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Unidad 5 ELEMENTOS DE TRIGONOMETRIA

Competencias a desarrollar: •

Convertir medidas de ángulos en radianes a grados y viceversa.

•

Aplicar las funciones trigonométricas, para resolver problemas que se puedan modelar mediante triángulos rectángulos.

•

Utilizar las identidades trigonométricas fundamentales para expresar una función en términos de cualquier otra.

•

Aplicar las leyes del Seno y del Coseno, para resolver problemas que se puedan modelar mediante triángulos oblicuángulos.

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Unidad 5 Elementos de Trigonometría Los fundamentos de la trigonometría se remontan al menos a 3,000 años atrás, Los antiguos egipcios, babilonios y griegos crearon la trigonometría para calcular las longitudes de los lados de los triángulos y las medidas de sus ángulos. En Egipto, la trigonometría se utilizaba para restablecer los límites del terreno después de las inundaciones anuales del río Nilo. En Babilonia, se usó en la astronomía. El término trigonometría proviene de las palabras griegas con que se denomina al triángulo (trigon) y a la medida (metros). Los antiguos griegos utilizaban la trigonometría para resolver problemas de la vida diaria, como por ejemplo la topografía, la navegación y la ingeniería Ángulos. Definición y medidas:

En geometría, un ángulo se define como el conjunto de puntos determinados por dos rayos o semirrectas ( l 1 y l 2 ), que tienen el mismo punto de extremo 0.

En trigonometría, con frecuencia se interpretan los ángulos como rotaciones de línea; siguiendo esta definición, a los ángulos se les asocia un lado inicial, un lado final y un signo: si el giro es contrario a las manecillas del reloj, el ángulo es considerado positivo y si el giro es en dirección a las manecillas de reloj el ángulo se considera negativo. Los giros los representamos por flechas curvas y la cantidad de giro, no esta restringida, de manera que una línea puede describir un ángulo que abarque más de una vuelta completa.

Cuando un ángulo se sitúa en un sistema de coordenadas de manera que su lado inicial coincida con el eje positivo a las X y su vértice con el origen, decimos que el ángulo se encuentra en posición normal, ordinaria o estándar.

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Medida de ángulos: Las dos medidas utilizadas de ángulos son los grados y los radianes. Definición de grado: Un grado es la medida de un ángulo central subtendido 1 por un arco cuya longitud es parte de la longitud de la circunferencia. 360 En virtud de la definición anterior se deduce que un ángulo de una vuelta mide 360º.

Algunos ángulos especiales: Ángulo agudo: Aquel que mide entre 0 y 90 grados. θ es agudo, si 0º < θ < 90º Ángulo obtuso: Aquel que mide entre 90º y 180º. θ es obtuso si 90º < θ < 180º Ángulos Complementarios: Dos ángulos son complementarios, si suman 90º. α y β son complementarios si α + β = 90º . Ejemplo: Los ángulos de 20º y 70º son complementarios Ángulos Suplementarios: Dos ángulos son suplementarios, si suman 180º. α y β son suplementarios si α + β = 180º. Ejemplo: Los ángulos de 25º y 155º son suplementarios

Definición de radian: Un radián es la medida de un ángulo central subtendido por un arco cuya longitud es igual al radio de la circunferencia. r

r θ θ

r

Ahora, puesto que la longitud L, de la circunferencia viene dada por la formula ( L = 2π r ) se puede decir que el radio ( r ) cabe 2π veces (6.28 veces) aproximadamente en la circunferencia completa o sea un ángulo de una vuelta es 2π radianes.

Grados a radianes y viceversa: De las definiciones grados y radianes es fácil deducir que:

π = 180 0 ,

π

2

= 90 0 , 2π = 360 0 etc. (Se puede escribir indistintamente 2π ó 2π

rad)

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Para convertir grados a radianes basta multiplicar el valor del ángulo en grados por el factor de conversión, π / 180 0 Para convertir radianes a grados, el factor de conversión es: 1800 / π Formula para la longitud de un arco de círculo:

Si, un arco de longitud S , en círculo de radio r , subtiende un ángulo central de θ radianes, entonces: S = r.θ

Formula para el área de un sector circular: Si θ es la medida en radianes de un ángulo central de círculo de radio r ; y A es el área del sector circular determinado por θ , entonces: A=

1 2 rθ 2

E J E R C I C I OS P R O P U E S T O S 1. Convierte de grados a radianes. Deja las respuestas en términos de π a) 45º

b) 60º

c) 75º

d) 300º

e) 345º

f) 150º

2. Convierte de grados a radianes; redondee el resultado a 2 cifras decimales. a) 10º

b) 100º

c) 220º

d) 340º

e) 240º

f) 25º

3. Convierte de radianes a grados. a) π / 3 .

b) 5π / 9 .

c) π / 12 .

70

d) 11π / 36

e) 5π / 3 f) 5π / 6

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4. Convierte de radianes a grados, redondee el resultado a décimas de grado. a) π / 15 .

b) 1 . 2

c) 3.

d) 6.

e) 1 / 8

5. Resuelva las partes indicadas. S , r , θ ( θ en radianes)

6. Un círculo tiene un radio de 12 cm. Determine el área de un sector de este círculo para el ángulo central dado. a) 30º

b) 90º

c) 135º

d) 225º

e) 315º

7. Determine el área de un sector circular con radio igual a 6 pies y ángulo de 270º. 8. Un vaso desechable tiene forma de cono circular recto y esta hecho a partir de un sector circular de 8 pulgadas de radio y un ángulo central de 270º. Determine el área de la superficie del vaso, redondeando a décimas de pulgadas cuadrada.

8

8 270

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8

8

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Funciones trigonométricas de un ángulo en posición ordinaria Sea θ un ángulo en posición ordinaria y p ( x, y ) , un punto cualquiera en su lado final, se definen las siguientes razones o funciones trigonométricas: ordenada radio abcisa Coseno de θ = radio ordenada Tangente de θ = abcisa radio Secante de θ = abcisa radio Cosecante de θ = ordenada abcisa Cotangente de θ = ordenada

Seno de θ =

Estas razones trigonométricas las abreviamos así: y r

Sen θ = sec θ =

r x

x r r csc θ = y

cos θ =

y x x cot θ = y

tan θ =

Además, por el teorema de Pitágoras se tiene: r 2 = x2 + y2

Ejemplo: Hallar todas las funciones trigonométricas de un ángulo en posición estándar si un punto en su lado final es (−15,8) Solución: Dado que (−15,8) , es un punto de lado final x = −15 , y = 8 y r , se calcula por Pitágoras así: r = x 2 + y 2 = (−15) 2 + 8 2 = 289 = 17

Luego: y 8 = r 17 y 8 tan θ = = x 15 r 17 csc θ = = y 8

seno θ =

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x 15 = r 17 x 15 cot θ = = y 8 r 17 sec θ = = x 15

cos θ =

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Ejemplo: hallar valores de funciones trigonométricas del ángulo θ =

3π 2

3π , o sea θ = 270º , luego al colocar a θ en posición estándar, el 2 lado terminal de θ coincide con el eje negativo de las y .

Solución: θ =

Para aplicar la definición de las funciones trigonométricas, se puede escoger cualquier punto p del lado terminal de θ . Para mayor sencillez, se usa p (0,−1) . En este caso, x = 0 , y = −1 , r = 1 por lo tanto sen

csc

3π − 1 = = −1 2 1

3π 1 = = −1 2 −1

cos

3π 0 = =0 2 1

cot

3π 0 = =0 2 −1

Las funciones tangente y secante no están definidas, puesto que tan θ = −1 / 0 y secθ = 1 / 0 , y la división entre cero (0), no está definida. Funciones trigonométricas de un ángulo agudo en un triángulo rectángulo: Si θ es el ángulo de la figura, llamaremos a los lados del triangulo de la siguiente manera:

a es el cateto adyacente ( ady ) b es el cateto opuesto ( op ) c es la hipotenusa ( hip )

Se emplean la abreviaturas ady , op e hip para representar las longitudes de los lados. Si ubicamos al ángulo θ , en posición ordinaria tendríamos que x = a, y = b, c = r Por tanto: senθ =

b op = c hip

cosθ =

a ady = c hip

cscθ =

c hip = b op

cot θ =

a ady = , además por Pitágoras c 2 = a 2 + b 2 b op

tan θ =

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b op = a ady

secθ =

c hip = a ady

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Las fórmulas de la definición anterior se pueden aplicar a cualquier triangulo rectángulo sin aplicar las literales a, b, c a los lados. Ejemplo: Si θ es un ángulo agudo y cos θ = funciones trigonométricas de θ .

3 encuentra los valores de las demás 4'

Solución: Trazamos un triángulo rectángulo que tenga un ángulo agudo θ con ady = 3 e hip = 4 , como se muestra en la figura. Buscaremos el valor del cateto opuesto aplicando el teorema de Pitágoras 3 2 + (op ) 2 = 4 2

teorema de Pitágoras

(op ) 2 = 16 − 9 = 7

despejamos ( op ) 2

op = 7

Al aplicar las definiciones de las funciones trigonométricas para un ángulo agudo de un triangulo rectángulo, obtenemos lo siguiente: op = hip hip csc θ = = op

senθ =

7 4 4 7

ady 3 = hip 4 hip 4 secθ = = ady 3 cos θ =

op 7 = ady 3 ady 3 cot θ = = op 7 tan θ =

Si racionalizamos los denominadores para cscθ y cot θ , nos quedaría: cscθ =

4 7 3 7 y cot θ = . 7 7

Ejemplo: Un topógrafo observa que desde un punto A, ubicado a nivel del suelo a una distancia de 25 metros de una base B de el asta de una bandera, el ángulo entre el suelo y la parte superior del asta es de 30º. Aproxima la altura h del poste al décimo de metro mas cercano. Solución: Necesitamos aplicar una función trigonométrica que me relacione, el lado conocido (adyacente de 30º), con el desconocido(altura h de la bandera) Esto sugiere que usar tan θ o cot θ . Por lo tanto, tenemos: tan 30º =

h ,o sea h = 25 * tan 30 o , 25

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h ≈ 25(0.86) ≈ 14,4 mts

EJERCICIOS PROPUESTOS 1. Desde la parte superior de un faro, a 120 pies sobre el nivel del mar, el ángulo de depresión (el ángulo hacia abajo desde la horizontal) en dirección hacia un barco a la deriva en el mar es de 9,4º (ver figura ) ¿ a qué distancia esta el barco de la base del faro?

2. Encuentra x en la figura siguiente

3. Cuando el ángulo de elevación (el ángulo hacia arriba desde la horizontal) del sol es de 28º en Paris, la torre Eiffel forma una sombra horizontal de 1822 pies de largo.¿qué altura tiene la torre? 4. Desde la ventana de un edificio de oficinas, se ve una torre de televisión que esta a 600m de distancia (horizontalmente). El ángulo de elevación hacia el extremo superior de la torre es de 19.6º y el ángulo de depresión hacia la base de la torre es de 21º. ¿qué altura tiene la torre? 5. Un hexágono regular (seis lados iguales) esta inscrito e un circulo de radio 4, encuéntrese el perímetro P y el área A de este hexágono. 6. Encuéntrese el área de una estrella de David regular de 6 puntas que esta inscrita en un circulo de radio 1, (ver figura)

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LEYES DEL SENO Y COSENO Ley del seno: Si ABC, es un triángulo oblicuángulo cuyos ángulos son A , B, C y sus lados opuestos a, b, c respectivamente, entonces:

senA senB senC = = a b c a b c = = senA senB senC

ó

En forma general: En cualquier triángulo , la razón entre el seno de un ángulo y el lado opuesto es igual la razón entre el seno de otro ángulo y lado opuesto a ese ángulo. La ley de seno es particularmente útil, si se conoce: a) 2 lados y un ángulo opuesto a uno de ellos (LLA) b) 2 ángulo y cualquier lado. Problemas de Aplicación: 1) Se localiza un fuego F desde dos estaciones de prevención de incendios, A y B, las cuales están a 10 millas de distancia. Si la estación B informa que el fuego está en un ángulo ABF= 53° y la estación A l o informa en ángulo BAF= 28°30’, ¿a qué distancia está el fuego de la estaci ón A? ¿de la estación B?. 2) Dos puestos de observación A y B están colocados a lo largo de la costa (separados por 10 millas), para vigilar la llegada ilegal de barcos que rebasen el limite de 3 millas. Si el vigilante A informa que hay un barco S en un ángulo BAS = 37° y el B informa que el mismo barco está e n un ángulo ABS = 20°; ¿A qué distancia del puesto A se encuentra el barco?. ¿A qué distancia de la costa se encuentra el barco (si se supone que la costa es una línea recta a lo largo de los dos puestos de observación)?.

3) Los árboles más grandes del mundo crecen en el Parque Nacional de Redwood en California; estos árboles son más grandes que el largo de un campo de futbol. Encuéntrese la altura de uno de esos árboles, a partir de la información dada en la figura.

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4) Como se muestra en la figura, un teleférico transporta pasarejos desde el punto A, que está a 1.2 millas del punto B que se halla en la base de una montaña, hasta un punto P de la cima. Los ángulos de elevación a P desde A y B son 21° y 65° respectivamente. a) Calcular la distancia entre A y P b) Calcular la altura de la montaña.

Ley del coseno: Si ABC, es un triángulo oblicuángulo cuyos ángulos son A , B, C y sus lados opuestos a, b, c respectivamente, entonces: a 2 = b 2 + c 2 − 2bc. cos A

o también

b 2 = a 2 + c 2 − 2ac. cos B

o también

c 2 = a 2 + b 2 − 2ab. cos C

En forma general: El cuadrado de la longitud de cualquier lado de un triángulo es igual a la suma de los cuadrados de las longitudes de los otros dos lados, menos el doble producto de las longitudes de los mismos lados por el coseno del ángulo entre ellos.

Problemas de Aplicación: 1) Dos lados adyacentes de un paralelogramo forman un ángulo de 35° y tienen una longitud de 3 y 8 centímeros. ¿Cuál es la longitud de la diagonal más corta del paralelogramo? 2) Al mediodía, dos aviones de búsqueda se disponen a salir de San Francisco para rastrear un avión que cayó en el océano. El avión A viaja directamente al oeste a 400 millas /h, y el avión B hacia el noroeste a 500 millas/h . A las 2 PM el avión A encuentra a los sobrevivientes del avión caído y llama por radio al avión B para que acuda y ayude en el rescate . ¿A qué distancia está el avión B del avión A en ese momento?. 3) Encuéntrese el perímetro de un pentágono inscrito en una circunferencia de 12.6 m de radio.

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4) Tres circunferencias de radios 2, 5 y 8 cms son tangentes exteriores entre sí (véase la figura siguiente). Encuéntrese los tres ángulos formados por las rectas que unen sus centros.

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Identidades trigonométricas fundamentales. (1).

sen 2θ + cos 2θ = 1

(2).

1 + tan 2θ = sec 2θ

(3).

1 + cot 2θ = csc 2θ

(4). tan θ = •

cos θ senθ 1 1 (6). senθ = ó csc θ = senθ cscθ 1 1 (7). cos θ = ó secθ = secθ cos θ 1 1 ó cot θ = (8). tan θ = cot θ tan θ

(5). cot θ =

senθ cos θ

Ejercicios de aplicación:

(1). Expresa senθ en términos de cos θ (2). Expresa tan θ en términos de senθ •

Demuestra las siguientes identidades :

(sec θ + tan θ ) ( 1 − senθ ) = cos θ csc θ 3. = cot θ sec θ 5. (1 + cos 2θ )(1 − cos 2θ ) = sen 2 2θ senx cos x 7. + =1 csc x sec x senθ + cos θ 9. = 1 + Tanθ cos θ 11. sec θ − cos θ = tan θ ⋅ senθ 1.

13.

(tan θ + cot θ ) tan θ = sec θ 2

2. 4. 6.

senθ . sec θ = tan θ tan θ + cos θ = sec θ + cot θ senθ cos 2θ (sec 2 θ − 1) = sen 2θ

8. 1 − 2 sen 2 x = 2 cos 2 x − 1 10. 12. 14.

1 sec 2θ (1 − sen 2θ )(1 + tan 2θ ) = 1 (cot θ + tan θ ) = csc θ . sec θ (1 + senθ )(1 − senθ ) =

A continuación se relacionan otras Identidades trigonométricas: Funciones trigonométricas para la suma o resta de ángulos. Identidades de la suma. sen( x + y ) = senx cos y + seny cos x

cos( x + y ) = cos x cos y − senxseny tan x + tan y 1 − tan x tan y Identidades de la resta: tan( x + y ) =

sen( x − y ) = senx cos y − seny cos x

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cos( x − y ) = cos x cos y − senxseny tan x − tan y tan( x − y ) = 1 + tan x tan y

Aplicaciones: (I). Encuentre el valor de las siguientes funciones en la forma radical exacta. (a). tan 15 o (e). cos 105 o

(b). tan 75 o (f). cos

π

(c). sen105 o

(d). sen15 o

12

(II).Encuéntrese los valores exactos de sen( x − y ). dado senx =

−2 5 cos y = ; 3 3

x está en el cuadrante III e y está en el cuadrante IV. (III). Demuestra las siguientes identidades: sen( x − y ) senxseny cos( x + y ) cot x − tan y = senx cos y

cot y − cot x =

tan x − tan y =

sen( x − y ) senx cos y

Utilizando las fórmulas anteriores determine una formula para: Sen 2X , Cos2 X y Tan 2 X ,

Problema: Encuentre el valor exacto sin usar calculadora: 4 Sen 2 X ; Cos 2 X si TanX = − ; X está en el II cuadrante. 3

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