C u r s o : Matemática Material N° 13 GUÍA TEÓRICO PRÁCTICA Nº 11

UNIDAD: GEOMETRÍA POLÍGONOS – CUADRILÁTEROS POLÍGONOS DEFINICIÓN: Un polígono es una figura plana, cerrada, limitada por trazos llamados lados y que se intersectan sólo en sus puntos extremos (no se cruzan). NOMBRE DE POLÍGONOS TRIÁNGULOS CUADRILÁTERO PENTÁGONO HEXÁGONO HEPTÁGONO OCTÓGONO

.

3 LADOS 4 LADOS 5 LADOS 6 LADOS 7 LADOS 8 LADOS

PROPIEDADES DE POLÍGONOS DE n LADOS: Suma de los ángulos interiores = 180º · (n – 2) Suma de los ángulos exteriores = 360º

Diagonales desde un vértice = n – 3 n(n − 3) Total de diagonales = 2

EJEMPLOS

1.

¿Cuánto suman las medidas de los ángulos interiores de un polígono de 8 lados?

A) 1.440º B) 1.080º C) 720º 540º D) E) 360º

2.

¿Cuántos lados tiene un polígono, cuyos ángulos interiores suman 900º?

A) B) C) D) E)

4 5 6 7 8

3.

El número de diagonales que se pueden trazar en un pentágono desde un vértice es A) B) C) D) E)

4.

¿En cuál de los siguientes polígonos, la suma de los ángulos interiores es igual a la suma de los ángulos exteriores?

A) B) C) D) E)

5.

2 3 4 5 6

Cuadrilátero Pentágono Hexágono Triángulo Ninguno de los anteriores

El número total de diagonales de un octógono es

A) 4 B) 7 C) 9 D) 14 E) 20

6.

La razón entre las medidas de los ángulos interiores y exteriores de un cierto polígono es 3 : 2, ¿cuántas diagonales tiene dicho polígono?

A) B) C) D) E)

7.

2 3 4

5 6

¿Cuál es el número de lados de un polígono, si de cada uno de sus vértices se puede trazar 12 diagonales?

A) B) C) D) E)

9 10 12 14 15

2

POLÍGONO REGULAR DEFINICIÓN: Es aquel que tiene sus lados y sus ángulos respectivamente congruentes. En caso contrario se dice que es irregular.

α

a

α=

a

180º (n − 2) n

a a

a

a

a

α

α

a

a

a α

α α’ a Pentágono regular

360° α′ = n

a

a a

a

a

a Hexágono regular

EJEMPLOS

1.

¿Cuánto mide el suplemento de un ángulo interior de un pentágono regular? A) 18º B) 72º C) 108º D) 124º E) 136º

2.

¿Cuál (es) de las siguientes afirmaciones, es (son) siempre verdadera(s)? I) II) III)

A) B) C) D) E)

3.

Sólo Sólo Sólo Sólo Sólo

Si en un polígono sus ángulos exteriores suman 360º, entonces se sabe que el polígono es un cuadrilátero. Si un polígono tiene todos sus lados iguales, entonces dicho polígono es regular. Si en un polígono regular se trazan todas las diagonales posibles desde un vértice, los ángulos formados en dicho vértice son iguales entre sí.

I II III I y III II y III

¿Cuántos lados tiene un polígono regular cuyos ángulos interiores miden 135º?

A) B) C) D) E)

4 5 6 7 8

3

4.

Si la suma de los ángulos interiores de un polígono es 900º, ¿cuántas diagonales se pueden trazar en dicho polígono?

A) 4 B) 5 C) 14 D) 18 E) 28

5.

El hexágono de la figura 1 es regular, ¿cuánto mide el
x?

A) 22,5º B) 45º C) 67,5º D) 90º E) 112,5º

6.

fig. 1

¿Qué polígono es tal que el número de sus diagonales es igual al número de sus lados?

A) B) C) D) E)

7.

x

Octógono Hexágono Pentágono Cuadrado No existe tal polígono

En el pentágono regular de la figura 2, ¿cuál es la medida del
α?

A) B) C) D) E)

36º 54º 60º 72º 75º

α fig. 2

4

CUADRILÁTERO DEFINICIÓN

Cuadrilátero es cualquier polígono de 4 lados.

CLASIFICACIÓN

Los cuadriláteros se clasifican en: PARALELOGRAMOS, TRAPECIOS Y TRAPEZOIDES.

PROPIEDADES


La suma de los ángulos interiores es 360º.




La suma de los ángulos exteriores es 360º.

EJEMPLOS

1.

En el cuadrilátero ABCD de la figura 1, CM y AM son bisectrices de los
DCB y
DAB, respectivamente, entonces el ángulo x mide: D A) 220º B) 140º C) 110º D) 80º E) 20º

C

120º

fig. 1 x M

80º

B A

2.

En el cuadrilátero PQRS de la figura 2,
α = 60º y
β = 100º, entonces el valor de 1 (x + y) = 2

α A) 200º B) 160º C) 100º D) 90º E) 80º

x P

5

S R y

fig. 2

β Q

3.

Los ángulos interiores de un cuadrilátero son entre sí como 3 : 4 : 5 : 6 . El mayor de sus ángulos interiores mide

A) 85º B) 90º C) 100º D) 120º E) 125º

4.

En la figura 3, el ∆ABD es isósceles de base

AB . Si ABCD es un rombo y DE ⊥ CE entonces α mide

E A) B) C) D) E)

30º 45º 60º 75º 80º

α

D

C

fig. 3 A 5.

B

Si en el cuadrilátero de la figura 4, α + β = γ, entonces
γ es igual a

A) 30º B) 50º C) 55º D) 70º E) 105º

α

γ fig. 4 150º

β

6.

Si en la figura 5, L1, L2, L3 y L4 son rectas, entonces ¿cuánto mide el ángulo x?

A) 30º B) 40º C) 50º D) 80º E) 100º

L1

x 100º 50º

fig. 5 80º

L2

6

L4 L3

PARALELOGRAMO

Paralelogramo es aquel cuadrilátero que tiene dos pares de lados opuestos paralelos.

DEFINICIÓN:

CLASIFICACIÓN Y PROPIEDADES CUADRADO

ROMBO

RECTÁNGULO

a NOMBRE

a

45º

45º

45º

a 45º

a

α α

α α α

a

45º

45º

ββ

a

45º

a PROPIEDADES

β

a α

β

β

α

α

β

b

b α

a

ββ

45º

β

b

b

α

β

a

a

a

Lados opuestos congruentes Ángulos opuestos congruentes Las diagonales se dimidian Ángulos contiguos suplementarios Diagonales perpendiculares Diagonales bisectrices Diagonales congruentes

ROMBOIDE













































EJEMPLOS 1.

¿Cuál de los siguientes cuadriláteros es un paralelogramo?

A)

B)

50º

2.

C) 50º

130º

130º

50º

D) 50º

130º

130º

E) 130º

130º

130º

130º

50º

50º

¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)? I) II) III) A) B) C) D) E)

Sólo Sólo Sólo Sólo Sólo

Todo paralelogramo tiene congruentes sus lados opuestos. Todo paralelogramo tiene congruentes sus ángulos opuestos. Dos ángulos contiguos de un paralelogramo son complementarios.

I II III I y II I y III 7

50º

3.

En la figura 1, L1 // L2. ¿Cuál (es) de las siguientes proposiciones es (son) siempre verdadera(s)? I) II) III) A) B) C) D) E)

ACDF es un paralelogramo Si α = 90º entonces BCDE es un rectángulo Si AB = BE y
α = 90º, entonces ABEF es un cuadrado.

Sólo I Sólo III Sólo I y II Sólo I y III I, II y III

F

E

α

B

C

L2

sus diagonales sean congruentes. sus diagonales sean bisectrices. sus diagonales se dimidien. sus diagonales sean perpendiculares. tengan un par de lados paralelos.

¿Cuál(es) de las siguientes proposiciones es (son) necesariamente verdadera(s) en un paralelogramo ABCD de diagonales AC y BD ?

I)

A) B) C) D) E)

6.

L1

Para que un cuadrilátero sea un paralelogramo, se debe cumplir necesariamente que

A) B) C) D) E)

5.

α

fig. 1

A 4.

D

α

Si AC ⊥ BD y AC ≠ BD , entonces ABCD es un rombo.

II)

Si AC ⊥ BD y AB = BC , entonces ABCD es un cuadrado.

III)

Si AC ≠ BD y AB ≠ BC , entonces ABCD es un romboide.

Sólo I Sólo II Sólo I y II Sólo I y III I, II y III

En la figura 2, ABCD es romboide. Si AE ⊥ BD y
CBD = 85º, entonces
DAE es igual a D A) B) C) D) E)

5º 45º 50º 55º 85º

C E fig. 2

A

8

B

TRAPECIO

Trapecio es aquel cuadrilátero llamados bases.

DEFINICIÓN:

D δ

C γ

que tiene sólo un par de lados paralelos, D δ

α + δ = 180º β + γ = 180º β

α A

C γ

β

α A

B AB // CD

B AB // C D

Trapecio Escaleno

Trapecio Isósceles

PROPIEDADES:

En todos los trapecios, los ángulos colaterales internos entre las bases ( AB y CD ) son suplementarios. TRAPECIO ISÓSCELES PROPIEDADES:






Además de las propiedades generales de los trapecios, los isósceles tienen las siguientes propiedades: D C β

β

Diagonales congruentes. Ángulos basales congruentes. Ángulos opuestos suplementarios.

α

α

α A

B

EJEMPLOS

1.

En el trapecio de la figura 1, AB // CD y

BC = CD . Si el
BDC = 35º, entonces el


ABC = D A) B) C) D) E)

2.

180º 140º 110º 100º 70º

C fig. 1

A

B

Si en el trapecio isósceles ABCD de la figura 2, AB // CD y
ADC = 70º, entonces el


ABC mide D A) B) C) D) E)

210º 140º 110º 70º ninguna de las anteriores.

C

fig. 2

A 9

B

3.

Si en la figura 3, ABCD es un cuadrado y EG // AB , ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) siempre verdadera(s)? I) II) III)

D

∆BFC isósceles. FG es altura del ∆BFC. Los trapecios ABFE y DCFE son congruentes.

C

F

E A) B) C) D) E)

4.

G fig. 3

A

B

La mediana de un trapecio mide 20 cm. Si una de las bases es el triple de la otra, entonces la base mayor mide

A) B) C) D) E)

5.

Sólo I Sólo II Sólo III Sólo I y III I, II y III

40 30 15 10 5

cm cm cm cm cm

En el trapecio de la figura 4, AD ≅ DC ≅ BC que

A)

y AB // DC . Entonces, siempre se cumple

D

AC ≅ BD

C

B) AD ≅ AB C) AC ≅ AB D)
A ≅
C

fig. 4

6.

B

A

E)
D ≅
B

En la figura 5, DC // AB . Si AD ≅ BC ≅ DC , ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)? I) II) III) A) B) C) D) E)

∆BDC es isósceles. AC es bisectriz
DAB.

D

∆CAD ≅ ∆DBC

C fig. 5

E

Sólo II Sólo III Sólo I y II Sólo I y III I, II y III

A

10

B

TRAPEZOIDE DEFINICIÓN:

Trapezoide es aquel cuadrilátero que no tiene par de lados paralelos.

CLASIFICACIÓN:

Los trapezoides se clasifican en asimétricos y simétricos. C D C

A

TRAPEZOIDE ASIMÉTRICO

B

D

AB ≅ AD y CD ≅ CB

B A

TRAPEZOIDE SIMÉTRICO (DELTOIDE)

PROPIEDADES DEL DELTOIDE


Diagonales perpendiculares.




Una diagonal es bisectriz.




La diagonal que es bisectriz, es a su vez, simetral de la otra diagonal.

a

a

a≠b b

b

EJEMPLOS

1.

En la figura 1, DEFG es un deltoide con GD = DE y GF = EF . Si
DGF = 109º


FDE = 14º, entonces el ángulo GFE mide

A) 33º B) 57º C) 76º D) 109º E) 114º

y

F

G

E

fig. 1

D 2.

En el deltoide ABCD de la figura 2, DC = BC y DA = BA . Si
ABC = 135º y
DCB = 70º, entonces
CDB +
CAD =

C fig. 2

A) 45º B) 55º C) 65º D) 90º E) 125º

D

B

A 11

3.

En el deltoide ABCD de la figura 3, AB = AD y DC = BC . Si
BAD = 50º y
ADC = 150º, entonces el valor del ángulo x es C A) B) C) D) E)

D

95º 85º 75º 65º 55º

fig. 3 x

A

B 4.

Al unir los puntos medios de los lados de un trapezoide en forma consecutiva se obtiene siempre A) B) C) D) E)

5.

un un un un no

trapezoide. trapecio. paralelogramo. cuadrado. se puede determinar.

En el trapezoide ABCD de la figura 4,
DCB = 120º,
DAB = 60º y entonces la medida de
DBA es C A) 20º B) 40º C) 60º D) 80º E) 120º


CDB = 40º,

α D

B

5α fig. 4 A

6.

Si en la figura 5, ABCD es un deltoide, AD = CD , AF : FD = 1 : 2 y DF = 8. Entonces, AC es igual

D A) B) C) D) E)

fig. 5

8 7 6 5 2 5

A

F

B 12

C

EJERCICIOS

1.

Si en un polígono convexo la suma de sus ángulos interiores es igual a 1.440º, entonces el polígono es un

A) B) C) D) E)

2.

Si la diferencia entre el número total de diagonales y el número de lados de un polígono es tres, entonces el polígono tiene

A) B) C) D) E)

3.

hexágono. octógono. decágono. dodecágono. eneágono.

9 8 7 6 5

lados lados lados lados lados

¿Cuál (es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)? I) II) III) A) B) C) D) E)

4.

En un pentágono regular, el suplemento de un ángulo interior mide 72º. El total de diagonales que se pueden trazar en un octógono son 24. La suma de los ángulos interiores de un heptágono es 720º.

Sólo I Sólo II Sólo III Sólo II y III I, II y III

¿En cuál de los siguientes polígonos regulares, el ángulo interior mide el triple del ángulo exterior correspondiente?

A) B) C) D) E)

Triángulo Pentágono Hexágono Decágono Octógono

13

5.

En el rectángulo ABCD de la figura 1, AC diagonal y PQ ⊥ AC . Si
DPQ = 113º determinar el valor de α A A) 23º B) 43º C) 67º D) 76º E) 113º

P

D

113º

α

fig. 1 Q B

6.

C

En el pentágono regular de la figura 2, los puntos A, B y F son colineales. Entonces,
α mide C D

A) 60º B) 72º C) 80º D) 90º E) 108º

F

α B fig. 2

E A

7.

Si en la figura 3, ABCD es un rectángulo y L recta, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) siempre verdadera(s)? I) II) III)

s+u=t+v s+v=u+t s=v y u=t

D

C sº t º fig. 3

A) B) C) D) E)

8.

Sólo I Sólo II Sólo I y III Sólo II y III I, II y III

u º vº A

B

La diagonal del cuadrado ABCD de la figura 4, se prolonga de modo que CE = AB , entonces la medida del
x es E x

A) 18º B) 22,5º C) 24º D) 45º E) 135º

B

C

fig. 4

D 14

A

9.

Si en el polígono de la figura 5, BE ≅ CD , AB ≅ CF y AE ≅ DF ≅ DE , ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)? I) II) III) A) B) C) D) E)

∆ABE ≅ ∆CFD ∆FED isósceles.
CFB = 45º

E

A F

fig. 5

Sólo I Sólo II Sólo III Sólo II y III I, II y III

60º

B

30º

C

D

10. Si en el trapecio isósceles ABCD de la figura 6, AB // CD y el
y = 70º, ¿cuál es la medida del
x? D A) B) C) D) E)

C y

210º 140º 110º 70º Ninguna de las anteriores

fig. 6 x B

A

11. En la figura 7, ABCDE es un pentágono regular y los lados de la estrella son las prolongaciones del pentágono, entonces el ángulo x mide

A) B) C) D) E)

75º

A

72º 54º 36º 18º

E

B

D C

fig. 7

x

12. En el cuadrado de la figura 8,
α = 37º, ¿cuánto mide el ángulo x?

A) 30º B) 45º C) 53º D) 60º E) 127º

α fig. 8 x

15

13. Si se trazan las diagonales de un paralelogramo. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)? I) II) III) A) B) C) D) E)

Se obtienen cuatro triángulos congruentes. Se obtienen cuatro triángulos semejantes. Se obtienen sólo triángulos rectángulos.

Sólo I Sólo II Sólo I y II Sólo II y III Ninguna de ellas

14. En el trapecio rectángulo ABCD de la figura 9, las bisectrices QB y QC de los ángulos en B y en C, respectivamente, forman un ángulo x que mide: D

C

A) 45º B) 60º C) 75º D) 90º E) 105º

Q

x fig. 9

A

B

15. En la figura 10, ABCD es un trapecio isósceles, AB // CD , AE = EB . Si AB : BC = 2 : 1 y EC // AD , ¿cuál es la medida del
BAD?

D A) B) C) D) E)

70º 60º 55º 30º 20º

C fig. 10

A

E

B

16. Si en la figura 11, ∆MNP ≅ ∆QOR,
NMP = 50º y
NPM = 70º, entonces la medida del


OQP es P fig. 11

70º

A) 130º B) 120º C) 110º D) 70º E) 50º

M

Q

50º

N

R

16

O

17. En la figura 12, ABCD es romboide. Si H es punto medio de DF y AD ≅ GD ≅ GF ≅ EF , entonces se cumple que I) II) III)

AEFD es un rombo.
DGH =
HGF

D

H

F

C

HG ⊥ DF

fig. 12 A) B) C) D) E)

Sólo Sólo Sólo Sólo Sólo

I II III I y II II y III

G E

A

B

18. En la figura 13, ABCDEF es un hexágono regular, EA , EB y EC son diagonales. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)? I) II) III)

F

∆AEF ≅ ∆CED ∆ABE ≅ ∆CBE
ABE ≅
BED

E fig. 13 D

A A) B) C) D) E)

Sólo I Sólo II Sólo I y II Sólo II y III I, II y III

B

C

19. En el polígono de la figura 14, AB // PC , AP // BC , AP y CP son bisectrices de los ángulos interiores respectivos, entonces el valor del ángulo α es A A) B) C) D) E)

fig. 14

160º 140º 120º 100º 60º

B E α P

60º

C 80º

D 20.

En el cuadrado ABCD de la figura 15, se ha trazado la diagonal AC el
ABE mide la tercera parte del
ABC. ¿Cuál de las siguientes opciones no es correcta? D

C

A)
ACB = 45º B)
EFA = 60º C)
AEB = 60º

fig. 15

E F

D)
EFC = 105 E)
DEB = 120º A 17

B

21. Desde un vértice de un polígono regular se pueden trazar 27 diagonales, ¿cuánto mide cada ángulo exterior de este polígono? A) 12º B) 15º C) 24º D) 30º E) 168º

22. Si en la figura 16, ABCD es un paralelogramo,
DCA = 40º y
ABD = 50º. ¿Qué tipo de paralelogramo es? C

D A) B) C) D) E)

Rectángulo Trapecio Rombo Romboide Cuadrado

fig. 16 100º

A

B

23. Al trazar una de las diagonales de un cuadrilátero se forman dos triángulos isósceles cuyas bases son la diagonal, sin embargo los ángulos basales de un triángulo miden el doble de los ángulos basales del otro, por lo tanto dicho cuadrilátero se trata de un A) B) C) D) E)

cuadrado. trapecio. romboide. trapezoide. deltoide.

24. En un trapecio rectángulo la medida del mayor ángulo interno es el cuádruplo de la medida del ángulo menor, ¿cuánto mide el menor de los ángulos? A) B) C) D) E)

30º 36º 45º 72º 90º

25. En la figura 17, ABCD es un trapecio rectángulo en A y D,
ABD = 40º, ∆BDC es isósceles de base BC , ¿cuál es el valor de
α?

D

A) 70º B) 30º C) 90º D) 45º E) 120º

C

α A 18

B

fig. 17

26. Se puede determinar los lados de un polígono regular si : (1) Se puede inscribir en una circunferencia de radio 5 cm. (2) Sus ángulos exteriores suman 360º.

A) B) C) D) E)

(1) por sí sola (2) por sí sola Ambas juntas, (1) y (2) Cada una por sí sola, (1) ó (2) Se requiere información adicional

27. En la figura 18, ABCD es rectángulo. Se puede afirmar que ∆ADE ≅ ∆BCE si : (1)
BAE = 45º

D

(2) E es punto medio.

A) B) C) D) E)

(1) por sí sola (2) por sí sola Ambas juntas, (1) y (2) Cada una por sí sola, (1) ó (2) Se requiere información adicional

E

C

fig. 18

A

B

28. Se puede determinar la medida del
BCD del cuadrilátero de la figura 19, si : (1) ABCD es un paralelogramo y triángulo ABD es equilátero.

A) B) C) D) E)

(1) por sí sola (2) por sí sola Ambas juntas, (1) y (2) Cada una por sí sola, (1) ó (2) Se requiere información adicional

fig. 19 A

29. Se puede determinar el número de lados de un polígono convexo, si : (1) Se conoce la suma de los ángulos interiores. (2) Se conoce el número total de diagonales.

A) B) C) D) E)

C

D

(2) El ángulo DAB mide 60º.

(1) por sí sola (2) por sí sola Ambas juntas, (1) y (2) Cada una por sí sola, (1) ó (2) Se requiere información adicional

19

B

30. En la figura 20, se puede determinar la medida del ángulo α si : C (1) β + γ + δ = 300º

γ fig. 20

(2) ABCD es un romboide y β + γ = 180º.

A) B) C) D) E)

D δ

(1) por sí sola (2) por sí sola Ambas juntas, (1) y (2) Cada una por sí sola, (1) ó (2) Se requiere información adicional

β

B

α A

DMDMA13

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