e)
5
a)
1
x 23
Actividad 5
b)
10 x
xz y
c)
4 a 5 b2
d)
1 a2 c5 2 b2
e)
3 – 2u 2 v
f)
8x
g)
2 x2
1 u
4 4x 1
10
Actividad 6 a)
x2
4 y2
b)
x 2 y2
z4 w2
c)
1 6 x 4
16
d)
1 4 2 mn 9
e)
x 4
f)
a2 b4 z2 – 16 a2 b2 c2
a)
25a2
20a 4
b)
4 x2
12 xy 9 y2
c)
1 4 x 4
d)
1 4 m 25
a)
s
b)
2
c)
3x 2 y
d)
5xy
e)
–4 p2 qr 2
1 6 p 25
Actividad 7
1 2 3 x y 3
Actividad 8
1 6 y 9
2 2 2 mn 35
1 4 n 49
Actividad 9 a)
x( x 2
b)
3a(4 a3
c)
6 mn( 3mn 2
d)
3 xy2 ( x 4
e)
7 m3 n3 p2 (5m2 np 2 p 4 mn)
a)
(2 x 3 y)(2 x 3 y)
b)
(4
c)
(5 xy2
7)(5 xy2
d)
( mn2
8 p3 )( mn2
e)
(1 3 mn2 p3 )(1 3 mn2 p3 )
a)
( x 9) 2
b)
( x 7) 2
c)
(2 a b) 2
d)
( m 3n) 2
e)
(4 a 5b) 2
x 1)
5 2 a)
n 7 m2 )
4 xy 4 y3 )
Actividad 10
m)(4
Actividad 11
m)
7)
8 p3 )
Actividad 12 a)
x
2
b)
x
c)
x
d)
x
5
1 3
e)
x
9
1 2
f)
x
9
g)
x
4
a)
x
0; x
2
b)
x
3; x
3
c)
x
3 2
a)
x
1; x
b)
x
3 ; x 4
c)
x
a)
z 1
b)
9 2
2
3
Actividad 13 1.
2.
2
Actividad 14
x
1
7 3 6 7
c)
–1
x
d)
17 3
t
7 3
e)
2 5
w
1 7
Actividad 15 a)
(
b)
c)
9
(
(1, )
y
2
, 2)
4
( 2, )
1 3
,
d)
e)
2)
x
5 , 2 3
Actividad 16 a)
x
3
b)
x
( 3, 7)
c)
Las varillas pueden medir entre 12.92 y 13.08 metros y la ganancia total es de $1 549.50
d)
L os números son –4 y –3; –3 y –2; –2 y –1; –1 y 0; 0 y 1; 1 y 2; 2 y 3; 3 y 4.
e)
El precio de la venta f inal puede estar entre $1 803 y $2 197.
f)
L os número cuya distancia al 8 es menor igual a 2 son 6, 7, 8, 9, 10
Actividad 17 a)
D ebe vender el nuevo radio a $1 120.
b)
El costo máximo que debe pagar por el aparato es de $200.
c)
El precio original debe ser de $300.
d)
L o puedes dejar 7 horas.
e)
Se necesitan vender 120 lápices.
Respuestas a la autoevaluación 1.
c)
2.
b)
3.
b)
4.
c)
5.
a)
6.
a)
7.
b)
8.
a)