Sistemas de desigualdades

Facultad de Contaduría y Administración. UNAM

Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa

MATEMÁTICAS BÁSICAS SISTEMAS DE DESIGUALDADES SISTEMAS DE DOS INECUACIONES Y DOS INCÓGNITAS Un sistema de inecuaciones lineales con una incógnita es el conjunto formado por dos o más inecuaciones lineales de la forma:

a1 x + c1 > 0  a2 x + c2 < 0  … ⋯  an x + cn ≥ 0 o cualquier otro signo de desigualdad, donde

a1 , a2 , ⋯ , an son coeficientes reales y c1 , c2 , ⋯ , cn son

términos independientes. La solución de un sistema de este tipo es un conjunto de números reales x que satisfagan simultáneamente todas y cada una de las desigualdades. La solución, en caso de existir, suele expresarse en forma de intervalo y se debe tener cuidado en expresar correctamente si es abierto o cerrado según el signo de desigualdad utilizado. Particularmente, un sistema de dos inecuaciones lineales con incógnita

x , es de la forma:

a1 x + c1 > 0   a 2 x + c 2 < 0 o cualquier otro signo de desigualdad. Resolver un sistema de este tipo es encontrar el intervalo de números reales x que satisface ambas inecuaciones, si existe. Ejemplos. Resolver los siguientes sistemas de inecuaciones con una incógnita.

1)

5 x − 4 > 12 − 3 x   7 x + 9 > 34 + 2 x 

Solución. De la primera inecuación:

5 x + 3 x > 12 + 4 ⇒ 8 x > 16 ⇒

x>

16 8

⇒

x>2

x>

25 5

⇒

x>5

de la segunda inecuación:

7 x − 2 x > 34 − 9 ⇒ 5 x > 25 ⇒

el conjunto solución es la intersección de ambos intervalos que corresponde al intervalo señalado por la flecha, por lo tanto es x > 5

1

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x>5

x>2 0

1

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2

5

4

3

6

7

x

x>5

2)

11x − 23 < −3 + 6 x  − 5 x + 4 > −8 − x 

Solución. De la primera inecuación:

11x − 6 x < −3 + 23 ⇒ 5 x < 20 ⇒

x<

20 5

de la segunda inecuación:

− 5 x + x > −8 − 4 ⇒

− 4 x > −12 ⇒

x<

⇒

− 12 −4

x 12 ⇒

x>

12 ⇒ 6

de la segunda inecuación:

− 2 x − 5 x > −11 − 4 + 8 ⇒ − 7 x > −7 ⇒

x<

x>2

−7 −7

x 2

x b1   a21 x + a22 y < b2  o cualquier otro signo de desigualdad, donde a11 , a12 , a 21 , a 22 son coeficientes reales y b1 , b2 son términos independientes. En cada una de las inecuaciones, por lo menos uno de los coeficientes de las incógnitas es diferente de cero. Resolver un sistema de este tipo es obtener el semiplano solución de las dos desigualdades e identificar su intersección. Obtener la solución de un sistema de este tipo supone obtener el hiperplano solución de cada una de las inecuaciones que lo forman y determinar la intersección de todos ellos. La solución de un sistema de n inecuaciones lineales con dos incógnitas es siempre un conjunto convexo. Se llama conjunto convexo a una región del plano tal que para dos puntos cualesquiera de la misma, el segmento que los une está íntegramente contenido en dicha región. Como casos particulares, un conjunto convexo puede quedar reducido a una recta, a una semirrecta, a un segmento, a un punto o al conjunto vacío. Los segmentos que delimitan un conjunto convexo se llaman bordes o lados y, la intersección de ellos, vértices. Los vértices y puntos de los lados que pertenezcan a la solución del sistema de inecuaciones se denominan puntos extremos. Un conjunto convexo puede ser cerrado o abierto respecto a cada lado o vértice según se incluya éste o no en la solución. Puede ser acotado o no acotado según su área sea o no finita. Ejemplos. Resolver los siguientes sistemas de dos inecuaciones lineales con dos incógnitas.

1)

2 x + y − 4 > 0  x − y +1 > 0 

Solución. Convirtiendo a igualdad la primera inecuación: Si

x =0 ⇒ y−4=0 ⇒

Si y = 0

2x + y − 4 = 0

y=4

⇒ 2x − 4 = 0 ⇒ 2x = 4 ⇒

x=

4 =2 2

la recta pasa por los puntos (0, 4 ) y (2, 0 ) Para representar gráficamente la solución de la primera inecuación se elige un punto que no esté en la recta y se comprueba si verifica o no la desigualdad. Por ejemplo, tomando el punto P1 (1, 3) se aprecia

que cumple la inecuación ya que al sustituir se obtiene 2(1) + (3) − 4 = 2 + 3 − 4 = 1 > 0 . Esto significa que la región que incluye a ese punto es solución de esta desigualdad. Convirtiendo a igualdad la segunda inecuación: x − y + 1 = 0 4

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Si x = 0 Si

⇒

− y = −1 ⇒

y=

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−1 =1 −1

y = 0 ⇒ x + 1 = 0 ⇒ x = −1

la recta pasa por los puntos (0, 1) y (− 1, 0 ) Para representar gráficamente la solución de la segunda inecuación se elige un punto que no esté en la recta y se comprueba si verifica o no la desigualdad. Por ejemplo, tomando el punto P2 (3, 2 ) se observa

que cumple la inecuación ya que al sustituir se obtiene 3 − 2 + 1 = 2 > 0 . Esto significa que la región que incluye a ese punto es solución de esta desigualdad. El conjunto solución es la intersección de las dos regiones, formando el semiplano sombreado.

y 5 4

P1

3 2 P2

1

-5

-4

-3

-2

-1 -1

1

2

3

4

5

x

-2 -3

Recta 2

Recta 1

2)

− x+ y −3> 0   x + 2 y − 10 > 0

Solución. Convirtiendo a igualdad la primera inecuación:

y −3 = 0 ⇒

− x + y −3 = 0

Si

x=0 ⇒

y =3

Si

y = 0 ⇒ − x −3 = 0 ⇒ − x = 3 ⇒

x=

3 = −3 −1

la recta pasa por los puntos (0, 3) y (− 3, 0 ) Se elige un punto que no esté en la recta para verificar si cumple o no la desigualdad. Por ejemplo, tomando al punto P1 (− 3, 8) se tiene que − (− 3) + 8 − 3 = 3 + 8 − 3 = 8 > 0 , esto es, cumple la inecuación, por lo que la región que incluye a ese punto es solución de esta desigualdad. Convirtiendo a igualdad la segunda inecuación: x + 2 y − 10 = 0

10 =5 2 Si y = 0 ⇒ x − 10 = 0 ⇒ x = 10 la recta pasa por los puntos (0, 5) y (10, 0 )

Si

x = 0 ⇒ 2 y = 10 ⇒

y=

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Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa

Se elige un punto que no esté en la recta para verificar si cumple o no la desigualdad. Por ejemplo, tomando al punto P2 (1, 6 ) se tiene que 1 + 2(6 ) − 10 = 1 + 12 − 10 = 3 > 0 , esto es, cumple la inecuación, por lo que la región que incluye a ese punto es solución de esta desigualdad. El conjunto solución es la intersección de las dos regiones, formando el semiplano sombreado.

y 10 P1 P2 5

-10

-5

5

10

x Recta 2

-5 Recta 1

3)

2 x + y − 8 > 0  3x − y + 6 > 0

Solución. Convirtiendo a igualdad la primera inecuación: Si

x=0 ⇒

y −8 = 0 ⇒

Si

y = 0 ⇒ 2x − 8 = 0 ⇒ 2x = 8 ⇒

2x + y − 8 = 0

y =8 x=

8 =4 2

la recta pasa por los puntos (0, 8) y (4, 0 ) Se elige un punto que no esté en la recta para verificar si cumple o no la desigualdad. Por ejemplo, tomando al punto P1 (1, 2 ) se tiene que 2(1) + 2 − 8 = −4 < 0 , esto es, no cumple la inecuación, por lo que la región que no incluye a ese punto es solución de esta desigualdad. Convirtiendo a igualdad la segunda inecuación: 3x − y + 6 = 0 Si

x = 0 ⇒ − y + 6 = 0 ⇒ − y = −6 ⇒

Si

y = 0 ⇒ 3x + 6 = 0 ⇒ 3x = −6 ⇒

−6 =6 −1 −6 x= = −2 3 y=

la recta pasa por los puntos (0, 6 ) y (− 2, 0 ) Se elige un punto que no esté en la recta para verificar si cumple o no la desigualdad. Por ejemplo, tomando al punto P2 (− 4 , 2 ) se tiene que 3(− 4 ) − 2 + 6 = −12 − 2 + 6 = −8 < 0 , esto es, no cumple la inecuación, por lo que la región que no incluye a ese punto es solución de esta desigualdad. El conjunto solución es la intersección de las dos regiones, formando el semiplano sombreado.

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y 10

5 P2 P1 -10

-5

5

10

x

-5 Recta 2

4)

Recta 1

2 x + 5 y ≥ 10  5 x + 3 y ≤ 15 

Solución. Acomodando:

2 x + 5 y − 10 ≥ 0  5 x + 3 y − 15 ≤ 0 

2 x + 5 y −10 = 0 10 x = 0 ⇒ 5 y − 10 = 0 ⇒ 5 y = 10 ⇒ y = = 2 5 10 y = 0 ⇒ 2 x − 10 = 0 ⇒ 2 x = 10 ⇒ x = = 5 2

Convirtiendo a igualdad la primera inecuación: Si Si

la recta pasa por los puntos (0, 2 ) y (5, 0 ) Se elige un punto que no esté en la recta para verificar si cumple o no la desigualdad. Por ejemplo, tomando al punto P1 (3, 2 ) se tiene que 2(3) + 5(2 ) − 10 = 6 + 10 − 10 = 6 > 0 , esto es, cumple la inecuación, por lo que la región que incluye a ese punto es solución de esta desigualdad. Convirtiendo a igualdad la segunda inecuación: 5 x + 3 y − 15 = 0 Si

x = 0 ⇒ 3 y − 15 = 0 ⇒ 3 y = 15 ⇒

Si

y = 0 ⇒ 5 x − 15 = 0 ⇒ 5 x = 15 ⇒

15 =5 3 15 x= =3 5 y=

la recta pasa por los puntos (0, 5) y (3, 0 ) Se elige un punto que no esté en la recta para verificar si cumple o no la desigualdad. Por ejemplo, tomando al punto P2 (4 , 1) se tiene que 5(4 ) + 3(1) − 15 = 20 + 3 − 15 = 8 > 0 , esto es, no cumple la inecuación, por lo que la región que no incluye a ese punto es solución de esta desigualdad. El conjunto solución es la intersección de las dos regiones, formando el semiplano sombreado.

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y 5 4 Recta 1

3

P1

2

P2

1

-5

-4

-3

-2

-1 -1

1

2

3

4

5

-2 -3 Recta 2

8

x