C u r s o : Matemática Material N° 13

GUÍA TEÓRICO PRÁCTICA Nº 11 UNIDAD: GEOMETRÍA POLÍGONOS – CUADRILÁTEROS

POLÍGONOS DEFINICIÓN: Un polígono es una figura plana, cerrada, limitada por trazos llamados lados y que se intersectan sólo en sus puntos extremos (no se cruzan). NOMBRE DE POLÍGONOS TRIÁNGULOS CUADRILÁTERO PENTÁGONO HEXÁGONO HEPTÁGONO OCTÓGONO

3 LADOS 4 LADOS 5 LADOS 6 LADOS 7 LADOS 8 LADOS

PROPIEDADES DE POLÍGONOS DE n LADOS: Suma de los ángulos interiores = 180º ⋅ (n - 2)

Diagonales desde un vértice = n - 3 n(n − 3) Total de diagonales = 2

Suma de los ángulos exteriores = 360º

EJEMPLOS

1.

¿Cuánto suman las medidas de los ángulos interiores de un polígono de 7 lados? A) B) C) D) E)

2.

1.260º 1.080º 900º 720º 360º

¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)? I) II) III) A) B) C) D) E)

Un polígono cuyos ángulos interiores suman 720º tiene 6 lados. Desde un vértice de un octógono se pueden trazar 6 diagonales. Los ángulos exteriores de un polígono de 17 lados suman 360º.

Sólo I Sólo II Sólo III Sólo I y III I, II y III

1

POLÍGONO REGULAR

DEFINICIÓN: Es aquel que tiene sus lados y sus ángulo respectivamente congruentes. En caso contrario se dice que es irregular.

α

a

a

a α

α a

α′ =

a

a

360° n

a a

a

α α’ a Pentágono regular

a

a a

a

a

α

a

a Hexágono regular

EJEMPLOS

1.

¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)? I) II) III) A) B) C) D) E)

2.

Existe un polígono regular tal que la suma de sus ángulos interiores es 540º. Existe un polígono regular donde cada ángulo exterior mide 25º. Existe un polígono regular donde cada ángulo interior mide 120º.

Sólo I Sólo III Sólo I y II Sólo I y III I, II y III

En el hexágono regular de la figura 1, se trazaron las diagonales AB y CD , ¿cuánto mide el ángulo x? B A) B) C) D) E)

30º 45º 60º 90º 120º

x

C

A

2

fig. 1 D

CUADRILÁTERO DEFINICIÓN

Cuadrilátero es cualquier polígono de 4 lados. CLASIFICACIÓN

Los cuadriláteros se clasifican en: PARALELOGRAMOS, TRAPECIOS Y TRAPEZOIDES. PROPIEDADES Å Å

La suma de los ángulos interiores es 360º. La suma de los ángulos exteriores es 360º.

EJEMPLOS

1.

En el cuadrilátero ABCD de la figura 1, AB = BC y AD = BD = CD . Si (BDC= 40º, entonces (BAD =

A) B) C) D) E)

D

35º 40º 70º 90º 140º

C fig. 1 A

2.

B

En el cuadrilátero ABCD de la figura 2, ¿cuánto mide el ángulo exterior CBE? A) B) C) D) E)

D 4α

36º 72º 108º 126º 144º

α

C

fig. 2 2α A

3

3α B

E

PARALELOGRAMO

Paralelogramo es aquel cuadrilátero que tiene dos pares de lados opuestos paralelos.

DEFINICIÓN:

CLASIFICACIÓN Y PROPIEDADES CUADRADO

ROMBO

RECTÁNGULO

a

NOMBRE

45º

45º

45º

45º

a PROPIEDADES

a

a 45º 45º

a

Lados opuestos congruentes Ángulos opuestos congruentes Las diagonales se dimidian Ángulos contiguos suplementarios Diagonales perpendiculares Diagonales bisectrices Diagonales congruentes

a a

α α

α α α

a

45º

ββ

45º

ββ

ROMBOIDE

a

β

β

a α

b

b α

β

β

a

α

b

b

α

β

a

3

3

3

3

3

3

3

3

3

3

3

3

3

3

3

3

3

3

3

3

3

α

β

3

EJEMPLOS 1.

¿Cuál de los siguientes cuadriláteros es un paralelogramo? A)

B) 130º 50º

2.

C) 50º

50º 130º

50º

130º

E)

D)

130º

130º 130º

130º 50º

130º

50º

50º

En la figura 1, los puntos B y C del cuadrado ABCD pertenecen, respectivamente, a los lados EF y HG del cuadrado EFGH. Si (CBF = 70º, entonces (ACH =

A) B) C) D) E)

D

15º 20º 22,5º 25º 30º

C

G fig. 1

H 70º

A 4

E

B

F

3.

En el rectángulo ABCD de la figura 2, EB = BC y (ECA = 10º. ¿Cuánto mide el ángulo BMA? D A) B) C) D) E)

C

130º 110º 100º 70º 55º

M

A 4.

fig. 2

E

B

En la figura 3, DEFG es un rombo. ¿Cuánto mide el ángulo x? A) B) C) D) E)

G

22,5º 67,5º 90º 112,5º 122,5º

F fig. 3 3x

x

D 5.

¿Cuál(es) de las siguientes proposiciones es(son) necesariamente verdadera(s) en un paralelogramo ABCD de diagonales AC y BD ? I)

A) B) C) D) E)

6.

E

Si AC ⊥ BD y AC ≠ BD , entonces ABCD es un rombo.

II)

Si AC ⊥ BD y AB = BC , entonces ABCD es un cuadrado.

III)

Si AC ≠ BD y AB ≠ BC , entonces ABCD es un romboide.

Sólo I Sólo II Sólo I y II Sólo I y III I, II y III

En la figura 4, ABCD es rectángulo, AC y BD son diagonales. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)? I) II) III) A) B) C) D) E)

Sólo Sólo Sólo Sólo Sólo

∆AED ≅ ∆CEB ∆AEB ≅ ∆CEB ∆ACD ≅ ∆BDC

D

C E

I II I y II II y III I y III

A

5

fig. 4 B

TRAPECIO

Trapecio es aquel cuadrilátero llamados bases.

DEFINICIÓN:

D δ

α A

C γ

que tiene sólo un par de lados paralelos, D δ

α + δ = 180º β + γ = 180º β

AB // CD

α A

B

Trapecio Escaleno

C γ

                                                      β B

AB // CD

Trapecio Isósceles

PROPIEDADES:

En todos los trapecios, los ángulos colaterales internos entre las bases ( AB y C D ) son suplementarios. TRAPECIO ISÓSCELES PROPIEDADES:

Å Å Å

Además de las propiedades generales de los trapecios, los isósceles tienen las siguientes propiedades: D C β

Diagonales congruentes. Ángulos basales congruentes. Ángulos opuestos suplementarios.

β

α B

α α A

EJEMPLOS

1.

En el trapecio ABCD de la figura 1, AB // CD

y

AD = DC . Si el (ADC = 100º,

entonces el (DAB mide D A) B) C) D) E) 2.

40º 50º 60º 80º 100º

En el trapecio ABCD de la figura 2,

C fig. 1 B

A

AD = DC = CB , AB // CD y (ABC = 76º. ¿Cuánto

mide el (DCA? D A) B) C) D) E)

38º 66º 76º 104º 142º

C fig. 2

A

6

B

TRAPEZOIDE DEFINICIÓN:

Trapezoide es aquel cuadrilátero que no tiene par de lados paralelos.

CLASIFICACIÓN:

Los trapezoides se clasifican en asimétricos y simétricos. C D C

A

B

D

AB ≅ AD y CD ≅ CB

B

TRAPEZOIDE ASIMÉTRICO

A TRAPEZOIDE SIMÉTRICO (DELTOIDE)

PROPIEDADES DEL DELTOIDE Å

Diagonales perpendiculares.

Å

Una diagonal es bisectriz.

Å

La diagonal que es bisectriz, es a su vez, simetral de la otra diagonal.

a

a

a≠b b

b

EJEMPLOS

1.

En la figura 1,

DEFG

es

un

deltoide

con GD = DE y GF = EF . Si (DEF = 130º

y

(GDE = 20º, entonces el ángulo FGE mide F A) B) C) D) E)

80º 75º 65º 55º 50º

G

E

fig. 1

D 2.

En el deltoide ABCD de la figura 2, DC = BC y DA = BA . Si (BCA = 25º y (ABC = 115º, ¿cuánto mide el ángulo DAC? A) B) C) D) E)

C

25º 32,5º 40º 65º 80º

B

D

A 7

fig. 2

EJERCICIOS

1.

En todo paralelogramo siempre se cumple que A) B) C) D) E)

2.

las los los las los

diagonales son congruentes ángulos opuestos son suplementarios ángulos consecutivos son suplementarios diagonales son bisectrices lados consecutivos son congruentes

La figura 1, está formada por un rectángulo ABCD, un triángulo equilátero ABE y un triángulo rectángulo isósceles, ¿cuál es el valor de la diferencia entre el (FBE y el

(DAE, respectivamente? D A) B) C) D) E)

165º 150º 45º 30º 15º

C

F

B

A

fig. 1 E

3.

¿Cuántos lados tiene un polígono regular cuyo ángulo exterior mide 60º? A) B) C) D) E)

4.

3 4 5 6 7

¿En cuál(es) de los siguientes paralelogramos, al trazar sus diagonales, se forman cuatro triángulos congruentes? I) II) III)

Rombo. Rectángulo. Romboide.

Es(son) verdadera(s) A) B) C) D) E)

Sólo I Sólo II Sólo III Sólo I y II I, II y III

8

5.

ABCD es un cuadrado de lado 12 cm y EFGH es un cuadrilátero inscrito en el cuadrado de la figura 2. Entonces, el ∆AEH ≅ ∆CFG por el criterio A) B) C) D) E)

D4G

LLL AAA ALA LLA LAL

F

H

E

B

7

En el trapecio ABCD de bases AB y CD de la figura 3, las bisectrices EC y ED de los ángulos en C y en D, respectivamente, forman un ángulo x que mide A) B) C) D) E)

D

124º 118º 62º 56º faltan datos

C x

fig. 3

E 82º

42º

A

7.

B

En la figura 4, el cuadrado ABCD está formado por 9 cuadrados congruentes, ¿cuál de las siguientes alternativas es falsa? A) B) C) D) E)

R

D

∆SRD ≅ ∆PSA ∆CQR ≅ ∆BPQ ∆PUS ≅ ∆RTQ PQRS cuadrado ∆TQR ≅ ∆SDR

C

U

fig. 4

S Q T A

8.

fig. 2

7

A

6.

C

4

P

B

En la figura 5, ABCD es rombo y (DAB = 40º, ¿cuál es el valor del (x?

A) B) C) D) E)

D

110º 100º 90º 80º 70º

C x fig. 5

A

9

B

9.

¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)? I) II) III) A) B) C) D) E)

10.

Existe un polígono regular cuya suma de ángulos interiores es 1080º. El total de diagonales que se pueden trazar en un pentágono son 5. Un pentágono regular tiene sus ángulos interiores de 108º.

Sólo I Sólo II Sólo III Sólo I y II I, II y III

En el triángulo ABC de la figura 6, ADEF es un rombo, AF = FC y ABEF es un trapecio isósceles. ¿Cuál es la medida del (x? C

11.

A) B) C) D) E)

90º 60º 50º 40º No se puede calcular

En

la

x F

E

A

D

B

figura 7, ABCD es un rectángulo y el triángulo AEF es equilátero. Si 2 (BCA = (CDA, entonces el suplemento del ángulo AGF es 3 D A) B) C) D) E)

F

C

0º 30º 45º 60º 90º

fig. 7

G

A 12.

fig. 6

E

B

En la figura 8, ABCD es un rombo. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)? I) II) III) A) B) C) D) E)

α=γ α+γ=β α + γ = 90º

D

C

γ β

Sólo I Sólo I y II Sólo I y III Sólo II y III I, II y III

fig. 8

α A

10

B

13.

En la figura 9,

DEFG es un cuadrilátero con GD = DE y GF = EF . Si (DEF = 130º y

(GDE = 20º, entonces el ángulo FGE mide

F fig. 9

A) B) C) D) E)

80º 75º 65º 55º 50º

G

E

D 14.

En el hexágono regular de la figura 10, ¿cuál es el valor del ángulo α? A) B) C) D) E)

15.

30º 45º 50º 60º No se puede calcular

fig. 10

α

En el cuadrado ABCD (fig. 11). EF // AB y siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)? I)

DE = DG .

(CGE = 3(DEG

III)

(EFC = 2(EGD

G

D

(DEG = (GEF

II)

Entonces, ¿cuál(es) de las C

fig. 11 A) B) C) D) E)

16.

F

E

Sólo III Sólo I y II Sólo I y III Sólo II y III I, II y III

A

B

ABCDE es un pentágono regular (fig. 12), AD, BD y EC son diagonales. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)? I) II) III) A) B) C) D) E)

D

∆ADE ≅ ∆BDC ∆FGD ≅ ∆DCG ∆ECD ≅ ∆ADE

E

Sólo I Sólo I y II Sólo I y III Sólo II y III I, II y III

C

F G

fig. 12 A

11

B

17.

El pentágono de la figura 13, es regular. Si α = 72º, entonces ¿cuánto mide el ángulo β? A) B) C) D) E)

18.

108º 72º 60º 54º 36º

β fig. 13

α

Si en el trapecio ABCD de la figura 14, AB // CD ,

AD = DC = CB y (CDA = 100º,

entonces el ángulo x mide C

D A) B) C) D) E)

19.

x A

B

En el triángulo ABC de la figura 15, AC // MN , NO // BC siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)? I) II) III) A) B) C) D) E)

20.

fig. 14

20º 22,5º 30º 40º faltan datos para determinarlo

y

BPON paralelogramo. MCON paralelogramo. ∆BMN ≅ ∆PCO

OP // AB . ¿Cuál(es) de las

A fig. 15 N

O R

Sólo I Sólo I y II Sólo I y III Sólo II y III I, II y III

B

P

M

C

En el romboide ABCD de la figura 16, BG es bisectriz del (ABC y EF // BC . ¿Cuál es la medida del (BHE? D A) B) C) D) E)

G

C

F

100º

100º 80º 50º 30º 20º

H A

12

E

fig. 16 B

21.

En el cuadrilátero ABCD de la figura 17,

AB = AD . (DAB = 50º, (CDA = 150º y

bisectriz de los ángulos en A y en C. Entonces, (x =

A) B) C) D) E)

AC

C D

85º 75º 65º 55º 45º

fig. 17 x B A

22.

En la figura 18, el vértice A del cuadrado ABCD pertenece al lado EF del cuadrado EFGD. Si DB es diagonal del cuadrado ABCD y (EAD = 50º, entonces (x =

A) B) C) D) E)

D

40º 45º 50º 75º 85º

C G fig. 18

x 50º

E

B

A F 23.

La figura 19, formada por un hexágono regular y un triángulo. ¿Cuál de las afirmaciones siguientes es falsa? C A) B) C) D) E)

fig. 19

∆EDC equilátero EGHA rombo ABFG rectángulo ABDE trapecio isósceles ABDH romboide

G

F D

E H A

24.

B

La figura 20, está formada por 4 rombos congruentes de lados 5 cm. ¿Cuál(es) de las afirmaciones siguientes es(son) verdadera(s)? I) II) III) A) B) C) D) E)

(IKJ = 40º

F

∆HEK ≅ ∆IAK (IKA= 80º

H

D

Sólo I Sólo I y II Sólo I y III Sólo II y III I, II y III

A

13

G

K J

I

E

110º

C

B

fig. 20

25.

En la figura 21, ∆PTR ≅ ∆SVQ. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)? I) II) III) A) B) C) D) E)

26.

27.

28.

S

SV // TP Cuadrilátero TPVS es un paralelogramo. ∆TRS ≅ ∆VQP

70º

T

Sólo I Sólo II Sólo I y II Sólo II y III I, II y III

R

20º

50º

50º

10º

V

Q fig. 21

70º

P

En la figura 22, ABCD es un rectángulo, OT // BC y AD = DT . Entonces, (BTA = 90º si: (1)

OT = OA

(2)

DT = TC

A) B) C) D) E)

(1) por sí sola (2) por sí sola Ambas juntas, (1) y (2) Cada una por si sola, (1) ó (2) Se requiere información adicional

D

T

C fig. 22 B

O

A

El ∆ABC de la figura 23, es isósceles de base AB y ABED es paralelogramo. El ∆DFC es congruente con el ∆EFB si: (1)

F punto medio de DE .

(2)

F punto medio de BC .

A) B) C) D) E)

(1) por sí sola (2) por sí sola Ambas juntas, (1) y (2) Cada una por si sola, (1) ó (2) Se requiere información adicional

C

D

A

fig. 23 F

E

B

El la figura 24, ABCD es un cuadrado y BD es diagonal. Se puede determinar la medida del (DFC si: (1)

(CEB = 40º

(2)

∆BCE isósceles de base BC .

A) B) C) D) E)

(1) por sí sola (2) por sí sola Ambas juntas, (1) y (2) Cada una por si sola, (1) ó (2) Se requiere información adicional

C

D F

E

A

14

fig. 24

B

29.

En la figura 25, se puede determinar la medida del ángulo x si se sabe que: (1)

PQRS y PMNT son cuadrados.

(2)

(PMN = (NTP = 90º

A) B) C) D) E)

(1) por sí sola (2) por sí sola Ambas juntas, (1) y (2) Cada una por si sola, (1) ó (2) Se requiere información adicional

R

S T

fig. 25 x Q

P

N

M 30.

El paralelogramo ABCD de la figura 26, (1)

AC ⊥ DB

(2)

AC ≠ DB

A) B) C) D) E)

(1) por sí sola (2) por sí sola Ambas juntas, (1) y (2) Cada una por sí sola, (1) ó (2) Se requiere información adicional

es un rombo si: D

C

fig. 26 A

B

RESPUESTAS

Ejemplos

CLAVES PÁG. 8 1

2

1

C

D

2

D

E

3

C

B

4y5

A

D

6

D

A

7

E

C

Págs.

3

4

5

6

B

A

D

E

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.

C E D A E C E A

9. E 10. B

11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18.

E D E D E C E D

19. E 20. C

21. 22. 23. 24. 25. 26. 27. 28.

A E E B A B D C

29. A 30. C

DOMA13

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