Desarrollos Recientes en Métodos Numéricos C. M. Müller-Karger, M. Lentini, M. Cerrolaza (Editores)2002 SVMNI Todos Los Derechos Reservados

UN NUEVO MODELO 3-DIMENSIONAL EN COORDENADAS CURVILINEAS PARA FLUIDOS OCEANICOS SOBRE BATIMETRIAS ARBITRARIAS.

C. R. Torres(1, 2) , J. Castillo(2) (1)

Instituto de Investigaciones Oceanológicas, Universidad Autónoma de Baja California, A.P. 453 Ensenada, B. C. México. (2) Computational Science Research Center, San Diego State University. San Diego, CA 92812-0314, USA.

Resumen Se presenta un nuevo modelo tridimensional en coordenadas curvilineas para fluidos estratificados sobre batimetrías complejas. El modelo resuelve las ecuaciones primitivas nolineales de movimiento bajo la aproximación de Boussinesq. Se describe la solución estacionaria de los campos de velocidad y densidad para un fluido estratificado que pasa sobre una montaña marina en forma de campana. Abstract We present a new 3-dimensional curvilinear fluid flow model in boundary-fitted grids. The model solves the primitive non-linear Navier-Stokes equations under the Boussinesq approximation. Three-dimensional simulations are made for a stratified flow over a bellshaped mountain. The resulst for the velocity and density fields are presented and discussed. Introducción Gran parte de los procesos hidrodinámicos que ocurren en el oceáno envuelven, a menudo, la interacción tridimensional entre las corrientes oceánicas, línea de costa y la batimetría o topografía submarina. La batimetría local y la geometría compleja afectan significantemente la dirección del flujo, transporte de masa y distribución de propiedades físicas alrededor de estructuras marinas. Para simular de manera realista las corrientes marinas y los gradientes de densidad, es necesario que los modelos oceánicos sean capaces de resolver con la mayor

exactitud la dinámica de las varias capas límites y su interacción con las características topográficas. Con la tecnología computacional actual, la simulación numérica de flujos en tres dimensiones se ha hecho posible (Kantha y Clayson, 2000; Paisley y Castro, 1995). Sin embargo, los modelos tradicionales, que utilizan mallas cartesianas o mallas curvilíneas noortogonales (v. gr. ECOM, POM), no son capaces de manejar muy bien la combinación de rotación, estratificación, batimetría abrupta, y línea de costa compleja (Boyer y Davies, 2000). En este caso, una malla que se adapte a la superficie marina y a la linea de costa, junto con un modelo numérico capáz de superar esas restricciones, mejora la calidad de la solución. En este trabajo presentamos un modelo tridimensional capáz de utilizar mallas adaptadas a la topografía submarina. El modelo se utiliza para simular los campos de velocidad y densidad producidos por un fluido estratificado que pasa sobre una montaña en forma de campana. A diferencia de modelos anteriores como los de Young y Aldridge (2000) o el de Murray y Reason (2001), en nuestro caso las tranformaciones se realizan tanto en el plano horizontal como en el vertical. Ecuaciones Básicas Se considera un fluido no-difusivo estratificado linealmente que se mueve unidireccionalmente con velocidad uniforme sobre un obstáculo (figura 1). Sea (x, y, z) el sistema coordenado cartesiano en un plano vertical donde x es en la dirección del flujo, y perpendicular a x en un plano horizontal, y z apuntando hacia arriba. El movimiento del fluido se rige por las ecuaciones de Navier Stokes, dentro de la aproximación de Boussinesq (Pedloski, 1979); Du/Dt = -∇p/ρ0 - ρg/ρ0+ ν∇²u

(1)

Dρ /Dt =0,

(2)

∇⋅ u=0,

(3)

donde u=(u, v, w) es el vector velocidad, p es la presión, ρ y ρo son la densidad y una densidad de referencia respectivamente, g es la aceleración debida a la gravedad y ν la viscosidad cinemática. La condición de incompresibilidad, está dada por la ecuación (3). Las ecuaciones adimensionales correspondientes al sistema (1-3) estan dadas en variables perturbadas para ρ y p, como (Torres et al. 2000; 2002); Du/Dt = -∇p - ρjj /F² + (2/Re) ∇²u

(4)

Dρ /Dt =0,

(5)

∇²p=-(1/F²)∇⋅ (ρjj)- ∇⋅ [(u⋅∇)u]+(2/Re)∇²D-∂D/ Dt,

(6)

donde la ecuación (6) sustituye a la condición de incompresibilidad dada por (3), D(= ∇⋅ u) representa la divergencia de la velocidad y j es el vector unitario en la coordenada vertical. Los numeros adimensionales son el numero de Reynolds, Re(=2Ua/ν) y el numero de

Froude, F(=U/Na). U es la velocidad uniforme, N2 =(-g/ρ0) ∂ρ/∂y es la frecuencia de Brünt-Väisälä y a es la longitud característica del objeto.

Figura 1. Representación esquemática del problema bajo estudio y la superficie de la malla en el espacio físico. Transformación a Coordenadas Curvilineas Para calcular eficientemente la solución, utilizamos las coordenadas curvilíneas x=x(ξ, η, ζ), y=y(ξ, η, ζ), y z=z(ξ, η, ζ). De esta manera, las derivadas espaciales se transforman de acuerdo a ∂/∂x={(yηzζ - zηyζ)∂/∂ξ+(yζzξ- zζyξ)∂/∂η+(yξzη- zξyη)∂/∂ζ} J-1

(7)

∂/∂y={(zηxζ - xηzζ)∂/∂ξ+(zζxξ- xζzξ)∂/∂η+(zξxη- xξzη)∂/∂ζ} J-1

(8)

∂/∂z={(xξyη - yξxη)∂/∂ξ+(xζyξ- yζxξ)∂/∂η+(yζxη- xζyη)∂/∂ζ} J-1.

(9)

El Jacobiano de la transformación, J, esta dado por J= xξ(yηzζ -yζzη)-xη(yζzξ-yξzζ)+xζ(yξzη-yηzξ). Mediante el uso de las relaciones anteriores, el operador Laplaciano !2=(∂²/∂x²+∂²/∂y²+∂²/∂z²), queda como;

(10)

!2=L- J-1{Lx [(α1(∂/∂ζ)+α2(∂/∂η)+α3(∂/∂ξ)] -Ly[(α1(∂/∂ζ)+α2(∂/∂η)+α3(∂/∂ξ)] -Lz[α1(∂/∂ζ)+α2(∂/∂η)+α3(∂/∂ξ)]},

(11)

donde el operador L esta dado por L=J-2{α3(∂²/∂ξ²)+α2(∂²/∂η²)+α1(∂²/∂ζ²) +2[β3(∂²/∂ξ∂η)+β2(∂²/∂ξ∂ζ)+β1(∂²/∂η∂ζ)]}

(12)

y los coeficientes αi , β i (i = 1,3) estan definidos como; α1=(yξzη-yηzξ)²+(xηzξ-xξzη)²+(xξyη-xηyξ)², α2=(yζzξ-yξzζ)²+(xξzζ-xζzξ)²+(xζyξ-xξyζ)², α3=(yηzζ -yζzη)²+(xζzη-xηzζ)²+(xηyζ-xζyη)², β1 =(yξzη-yηzξ)(yζzξ-yξzζ)+(xηzξ-xξzη)(xξzζ-xζzξ)+(xξyη-xηyξ)(xζyξ-xξyζ) β2 =(yξzη-yηzξ)(yηzζ -yζzη)+(xηzξ-xξzη)(xζzη-xηzζ)+(xξyη-xηyξ)(xζyξ-xξyζ ) β3 =(yζzξ-yξzζ)(yηzζ -yζzη)+(xξzζ-xζzξ)(xζzη-xηzζ)+ (xζyξ-xξyζ) (xηyζ-xζyη)

(13)

Las ecuaciones en diferencias finitas se obtienen de discretizar las ecuaciones transformadas. Todas las derivadas espaciales son reemplazadas por diferencias centradas de segundo orden, mientras que los términos de convección son aproximados por un esquema de tercer orden que puede describirse como (Kawamura, Takami & Kuwahara, 1986); f(∂u/∂ξ)i,j,k=(f i,j,k) (-ui+2,j,k+8(ui+1,j,k-ui-1,j,k)+ui-2,j,k) /12∆ξ +|fi,j,k|(ui+2,j,k-4ui+1,j,k+6ui,j,k-4ui-1,j,k+ui-2,j,k)/4∆ξ, donde f es una función arbitraria e (i, j, k) denota el punto de la malla en el espacio transformado (ξ, η, ζ). La viscosidad numérica de este esquema, a orden líder, es del orden de (Torres, 1997) (∆ξ)³|f|∂4u/∂ξ4. El incremento de tiempo, ∆t, típico en estas simulaciones es 10-2. El conjunto de ecuaciones discretizadas, se resolvió sujeto a condiciones iniciales y de frontera, utilizando el método de “Marker and Cell” (MAC), extendido para manejar densidad (Hanazaki, 1988). Las ecuaciones calculan el desarrollo temporal de los campos de velocidad, densidad y presión pero en este trabajo solo presentamos la solución estacionaria. La malla de cálculo consiste de 40 puntos a lo largo de los ejes x y y respectivamente con ∆x=∆y = 1. En la vertical, se tienen 38 puntos los cuales se concentraron en la superficie del

objeto de tal manera que en el punto (i, j, 6), ∆z = 0.07. La selección de este último valor nos permite resolver la capa límite con el numero de Reynolds de estos ejemplos (Re=200). Se realizaron varios experimentos numéricos, uno con estratificación débil (F=200) y otro con estratificación fuerte (F=5) utilizando un numero de Reynolds fijo (Re=200). Resultados y Discusión El campo de velocidad en un plano horizontal y otro vertical a t=20 se presenta en las figuras 2 y 3. Los perfiles de velocidad son claramente visibles en ambas figuras. En el caso de estratificación débil (F=200), el fluido se separa ligeramente atrás del pico de la montaña y se observa un remolino pequeño que abarca la región entre x = 22 y 25 aproximadamente, figura 2. Fuera de esta región, y alejado de la montaña, el fluido permanece uniforme. Cuando la estratificación es más fuerte (F=5) no hay remolinos presentes y se observa una ondulación del fluido detrás de la montaña (figura 3), similar a la reportada por Baines (1995) y Vosper (1996) para flujos orográficos.

Figura 2. Campo de velocidades en el plano horizontal (z=2) y vertical (y=20) (Re=200, F = 200).

Figura 3. Igual que la anterior, Re=200 y F = 5. En las figuras 4 y 5 se presentan los campos de velocidad en varias secciones transversales. El rol de la montaña parece ser más importante para F=5, ya que en este caso, los movimientos verticales se ven confinados a una especie de guía de ondas que se forma detrás del obstáculo (figura 5). Este efecto pudiera jugar un papel importante en los procesos de mezcla vertical en los oceános y en el transporte de propiedades físicas, como temperatura, o contaminantes y larvas.

Figura 4. Campo de velocidad en el plano x-z para varios valores de y (Re=200, F = 200).

Figura 5. Igual que la anterior, pero para Re=200 y F = 5. Los campos de densidad correspondientes a las figuras anteriores, se presentan en las figuras 6 y 7. Con estratificación débil (F=200) no hay ondas detrás del objeto, sin embargo cuando la estratificación es más fuerte (F=5) éstas se desarrollan. Esto está en acuerdo con la teoría (Baines, 1995) que indica que para valores bajos de F, hay generación de ondas detrás del objeto. La deformación de las isopicnas al pasar por la montaña también puede observarse en las figuras.

Figura 6. Campo de densidad en el plano x-z para varios valores de y (Re=200, F = 200). El intervalo entre contornos es igual a 0.5.

Figura 7. Igual que la anterior, pero para Re=200 y F = 5. Conclusiones Se desarrolló un modelo tridimensional en coordenadas curvilíneas para fluidos sobre superficies arbitrarias. El modelo resuelve las ecuaciones de movimiento en variables primitivas. La aplicación del modelo a una superficie en forma de campana demostró que éste es capáz de resolver la capa límite, tanto en la vertical como en la horizontal, asi como las ondas que se forman detrás del objeto. Para los casos aqui estudiados estas últimas se desarrollan para el valor más bajo de F.

Agradecimientos CT agradece al Consejo Nacional de Ciencia y Tecnología CONACYT (México) el apoyo económico mediante su Programa de Estancias Postdoctorales en el Extranjero, grant 0085. Referencias Baines, P. 1995. Topographic effects in stratified fluids. Cambridge University Press. Boyer, D. L. y Davies, P. A. 2000. Laboratory studies of orographic effects in rotating and stratified flows. Annu. Rev. Fluid Mech. 32:165-202. Hanazaki, H. 1988 A numerical study of three-dimensional stratified flow past a sphere. J. Fluid Mech. 192, 393-419. Kantha, L. H. y Clayson, C. A. 2000. Numerical Models of Oceans and Oceanic Processes. Vol. 66, International Geophysics Series. (ed. Renata Dmowska, James Holton and Thomas Rossby). Academic Press. Kawamura, T. Takami, H. y Kuwahara, K. 1986. Computation of high Reynolds number flow around a circular cylinder with surface roughness. Fluid Dyn. Res. 1,145-162. Murray, R.J., Reason, C.J.C. 2001. A Curvilinear Ocean Model Using a Grid Regionally Compressed in the South Indian Ocean. J. Phys. Oceanogr. 31, 2809-2823. Paisley, M. F. y Castro, I. P. 1995. Numerical computations of stratified flow over threedimensional obstacles. Numerical Methods for Fluid Dynamics V (ed. K. W. Morton & M. J. Baines) pp. 523-531. Pedlosky, J. 1979. Geophysical fluid dynamics. Springer-Verlag Torres, C. R. On the behaviour of spheres in stratified fluids. 1997. Ph. D. Dissertation (in Spanish). Centro de Investigación Científica y de Educación Superior de Ensenada. Ensenada, B. C., México, 103 pp. Torres, C. R., Hanazaki, H., Ochoa, J., Castillo, J. y Van Woert, M. L. 2000. Flow past a sphere moving vertically in a stratified diffusive fluid. J. Fluid Mech., 417:211-236. Torres, C. R., Ochoa, J., Castillo, J. y Van Woert, M. L. 2002. Initial flow field of stratified flow past an impulsively started sphere. J. Appl. Num. Math. 40/1-2 pp. 235-244. Vosper, S. 1996. Gravity-wave drag on two mountains. Q. J. R. Meteorol. Soc., 22, pp. 993999. Young, E.F., Aldridge, Brown, J. 2000. Development and validation of a three-dimensional curvilinear model for the study of fluxes through the North Channel of the Irish Sea. Continental Shelf Research 20, 997-1035.