UNIDAD 6 Medidas de tendencia central

UNIDAD 6 MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL

 =

∑  

EJEMPLO 1.

Al estudiar la información estadística de los histogramas y los polígonos de frecuencia, se puso en evidencia un significativo comportamiento de los datos en cuanto la frecuencia con que se presenta los valores: algunos de esto valores son más comunes que otros. Además, se observó una clara agrupación en el vecindario de los valores más frecuentes, haciendo que las curvas representativas adquieran formas de campana. Por lo general, la mayor frecuencia está en la parte central de las gráficas, de aquí deriva el nombre de medidas de tendencia central que se da a la media, la mediana y la moda.

 =

Parámetros y estadísticos. En estadística cualquier característica cuantificable de una población se denomina parámetro y la simbolizamos con letras griegas. Los valores o resultados obtenidos de operar con los datos resultantes de una muestra se denominan estadísticos, se acostumbra designar los estadísticos mediante letras minúsculas.

EJEMPLO 2.

6.1 MEDIA ARITMÉTICA (
=  )

La media aritmética, de cierto número de cantidades es la suma de sus valores dividido por su número.

   ó

El precio del gramo de oro registrado en una semana fue: $468, 452, 448, 470, 476, 476; hallar el valor promedio o media aritmética.  =

∑  

468 + 452 + 448 + 470 + 476 + 476 6

 = 465

La media reparte entre todos los elementos la suma total de los valores observados, adjudicando a cada uno de ellos exactamente el mismo valor, o sea, el valor promedio. Si se reconoce la media y el número N de elementos u observaciones, para calcular el valor total se multiplica la media por N.

El salario promedio de los 30 trabajadores de una planta industrial es de $6435 quincenales. Hallar el monto de la nomina de la quincena. (

'  =  = 30,6435- = 193,050 )*

Designado por:

EJEMPLO 3.

N = Número de observaciones

Suponga que se tiene una población constituida por 2000 cajas y deseamos examinarlas, con el fin de determinar el número de piezas o elementos defectuosos que contiene cada caja. Por diferentes razones, se desea que la investigación no sea exhaustiva, es decir, no examinar la totalidad de las 2000 cajas, sino que se seleccionarán 20 cajas. Los resultados obtenidos en esta encuesta se anotan a continuación:

x = Valor de cada observación

̅ =    é ,     

 Media aritmética simple: se trabaja con datos sin agrupar, siendo ̅ =

∑  

    y

x1=3

x2=2

x3=0

x4=2

x5=3

x6=3

x7=1

x8=1

x9=0

x10=1 x11=3 x12=3

x13=4 x14=4 x15=3 x16=2 x17=4 x18=2 x19=4 x20=2

Distribución de frecuencia acumulada

∑  3 + 2 + 0 + ⋯ + 2 ̅ = = = 2,35  .  20 Media en una distribución de frecuencia agrupada. En una distribución de frecuencias agrupadas, la media aritmética se determina como: ̅ =

∑   

xi

ni

ni xi

122.5 – 128 128.5 – 134 134.5 – 140 140.5 – 146 146.5 – 152 152.5 – 158 158.5 – 164 TOTAL

126 131 136 141 146 151 156

1 4 18 36 26 18 5 108

126 524 2448 5076 3796 2718 780 15468

∑   15468 = = 143,22   108

Los estudiantes tienen en promedio 143,2 cm de estatura.

En el ejemplo de las 20 cajas, con el fin de determinar el promedio de unidades defectuosas por caja agrupándolas en una tabla sería:

̅ =

x’i-1 – x’i

̅ =

EJEMPLO 4.

xi

ni

ni xi

0

2

0

1

3

3

2

5

10

3

6

18

4

4

16

20

47

Σ

Como ejemplo tomemos el ejercicio 1, del capítulo anterior, referente a las estaturas de los estudiantes del profesor de educación física:

∑   47 = = 2,35  . 3  20

EJEMPLO 5. Para el cálculo de la media aritmética de variables continuas, se obtiene en primer lugar las marcas de clase y luego se trabaja de igual forma que para el cálculo de la media en la variable discreta.

Medidas de tendencia central

Desviaciones: son las diferencias que se presentan entre los valores de la variable y un punto fijo, que puede ser la media aritmética o un origen de trabajo. Por efectos prácticos sólo consideraremos desviaciones respecto a la media, la cual se simboliza: 4 =  − ̅

EJEMPLO 5. En el ejemplo de las 20 cajas, con el fin de determinar las desviaciones respecto a la media de las unidades defectuosas por caja sería: xi

ni

0 1 2 3 4

2 3 5 6 4 20

Σ

4

-2,3 -1,3 -0,3 0,7 1,7 -

 4

-4,70 -4,05 -1,75 3,9 6,6 0,00

39

40

EJEMPLO 6. Las desviaciones del ejemplo 5, referente a las estaturas de los estudiantes del profesor de educación física tendríamos: xi

ni

122.5 – 128 128.5 – 134 134.5 – 140 140.5 – 146 146.5 – 152 152.5 – 158 158.5 – 164

126 131 136 141 146 151 156

1 4 18 36 26 18 5

Σ

zi

-17,22 -12,22 -7,22 -2,22 2,78 7,78 12,78 108

-

EJEMPLO 8. Si los datos analizados son:

Distribución de frecuencia acumulada

x’i-1 – x’i

decir, el valor resultante de la suma de las dos observaciones centrales dividido por 2.

n i zi -17,2 -48,9 -130,0 -80,0 72,2 140,0 63,9 0,00

Nota: La suma de las desviaciones respecto a la media serán siempre igual a cero 6.2 LA MEDIANA (67 ) La mediana es considerada como una medida de tendencia central, su importancia es menor que la dada a la media aritmética. Calculo en datos no agrupados. Número impar de observaciones: Si tomamos los datos originales para calcular la mediana, lo primero que se debe hacer es ordenarlos de menor a mayor EJEMPLO 7.

x1=8 x2=16 x3=4

x4=2

x5=20

x6=3

Los ordenamos de menor a mayor: 2

3

8 =

4 8 16 ↓ ↓

4+8 =6 2

20

Cálculo para datos agrupados. Siga los siguientes pasos: - Obtenga las frecuencias absolutas acumuladas - Busque la mitad de las observaciones haciendo ⁄2 - Localice el resultado anterior en la columna de las frecuencias absolutas acumuladas. Si no aparece se toma el valor inmediatamente anterior y se simboliza como ;