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MATRICES Las matrices se utilizan en el cálculo numérico, en la resolución de sistemas de ecuaciones lineales, de las ecuaciones diferenciales y de las derivadas parciales. Tienen también muchas aplicaciones en el campo de la física. MATRICES: Definición Una matriz es una tabla ordenada (por filas y columnas) de escalares ai j de la forma:

 a11   a 21 A=  ...  a  m1

a12 a 22 ...

... ... aij

am2

...

La matriz anterior se denota también por (a que es el elemento genérico.

a1n   a2n  ...   a mn  ij

), i =1,2, ..., m ; j =1,2, ..., n; o simplemente por (aij )

Los términos horizontales son las filas de la matriz y los verticales son sus columnas. Una matriz con m filas y n columnas se denomina matriz m por n, o matriz m × n. Las matrices se denotarán usualmente por letras mayúsculas, A, B, ..., y los elementos de las mismas por minúsculas, a, b, ... Ejemplo:

donde sus filas son (1, -3, 4) y (0, 5, -2) y sus

El conjunto de matrices se simboliza como :

K mxn

CLASES DE MATRICES Según el aspecto de las matrices, éstas pueden clasificarse en: Matrices rectangulares Una matriz rectangular es aquella donde el número de filas es distinto al número de columnas.

1  Por ejemplo : A=  2 3 

3  0  es una matriz de orden 3 x 2 − 1

2 Matrices cuadradas Una matriz cuadrada es la que tiene el mismo número de filas que de columnas. Se dice que una matriz cuadrada n × n es de orden nxn y se denomina matriz n-cuadrada. Ejemplo: Sean las matrices

Entonces, A y B son matrices cuadradas de orden 3x3 y 2x2 respectivamente. Matriz Vector fila Una matriz vector fila es la que tiene una fila y n-columnas. Es decir A= ( aij ), n x 1 es una matriz vector fila. Por ejemplo : A es una matriz de orden 1 x 4

A = (1

0

-1

2)

Matriz Vector columna Una matriz vector columna es la que tiene m-filas y una columna. Es decir A= (aij ), mx1 es una matriz vector columna. Por ejemplo : a es una matriz de orden 3 x 1

1   A =  0  2  

Matriz identidad

I

 1 si i = j ∀ i, ∀ j = 1,2,......., m ∈ K mxm es la matriz identidad ⇔ a ij =   0 si i ≠ j

Sea A = (aij ) una matriz n-cuadrada. La diagonal principal de A consiste en los elementos a11, a22, ..., ann. La traza de A, escrito tr A, es la suma de los elementos diagonales. La matriz n-cuadrada con unos en la diagonal principal y ceros en cualquier otra posición, denotada por I se conoce como matriz identidad (o unidad). Para cualquier matriz A, se cumple que : A · I = I ·A = A

 1 0 0   Por ejemplo: I =  0 1 0   0 0 1  

3 Matriz nula Una matriz es nula sí y sólo sí todos sus elementos son iguales a cero. Una matriz nula puede ser cuadrada o rectangular. Por ejemplo:

0=

 0 0 0    0 0 0

Matriz triangular superior Una matriz cuadrada A = (a

ij

) es una matriz triangular superior , si todas las entradas

por debajo de la diagonal principal son iguales a cero. Así pues, las matrices :

A ∈ K mxm es matriz triangular superior ⇔ (i > j ⇒ a ij = 0)∀ i, ∀ j = 1,......, m son matrices triangulares superiores de órdenes 2, 3 y 4 respectivamente. Matriz triangular inferior Una matriz cuadrada A = ( a ij ) es una matriz triangular inferior, si todas las entradas por encima de la diagonal principal son iguales a cero. Por ejemplo las siguientes matrices:

2 0  A =   1 - 1

 2 0 0   B =  1 7 0  3 -1 2   

A ∈ K mxm es matriz triangular inferior ⇔ (i < j ⇒ a ij = 0)∀ i, ∀ j = 1,......, m Matrices diagonales Una matriz cuadrada es diagonal, si todos los elementos que no pertenecen a la diagonal principal son iguales a cero, mientras que los que sí pertenecen son escalares. Se denota por : D = diag (d11, d22, ..., dnn ).

A ∈ K mxm es matriz diagonal ⇔ (i ≠ j ⇒ a ij = 0)∀ i, ∀ j

4 Por ejemplo:

2 0 0   B= 0 3 0   0 0 - 3  

1 0   A =   0 2

son matrices diagonales que pueden representarse, respectivamente, por diag (1 , 2) ; diag (2 , 3 , -3 )

Matriz escalar Una matriz cuadrada es escalar, si todos los elementos que no pertenecen a la diagonal principal son iguales a cero y los que forman la diagonal principal son iguales a un mismo escalar distinto de cero y uno.

2  B= 0 0 

0 2 0

0  0 2 

Transpuesta de una matriz La transpuesta de una matriz A consiste en intercambiar las filas por las columnas y las columnas por filas, se denota por A T. Así, la transpuesta de

T

En otras palabras, si A = (a ij ) es una matriz m × n, entonces A = transposición de una matriz cumple las siguientes propiedades: T

T

T

1. (A + B) = A + B . T T

2. (A ) = A. T

T

3. (kA) = kA (si k es un escalar). T

T

4. (AB) = B TA .

es la matriz n × m. La

5 Matrices simétricas y antisimétricas T

Se dice que una matriz real es simétrica, si A = A; y que es antisimétrica, T

si A = -A. Ejemplo: Consideremos las siguientes matrices:

T

Podemos observar que los elementos simétricos de A son iguales, o que A = A. Siendo así, A es simétrica. Para B los elementos simétricos son opuestos entre sí, de este modo B es antisimétrica. A simple vista, C no es cuadrada; en consecuencia, no es ni simétrica ni antisimétrica. Matrices ortogonales T

T

Se dice que una matriz real A es ortogonal, si AA = A A = I. Se observa que una matriz ortogonal -1

T

A es necesariamente cuadrada e inversible, con inversa A = A . Consideremos una matriz 3 × 3 arbitraria:

Si A es ortogonal, entonces:

Matrices opuestas Sea A = ( a ij ) , m x n ; la matriz opuesta es –A = - (a ij ) .Por ejemplo: Matrices iguales Sea A = ( a ij ) , m x n y B = ( b ij ) , p x q : A = B sí y solo sí m = p , n = q , ( a ij ) = ( b ij )

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OPERACIONES CON MATRICES Suma y resta de matrices Para poder sumar o restar matrices, éstas deben tener el mismo número de filas y de columnas. Es decir, si una matriz es de orden 3 × 2 y otra de 3 × 3, no se pueden sumar ni restar. Esto es así ya que, tanto para la suma como para la resta, se suman o se restan los términos que ocupan el mismo lugar en las matrices. Sea la matriz A= ( a ij ) , m x n ; y la matriz B = ( b ij ), m x n A + B = C ; C = ( c ij ) , m x n donde ( c ij ) = ( a ij ) + ( b ij ) A – B = A + (-B)= C ; C =( cij ) , mxn donde ( cij ) = ( aij )+(- bij ). La matriz –B se denomina matriz opuesta de B, y es aquella donde sus elementos son iguales en valor absoluto y de distinto signo. Ejemplo:

Para sumar o restar más de dos matrices se procede igual. No necesariamente para poder sumar o restar matrices, éstas tienen que ser cuadradas. Ejemplo:

Propiedades de la suma de matrices Sean A = ( a ij ) , m x n , B = ( b ij ) , m x n y C = ( c ij ) , m x n , la suma de matrices cumple con las siguientes propiedades: 1) Conmutativa : A + B = B + A

7 2) Asociativa : ( A + B ) + C = A + ( B + C ) 3) Existencia del elemento neutro : A + 0 = 0 + A 4) Existencia de elemento opuesto : A + ( - A ) = - A + A = 0 Producto de matrices Para poder multiplicar dos matrices, la primera debe tener el mismo número de columnas que filas la segunda. La matriz resultante del producto quedará con el mismo número de filas de la primera y con el mismo número de columnas de la segunda. Es decir, si se considera una matriz 2 × 3 y se la multiplica por otra de orden 3 × 5, la matriz resultante será de orden 2 × 5. (2 × 3) × (3 × 5) = (2 × 5) Propiedades:

1) Se puede observar que el producto de matrices no cumple la propiedad conmutativa, ya que en el ejemplo anterior, si se multiplica la segunda por la primera, no se podría efectuar la operación. 2) Si cumple la propiedad asociativa : (A . B) . C = A . (B . C) 3 × 5 por 2 × 3, puesto que la primera matriz no tiene el mismo número de columnas que filas la segunda. Supongamos que A = (ai j ) y B = (bi j ) son matrices tales que el número de columnas de A coincide con el número de filas de B; es decir, A es una matriz m × p y B una matriz p × n. Entonces el producto AB es la matriz m × n cuya entrada ij se obtiene multiplicando la fila i de A por la columna j de B. Esto es,

Ejemplo: 1.

2.

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Producto de una matriz por un escalar El producto de un escalar k por la matriz A, escrito k·A o simplemente kA, es la matriz obtenida multiplicando cada entrada de A por k:

Ejemplo:

Entonces:

Propiedades :

1) Asociatividad mixta. ∀ α , β ∈ K ∧ ∀ A ∈ K mxn : α .( β .A) = (α .β ).A 2) Distributivas:a) Del producto de una matriz con respecto a la suma de escalares

∀ α , β ∈ K ∧ ∀ A ∈ K mxn : (α + β ) .A = α .. A + β . A b) Del producto de un escalar con respecto a la suma de matrices.

∀ α ∈ K ∧ ∀ A, B ∈ K mxn : α .(A + B) = α .. A + α ..B División de matrices La división de matrices se define como el producto del numerador multiplicado por la matriz inversa del denominador. Es decir, sean las matrices A y B tal que

A -1 =A.B : B

Si una matriz está dividida entre un escalar, todos los términos de la matriz quedarán divididos por ese escalar. Ejemplo:

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MATRICES INVERSAS Se dice que una matriz cuadrada A admite inversa, si existe una matriz B con la propiedad de que A.B=B.A=I -1

siendo I la matriz identidad. Denominamos a la matriz B la inversa de A y la denotamos por A . Sea

A ∈ K mxm admite inversa ⇔ ∃ B ∈ K mxm / A . B = B . A = I

Ejemplo:

Puesto que AB = BA = I, A y B son inversibles, siendo cada una la inversa de la otra. Ejercicio: operaciones con matrices Sean

a) ¿Qué clase de matrices son? b) Calcular: i) - A - B + C. ii) A + B - C. iii) 3A + C/2. c) Calcular: (A · B) /C.

10 d) Calcular la inversa de A (A

-1

) y comprobar el resultado.

e) Calcular la matriz X si:

1) A + B + X = I siendo A =

 2 − 3   1 4 

 1 4   B 2) X – 2 A = , siendo A =  − 1 1  3  3 2  

B=

 − 8 − 1   1   0

−1 3    1 B=  4  0 − 1  

3) Calcula cuando sea posible : C.D , A.B , A.C , A..A , B. C.

 − 2 1  A =   3 1

 − 5 1 3  B =   1 1 1

 4   C=  5   − 1  

D=

(2

− 1 3 2)

Operaciones elementales sobre los elementos de una matriz Se denomina operaciones elementales sobre los elementos de una matriz a las siguientes: 1) Multiplicación de un escalar por una fila o una columna de la misma. 2) Permutación de dos filas o dos columnas entre sí. 3) Suma a una fila o columna una combinación lineal de otra ( fila o columna)-

Mediante un número finito de operaciones elementales aplicadas en los elementos de una matriz se obtiene matrices equivalentes entre sí. Método de Gauss-Jordan Este método se basa esencialmente en la aplicación de operaciones elementales sobre la fila de una Matriz este método se utiliza para obtener la inversa de una matriz cuadrada. A I

I

A -1

Verificación: A .

A -1 = A -1 . A = I

0 − 2 4    1 − 1 Ejemplo: Calcula si es que existe la inversa de la siguiente matriz. A=  1 2 0 3  

11

0 1 2 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0

− 2 4 1 −1 0 3 −2 4 1 −1 2 5 1 − 2 1 −1 − 2 + 5 1 − 2 0 1 0 1 1 0 0 0 0 1

1

0

0

0 1 0 0 0 1

1

0

F3 + (− 2).F1

0

0 1 0 0 0 1

1 0 0 0 1 0 0 − 2 1 − 1/ 2 0 0 1 0 − 2 − 1/ 2 0 1/ 2 1 −1 − 2 − 5/2 − 4 3/ 2 3 −1 − 2 3/ 2 3 − 5/ 2 − 4 −1 − 2

− 0 0 1 0 0 1 2 −1 1 −1 2 1

1 F1 2

F2 + (− 1) F1 F3 + 2 F1

F1 + 2 F3 F2 + ( − 1) F3 F1 ↔ F2

3 − 1  3/ 2   A− 1 =  − 5 / 2 − 4 2   −1 − 2 1   Ejercicios: 1) Calcula : A . I , I .A , I . B , B . I si :

 3 − 1  A=   4 − 1

 − 2 1 4   − 1 0 B=  3  − 1 2 1  

2) Calcula A . B + C si:

1 2    A =  1 − 3  0 − 1  

 0 − 1 − 5   C=  1 − 1 2  −1 1 3  

 2 5 1  B =   1 − 1 2

3) Calcula A . I + A . C

 2 1 − 1   A= 3 0 1  1 −1 2   

 2 1   B=  − 1 0   2 1  

C=

 1/ 2 0 − 1/ 2    2   3/ 2 − 1

12 4) Calcula ( A + B ) . C si :

− 5 7    − 1 A = 1  3 2  

 − 3 − 7   0  B=  1 −1 2   

C=

1 2     7 − 4

5) Encuentra el valor de X si : a) A . B + I = X

A=

b)

 2 − 1   1 3 

B=

 3 − 1   4 1 

1 X + A . B = C si : 2 A =

 2 − 1   3 4 

B=

 5 7    − 1 2

C=

c) (X + A ) – B = I si :

 − 1 1 − 1   A=  3 2 4   1 2 5  

 − 2 0 − 1   1 4 B=  3 −1 2 1  

 − 2 − 3    1 − 1