UNIDAD 10. LAS FUNCIONES LINEALES

ESQUEMA DE LA UNIDAD FICHA DE TRABAJO A FICHA DE TRABAJO B SOLUCIONES

ESQUEMA DE LA UNIDAD

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LAS FUNCIONES LINEALES

Nombre y apellidos: .................................................................................................................................... Curso: .....................................................................

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LAS FUNCIONES LINEALES PENDIENTE DE UNA RECTA

La pendiente de una recta es Para obtener la pendiente de una recta, haremos lo siguiente: • Si nos dan la recta graficamente, señalaremos dos de sus puntos

• Si conocemos las coordenadas de dos de sus puntos

• Si conocemos la ecuación de la recta, despejaremos

P(x1, y1) y Q(x2, y2) Entonces m=

TIPOS DE FUNCIONES LINEALES

FUNCIÓN DE PROPORCIONALIDAD

FUNCIÓN CONSTANTE

EXPRESIÓN GENERAL y = mx + n

• Su gráfica es una recta que pasa por

• Su ecuación es

• Su ecuación es

• Su gráfica es una recta que pasa por

• Su gráfica es una recta paralela • m es

ECUACIONES DE UNA RECTA ECUACIÓN PUNTO-PENDIENTE

RECTA QUE PASA POR DOS PUNTOS

Si de una recta conocemos un punto, (x0, y0), y la pendiente, m, su ecuación es

Si conocemos dos puntos de una recta, para escribir su ecuación tenemos que: 1. Calcular 2.

EJEMPLO:

EJEMPLO:

© GRUPO ANAYA, S.A., Matemáticas 4.° A ESO. Material fotocopiable autorizado.

• n es

FICHA DE TRABAJO A

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LAS FUNCIONES LINEALES

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UN DÍA EN LA SIERRA

El fin de semana pasado tu hermana fue con unos amigos a escalar en la sierra. A ti te gusta mucho, pero no pudiste ir con ellos. Cuando vuelve, le pides a tu hermana que te cuente qué tal les fue, qué vía escalaron, cómo lo hicieron, etc. “Al final escalamos la ‘Dos cabezas’, una vía corta, porque tuvimos problemas con el coche y llegamos muy tarde”, te dice. “¿Qué hicisteis cada uno?”, le preguntas. “Mira te he dibujado unas gráficas con los datos que fui recogiendo durante toda la mañana”. 30

ALTURA (m)

25

25

20

20

15

15

10

10

5

5

100 30 ALTURA (m)

200

300

TIEMPO (s)

25

20

20

15

15

10

10

5

5

200

300

TIEMPO (s)

ALTURA (m)

100 30 ALTURA (m)

25

100

© GRUPO ANAYA, S.A., Matemáticas 4.° A ESO. Material fotocopiable autorizado.

30

100

200

300

TIEMPO (s)

200

300

TIEMPO (s)

1 “Puedes ver el comportamiento de Andrés, de Beatriz, de Carlos y de Dalia. Dalia fue la más regular en su escalada. A Andrés le dio un calambre y durante un tiempo tuvo que subir mucho más despacio. Beatriz, que acaba de empezar y es muy buena, perdió un apoyo y, del susto, estuvo un rato parada. Por último, Carlos no tuvo su día y se cayó. Dime tú cuál es la gráfica que corresponde a cada uno”.

2 “Pero Carlos es el que lleva mucho tiempo escalando, ¿no? Por lo menos al final llegaría hasta arriba”, le dices. “¿Tú que crees, viendo la gráfica?”, te responde.

10. LAS FUNCIONES LINEALES. FICHA DE TRABAJO A

3 “¿Quién fue el más rápido de todos?”, preguntas. “¿Por qué no dejas de hacer preguntas y miras las gráficas?” ¿Quién crees que fue el más rápido en subir?

5 “¿Y tú qué hiciste?”, le preguntas. “Hagamos un trato. Yo te lo voy contando y tú vas dibujando en una gráfica lo que te diga, ¿vale?” — “En los primeros 50 segundos ascendí a una velocidad de 0,1 m/s”. — “Luego llegué a un tramo que me resultó muy fácil y subí, en los siguientes 50 segundos, 10 metros”. — “En ese punto me paré 25 segundos a pensar en la continuación de la vía”. — “Como no encontré un camino seguro, descendí un tramo. Si lo dibujas, te saldrá una recta con una pendiente de –0,1. Cuando dejé de descender llevaba 200 s de escalada”. — “Luego subí hasta los 20 m. En ese tramo tardé 100 segundos”. — “50 segundos más tarde llegué al final de la vía”. “Por cierto, cuando acabes con la gráfica, ¿puedes decirme cuál fue mi velocidad en el último tramo?” ALTURA (m) 30 25 20 15 10 5

100

200

300

TIEMPO (s)

© GRUPO ANAYA, S.A., Matemáticas 4.° A ESO. Material fotocopiable autorizado.

4 “Ya que estás en plan preguntón, ¿a qué no me dices quién hizo el tramo de ascenso más rápido?”, te reta tu hermana. “Y ya que estás, dime también quién hizo el tramo más lento, sin contar el periodo en que Beatriz estuvo parada. Recuerda que la velocidad nos la da la pendiente de la recta. Oye, y dame esas velocidades, ya sabes, en metros/segundo”.

FICHA DE TRABAJO B

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LAS FUNCIONES LINEALES

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ENVASANDO MIEL

El instituto os lleva de excursión a una empresa en la que envasan tarros de miel. Os acompaña una trabajadora, para contaros el proceso. Sin embargo, al poco de llegar le dicen que la dirección necesita unos datos sobre la producción y se tiene que encargar ella. Vuestro profesor le ofrece vuestra ayuda. 1 “Bueno, chicos. Lo primero que me piden es una gráfica de la producción de ayer. Aquí tenéis los datos que me han dado. Son los kilogramos de miel que se han envasado al acabar cada hora. ¿Podríais ir haciéndola mientras hablo con mi jefe para ver cuándo quiere el informe?” HORAS

(h)

© GRUPO ANAYA, S.A., Matemáticas 4.° A ESO. Material fotocopiable autorizado.

KILOGRAMOS

0

1

2

3

4

6

8

0

100

200

300

300

500

1 000

2 “Vaya datos más raros”, dice uno de tus compañeros. “¿La máquina envasa a distintas velocidades y se para, y luego sigue?”, pregunta. “No, no. El proceso tiene que ser muy regular. Lo que pasa es que tenemos dos máquinas. Normalmente tenemos en funcionamiento la más lenta, que nos da mejor calidad en el envasado, pero ayer creo que se rompió. ¿Podríais decirme la hora en que ocurrió para que lo ponga en el informe?”

3 “Acabo de hablar con el jefe de planta y me ha dicho que después de arreglada, la máquina lenta estuvo trabajando sola, pero que al final tuvieron que poner la rápida porque no llegaban a la producción prevista. ¿Por qué no me decís qué capacidad de envasado tienen cada una de las dos máquinas?”

10. LAS FUNCIONES LINEALES. FICHA DE TRABAJO B

4 “Perdone”, le interrumpe una de tus compañeras. “¿Todos los días envasan el mismo número de kilos?”. “Sí, claro. Lo hacemos así para mantener la calidad del producto. Y vosotros mismos podéis decirme cuál es la producción diaria de la planta”.

6 “Además, me pide otra cosa. Espero que podáis echarme una mano, porque no sé por dónde empezar. Me dice que han encontrado un modo de subir la producción a 1 400 kg diarios. Van a hacer que las dos máquinas envasen al mismo ritmo, es decir, ya no habrá una más lenta y otra más rápida. Sin embargo, seguiremos trabajando con una sola máquina. Me han dicho que haga algunos cálculos, pero hay uno que podéis hacer vosotros: necesito que me dibujéis una gráfica con los nuevos datos de producción suponiendo que la máquina se rompiera a la misma hora que ayer, y que me digáis cuál es la expresión analítica de la nueva función. Tened en cuenta que tenéis que calcular la producción media por hora”.

© GRUPO ANAYA, S.A., Matemáticas 4.° A ESO. Material fotocopiable autorizado.

5 Después de hablar un momento con su jefe por teléfono, vuestra guía os dice: “Chicos, mi jefe me pide que le dé una expresión analítica de la función que representa la producción de ayer, porque los ingenieros quieren hacer unos reajustes en las máquinas y les vendría muy bien. ¿Podéis ayudarme?”

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SOLUCIONES

FICHA DE TRABAJO A

FICHA DE TRABAJO B

→ Gráfica 4 → Gráfica 3 → Gráfica 2 → Gráfica 1

1

Andrés Beatriz Carlos Dalia

2

Carlos no llegó al final, porque la gráfica termina en la altura 0, la base de la vía.

1

3

Andrés, Beatriz y Dalia tardaron lo mismo, 300 s, en hacer la vía de 30 m.

4

El tramo más rápido lo han hecho Carlos y Andrés. Su velocidad ha sido de 0,2 m/s. El tramo más lento lo ha hecho Andrés. Su velocidad ha sido de 0,03 m/s.

5

En el último tramo la velocidad de la hermana fue de 0,2 m/s y la gráfica de su ascenso es:

1 000

500

300

1

2

3

4

5

6

7

8

2

La máquina se rompió a las 11 h y la acabaron de arreglar a las 12 h.

3

La máquina lenta envasa 100 kg a la hora. La máquina rápida envasa 150 kg a la hora.

4

Todos los días envasan 1 000 kg de miel.

5

 100 t  300 y =  100 (t – 1)  500 (t – 6) + 500  2

ALTURA (m) 30 25 20 15

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