Cap 9 Sec 9.1 – 9.3





Una sucesión infinita es una función cuyo dominio es el conjunto de los enteros positivos. Podemos denotar una sucesión como una lista

a1 , a2 , a3 , … an , … ◦ Donde cada ak es un término de la sucesión y k indica la posición del término en la sucesión.



La sucesión también se puede denotar como un todo, describiendo una fórmula para el término enésimo usando {an} . EJEMPLO

1) 2,4,6,8,10, … 2) an  3n  1

Sucesiones Infinitas 1 DOMIINIO: n

an Alcance:

3

2

6

3

9

4

12

5…

EL DOMINIO SE COMPONE DE LA POSICIÓN RELATIVA DE CADA TÉRMINO.

EL ALCANCE SE COMPONE DE LOS 15 … TÉRMINOS DE LA SUCESIÓN.

La regla o ecuación de la sucesión anterior es

an = 3n,

donde an representa el enésimo término de la sucesión. La forma enumerada de la sucesión se obtiene escribiendo los términos de la sucesión 3, 6, 9, 12, 15 …

EJEMPLO

Escribe los primeros seis términos de la sucesión:

an = 2n + 3. Solución

a 1 = 2(1) + 3 = 5

Primer término

a 2 = 2(2) + 3 = 7

Segundo término

a 3 = 2(3) + 3 = 9

Tercer término

a 4 = 2(4) + 3 = 11

Cuarto término

a 5 = 2(5) + 3 = 13

Quinto término

a 6 = 2(6) + 3 = 15

Sexto término

EJEMPLO

Escribe los primeros seis términos de la sucesión,

f (n) = (–2) n – 1 . Solución

f (1) = (–2) 1 – 1 = 1 f (2) = (–2) 2 – 1 = –2

1er término 2ndo término

f (3) = (–2) 3 – 1 = 4

3ro término

f (4) = (–2) 4 – 1 = – 8

4to término

f (5) = (–2) 5 – 1 = 16

5to término

f (6) = (–2) 6 – 1 = – 32

6to término

Si los términos de una sucesión tienen un patrón determinado entonces, podemos escribir el enésimo término de la sucesión y su ecuación. EJEMPLO Describe el patrón de la sucesión, escribiendo la

ecuación del enésimo término de la sucesión Solución

1 1 1 1 − , ,− , ,… 3 9 27 81

n

términos

términos



1

2

1 , 3

1 , 1 ,  9 27

1

1 ,  3

3

2

1 ,  3

4

3

1 ,  3

5  1 243

1 81 1  3

4

1  3

5

1 La ecuación del enésimo término es an =  3

n

EJEMPLO

Describe el patrón de la sucesión, escribe la ecuación del enésimo término de la sucesión. 2, 6, 12 , 20,…. Solución 1

2

3

4

5

términos

2

6

12

20

30

Rescribe términos

1(2)

2(3)

3(4)

4(5)

5(6)

1(1 +1)

2(2 +1)

3(3 +1)

4(4 +1)

5(5 +1)

n

La ecuación del enésimo término es

f (n) = n (n+1).

Gráfica de una sucesión Se puede graficar una sucesión representando • en el eje horizontal, los números enteros positivos (el dominio) • los términos en el eje vertical (el alcance). EJEMPLO Trazar la gráfica de:

an = n2 Traza los puntos (1, 1), (2, 4), (3, 9), . . . , (10, 100).

108 106 104 102 100 98 96 94 92 90 88 86 84 82 80 78 76 74 72 70 68 66 64 62 60 58 56 54 52 50 48 46 44 42 40 38 36 34 32 30 28 26 24 22 20 18 16 14 12 10 8 6 4 2

an

Series 1

(10,100

(9,81)

(8,64)

(7,49) (6,36) (5,25) (4,16) (3,9) (1,1)

(2,4) 2

x 4

6

8

10

 

Grafiquemos la sucesión Grafiquemos los pares ordenados n n, n1 para n = 1, 2, 3, …



n

n/(n+1)

1

1/2

2 3

2/3 3/4

4

4/5

10

10/11





Podemos definir una sucesión recursivamente si declaramos… ◦ el primer término de la sucesión, a1 , y ◦ una regla para obtener cualquier término ak+1 partiendo del término anterior, ak , siempre y cuando k ≥ 1 .



Estudiando los patrones que surgen en los términos sucesivos, muchas veces podemos construir una fórmula general para la sucesión partiendo de la definición recursiva.

Ejemplo: Definimos ◦ a1 = 3 , y ◦ ak+1 = 2ak .

Los primeros términos de la sucesión an :

Una forma general sería,

Sumatorias y series • La suma de todos los términos de una sucesión se conoce como una sumatoria o una serie. • Una sumatoria puede ser finita o infinita. • Si la sumatoria es finita la conocemos como una suma parcial. • Si la sumatoria es infinita se conoce como la serie de la sucesión. Sucesión

Sucesión infinita

3, 6, 9, 12, 15

3, 6, 9, 12, 15, . . .

Suma parcial

Serie infinita

3 + 6 + 9 + 12 + 15

3 + 6 + 9 + 12 + 15 + . . .

...



Representamos la suma de los primeros m

términos de la sucesión con el símbolo de sumatoria. Leemos: la suma desde k igual a 1 hasta m de a sub k.

EJEMPLO Escribe la serie usando la notación sigma. 5 + 10 + 15 + . . . + 100

Solución Note que el primer término es 5 (1), el segundo es 5 (2), el tercero es 5 (3), y el último es 5 (20). Por lo tanto los términos se generan con la fórmula de la serie se pueden escribir como: an = 5n donde n = 1, 2, 3, . . . , 20 20

La sumatoria es

 5n. n=1

4 

Sea 4 2 𝑘 𝑖=1

ak = k2(k – 3), determinar

𝑘2 𝑘 − 3 𝑖=1

𝑘−3 =

= 12 1 − 3 + 22 2 − 3 + 32 3 − 3 + 42 4 − 3 = −2 − 4 + 0 + 16 =10

EJEMPLO Escribe la serie en notación de sumatoria (sigma).

1 2 3 4 + + + +⋯ 2 3 4 5

Solución Note que para cada término, el denominador de la fracción es 1 más que el numerador. Por lo tanto, los términos de la serie se pueden escribir como:

k ak = donde k = 1, 2, 3, 4 . . . k+1 

La serie se escribe como



k=1

k

k+1

.

FÓRMULAS DE SUMATORIAS

n

1

2

1 =n

i=1

n

i=

i=1

3

n



i2=

i=1

4

Suma de n veces 1 .

n

 i3=

i=1

n (n + 1) 2

suma de los números naturales desde 1 hasta n .

n (n + 1)(2 n + 1) 6

n2 (n + 1)2 4

suma de los cuadrados de los números naturales desde 1 hasta n .

suma de los cubos de los números naturales desde 1 hasta n .

EJEMPLO Uso de Fórmulas de Sumatorias

¿Cuántas chinas habrá en una pirámide cuadrada de diez capas de altura?

Solución El diagrama de abajo muestra las primeras tres capas de la pirámide.Sea an el número de chinas en la capa n. n

1

an 1 = 1 2

2

4=22

3

9=32

Podemos observar que en cada etapa la cantidad de chinas se puede determinar con la fórmula an = n 2

Solución -continuación Entonces, sabemos que el enésimo término de la sucesión es an = n 2, donde n = 1, 2, 3, …10 10

 n 2 = 12+ 22 + . . . + 102

n= 1

= 10(10 + 1)(2 6 10(11)(21) = 6

=

•

10 + 1)

385

Habrán 385 chinas en la piramide.

EJEMPLOS Determinar el siguiente término. 1) 𝑎𝑛 = {6, 12,20, 30,42, … } 𝑎𝑛 = {6, (6 + 6), (6 + 6 + 8), (6 + 6 + 8 + 10), (6 + 6 + 8 + 10 + 12), … } El siguiente término es 56.

2) 𝑎𝑛 = {3, 6, 10, 15, 21, … } 𝑎𝑛 = {3, 3 + 3 , 3 + 3 + 4 , 3 + 3 + 4 + 5 , (3 + 3 + 4 + 5 + 6), … } El siguiente término es 28.

3) 𝑎𝑛 = {0, 1, 1, 2, 3, 5, … } 𝑎𝑛 = {0, 1, (0 + 1), (1 + 2), (3 + 2), , … } El siguiente término es 8.

4) 𝑎𝑛 = {4, 11, 30, 85, … } 𝑎𝑛 = {(1 + 3), (2 + 32), (3 + 33), (4 + 34), … } El siguiente término es 248.

Una sucesión 𝑎1 , 𝑎2 , … , 𝑎𝑛 , … es una sucesión aritmética si existe un número real d tal que para cada entero positivo k, 𝑎𝑘+1 = 𝑎𝑘 + 𝑑 El número 𝑑 = 𝑎𝑘+1 − 𝑎𝑘 se conoce como la diferencia común de la sucesión. EJEMPLO diferencia común

diferencia común

Muestre que la sucesión que se ofrece a continuación es una sucesión aritmética y determine su diferencia común.

Solución Si 𝑎𝑛 = 3𝑛 − 2 , entonces para cada entero k,

Por lo tanto la sucesión es una sucesión aritmética y su diferencia común es 3.



El término enésimo, an , de una sucesión aritmética con una diferencia común d está dado por an = a1 + (n – 1)d .

EJEMPLO 

Hallar el una fórmula para el término enésimo diferencia común

an = a1 + (n – 1)d an =-3 + (n – 1)5 an =-3 + 5n – 5 an =-8 + 5n

o an =5n - 8

EJEMPLO

Hallar el una fórmula para el término enésimo diferencia común

an = a1 + (n – 1)d an =17 + (n – 1)(-7) an =17 - 7n + 7 an =24 - 7n

EJEMPLO Los primeros tres términos de una sucesión aritmética son: 20, 16.5, y 13. Hallar 𝒂𝟏𝟓 . ◦ Primeramente hallamos d:  d = a2 – a1 = 16.5 – 20 = –3.5 . ◦ Luego, usamos la fórmula dada con n = 15 a15 = 20 + (15 – 1)(–3.5) = 20 – 49 = –29 .

Si el cuarto término de una sucesión aritmética es 5 y el noveno término es 20, determinar 𝑎1 𝑦 𝑎20

Solución Como hay 4 términos entre 𝑎4 𝑦 𝑎9 , la sucesión es aritmética, podemos razonar que tenemos que sumar la diferencia común 5 veces para llegar de 𝑎4 ℎ𝑎𝑠𝑡𝑎 𝑎9 , a20 = a1 + (n– 1)d a = a + ( n – 1) d 4 1 𝑎9 - 𝑎4 =5d a20 = - 4 + (20– 1)3 5 = a1 + (4 – 1)3 20 – 5 = 5d a20 = - 4 + (19)3 5 = a1 + 9 15 = 5d a20 = - 4 + 57 5 - 9= a1 a20= 53 a1= - 4 d=3

Una sucesión 𝑎1 , 𝑎2 , … , 𝑎𝑛 , … es una sucesión geométrica si 𝑎1 ≠ 0, y si existe r ≠ 0 tal que para cada entero positivo k, 𝑎𝑘+1 = 𝑎𝑘 𝑟 El número r=

𝑎𝑘+1 𝑎𝑘

se conoce como la razón común

de la sucesión.

Ejemplo: Hallar la razón común.

r=

−12 6

=

24 −12

=

−48 24

= −4





El término enésimo, an , de una sucesión geométrica con una razón común r está dado por an = a1r(n–1) . Ejemplo: El primer término de una sucesión geométrica es 3 y la razón común es –½ ; hallar ◦ los primeros 5 términos ◦ el término enésimo



Solución

◦ Si multiplicamos a1 = 3 por r = –½ repetidamente, entonces los primeros 5 términos son 1 2 1 − 2 1 − 2

◦ a2 = 3 − ◦ a3 = 3 ◦ a4 = 3

=− 1 2 1 − 2

−

3 2

3 4 1 − 2

=

3 8

= − … etc.

3 3 3 3 3,  , ,  , . 2 4 8 16 ◦ La fórmula general la obtenemos usando

an = a1r

(n–1)

an = 3

1 (n–1) − 2



El tercer término de una sucesión geométrica es 5 y el sexto término es -40. Hallar una fórmula explícita para 𝑎𝑛 . 𝑭𝒐𝒓𝒎𝒂𝒎𝒐𝒔 𝒖𝒏𝒂 𝒓𝒂𝒛ó𝒏 𝒄𝒐𝒏 𝒍𝒂𝒔 𝒆𝒄𝒖𝒂𝒄𝒊𝒐𝒏𝒆𝒔 𝒑𝒂𝒓𝒂 𝒅𝒆𝒕𝒆𝒓𝒎𝒊𝒏𝒂𝒓 𝒓:

𝑳𝒖𝒆𝒈𝒐, 𝒅𝒆𝒕𝒆𝒓𝒎𝒊𝒏𝒂𝒎𝒐𝒔 𝒂𝟏 :

𝑎1 𝑟 5 −40 = 2 𝑎1 𝑟 5 𝑟 3 = −8 3 𝑟 = −8 𝑟 = −2 La fórmula explícita

an = a 1r

(n–1)

an =

5 (−2) (n–1) 4



Los siguientes teoremas dan una fórmula para 𝑆𝑛 , la suma parcial enésima, de sucesiones aritméticas y geométricas: ◦ la suma parcial n-ésima, de una sucesión aritmética es

◦ la suma parcial n-ésima, de una sucesión geométrica es



Hallar la suma de los primeros 20 términos de: 𝑎𝑛 = 4, 6, 8, 10, ...

Solución 𝑎𝑛 es una sucesión aritmética con una diferencia común de 2. Para encontrar la suma, necesitamos saber el último término Ahora estamos listos para hallar la suma:



Hallar la suma de los primeros 5 términos de: 𝑏𝑛 = 1 , 0.3 , 0.09 , …

Solución Si b1 = 1, r = 0.3 , y n = 5



Evaluar la serie representado por 14

1 − 3𝑘

Solución

1

1 − 3𝑘 es una serie aritmética, la diferencia común es 1 − 3 𝑘 + 1 − 1 − 3𝑘 = 1 − 3𝑘 − 3 − 1 + 3𝑘 = = −3 Queremos sumar -2 + (-5)+ (-8) +…+ (-41)

14(−2 − 41) 14(−43) = 𝑠𝑛 = 2 2

= −301



Si 𝑟 < 1, entonces la serie geométrica infinita 𝑎1 + 𝑎1 𝑟 + 𝑎1 𝑟 2 + ⋯ + 𝑎1 𝑟 𝑛−1 + ⋯ tiene una suma dada por

𝑎1 𝑆= 1−𝑟

Expresar 5.427 como un número racional Solución









El número 5.427 es equivalente en número decimal a 5.4272727… 5.4272727… es equivalente a

Comenzando en el segundo término la serie 0.027+0.00027+0.0000027… es geométrica con 𝑎1 = 0.027 y r = 0.01

Expresar 5.427 como un número racional Solución







La suma de esta serie infinita es 𝑎1 0.027 0.027 27 3 𝑆= 1 − 𝑟 = 1 − .01 = 0.99 = 990 = 110 5.427 como un número racional es 3 594 3 597 5.4 + = + = 110 110 110 110