MATEMÁTICAS 4ºACT TEMA 3. POLINOMIOS OPERACIONES

1. MONOMIOS Un monomio es el producto indicado de un número por una o varias letras

GRADO 4º

3 x4 COEFICIENTE PARTE LITERAL

1.1

VALOR NUMÉRICO DE UN MONOMIO

Es el resultado que se obtiene al sustituir las letras por números y operar. Por ejemplo, el valor numérico de 3x2 para x = 2 es 3 · 22 = 3 · 4 = 12 1.2

OPERACIONES CON MONOMIOS

Dos monomios son semejantes cuando tienen idéntica parte literal. Por ejemplo 0,5 x2 y 16 x2, son semejantes. 

Suma y resta: Solo se pueden sumar monomios que sean semejantes. El resultado es otro monomio, semejante a ellos, cuyo coeficiente es la suma o resta de los coeficientes 4x3 + 3x3 – 2x3 = 5x3 4x3 + 2x2 no se pueden sumar



Producto de dos monomios: es otro monomio cuyo coeficiente es el producto de los coeficientes, y cuya parte literal es el producto de las partes literales ( se suman los exponentes) (2x3) · (5x4) = 10x7



Potencia de un monomio: Elevaos al exponente indicado tanto los coeficientes como la parte literal. (2x3)4 = 24x12= 16x12



División de monomios: El cociente de un monomio entre otro es un nuevo monomio de coeficiente igual al cociente de los coeficientes, y cuyo grado es la diferencia de los grados de los monomios que intervienen.

IES “ANTONIO CALVÍN”

1

MATEMÁTICAS 4ºACT 4x 8 2x 1. Dados los monomios A = 15 x3,

3

2x 5

B = 3x3 y C = 9x, calcula.:

a) A + B b) 2A – 3B c) A2 d) A · B e) B · C f)

B:C

g) A : B h) (A –B) · C

2. POLINOMIOS Un polinomio es la suma de dos o más monomios

GRADO DEL POLINOMIO

TÉRMINO INDEPENDIENTE

7x3 - 3x2 + 4x – 5 TÉRMINO PRINCIPAL



Suma y resta de polinomios

Para sumar o restar polinomios lo tenemos que hacer sumando los monomios semejantes Por ejemplo Sean A(x) = 3x2 + 5x – 2 y 

B(x) = x3 + 4x2 -5. Calcula (A + B) y (A –B)

A+B

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2

MATEMÁTICAS 4ºACT A(x) =

3x2 + 5x – 2

+ B(x) = x3 + 4x2

-5

A(x) +B(x) = x3 + 7x2 + 5x - 7 O lo que es lo mismo: (3x2 + 5x – 2)+ (x3 + 4x2 -5) = 3x2 + 5x – 2+ x3 + 4x2 -5 = x3 + 7x2 + 5x – 9



A-B 3x2 + 5x – 2

A(x) =

- B(x) = -x3 - 4x2

+5

A(x) – (B(x) = -x3 – x2 + 5x +3 O bien: 2

(3x + 5x – 2) - (x3 + 4x2 -5) =3x2 + 5x – 2 - x3 - 4x2 +5= -x3 + 4x2 + 5x +3



Para multiplicar:

P(x) = x3 – 2x2 + 5x – 1 P(x) = Q(x) =

y Q(x) = 3x2

x3 – 2x2 + 5x – 1 3x2

P(x) · Q(x) = 3x5 – 6x4 + 15x3 – 3x2 Pero es mejor realizar la operación expresándola directamente: P(x) · Q(x) = (x3 – 2x2 + 5x – 1) · 3x2 = = 3x5 – 6x4 + 15x3 – 3x2

El producto de dos polinomios: Por ejemplo: P(x) = 2x3 – 4x2 – 1

y P(x)

Q(x) = 3x - 2 2x3 – 4x2

Q(x)

–1 3x - 2

-4x3 + 8x2 6x4 -12x3 IES “ANTONIO CALVÍN”

+2 -3x

PRODUCTO DE -2 POR P(x) PRODUCTO DE 3x POR P(x)

3

MATEMÁTICAS 4ºACT 6x4 – 16x3 + 8x2 -3x +2

P(x) · Q(x)

Y directamente :

(2x3 – 4x2 – 1) · (3x – 2) = 6x4 -12x3 -3x- 4x3 + 8x2 +2 = = 6x4 – 16x3 + 8x2 -3x +2

ACTIVIDADES 1. Dados los polinomios P = 2x4 – 3x3 + 2x -1 y Q = -3x4 +2x2 – 3x -4, calcula : a) P + Q b) P-Q c) 2P d) -3P e) 5P – 2Q 2. Efectúa los siguientes productos : a) 3(2x3 – 4x2 + 1) b) -2x3 (3x2- 5x + 3) c)

1 2 x (4x5 – 2x2 + 8) 2 d)

1 x(6x2 – 4x + 2) 2

3 x(4x2 – 8x + 4) 4 3 2 f) x (2x3 + 3x – 1) 4 e)

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4

MATEMÁTICAS 4ºACT 5. Si

P = -2x3+ 6x – 1,

Q = x2 – 3x + 2

y

R = 3x + 4, calcula :

a) P · Q b) Q · R c) P · R d) P · Q · R

3. Efectúa las siguientes operaciones y simplifica el resultado : a) (5x2 – 3) (2x2 + 4) b) (6x2 – 3x + 1) (-2x2 + 3x -2) c) (-2x2 + 4x) (x3 – 3x + 2) d) (x2 – 3x) (x2 + 2x) e)

x2

f)

x

1 (6x2 + 4x -2) 2 1 (3x2 + 5x – 1) 2

g) (x2 – 3x)x – 5(x2 + x3) h) 3x2(2x + 3) – x(x2- 1) 6 Calcula y simplifica : a) (2x + 1 )2 = (2x +1) (2x+1) b) (2x – 1)2 c) (x + 1)3 d) (3x2 + 1)2 e) (2x3 – 2)2 f) (x – 1)4 g) (x2 + x + 1)2 h) (2x2 – 3x + 1)2

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5

MATEMÁTICAS 4ºACT 3. IDENTIDADES NOTABLES

Una identidad es una igualdad algebraica que se cumple para cualquier valor de la incógnita. Se llaman identidades notables a las tres siguientes: ✎ Cuadrado de una suma Es igual al cuadrado del primero más el cuadrado del segundo más el doble del primero por el segundo

(a + b)2= a2 + b2+ 2ab

✎ Cuadrado de una diferencia (a - b)2 = a2 + b2 - 2ab Es igual al cuadrado del primero más el cuadrado del segundo menos el doble del primero por el segundo

✎ Suma por diferencia Es igual a la diferencia de cuadrados

(a + b) · (a - b) = (a2- b2)

Ejercicios resueltos 1. Calcular utilizando las identidades notables: a) (3x + 2)2 = (3x)2 + 22 + 2 · 3x · 2= 9x2 + 4 + 12x b) (3x – 2)

2

= (3x)2 + 22 - 2 · 3x · 2 = 9x2 + 4 - 12x

c) (3x + 2) (3x - 2)= (3x)2 – 22 = 9x2 - 4

ACTIVIDADES

7. Calcula, utilizando las identidades notables: a)

(x + 1)2 =

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6

MATEMÁTICAS 4ºACT b) (2x – 1)2= c) (x + 3)2 = d) (5x + 2)2= e) (5x + 2y)2= f)

(x + 1) (x – 1) =

g) (x +3) (x -3)= h) (2x -5) (2x + 5)= (x2 + 2) (x2 –2) =

i)

2

x

1 2

2

x

1 4

x l) 2

1 4

2

j) k)

m)

3x 2

1 3

3x 2

1 3

8. Simplifica: a) (3x – 4)2 – (3x + 4)2 b) (2x – 5) (2x + 5) – (2x + 5)2

4. DIVISIÓN DE POLINOMIOS. La división de polinomios es similar a la división entera de números naturales: al dividir dos polinomios, se obtienen un cociente y un resto. Ejemplo: Vamos a dividir P(x) = 6x4 – 13 x2 + 49 x – 15 entre Q(x)= 2x2- 4x + 5 1. En el dividiendo se dejan huecos por los términos que faltan. 2. Se divide el primer término del dividendo entre el primer término del divisor: (6x4) : (2x2) = 3x2

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7

MATEMÁTICAS 4ºACT 6x4

-13x2 + 49x – 15

2x2 – 4x + 5 3x2

3. El producto de 3x2 por Q(x), cambiado de signo, se sitúa bajo el dividendo, y se suma:

6x4

-13x2 + 49x – 15

2x2 – 4x + 5

- 6x4 + 12x3 – 15x2

3x2

12x3 – 28x2 + 49x - 15 4. El primer resto parcial es 12x3 – 28x2 + 49x – 15. A partir de aquí volvemos a proceder como el los apartados 2 y 3.

6x4

-13x2 + 49x – 15

2x2 – 4x + 5

- 6x4 + 12x3 – 15x2

3x2 +6x – 2 = COCIENTE, C(x)

12x3 – 28x2 + 49x - 15 -12x3 + 24x2 - 30x -4x2 + 19x - 15 4x2 - 8x +10 11x - 5 = RESTO, R(X) El proceso se continúa mientras el grado del resto parcial obtenido sea mayor o igual que el grado de Q(x)



Relación entre el dividendo, el divisor, el cociente y el resto.

Si P(x) es el dividendo, Q(x) el divisor, C(x) el cociente y R(x) el resto, la relación entre ellos es: DIVIDENDO = DIVISOR x COCIENTE + RESTO P(x) = Q(x) · C(x) + R(x) Cuando el resto es cero, R(x) = 0, la división es exacta. Ejercicios resueltos: 1. Efectuar la división de P(x) = 4x3- 2x + 5 entre Q(x) = 2x – 3, y expresar el resultado de la forma: P(x) = Q(x) · C(x) + R(x) IES “ANTONIO CALVÍN”

8

MATEMÁTICAS 4ºACT 4x3

- 2x + 5

2x - 3

- 4x3 + 6x2

2x2 + 3x +

7 2

6x2 – 2x + 5 -6x2 + 9x 7x + 5

21 2 31 2

- 7x +

Expresando el resultado de la forma P(x) = Q(x) · C(x) + R(x)

4x3- 2x + 5 = (2x – 3) · (2x2 + 3x +

7 31 )+ 2 2

2. Comprueba que la división de P(x) = x2 – 2x – 3 entre Q (x) = x+1 es exacta, y expresar el resultado de la forma siguiente: P(x) = Q(x) · C(x)

x2 – 2x – 3 - x2 - x

x+1 x-3

-3x - 3 3x + 3 0 x2 – 2x – 3 = (x + 1) · ( x – 3)

9. Halla el cociente y resto de estas divisiones, y expresa el resultado de la forma P(x) = Q(x) · C(x) + R(x). a) ( x5 – 7x4 + x3 – 8) : (x2 – 3x +1) b) ( 4x5 + 20 x4 + 28x – 6) : ( x2 + 5x) c) (6x4 + 3x3 – 2x ) : ( 3x2 + 2) d) (45x5 + 120x3 + 80x) : (3x2 + 4)

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9

MATEMÁTICAS 4ºACT

5. REGLA DE RUFFINI PARA DIVIDIR UN POLINOMIO POR (x-a) La regla de Ruffini es un método sencillo para hacer divisiones en las que el polinomio divisor es de la forma x-a, con a un número entero. Si el divisor es de la forma x-a el valor de a es a positivo y si es de la forma x+a, a es negativo. Por ejemplo En x – 3, a =3 En x +7 , a = -7 Si queremos dividir P(x)= 7x4 – 11x3 – 94x + 7 entre Q(x)= x -3 Para realizar la división: 1. Escribimos, solo, los coeficientes del dividendo P(x), ordenados decrecientemente según su grado, poniendo un cero en el lugar correspondiente a cada uno de los términos que falten. A la izquierda de estos coeficientes y en otra fila, escribimos el valor de a 7 VALOR DE a

-11

0

94

COEFICIENTES DEL DIVIDENDO P(X)

7

3 RESTO,

COEFICIENTES DEL COCIENTE C(x)

2. El primer coeficiente del cociente es igual al del dividendo.

7

-11

0

94

7

3 7 3. Multiplicamos 7 x 3 y lo escribimos bajo el segundo coeficiente 7 3

-11

0

94

7

21 7

3. Sumamos:

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10

MATEMÁTICAS 4ºACT

7 3

-11

0

94

7

21 7

10

4. Multiplicamos 10 x 3 y el resultado se coloca bajo el siguiente coeficiente y así hasta el final:

7 3 7

-11

0

94

7

21

30

90

-12

10

30

-4

-5 RESTO

COCIENTE: 7 10 30 -4, significa 7x3 +10x2 + 30x -4. El grado del polinomio cociente es una unidad menor que el grado del dividendo. RESTO:

-5

10. Aplica la regla de Ruffini para efectuar las siguientes divisiones y expresa el resultado de la forma: P(x) = (x – a) · C(x) + R a) (5x4 + 6x2 – 11x + 13) : ( x – 2) b) (6x5 – 3x4 + 2x) : (x + 1) c) (3x4 – 5x3 + 7x2 – 2x + 13) : (x – 4) d) (6x4 + 4x3 – 51x2 – 3x – 9) : (x + 3) ACTIVIDADES DEL TEMA 11. Indica cuál es el grado de los siguientes monomios y di cuáles son semejantes: a) 2x2

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11

MATEMÁTICAS 4ºACT

b) -3x3

1 2 x 2 3 d) x 4 1 e) x 3 c)

f) x3 g) 3 h) i)

4 2 x 5 1 5

12. Calcula el valor numérico de cada uno de estos monomios para x = -1, para x = 2 y para x =

1 2

a) 3x2 b) 4x3 c) -2x d) –x2

1 2 x 2 1 f) x 4 e)

13. Simplifica: a) 2x6 – 3x6 – x6 b) 3x2 – x2 + 5x2

1 3 x x x 2 4 2 2 1 2 d) x x 5 10 c)

x2

e) -2x3 + x3 – 3x3 f)

5 2 x 2

1 2 x 2

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2x 2

12

MATEMÁTICAS 4ºACT 14. Dados los monomios A = -5x4, B = 20x4, y C = 2x, calcula: a) A + B b) A - B c) 3A+ 2B d) A3 e) C2 f) A2 + C8 g) A · B h) A · C i) B · C j) B : A k) A : B l) B:C 15. Efectúa las siguientes operaciones y di cuál es el grado del monomio resultante: a) 2x · (-3x2) · (-x) b) 2x3 · (-x2) · 5x

3 3 x · (-2x2) · 2x 4 1 3 x · x d) x · 2 5 1 e) x · 3x2 · (-x) 3 c)

f)

2 2 3 10 2 x · x· x 5 4 3

16. Efectúa las siguientes divisiones de monomios y di cuál es el grado de cada monomio resultante: a) (8x3) : (2x2) b) (4x6) :(2x) c) (3x3) : (2x2) d) (18x3) : (2x3)

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13

MATEMÁTICAS 4ºACT e) f)

20x 3 2x 2 7x 3

2x 2 120x 2 g) 10x 15x 6 h) i) j)

3x 2 2x 2

x2 5x x

17. Indica cuál es el grado de los siguientes polinomios (recuerda que deben estar en forma reducida): a) 2x4 – 3x2 + 4x b) x2 - 3x3 +2x c) x2 – 3x2 – 3x3 18. Halla el valor numérico de estos polinomios para x = 0 , para x = -1 y para x =2: a) x3 – 2x2 + 3 b) x2 – 3x + 1

1 2 x + 3x 2 3 3 d) x 2x 4 c)

1

19. Sean los polinomios: M (x) = 3x2 – 5x – 3 N (x) =

1 2 x 2

K(x) = x 2 Calcula:

3 x 4 1 x 3

1 2 3

a) 2M(x) + 4N(x) +3K(x) b) M(x) – 2N(x) c) M(x) + 3N(x) – K(x)

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14

MATEMÁTICAS 4ºACT 20. Opera y simplifica: a) (5x – 2) (3 – 2x) b) x (x – 3) (2x – 1) c) 3x3(2x2 – 3x + 5) d) (x2 – 5x) (x3 + 2x) e) (x3 – 2x + 3) (x2 + 4x – 1) f) (3x2 – 2x + 2) (x2 + 3x – 2) g) (3x -2)2 h) (x + 2)2 i) (x + 2)3 j) (x + 2)4 k) (x2 – 2x + 2)2 l) (x2 + x – 3)2 21. Calcula, utilizando las identidades nobles: a) (4x + 1)2 b) (3x – 1)2 c) (x + 5) (x – 5) d) (x – 1)2 2

3x

1 3

2

g) 2x

1 2

e)

h)

x

j) 2x

1 5

x

1 5

1 2x 2

1 2

22. Calcula el cociente y el resto en cada una de estas divisiones a) (x5 + 7x3 – 5x + 1) : (x3 + 2x) b) (x3 – 5x2 + x) : (x2 – 1)

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MATEMÁTICAS 4ºACT c) (x3 – 5x2 + x) : (2x2 – 1) d) (3x2 – 7x + 5) : (x2 – x + 1) 23. Utilizando la regla de Ruffini, halla el cociente y el resto de cada división: a) (3x4 – 2x2 + 5x – 2) : (x – 2) b) (-x4 + 2x3 – 3x + 1) : (x + 1) c) (3x3 + 2x2 – x) : (x + 2) d) (x3 – 27) : (x – 3) e) (x4 – x2): (x + 1) f) (x4 – 2x3 + 5x – 1) : (x – 2) g) (x4 + x2 – 20) : (x + 2) h) (2x4 + x2 – 3x) : (x – 1) i) (x4 – 81) : (x – 3) 24. Desarrolla y simplifica: a) (x – 4)2 +(x - 2) (x + 2) b) (2x – 1)2 – 2(x + 1)2 c) (3x – 1)2 – (2x + 1) (2x – 1) d) (5x – 1)2 – 2(4x – 1)2 25. Opera y reduce: a) b)

x

3

2

2x 1 4

2 x

3 5

x

1 4

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2

16