Curso elemental de algebra lineal

Capitulo 1 MATRICES Introducción Las matrices aparecen por primera vez hacia el año 1850, introducidas por J.J. Sylvester. El desarrollo inicial de la teoría se debe al matemático W.R. Hamilton en 1853. En 1858, A. Cayley introduce la notación matricial como una forma abreviada de escribir un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas. Las matrices se utilizan en el cálculo numérico, en la resolución de sistemas de ecuaciones lineales, de las ecuaciones diferenciales y de las derivadas parciales. Además de su utilidad para el estudio de sistemas de ecuaciones lineales, las matrices aparecen de forma natural en geometría, estadística, economía, informática, física, etc... La utilización de matrices (arrays) constituye actualmente una parte esencial en los lenguajes de programación, ya que la mayoría de los datos se introducen en los ordenadores como tablas organizadas en filas y columnas : hojas de cálculo, bases de datos,... Definición de matriz Se llama matriz de orden m×n a todo conjunto rectangular de elementos aij dispuestos en m líneas horizontales (filas) y n verticales (columnas) de la forma:

Abreviadamente suele expresarse en la forma A =(aij), con i =1, 2, ..., m, j =1, 2, ..., n. Los subíndices indican la posición del elemento dentro de la matriz, el primero denota la fila (i) y el segundo la columna (j). Por ejemplo el elemento a25 será el elemento de la fila 2 y columna 5. Una matriz A, es cuadrada, de orden n, si tiene igual número de filas que de columnas, es decir, si es de dimensión nxn. Así: 1 2 A= 7 8 es una matriz cuadrada de orden 2 y

1 2 9 Elaborado por : Alfonso Navarro Restrepo

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Curso elemental de algebra lineal B =

7 8 6 4 5 2

es una matriz cuadrada de orden 3. En la matriz A, los elementos a11= 1 y a22 = 8, se denominan los elementos de la diagonal. También lo son los números b11= 1, b22=8,y b33=2 de B. A los elementos

ii

(

11,

22,

33,

etc), de una matriz, se les denomina elementos de la diagonal.

Igualdad de Matrices Definición: Dos matrices de la misma dimensión A = (aij )

B = (bij)

mxn

si y sólo sí Por lo tanto:

mxn

, son iguales

aij = bij , para todo i,j. 2 3 5

2 3

5

4 -1 2

4 1

2

A =

=

B,

puesto que a pesar de que: aij = bij para todo (i,j) a22

(2,2), tenemos que:

b22

Problema resuelto 1: Describa en detalle a la matriz

A = ( aij ) 3x3, donde

aij = 3i + j2.

Solución: Los elementos serán: a11 =3 (1) + 12, a21 =3 (2) + 12 , a31 =3 (3) + 12 ,

a12 =3 (1) + 22 , a22 =3 (2) + 22 , a32 =3 (3) + 22 ,

a13 =3 (1) + 32 , a23 =3 (2) + 32 , a33 =3 (3) + 32.

Efectuando los cálculos correspondientes: A

=

4 7 12 7 10 15 10 13 18

Ejercicios propuestos

Elaborado por : Alfonso Navarro Restrepo

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Curso elemental de algebra lineal 1.

Halle si es posible, todos los valores de cada incógnita para que cada una de las siguientes igualdades se cumpla: 2

4

a)

y

4

5

7

= 5

x+2

x

0

2

b)

0

= 9

y

y

x

2.

Escriba explícitamente la matriz A = (aij)4x5 , si aij = i + 2j, i = 1,2,3,4.

3.

Escriba explícitamente la matriz

4. Dadas las matrices A = (aij)4x4 A

1 = -1 2 0

2 3 -3 -5 3 4 0 1

4 1 1 0

,

A = (aij)4x4 , si aij = (-1)

y

i+j

j = 1,2,3,4,5.

, (i , ,j = 1,2,3,4).

B = (bij)4x5 ; B

=

1 0 0 1

0 1 0 1

0 0 1 1

-1 1 -1 1

Describa explícitamente a la matriz C = (cij)4x4 , si cij = ai jbj j

1 2 1 2 +

2 bi j

(i , ,j = 1,2,3,4).

Suma de matrices Dadas dos matrices de la misma dimensión, A=(aij) y B=(bij), se define la

matri z

suma

como:

A+B=(aij+bij).

Elaborado por : Alfonso Navarro Restrepo

Es

decir,

aquella

matri z

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cuyos

Curso elemental de algebra lineal elementos se obtienen: sumando los elementos de las dos matrices que ocupan la misma

posición.

Propiedades de la suma de matrices Interna: La

suma

de

dos

matrices

de

orden

m

x

n

es

otra

matriz

dimensión m x n. Asociativa: A + (B + C) = (A + B) + C Elemento neutro: A + 0 = A Donde O es la matriz nula de la misma dimensión que la matriz A. Elemento opuesto: A + (-A) = O La

matriz

opuesta

es

aquella

en

que

todos

los

elementos

cambiados de signo. Conmutativa: Elaborado por : Alfonso Navarro Restrepo

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es tán

Curso elemental de algebra lineal A + B = B + A

Producto de un escalar por una matriz Dada una matriz A=(aij) y un número real k

R, se define el producto

de un número real por una matriz: a la matriz del mismo orden que A, en la que cada elemento está multiplicado por k. kA=(k aij)

Propiedades a · a

(b · A) = (a · b) · A A ·

Mmxn, a, b

(A+B) = a · A + a · BA,B

(a+b) · A = a · A+b · A A 1 · A = A A

Mmxn , a

Mmxn , a, b

Mmxn

Producto de matrices Dos matrices A y B se dicen multiplicables si el número de columnas de A coincide con el número de filas de B. Mm

x n

x Mn

x p

= M

m x p

El elemento c ij de la matriz producto se obtiene multiplicando cada elemento de la fila i de la matriz A por cada elemento de la columna j de la matriz B y sumándolos. Elaborado por : Alfonso Navarro Restrepo

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Propiedades del producto de matrices Asociativa: A · (B · C) = (A · B) · C Elemento neutro: A · I = A Donde I es la matriz identidad del mismo orden que la matriz A. No es Conmutativa: A · B ≠ B · A Distributiva del producto respecto de la suma: A · (B + C) = A · B + A · C

Matrices. Ejercicios y problemas

1

Dadas las matrices:

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Calcular: A + B;

2

A - B;

A . B;

B . A;

At.

Demostrar que: A2 - A- 2 I = 0, siendo:

3

Por

qué

matriz

hay

para que resulte la matriz

4

que

premultiplicar

la

matriz

.

Obtener las matrices A y B que verifiquen el sistema:

5

Una fábrica produce dos modelos de lavadoras, A y B, en tres terminaciones: N, L y S. Produce del modelo A: 400 unidades en la terminación N, 200 unidades en la terminación L y 50 unidades en la terminación S. Produce del modelo B: 300 unidades en la terminación N, 100 unidades en la termi naci ón L y 30 uni dades en l a termi naci ón S. La termi naci ón N ll eva 25 horas de tal l er y 1 hora d e admi ni straci ón. La termi nación L l l eva 30 horas de taller y 1.2 horas de administración. La terminación S lleva 33 horas de taller y 1.3 horas de administración. 1.Representar la información en dos matrices. 2.Hal l ar una matri z que exprese l as hora s empleadas para cada uno de los modelos. 6

de

taller

y

de

administ ración

Calcular el rango de la matriz siguiente:

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7

Siendo:

Calcular el valor de X en las siguientes ecuaciones :

M a t r i c e s . E v a lu a c i ó n

Exa m en 1

Sean las matrices:

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Curso elemental de algebra lineal Efectuar las siguientes operaciones:

(A + B)

2

2

;

(A - B)

2

;

(B)

3

;

A · B · C.

Sean las matrices:

1Justificar si son posibles los siguientes productos: 1(A · B ) · C 2(B · C ) · A 2Determinar la dimensión de M para que pueda efectuarse el producto A · M · C

3Determina la dimensión de M para que C · M sea una matriz cuadrada.

3

Hallar todas las matrices que conmuten con la matriz:

4

Siendo:

Resolver la ecuación matricial: A X + 2 B = 3 C

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Una empresa de muebles fabrica tres modelos de estanterías: A, B y C. En cada uno de los tamaños, grande y pequeño. Produce diariamente 1000 estanterías grandes y 8000 pequeñas de tipo A, 8000 grandes y 6000 pequeñas de tipo B, y 4000 grandes y 6000 pequeñas de tipo C. Cada estantería grande lleva 16 tornillos y 6 soportes, y cada estantería pequeña lleva 12 tornillos y 4 soportes, en cualquiera de los tres modelos .

1Representar esta información en dos matrices. 2Hallar una matriz que represente la cantidad de tornillos y de soportes necesarios para la producción diaria de cada uno de los seis modelos -tamaño de estantería.

Tipos de matrices Matriz fila Una matriz fila está constituida por una sola fila.

Matriz columna La matriz columna tiene una sola columna

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Curso elemental de algebra lineal

Matriz rectangular La

matriz

rectangular

tiene

distinto

número

de

filas

que

de

columnas, siendo su dimensión mxn.

Matriz cuadrada La matriz cuadrada tiene el mismo número de filas que de columnas. Los elementos de la forma aii constituyen la diagonal principal. La diagonal secundaria la forman los elementos con i+j = n+1.

Matriz nula En una matriz nula todos los elementos son ceros.

Matriz triangular superior En

una

matriz

triangular

superior

los

elementos

situados

debajo de la diagonal principal son ceros.

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por

Curso elemental de algebra lineal

Matriz triangular inferior En una matriz triangular inferior los elementos situados por encima de la diagonal principal son ceros.

Matriz diagonal En una matriz diagonal todos los elementos situados por encima y por debajo de la diagonal pr incipal son nulos.

Matriz escalar Una matriz escalar es una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal principal son iguales.

Matriz identidad o unidad Una matriz identidad es una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal principal son iguales a 1.

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Matriz traspuesta Dada una matriz A, se llama matriz traspuesta de A a la matriz que se obtiene cambiando ordenadamente las filas por las columnas

(At)t = A (A + B)t = At + Bt (α ·A)t = α· At (A ·

B)t = Bt · At

Matriz regular Una matriz regular es una matriz cuadrada que tiene inversa.

Matriz singular Una matriz singular no tiene matriz inversa.

Matriz idempotente Una matriz, A, es idempotente si: A2 = A.

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Curso elemental de algebra lineal Matriz nilpotente Una matriz

se dice nilpotente si existe

tal que Nk = 0.

Si A es una matriz nilpotente entonces det(A)=0.

Matriz involutiva Una matriz, A, es involutiva si: A2 = I.

Matriz simétrica Una matriz simétrica es una matriz cuadrada que verifica: A = At.

Matriz antisimétrica o hemisimétrica Una matriz antisimétrica o hemisimétrica es una matriz cuadrada que verifica: A = -At.

Matriz ortogonal Una matriz es ortogonal si verifica que: A·At = I. Matriz hermitiana Una matriz hermitiana (o hermítica) es una matriz cuadrada de elementos complejos que tiene la característica de ser igual a su propia traspuesta conjugada. Es decir, el elemento en la i-ésima fila y j-ésima columna es igual al conjugado del elemento en la j-ésima fila e i-ésima columna, para todos los índices i y j:

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Curso elemental de algebra lineal o, escrita con la traspuesta conjugada A*:

Por ejemplo,

es una matriz hermítica.

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