1 Los usos de los números naturales Los números naturales Llamamos números naturales a los números que utilizamos para contar. El primer número es el 0. Los otros se forman sumando 1 al número anterior.
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Contamos con números Contar es el proceso que seguimos para identificar el número de elementos de un conjunto.
Medimos con números Medir es comparar una cantidad con su respectiva unidad y determinar el número de veces que la contiene.
Ordenamos con números Ordenar es asignar números correlativos a un conjunto de elementos.
Codificamos con números Codificar es asignar un número a un objeto de acuerdo con unas reglas para facilitar su localización o identificación.
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2 El sistema de numeración decimal El sistema de numeración decimal Para expresar los números utilizamos un conjunto de símbolos numéricos o cifras y unas reglas para combinar estos símbolos. El conjunto de símbolos y reglas de combinación se llama sistema de numeración. Habitualmente utilizamos el sistema de numeración decimal, de origen indio. Este sistema utiliza 10 cifras: 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
El valor intrínseco y el valor posicional de las cifras – El valor intrínseco de una cifra es la cantidad que expresa aisladamente. Una excepción es la cifra 0, que expresa ausencia de cantidad. – El valor posicional de una cifra es el valor que toma la cifra en función de la posición que ocupa en el número.
Los órdenes de unidades en un número La posición que ocupa una cifra en un número se llama orden. – El valor posicional de la cifra del orden de las unidades (la posición más a la derecha) corresponde a su valor intrínseco. – El valor posicional de las cifras de los órdenes sucesivos se obtiene multiplicando por 10, 100, 1.000, etc., el valor intrínseco de la cifra. – El 0 expresa ausencia de unidades del orden que ocupa.
El valor numérico de un número El valor numérico se obtiene sumando el valor posicional de cada cifra. 2.073 ⫽ 2 ⭈ 1.000 ⫹ 0 ⭈ 100 ⫹ 7 ⭈ 10 ⫹ 3 ⫽ 2.000 ⫹ 0 ⫹ 70 ⫹ 3
Sistemas de numeración posicionales y aditivos El sistema de numeración decimal es un sistema posicional: el valor de las cifras depende de su valor intrínseco y de la posición que ocupan. El sistema de numeración romana, en cambio, es un sistema aditivo: el valor de las cifras depende solo de su valor intrínseco.
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3 La suma y la resta La suma Sumar dos cantidades es agruparlas o unirlas.
Propiedades de la suma Propiedad conmutativa: Si cambiamos el orden de los sumandos de una suma, el resultado no varía. –aⴙbⴝbⴙa Propiedad asociativa: En una suma de tres o más sumandos, el orden en que hacemos las sumas no modifica el resultado. – (a ⴙ b) ⴙ c ⴝ a ⴙ (b ⴙ c)
La resta Restar es sacar una parte de una cantidad.
4 La multiplicación y la división La multiplicación La multiplicación expresa de manera abreviada la suma de varios sumandos iguales. Los términos de una multiplicación se llaman factores, y el resultado, producto. Propiedades de la multiplicación Propiedad conmutativa: Si cambiamos el orden de los factores, el resultado no varía. aⴢbⴝbⴢa Propiedad asociativa: Si la multiplicación tiene tres factores o más, el orden en que hacemos las multiplicaciones no modifica el resultado. (a ⴢ b) ⴢ c ⴝ a ⴢ (b ⴢ c) La división Dividir es repartir una cantidad en partes iguales. La división es exacta cuando su resto es igual a cero, e inexacta o entera cuando su resto es distinto de cero.
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5 Operaciones combinadas Operaciones combinadas 1.º Resolvemos las operaciones que haya dentro de los paréntesis. 2.º Hacemos todas las multiplicaciones y divisiones de izquierda a derecha. 3.º Hacemos todas las sumas y restas. 1.º Resolvemos los paréntesis.
Propiedad distributiva de la multiplicación con respecto a la suma El producto de un número por la suma de dos o más números es igual a la suma de los productos del número por cada sumando.
k ⴢ (a ⴙ b) ⴝ k ⴢ a ⴙ k ⴢ b
6 Las potencias Significado de las potencias Una potencia es una forma abreviada de expresar una multiplicación de factores iguales. En una potencia distinguimos la base y el exponente. Exponente Base
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La base es el factor que se repite, y el exponente expresa el número de veces que se repite la base.
Los cuadrados Los cuadrados son las potencias de exponente 2.
Los cubos Los cubos son las potencias de exponente 3.
Potencias de base 10 Una potencia de base 10 es igual a la unidad seguida de tantos ceros como unidades indica el exponente. 4
CUADRADOS PERFECTOS Son los números naturales que expresan el cuadrado de otro número. Los 12 primeros cuadrados perfectos son: Número
Cuadrado
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 121 144
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7 Propiedades de las potencias Potencia de un producto y de un cociente La potencia de un producto es igual al producto de las potencias de los factores. (a · b)n = an · bn La potencia de un cociente es igual al cociente de la potencia del dividendo entre la potencia del divisor. (a : b)n = an : bn Producto y cociente de potencias de la misma base El producto de potencias de la misma base es otra potencia que tiene la misma base y cuyo exponente es la suma de los exponentes. am ⴢ an ⴝ am ⴙ n El cociente de potencias de la misma base es otra potencia que tiene la misma base y cuyo exponente es la diferencia de los exponentes. am : an ⴝ am − n Potencias de exponente 1 Cualquier número se puede escribir en forma de potencia de exponente 1. a1 ⴝ a Potencias de exponente 0 Una potencia de cualquier base y exponente 0 es igual a 1. a0 ⴝ 1 Potencia de una potencia La potencia de otra potencia es una potencia que tiene la misma base y cuyo exponente es el producto de los exponentes. (am)n ⴝ am · n
8 La raíz cuadrada Significado de la raíz cuadrada Calcular la raíz cuadrada de un número es calcular aquel número que, multiplicado por él mismo, da el número inicial. Para expresar una raíz, se utiliza el símbolo radicando. Radicando
兹苶0. El número afectado por el símbolo 兹苶0 lo llamamos 16 ⫽ 4 兹苶
Raíz
La raíz cuadrada es la operación inversa a elevar al cuadrado.
Raíz cuadrada exacta La raíz cuadrada de un número natural es exacta cuando encontramos un número natural que, multiplicado por él mismo, da el número inicial. Raíz cuadrada entera La raíz cuadrada de un número natural es entera cuando no existe un número natural que, multiplicado por él mismo, dé el número inicial. 5