54

Unidad 4 : DERIVADAS PARCIALES Tema 4.4 : Regla de la Cadena (Estudiar la Sección 14.5 en el Stewart 5ª Edición; Hacer la Tarea No. 15)

Regla de la Cadena para una función de una variable que a su vez depende de otra variable.

Si

y = f ( x ) ; x = g (t ) entonces dy =

dy dx → dx

dy dy dx = dt dx dt

Ejemplo:

dy  = cos x  dy  dx = (cos x )(15t 4 ) = 15t 4 cos(3t 5 ) ⇒ dx dt = 15t 4  x = 3t 5 ; dt  d o en forma equivalente sen(3t 5 ) = cos(3t 5 ) (15t 4 ) = 15t 4 cos(3t 5 ) dt y = senx ;

[

]

Regla de la Cadena para una función de dos variables que a su vez dependen cada una de ellas de una sola variable.

Si

z = f ( x, y ) ; x = g (t ) ;

dz =

∂z ∂z dx + dy → ∂x ∂y

y = h(t )

dz ∂z dx ∂z dy = + dt ∂x dt ∂y dt

Ejemplo:

z = x 2 y + 3 xy 4

; x = et

∂z ∂x dz dt dz dt dz dt

∂z dx dy = x 2 + 12 xy 3 ; = et ; = cos t ∂y dt dt

= 2 xy + 3 y 4 ;

;

y = sent

= (2 xy + 3 y 4 )(e t ) + (x 2 + 12 xy 3 )(cos t ) = (2e t sent + 3sen 4 t )(e t ) + (e 2t + 12e t sen 3t )(cos t ) = 2e 2t sent + 3e t sen 4 t + e 2t cos t + 12e t sen 3t cos t

55 Regla de la Cadena para una función de dos variables que a su vez dependen cada una de ellas de otras dos variables.

Si

z = f ( x , y ) ; x = g (s , t ) ;

y = h (s , t )

 ∂z ∂z ∂x ∂z ∂y  ∂s = ∂x ∂s + ∂y ∂s ∂z ∂z dz = dx + dy →  ∂z ∂z ∂x ∂z ∂y ∂x ∂y  = +  ∂t ∂x ∂t ∂y ∂t ∂z ∂z y Ejemplo: Calcular ∂t ∂s x 2 z = e seny ; x = st ; y = s 2 t

∂z ∂z ∂x ∂y ∂x ∂y = e x seny ; = e x cos y ; = t 2 ; = 2 st ; = 2 st ; = s 2 ∂x ∂y ∂s ∂s ∂t ∂t ∂z = (e x seny )(t 2 ) + (e x cos y )(2 st ) ∂s 2 2 ∂z = e st sen(s 2 t ) (t 2 ) + e st cos(s 2 t ) (2 st ) ∂s

(

)

(

)

∂z = (e x seny )(2 st ) + (e x cos y )(s 2 ) ∂t 2 2 ∂z = e st sen(s 2 t ) (2 st ) + e st cos(s 2 t ) (s 2 ) ∂t

(

)

(

)

Regla de la Cadena para una función de tres variables que a su vez dependen cada una de ellas de otras tres variables.

Si u = f ( x, y, z ) ; x = g (r , s, t ) ;

y = h(r , s, t ) ; z = k (r , s, t )

 ∂u ∂u ∂x ∂u ∂y ∂u ∂z  ∂r = ∂x ∂r + ∂y ∂r + ∂z ∂r  ∂u ∂u ∂u  ∂u ∂u ∂x ∂u ∂y ∂u ∂z du = dx + dy + dz →  = + + ∂x ∂y ∂z ∂ s ∂ x ∂ s ∂ y ∂ s ∂z ∂s   ∂u = ∂u ∂x + ∂u ∂y + ∂u ∂z  ∂t ∂x ∂t ∂y ∂t ∂z ∂t

56

Ejemplo: Calcular

∂u ∂s

u = x 4 y + y 2 z 3 ; x = rset ; y = rs 2 e −t ; z = r 2 ssent ∂u Calcule cuando r = 2 , s = 1 , t = 0 → ( x = 2, y = 2, z = 0 ) ∂s ∂u ∂u ∂u ∂u ∂u ∂x ∂u ∂y ∂u ∂z du = dx + dy + dz → = + + ∂x ∂y ∂z ∂s ∂x ∂s ∂y ∂s ∂z ∂s ∂u = 4 x 3 y ret + x 4 + 2 yz 3 2rse − t + 3 y 2 z 2 r 2 sent ∂s ∂u = 4 × 2 3 × 2 2e 0 + 2 4 + 2 × 2 × 0 2 × 2 × 1 × e 0 + 3 × 2 2 × 0 2 2 2 sen0 ∂s ∂u = 64 × 2 + 16 × 4 + 0 × 0 = 128 + 64 = 192 ∂s

( (

E1 : Calcule

)( ) ( )( ) (

)(

) ( )(

)(

∂w ∂w ; ; para w = 2 xy ; x = s 2 + t 2 ; ∂s ∂t

)

) (

y=

)(

s t

(

)

∂R ∂R ; ; cuando x = y = 1 ; para R = ln u 2 + v 2 + w 2 ; ∂x ∂y u = x + 2 y ; v = 2 x − y ; w = 2 xy E 2 : Calcule

E 3 : Calcule

∂z ∂z ∂z ; ; ∂u ∂v ∂w

x = uv 2 + w3 ;

y = u + ve w

∂w 6 s 2 + 2t 2 R1 : = ∂s t R2 :

9 9 ; 7 7

cuando u = 2 ; v = 1 ; w = 0 ; con z = x 2 + xy 3 ;

∂w 2 st 2 − 2 s 3 ; = ∂s t2 R3 : 85 ; 178 ; 54

)

57

Ejemplos de Aplicaciones de la Regla de la Cadena El voltaje V en un circuito eléctrico sencillo está decreciendo lentamente a medida que se consume la batería. La resistencia R está aumentando lentamente a medida que se calienta el resistor. Utilice la Ley de Ohm, V=IR, para hallar cómo está cambiando la corriente I en el momento cuando R=400 Ω, I=0.08 A, dV/dt=-0.01 V/s, y dR/dt=0.03 Ω/s.

I (V , R ) = dI =

V R

∂I ∂I dV + dR ∂V ∂R

dI ∂I dV ∂I dR = + dt ∂V dt ∂R dt dI  1  dV  − V  dR =  +  dt  R  dt  R 2  dt dI  1  dV  − IR  dR =  +  dt  R  dt  R 2  dt

dI  1  dV  − I  dR =  +  dt  R  dt  R  dt dI 1 dV I dR = − dt R dt R dt  1   0.08  = (− 0.01) −  (0.03)  400   400  dI A = −3.1 × 10 −5 dt s

La presión de 1 mol de gas ideal está aumentando a razón de 0.05 kPa/s y la temperatura está subiendo a razón de 0.15 K/s. Utilice la ecuación PV = 8.31T para hallar la razón de cambio del volumen cuando la presión sea 20 kPa y la temperatura sea 320 K.

T P ∂V ∂V dT dV = dP + ∂P ∂T

V (P, T ) = 8.31

dV ∂V dP ∂V dT = + dt ∂P dt ∂T dt dV  T  dP  8.31  dT =  − 8.31 2  +  dt  P  dt  P  dt

dV T dP 8.31 dT = −8.31 2 + dt P dt P dt 320    8.31  =  − 8.31 (0.05) +  (0.15) 400    20  dV L = −0.2701 dt s

58

El auto A se desplaza hacia el norte por la carretera 16 y el auto B hacia el oeste por la carretera 83; cada uno se aproxima al cruce de estas carreteras. En cierto momento, el auto A está a 0.3 km del cruce y viaja a 90 km/h mientras que el auto B está a 0.4 km del cruce y viaja a 80 km/h. ¿Cuál es la razón de cambio de la distancia entre los autos en ese momento?

s2 = x2 + y2 ∂s ∂s ds = dx + dy ∂x ∂y ds ∂s dx ∂s dy = + dt ∂x dt ∂y dt ∂s ∂s x 2s = 2 x ; = = ∂x ∂x s

ds = dt ds = dt

dx + x + y dt 2

x 2

x +y

2

dy x + y dt

(− 80) +

y

2

2

y x + y2

x2 + y2

ds − 59 m = = −118 dt 0.5 s

y x2 + y2

Ejemplo del Teorema de la Función Implícita:

Calcule

∂z ∂x

y

∂z ∂y

si 3 x 2 z − x 2 y 2 + 2 z 3 + 3 yz = 5

F ( x, y, z ) = 3 x 2 z − x 2 y 2 + 2 z 3 + 3 yz − 5 = 0 ∂z − Fx − (6 xz − 2 xy ) 2 xy − 6 xz = = 2 = ∂x Fz 3x + 6 z 2 + 3 y 3x 2 + 6 z 2 + 3 y

(

2

ds (− 80)(0.4 ) + (90)(0.3) = dt 0.4 2 + 0.32

x

∂s ∂s y 2s = 2 y ; = = ∂y ∂y s

x

2

)

∂z − Fy − − 2 x 2 y + 3 z 2 x 2 y − 3z = = 2 = ∂y Fz 3x + 6 z 2 + 3 y 3x 2 + 6 z 2 + 3 y Para la próxima clase estudiar las secciones 14.5 La Regla de la Cadena 14.6 Vector Gradiente y Derivada Direccional Tarea para entregar la próxima clase Tarea No. 15 La Regla de la Cadena

(90)

59

Teorema de la Función Implícita para una función de una variable

z = F ( x, y ) = 0 define a " y" implicitamente como : y = f ( x ) entonces : F ( x, y ) = f ( x ) − y = 0 dF ∂F dx ∂F dy = + =0 dx ∂x dx ∂y dx ∂F ∂F dy ⇒ + =0 ∂x ∂y dx ∂F − dy ⇒ = ∂x ∂F dx ∂y dy − Fx ⇒ = dx Fy Ejemplo:

Si

x 3 + y 3 + z 3 + 6 xyz = 1 →

F ( x, y, z ) = x 3 + y 3 + z 3 + 6 xyz − 1 = 0 F ∂z 3x 2 + 6 yz =− x =− 2 = ∂x Fz 3z + 6 xy ∂z x 2 + 2 yz =− 2 ∂x z + 2 xy Fy ∂z 3 y 2 + 6 xz =− =− 2 = ∂y Fz 3z + 6 xy ∂z y 2 + 2 xz =− 2 ∂y z + 2 xy

Teorema de la Función Implícita para una función de dos variables

w = F ( x, y, z ) = 0 define a " z" implicitamente como : z = f ( x, y ) entonces : F ( x, y , z ) = f ( x, y ) − z = 0 ∂F ∂F ∂x ∂F ∂y ∂F ∂z = + + =0 ∂x ∂x ∂x ∂y ∂x ∂z ∂x ∂F ∂F ∂z ⇒ + =0 ∂x ∂z ∂x ∂F − ∂z ⇒ = ∂x ∂F ∂x ∂z ∂z − Fx = ⇒ ∂x Fz w = F ( x, y, z ) = 0 define a " z" implicitamente como : z = f ( x, y ) entonces : ∂F ∂F ∂x ∂F ∂y ∂F ∂z = + + =0 ∂y ∂x ∂y ∂y ∂y ∂z ∂y ∂F ∂F ∂z ⇒ + =0 ∂y ∂z ∂y ∂F − ∂z ∂y ⇒ = ∂F ∂y ∂z ∂z − Fy ⇒ = ∂y Fz

60

Ma-817 : MATEMÁTICAS III PARA INGENIERIA Tarea No 15 : Regla de la Cadena (Sección 14.5 del Stewart 5ª Edición)

Utilice la regla de la cadena para hallar

1

w=

y xe z

, x = t , y = 1 − t , z = 1 + 2t

3

z = x 2 + xy + y 2

z = e r cos θ

; x = s+t ;

y ez

R1

2

Utilice la regla de la cadena para hallar

2

dw dt

∂z ∂s

∂z ∂t

y

y = st

; r = st ; θ = s 2 + t 2

x 2 xy   2t − z − z 2 

∂z = 2 x + y + xt + 2 yt ∂s ∂z = 2 x + y + xs + 2 ys ∂t

R2

 s senθ ∂z = e r  t cos θ −  ∂s s2 + t 2 

     t senθ  ∂z = e r  s cos θ −   ∂t s2 + t 2  

R3

:Utilice la regla de la cadena para hallar las derivadas parciales indicadas: w = x 2 + y 2 + z 2 , x = s t , y = s cos t , z = s sent

4

∂w ∂w ; ; cuando s = 1 ; t = 0 ∂s ∂t z = y 2 tan x ; x = t 2 uv ;

5

∂z , ∂t

∂z ∂z , ∂u ∂v

cuando t = 2 , u = 1 , v = 0

xy 2 + yz 2 + zx 2 = 3

2 , 0

R5

0 , 0 , 4

y = u + tv 2

Utilice el teorema de la función implícita para hallar 6

R4

R6

∂z ∂x −

y

∂z ∂y

y 2 + 2 xz 2 yz + x 2

, −

2 xy + z 2 2 yz + x 2