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Tema 4. Proporcionalidad Magnitudes Una magnitud es cualquier propiedad que se puede medir numéricamente. Ejemplos: longitud, capacidad de un recipiente, peso,… Razón La razón es el cociente entre dos números o dos cantidades comparables entre sí, expresado como una fracción.

Diferencia entre razón y fracción Con un ejemplo se ve mejor 5

La razón en los lados de un rectángulo de 5cm de altura y 10cm de base es 10 No hay que confundir razón con fracción. En una fracción los números son enteros mientras que en la razón ambos números pueden ser decimales. Proporción 𝑎

Proporción es una igualdad entre dos razones: Siendo la constante de proporcionalidad:

𝑎 𝑏

𝑏 𝑐

𝑐

=𝑑 ⅇ

=𝑑=𝑓=𝑘

Propiedades de las proporciones 1) En una proporción, el producto de los medios es igual al producto de los extremos 𝑎 𝑏

𝑐

=𝑑  𝑎⋅𝑑 =𝑏⋅𝑐

2) En una proporción o en una serie de razones iguales, la suma de los antecedentes dividida entre la suma de los consecuentes es igual a cualquiera de las razones 𝑎 𝑐 ⅇ 𝑎+𝑐+ⅇ = = = 𝑏 𝑑 𝑓 𝑏+𝑑+𝑓 3) Si en una proporción cambian entre sí los medios o extremos la proporción no varía. 𝑎 𝑏

𝑐

𝑑

=𝑑

𝑐

𝑏

=𝑎

Cuarto proporcional Es uno cualquiera de los términos de una proporción. Para calcularlo se divide por el opuesto, el producto de los otros dos términos. 2 𝑥

4

= 10

𝑥=

2.10 4

𝑥=5

Medio proporcional Una proporción es continua si tiene los dos medios iguales. Para calcular el medio proporcional de una proporción continua se extrae la raíz cuadrada del producto de los extremos 3 𝑥

𝑥

𝑥 2 = 3.12

= 12

𝑥 = ±√36

𝑥 = ±6

Tercero proporcional En una proporción continua, se denomina tercero proporcional a cada uno de los términos desiguales. Un tercero proporcional es igual al cuadrado de los términos iguales dividido entre el término desigual. 𝑥

6

= 12 6

62

𝑥 = 12 = 3

Magnitudes directamente proporcionales Dos magnitudes son directamente proporcionales cuando, al multiplicar o dividir una de ellas por un número cualquiera, la otra queda multiplicada o dividida por el mismo número. Se establece una relación de proporcionalidad directa cuando: - A más corresponde más y a menos corresponde menos - A menos corresponde menos Ejemplo: Cuando compras fruta, a más peso más dinero.

Aplicaciones de la proporcionalidad directa Regla de tres simple y directa Dadas dos cantidades correspondientes a magnitudes directamente proporcionales, calcular la cantidad de una de estas magnitudes correspondiente a una cantidad dada de la otra magnitud.

Repartos directamente proporcionales Dadas unas magnitudes de un mismo tipo y una magnitud total, calcular la parte correspondiente a cada una de las magnitudes dadas.

Porcentajes Un porcentaje es un tipo de regla de tres en el que una de las cantidades es 100 Magnitudes inversamente proporcionales Dos magnitudes son inversamente proporcionales cuando, al multiplicas o dividir una de ellas por un número, la otra queda dividida o multiplicada por el mismo números. Se establece una relación de proporcionalidad inversa entre dos magnitudes cuando: - A más corresponde menos - A menos corresponde más Ejemplo: A más velocidad andando, menos tardas en llegar a donde quieras

Aplicaciones de la proporcionalidad inversa Regla de tres simple inversa Dadas dos cantidades correspondientes a magnitudes inversamente proporcionales, calcular la cantidad de una de estas magnitudes correspondiente a una cantidad dada de la otra magnitud.

Repartos inversamente proporcionales Dadas unas magnitudes de un mismo tipo y una magnitud total, debemos hacer un reparto directamente proporcional a las inversas de las magnitudes.

Regla de tres compuesta Se emplea cuando se relacionan tres o más magnitudes. Se compone de varias reglas de tres simples aplicadas sucesivamente. Podemos distinguir tres tipos de reglas de tres compuesta: Regla de tres compuesta directa

Regla de tres compuesta inversa

Regla de tres compuesta mixta

Problemas de Interés simple Se llama interés al beneficio que produce el dinero prestado. Este beneficio es directamente proporcional a la cantidad prestada y al tiempo que dura el préstamo.

Donde