U NI DAD 5 ECUACIONES PARAMÉTRICAS Y COORDENADAS POLARES Objetivos

Geometría analítica

Introducción

coordenadas polares

5.1. Ecuaciones cartesianas de curvas planas

Ecuaciones cartesianas de las cónicas fundamentales Ecuación cartesiana de una circunferencia. La ecuación x2 + y2 = r2 representa una circunferencia con centro en el origen y radio r. Asimismo, si el centro C(h, k) es un punto cualquiera del plano, la ecuación es:

Ecuación cartesiana de una elipse. Lasecuaciones

y

representan una elipse con centro en el origen. Asimismo, si el centro C(h, k) es un punto cualquiera y sus ejes son paralelos a los coordenados, siendo el eje mayor paralelo al eje Y o al eje X, la ecuación es:

Ecuación cartesiana de una parábola. La ecuación y2 = 4px representa una parábola con vértice en el origen y concavidad hacia la derecha si p > 0 y de 221

concavidad hacia la izquierda si p < 0. A nálogamente, x2 = 4py representa una parábola de concavidad hacia arriba si p > 0 y de concavidad hacia abajo si p < 0. Por tanto, si el vértice es V(h, k), la ecuación es:

representa

Ecuación cartesiana de una hipérbola. La ecuación

una hipérbola con centro en el origen y cuyo eje focal coincide con el eje de las X. Asimismo,

representa una hipérbola cuyo eje focal coincide con el eje

de las Y. Por lo tanto, si el centro C(h, k) es un punto cualquiera, la ecuación de la hiperbola con eje focal paralelo al eje X es:

La ecuación de la hiperbola con eje paralelo al eje Y es:

5.2. Ecuaciones paramétricas de curvas planas x parámetro,

y ecuación paramétrica

. Definición de ecuación paramétrica. Para trazar una curva dada su ecuación, se comienza por expresar una de las variables en función de la otra y se obtienen los puntos P(x, y) que la satisfacen en coordenadas cartesianas. Asimismo, las coordenadas de los puntos P(x, y) de una curva se pueden expresar en función de una tercera variable que usualmente se denota con una letra. Esa tercera variable se llama parámetro y las ecuaciones que conectan las coordenadas con el parámetro se denominan ecuaciones paramétricas. 222

Geometría analítica

Ecuaciones paramétricas de la circunferencia. O a. M(x, y)

x=a

NOM

y=a Y M y O x

a

x = h+ a

N

X

C(h,k) NM = y – k = a

ON = x – h = a

, y=k+ a Y

M a k

y

O x N

h

X

223

Ecuacionesparamétricasde la elipse. ecuación paramétrica de la elipse

a>b

Ecuaciones paramétricas de la hipérbola.

a>0 b>

Ejemplo 1

Solución

224

Geometría analítica

Ecuaciones paramétricas de la cicloide.

cicloide

OX

C M

r,

T OX M .

M

T

T

A,

r, OT

TM = r ,

.

.

225

acortada

alargada trocoides.

x

y

Ejemplo 2

Solución

x, y r x= r (

226

y,

Geometría analítica

Ecuaciones paramétricas de la hipocicloide.

O

a

hipocicloide

X

b

227

Ecuaciones paramétricas de la astroide.

a

A,

astroide

Ejemplo 3

4

Solución b

228

4

b

Geometría analítica

Y

O

A

Ecuaciones paramétricas de la epicicloide.

epicicloide

. a b

Y

O

X

229

Ejercicio 1 x y x y

5.3. Ecuaciones de curvas planas en coordenadas polares

230

Geometría analítica

De la relación que existe entre las coordenadas cartesianas y polares se tiene que: y

x

2

Ecuación polar de la circunferencia. x

2

2

y r 2

r

r2

r

r

simetría x,y x,y x,–y

Ecuación polar de la parábola. x y p p

Ecuación polar de la elipse. x y,

2 2

2 2

2 2

231

2

a2

2 2

2

2

2 2

Ecuación polar de la hipérbola.

Ejemplo 4

Solución

232

2 2

2 2

2 2

Geometría analítica

‘

‘

‘

‘

= C C’ caracol de Pascal OX

r O,

OP

a < 2r M M’ caracol de Pascal OX O

233

a < 2r, a = 2r cardioide

,

a > 2r

rosa de las cuatro ramas. OX, OY P OX

Q

OY M OX

a a

234

O rosa de las cuatro ramas. O

PQ

Geometría analítica

Ejemplo 5 a

Solución

2

2

2

2

2

x2 + y2

Y

X

235

bruja OS

a , AN

N

AN SM

NM M

bruja

M

a=QS= OQ= QA

x, y OQS OAN,

2

y

236

Geometría analítica

, x

–x

x y = 0, y = 2a.

ON

M

M( ON 2

2

a

cisoide

a OA,

C(a,

AT

237

M

OS, cisoide

OPM y NBS y OQN.

y2

238

OM = NS

OPM

Geometría analítica

T

y

–y x

x = 2a

x = 2a

M(

OS

239

= OM = NS = OS –ON = OS –ON OS = OA OA = 2a OS = 2a ON = OA ON = 2a

= OS–ON = 2a

a

= 2a

= 2a

a

Ejercicio 2 x2 = 4y x2

y2

r r r

Ejercicios resueltos

Solución

t

t = y t

240

Geometría analítica

Solución

t

t t

t

Solución

r

r

r

r

r

r

, x y

241

Solución

y = rx

x x

0

x

r,

y = rx

r

5.

Solución

r

r

242

a=

Geometría analítica

OX

Solución a

P(r, ) M

P

r2 Solución r

2

r

r2

2

=

243

lemniscata

Solución

=c

c

Solución:

c

0 0

6

3

2

2 3

2 6

0.26 0.52 0.79 1.04 1.3 1.57 1.8

Puntos

espiral de Arquímedes 244

7 6

4 3

2

5 3

11 3

2

2.1 2.37 2.6 2.86 3.14

Geometría analítica

Observaciones. , 2 2

2

= c( + 2 ;

= 2 =c + 2c . 2

. +2 ,

2

c

c

,

c

Solución

c

a, p=a

– 0 Puntos

... ... ...

–3

–2

0.125 0.25

a

–1

0

1

2

3

...

0.5

1

2

4

8

... ...

245

espiral logarítmica,

246

Geometría analítica

Autoevaluación x y

2

2

2 2

2 2

2 2

2

y

247

?

y=x

x r

r

r r r r 248

Geometría analítica

10. r r r r

Ejercicios opcionales

r x

x

y

y

r

r

r

249

Geometría analítica

Respuestas a los ejercicios 1

2

2

2

2 r r

Respuestas a la autoevaluación

251

Respuestas a los ejercicios opcionales y y x=

252