37

§6. Trigonometr´ıa

6

Trigonometr´ıa

Un ´ angulo es una porci´on de plano limitada por dos semirrectas, los lados, que parten de un mismo punto llamado v´ ertice. A efectos representativos y de medici´on, el v´ertice puede situarse en el origen de coordenadas, y uno de los lados, que podemos llamar lado inicial, ser´a el semieje positivo de abscisas. Rotando dicho semieje se forman los diferentes a´ngulos. Si la rotaci´on se hace en sentido contrario al movimiento de las agujas de un reloj, el sentido y la medida son positivos; en caso contrario, negativos.

Figura 1.5

Una rotaci´on de una vuelta completa determina un a´ngulo de 3600 . Este a´ngulo mide tambi´en 2π radiantes, As´ı pues, 3600 = 2π radianes.

Figura 1.6

6.1

Razones trigonom´ etricas de un ´ angulo

Para un a´ngulo α consideramos el tri´angulo rect´angulo en la Figura 1.7.

38

UNIDAD I. A modo de repaso. Preliminares

Figura 1.7

Se definen las siguientes razones trigonom´etricas:

AB OB

sen α =

cateto opuesto hipotenusa

cos α =

OA cateto contiguo = hipotenusa OB

tag α =

cateto opuesto AB = . cateto contiguo OA

=

Debido a la proporcionalidad de segmentos (Teorema de Thales), estas razones son independientes de la medida de la hipotenusa del tri´angulo. Por ejemplo,

sen α =

AB A0 B 0 = OB O B0

(ver Figura 1.7).

Para hallar las razones trigonom´etricas de un a´ngulo cualquiera nos ayudamos de una circunferencia de radio 1 cuyo centro es el origen de coordenadas. Cada a´ngulo, obtenido por rotaci´on del semieje positivo OX, corta a la circunferencia en un punto de coordenadas (x, y) (Ver la Figura 1.8). De este modo se definen las razones trigonom´etricas como sigue:

sen α =

y = y; 1

cos α =

x = x; 1

tag α =

y . x

39

§6. Trigonometr´ıa

1

1 y

PSfrag replacements α −1

1

x

−1 Figura 1.8

De las igualdades anteriores se deduce que −1 ≤ sen α ≤ 1 y −1 ≤ cos α ≤ 1 para

cualquier a´ngulo α. Por otra parte, el signo de las coordenadas x e y determina el de las razones trigonom´etricas. En el siguiente cuadro se indican estos signos. Cuadrante

sen α

cos α

tag α

I: 0 < α < π/2

+

+

+

II: π/2 < α < π

+

-

-

IIII: π < α < 3π/2

-

-

+

IV: 3π/2 < α < 2π

-

+

-

En la siguiente tabla mostramos los valores del seno y el coseno de algunos a´ngulos en el primer cuadrante. α

0

cos α

1

π/6 √ 3/2

sen α

0

1/2

π/4 √ 2/2 √ 2/2

π/3

π/2

1/2 √ 3/2

0 1

Partiendo de las definiciones anteriores, y teniendo en cuenta el teorema de Pit´agoras, se prueba que para cualquier a´ngulo α se tienen las siguientes propiedades: • tag α =

sen α cos α

• sen2 α + cos2 α = 1

40

UNIDAD I. A modo de repaso. Preliminares

• tag2 α + 1 =

1 cos2 α

Por otra parte, llamamos la atenci´on sobre el hecho de que sen2 α = (sen α)2 6= sen α2 cos2 α = (cos α)2 6= cos α2

tag2 α = (tag α)2 6= tag α2 . Adem´as de las identidades anteriores, es interesante conocer las siguientes: • Para sumas de a´ngulos: sen (a + b) = sen a · cos b + sen b · cos a

cos (a + b) = cos a · cos b − sen a · sen b

• Para a´ngulos dobles:

sen 2a = 2 sen a · cos a

cos 2a = cos2 a − sen2 a

• Para a´ngulo mitad:

r a 1 − cos a sen = 2 2 r 1 + cos a a = cos 2 2

Ejemplo 6.1 ¿Que relaci´on existe entre sen α y sen(−α)? ¿ Y entre cos α y cos(−α)? En la Figura 1.9 representamos los a´ngulos α y −α. En dicha figura podemos observar

que

sen α = y

y sen(−α) = −y.

Por tanto, sen(−α) = −sen α. Tambi´en en la mencionada figura se observa que cos α = x y cos(−α) = x. As´ı pues, cos(−α) = cos α.

41

§6. Trigonometr´ıa

1 α PSfrag replacements

−α

y x −y

Figura 1.9

Ejemplo 6.2 Sabiendo que sen (a + b) = sen a · cos b + sen b · cos a, deduce una f´ormula en

la que se exprese sen (a − b) en funci´on de razones trigonom´etricas de los ´angulos a y b.

Notar en primer lugar que la f´ormula sen (a + b) = sen a · cos b + sen b · cos a puede ser

utilizada cambiando b por −b. As´ı tendremos:

sen (a + (−b)) = sen a · cos (−b) + sen (−b) · cos a. Ahora, teniendo en cuenta que por el Ejemplo 6.1, sen(−b) = −sen b

y

cos(−b) = cos b,

concluimos que sen (a + (−b)) = sen a · cos b − sen b · cos a.

42

UNIDAD I. A modo de repaso. Preliminares

6.2

Funciones trigonom´ etricas

Son funciones trigonom´ etricas aquellas funciones en las que intervienen el seno, el coseno o la tangente. Estudiamos a continuaci´on algunas de sus propiedades m´as importantes. ¥ Funci´ on seno de x

PSfrag replacements La funci´on sen x tiene las siguientes propiedades: • Est´a definida para cualquier valor de x; esto es Dom(f ) = R. • Su imagen o recorrido es el conjunto [−1, 1]. • Es una funci´on peri´odica de periodo 2π; es decir, sen α = sen (α + 2π). • Es una funci´on impar o sim´etrica respecto del origen ya que sen x = −sen (−x). y = sen x

1 −2π

− 3π 2

−π

− π2

π 2

π

3π 2

2π

−1

Figura 1.10: Gr´afica de la funci´on sen x.

¥ Funci´ on coseno de x

PSfrag replacements La funci´on cos x tiene las siguientes propiedades: • Est´a definida para cualquier valor de x; esto es Dom(f ) = R. • Su imagen o recorrido es el conjunto [−1, 1]. • Es una funci´on peri´odica de periodo 2π; es decir, cos α = cos (α + 2π). • Es una funci´on par o sim´etrica respecto del eje OY ya que cos x = cos (−x). 1 −2π

− 3π 2

−π

− π2

y = cos x π 2

π

−1

Figura 1.11: Gr´afica de la funci´on cos x.

3π 2

2π

43

§6. Trigonometr´ıa

¥ Funci´ on tangente de x La funci´on tag x tiene las siguientes propiedades: • Se define como tag x =

sen x . cos x

• Est´a definida para cualquier valor de x tal que cos x 6= 0. Adem´as, en estos puntos π x = + kπ en los que la funci´on no est´a definida, la gr´afica de tag x tiene as´ıntotas 2 verticales. • Su imagen o recorrido es el conjunto [−∞, ∞]. • Es una funci´on peri´odica de periodo π; es decir, tag α = tag (α + π). PSfrag replacements

y = tag x

−2π − 3π 2

−π

− π2

π 2

π

3π 2

2π

Figura 1.12: Gr´afica de la funci´on tag x.

¥ Otras funciones trigonom´ etricas Las inversas de las funciones sen x, cos x y tag x se llaman, respectivamente, cosecante, secante y cotangente. Por tanto, se definen como: 1 1 cosec x = ; sec x = ; sen x cos x

cotag x =

1 . tag x

¥ Funciones trigonom´ etricas inversas • Arco seno de x • Arco coseno de x

y = arcsen x

⇐⇒ x = sen y.

y = arccos x

⇐⇒ x = cos y.

An´alogamente se definen las funciones arctag x, arccosec x, arcsec x y arccotag x.

44

UNIDAD I. A modo de repaso. Preliminares

6.3

Ejercicios Propuestos

Ejercicio 44. Expresa en radianes los siguientes ´angulos: 1800 ,

2400 ,

−1200

y 3750 .

Ejercicio 45. Expresa en grados sexagesimales los siguientes ´angulos: 5π radianes,

7π radianes y 3

5 radianes.

√ 2 1 0 , calcula sen 750 y cos 150 . Ejercicio 46. Sabiendo que sen 30 = y que sen 45 = 2 2 0

Ejercicio 47. ¿Qu´e relaci´on existe entre tag α y tag (−α) para cualquier ´angulo α?

Ejercicio 48. Contesta si son verdaderas o falsas las siguientes igualdades: • sen π 2 + cos π 2 = 1. • sen2 π + cos2 π = 1. •

sen x2 = sen x. x

•

5π 2 sen π = 5 sen π. π2

•

sen (7π 2 ) = sen π. sen (7π)

Ejercicio 49. Calcula todas las razones trigonom´etricas del ´angulo

π . 3

Ejercicio 50. Representa gr´aficamente las funciones f (x) = 2 sen x y g(x) = 2 + sen x.

Ejercicio 51. Calcula la altura de una torre sabiendo que desde donde nos encontramos vemos su parte m´as alta bajo un ´angulo de 600 y que estamos a 20 m. de su base.

§6. Trigonometr´ıa

45

Ejercicio 52. En una circunferencia de 3 cm. de radio, ¿cu´anto mide un arco sustentado por un ´angulo de 2 radianes?

Ejercicio 53. De un tri´angulo rect´angulo se sabe que sus catetos miden 3 y 4 respectivamente. Encuentra la medida de la hipotenusa y la de los ´angulos.

Ejercicio 54. ¿Cu´antos metros hemos ascendido despu´es de recorrer 5 km. por una carretera cuya pendiente es del 10 %?