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DIVISIBILIDAD
Múltiplos
Un número a es múltiplo de otro b cuando es el resultado de multiplicar este último por otro número c.
Ejemplo: 18 = 2 · 9 por 9.
18 es múltiplo de 2, ya que resulta de multiplicar 2
Tabla de múltiplos de los números:
Divisores U n n ú m er o b e s u n d i v i so r d e o tr o a c u a nd o lo d i vi d e ex a c t a m e n t e. A lo s d i v is o r e s t a m bi é n s e l e s ll a m a f ac tor e s. Ej e m pl o : 12 : 4 = 3
4 e s d iv i so r d e 12
4 · 3 = 12
12 e s m ú lti p lo d e 4
Criterios de divisibilidad
Un número b es divisible por otro a cuando la división es exacta. Criterio de divisibilidad por 2
Un número es divisible por 2, si termina en cero o cifra par. Ejemplo: 24, 238, 1 024, ... Criterio de divisibilidad por 3
Un número es divisible por 3, si la suma de sus dígitos es múltiplo de 3. Ejemplo: 564 2 040
5 + 6 + 4 = 15
15 es múltiplo de 3
2+0+4+0=6
6 es múltiplo de 3
Criterio de divisibilidad por 4
Un número es divisible por 4, si sus dos últimas cifras son ceros o múltiplo de 4. Ejemplo: 36, 400, 1 028, ...
Criterio de divisibilidad por 5
Un número es divisible por 5, si termina en cero o cinco. Ejemplo: 45, 515, 7 525, 230, ... Criterio de divisibilidad por 6
Un número es divisible por 6, si es divisible por 2 y por 3. Ejemplo: 72, 324, 2 400, ... Criterio de divisibilidad por 10
Un número es divisible por 10, si la cifra de las unidades es 0. Ejemplo: 130, 1 440, 10 230, ... Criterio de divisibilidad por 11
Un número es divisible por 11, si la diferencia entre la suma de las cifras que ocupan los lugares impares y la de los pares es 0 o un múltiplo de 11 . Ejemplo: 121 (1 + 1) − 2 = 0 4224 (4 + 2) − (2 + 4) = 0
Número primo
Un número primo sólo tiene dos divisores: él mismo y la unidad. Ejemplo: 5, 13, 59, ... El número 1 sólo tiene un divisor, por eso no lo consideramos primo. Para averiguar si un número es primo, se divide ordenadamente por todos los números primos menores que él. Cuando, sin resultar divisiones exactas, llega a obtenerse un cociente menor o igual al divisor, podremos afirmar que el número es primo. Ejemplo:
Solución:
179 es primo
Número compuesto
Un número compuesto es el que posee más de dos divisores. Es decir, aquel que se puede dividir por sí mismo, por la unidad y por otros números. Ejemplo: 12, 72, 144, ...
Los números compuestos se pueden expresar como productos de potencias de números primos. A dicha expresión se le llama descomposición de un número en factores primos. Ejemplo: 70 = 2 · 5 · 7 Factorizar un número
Para factorizar un número o descomponerlo en factores efectuamos sucesivas divisiones entre sus divisores primos hasta obtener un 1 como cociente. Para realizar las divisiones utilizaremos una barra vertical, a la derecha escribimos los divisores primos y a la izquierda los cocientes. Ejemplo:
Solución: 432 = 24 · 33 Ejemplo:
Solución:
2 520 = 23 · 32 · 5 · 7
Máximo común divisor
El m áx i mo c o m ú n d i v i sor , m .c .d. d e do s o má s nú m e ro s e s el ma yo r nú m e ro q u e d i v id e a t odo s e xa c ta m e n t e.
Cálcu lo del máximo común divisor
1. S e d e s c o m po n e n l os n ú m e ro s e n f ac to re s pr i mo s. 2. S e to m a n l o s fac tor e s co mu n e s co n m e nor ex po n e n t e. Ejemp lo
Hal l ar el m. c . d. d e : 7 2 , 10 8 y 6 0 .
1.
72 = 23 · 32
10 8 = 2 2 · 3 3
60 = 22 · 3 · 5
2.
m. c . d . ( 7 2 , 10 8 , 6 0 ) = 2 2 · 3 = 1 2
12 e s e l m a yo r n ú m er o q u e d i v id e a 7 2 , 10 8 y 6 0 .
S i u n n ú m er o e s d i v i sor d e ot ro, e nto n c e s é s t e e s e l m . c . d.
El nú m er o 12 es d i vi s or de 3 6 .
m. c . d . ( 12 , 3 6 ) = 1 2
Mínimo comú n mú lti plo
Es el m e no r d e to d o s m úl t ip lo s co m u n e s a v ar io s n ú m ero s , ex clu id o el c ero .
Cálcu lo del míni mo común múltiplo
1. S e d e s c o m po n e n l os n ú m e ro s e n f ac to re s pr i mo s 2. S e to m a n l o s fac tor e s c o mu n e s y no c om u n e s c o n m ayo r ex p o n e n t e.
Ejemp lo
72 = 23 · 32
10 8 = 2 2 · 3 3
60 = 22 · 3 · 5
m . c . m . (7 2 , 10 8 , 6 0 ) = 2 3 · 3 3 · 5 = 1 0 8 0
2 16 0 e s el m e no r n ú m er o q u e p u ed e s er d i v id ido por : 7 2 , 10 8 y 60.
S i u n n ú m er o e s u n m últ i plo d e o tr o, e n to n c e s e s e l m. c . m. de a m b o s .
El nú m er o 3 6 e s m úl ti plo d e 12 .
m . c . m . ( 12 , 3 6 ) = 3 6
Relación entre el m. c. d. y m. c. m.
m. c . d . ( a , b ) · m. c . m. ( a , b ) = a · b
Ejercicios
C alc ul ar el m. c . d . y m.c. m . d e:
1428 y 376
4 2 8 = 2 2 · 10 7
376 = 23 · 47
m. c . d . ( 4 2 8 , 3 7 6 ) = 2 2 = 4
m. c . m. (4 2 8 , 3 7 6 ) = 2 3 · 10 7 · 4 7 = 4 0 2 3 2
2 14 8 y 15 6
14 8 = 2 2 · 3 7
15 6 = 2 2 · 3 · 1 3
m. c . d . ( 14 8 , 1 5 6 ) = 2 2 = 4
m. c . m. ( 14 8 , 15 6 ) = 2 2 · 3 · 3 7 · 13 = 5 7 7 2
3600 y 1 000
600 = 23 · 3 · 52
10 0 0 = 2 3 · 5 3
m. c . d . ( 6 0 0 , 10 0 0 ) = 2 3 · 5 2 = 2 0 0
m. c . m. ( 6 0 0 , 10 0 0 ) = 2 3 · 3 · 5 3 = 3 0 0 0
C alc ul ar el m. c . d . y m.c. m . d e:
1 10 4 8 , 7 8 6 y 3 9 3 0
10 4 8 = 2 3 · 13 1
786 = 2 · 3 · 131
3 9 3 0 = 2 · 3 · 5 · 13 1
m. c . d . ( 10 4 8 , 7 8 6 , 3 9 3 0 ) = 2 · 13 1 = 2 6 2
m. c . m. ( 10 4 8 , 7 8 6 , 3 9 3 0 ) = 2 3 · 3 · 5 · 13 1 = 1 5 7 2 0
23120, 6200 y 1864
3 2 10 = 2 4 · 3 · 5 · 13
6200 = 23 · 52 · 31
18 6 4 = 2 3 · 2 3 3
m. c . d . ( 3 2 10 , 6 2 0 0 , 18 6 4 ) = 2 3 = 8
m. c . m. (3 2 1 0 , 6 2 0 0 , 18 6 4 ) = 2 4 · 3 · 5 2 · 13 · 3 1 · 2 3 3 =
= 112 678 800
U n f ar o s e en c i e n d e c ad a 1 2 s eg u ndo s , o tr o ca d a 18 s e gu n do s y u n t er c er o c ad a m i n uto . A l a s 6 .3 0 d e l a t ar de lo s tr e s co i nc id e n.
Av er i gu a l a s v ec e s qu e vol v er á n a co i nc id ir e n lo s c i nco m i nu to s s ig u i e nt e s.
12 = 2 2 · 3
18 = 2 · 3 2
60 = 22 · 3 · 5
m. c . m. ( 12 , 18 , 6 0 ) = 2 2 · 3 2 · 5 = 18 0
18 0 : 6 0 = 3
S ó lo a l a s 6 .3 3 h. U n vi a j er o v a a B ar c e lo n a c ad a 18 dí a s y ot r o cad a 2 4 d í a s. Hoy ha n e st ad o los d o s e n B ar c elo n a. ¿D e n tr o d e c u a n to s d í a s vol v er á n a e st ar l os do s a l a v e z e n B ar c elo n a ?
18 = 2 · 3 2
24 = 23 · 3
m. c . m. ( 18 , 2 4 ) =2 3 · 3 2 = 7 2
De n tr o d e 7 2 d ía s . ¿ Cu ál es el m e no r n ú m er o q u e al d i vi d ir lo s e p ar a d a m e n t e por 15 , 2 0 , 3 6 y 4 8 e n c ad a c as o d ar d e r e sto 9 ?
m. c . m. ( 15 , 2 0 , 3 6 , 4 8 ) = 2 4 · 3 2 · 5 = 7 2 0
720 + 9 = 729
En u n a bo d eg a h a y 3 to n el e s d e v i no , c uy a s c a p ac id a d e s so n: 2 5 0 l, 3 6 0 l, y 5 4 0 l. S u c o n t e n id o s e q ui er e e n v a s ar en c i er to n ú m er o d e g ar r af a s i gu al e s. C alc ul ar l a s c a p ac id ad e s m á x i m a s d e e s ta s g ar r a f as p ar a q u e e n ell a s s e pu e d en e n v a s ar el vi no c on t e n id o e n c ad a u no d e lo s to n el e s, y el n ú m er o d e g ar r af a s qu e s e n ec e s it a n.
m. c . d . (2 5 0 , 3 6 0 , 5 4 0 ) = 10
C ap a c i d ad d e l a s g ar r a f a s = 10 l.
Nú m er o d e g ar r a f a s d e T
1
= 2 5 0 / 10 = 2 5
Nú m er o d e g ar r a f a s de T
2
= 3 6 0 / 10 = 3 6
Nú m er o d e g ar r a f a s d e T
3
= 5 4 0 / 10 = 5 4
Nú m er o d e g ar r a f a s = 2 5 + 3 6 + 5 4 = 1 1 5 g arr a fa s.
El su e lo d e u n a h a bi t ac ió n, q u e s e q ui er e e m b aldo s ar , t i e n e 5 m d e l ar go y 3 m d e a nc ho .
C alc ul a el l a d o y el n ú m er o d e l a b aldo s a s, t al qu e el n ú m er o de b al d o s a s qu e s e c o lo q u e s e a m í ni m o y qu e no s e a n ec e s ar io cor tar n in g u n a d e e ll a s.
3 m = 30 dm 30 = 2 ·3 · 5
5 m = 50 dm 50 = 2 · 52
A = 3 0 · 5 0 = 15 0 0 d m 2
m. c . d. ( 3 0 , 5 0 ) = 2 · 5 = 10 d m d e l ado
A
b
= 10 2 = 10 0 d m 2
15 0 0 d m 2 : 10 0 d m 2 = 1 5 bal d o sa s
U n c o m er c i an t e d es e a po n er e n c a j a s 12 0 2 8 ma n z a n a s y 1 2 7 7 2 n ar a n j a s, d e mo d o q u e c ad a c a j a c o n t e n g a el m i s mo n ú m er o d e m a n z a n a s o d e n ar a n j a s y, a d e m á s, e l m a yo r nú m er o po s i bl e. H al l ar el n ú m er o d e n ar a n j as d e c ad a c aj a y el n ú m er o d e c a j a s n ec e s ar i a s.
m. c . d . ( 12 0 2 8 , 12 7 7 2 ) = 1 2 4
12 4 n ar a n j a s e n c ad a c a j a.
C aj a s d e n ar a n j a s = 1 2 7 7 2 / 1 2 4 = 10 3
C aj a s d e m a n za n a s = 12 0 2 8 / 12 4 = 9 7
C aj a s n ec e s ar i a s = 10 3 + 9 7 = 2 0 0
¿ Cu á n to m id e l a m a yo r ba ld o s a c u ad r ad a qu e c a b e e n u n n ú m er o e x ac to d e ve c e s e n u n a s al a d e 8 m d e lo ng i tu d y 6 . 4 m d e a nc hur a ? ¿ Y c u á n t a s b ald o s a s s e n e c e si t a n ?
8 m = 80 dm 80 = 24 · 5
6 .4 m = 6 4 d m6 4 = 2 6
m. c . d . ( 8 0 , 6 4 ) = 2 4 = 1 6 d m d e la do
A
b
= 16 2 = 2 5 6 d m 2
A = 80 · 64 = 5120 dm2
5 12 0 d m 2 : 2 5 6 d m 2 = 2 0 bal d o sa s