C u r s o : Matemática 3º Medio Material Nº MT-16 UNIDAD: GEOMETRÍA TRIÁNGULO RECTÁNGULO TEOREMA DE PITÁGORAS

En todo triángulo rectángulo, la suma de las áreas de los cuadrados construidos sobre sus catetos, es igual al área del cuadrado construido sobre su hipotenusa.

c2 b2 a2 + b2 = c2

a2

EJEMPLOS

1.

En la figura 1, los triángulos ABC y CBE son rectángulos en A y en C, respectivamente, entonces la longitud de BE es E 12

A) B) C) D) E)

5 7 9 13 15

fig. 1

C 4

A 2.

Sobre cada lado del triángulo rectángulo T, se ha construido un cuadrado y en cada uno de ellos se ha trazado una diagonal (fig. 2). Si el área del triángulo P es de 2 cm2 y el área del triángulo R es de 10 cm2, entonces las áreas de los triángulos Q y T son, respectivamente, A) B) C) D) E)

3.

B

3

8 8 12 12 16

cm2 cm2 cm2 cm2 cm2

y y y y y

4 2 4 2 8

cm2 6 cm2 cm2 6 cm2 cm2

R

P

T fig. 2

Q

En la figura 3, ΔABC equilátero de lado 6 cm, entonces CD = C A) B) C) D)

3 4 6 3

cm cm cm 2 cm

E)

3 3 cm

fig. 3

A

D

B

TERNAS PITAGÓRICAS RACIONALES

Las ternas Pitagóricas racionales más usadas son: 4

3

8

6

12

9

4k

3k

… 5

10 12

5

34

17

…

13p

45

24

12p

5p

39 30

16

5k 36

15

26 15

8

24

10

13

15

15q

8q

…

51

17q

EJEMPLOS 1.

El cuadrilátero ABCD de la figura 1, está formado por el triángulo equilátero ABD de perímetro igual a 18 cm y por el triángulo rectángulo BCD de hipotenusa igual a 10 cm. ¿Cuál es el perímetro del cuadrilátero ABCD? A) B) C) D) E)

2.

42 40 36 32 30

D

cm cm cm cm cm

A

fig. 1 B

En la figura 2, AB // CD . El área del trapecio ABCD es

A) B) C) D) E)

D

104 124 148 208 248

10

A 3.

C

8

5

C

fig. 2 17

B

En el triángulo rectángulo ABC de la figura 3, se sabe que AB = 10 y CB = 8, entonces ¿cuál es el área del triángulo? C A) B) C) D) E)

fig. 3

6 12 24 48 64

A 2

B

TERNAS PITÁGORAS IRRACIONALES 1

1

2

2

3

3

45º

45º

45º

45º

45º

45º

2

2 2

1

3

60º

30º

2

2

3 2 3

2 3 30º

60º

2a

60º

45º

k 2 a 3

60º

30º

2a

… 4a

a

a 10

a 5

45º

a

6 3a

a

k

3 3

4

a

…

k

na

a

a 17

30º

a n2 + 1

…

EJEMPLOS

1.

En la figura 1, el valor de x + y es A) B) C)

2.

8 11 8 2

D)

3+5 2

E)

5+3 2

fig. 1

45º

3

3

10

x

y

La figura 2, muestra un muro de 3 m de alto en donde ambos vecinos han apoyado una escalera. ¿Cuál es la distancia x existente entre los pies de estas escaleras? A) B) C) D) E)

6 9 12 15 18

m m m m m

3 5m

fig. 2

3 10 m 3m

x 3.

El triángulo ABC de la figura 3, es equilátero. Si del triángulo ABC es A) B) C) D)

8 16 48 16

E)

48 3 cm

AD mide 24 cm, entonces el perímetro

C fig. 3

E

cm cm cm 3 cm

D

3

A

B

EJERCICIOS

1.

El triángulo ABC de la figura 1, es rectángulo en C. Si x = 4 cm y AB mide 1 cm más que BC , entonces AC = C A) B) C) D) E)

2.

A

B

R

P

3a 9a2 5a 5a2 a 5

fig. 2 Q

ABCD es un rectángulo (fig. 3). Si AB = 4 cm y BC = 2 cm, ¿cuánto mide BD ?

A) B) C)

4.

fig. 1 3x

En la figura 2, si PR = 2a y RQ = a, entonces PQ =

A) B) C) D) E)

3.

1 cm 5 cm 5 5 cm 25 cm 313 cm

6 cm 20 cm 6 cm

D)

2 5 cm

E)

5 2 cm

D

C C fig. 3

A

B

Si en el triángulo ABC de la figura 4, CD ⊥ AB , AC = BC , AB = 8 cm entonces ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)? I)

(ACD = 45º

II)

AC = 5 cm

III) A) B) C) D) E)

C

AB = BC + CD

Sólo II Sólo III Sólo I y II Sólo II y III I, II y III

A

4

D

y

CD = 3 cm,

fig. 4

B

5.

El cuadrilátero ABCD de la figura 5, está formado por dos triángulos congruentes. Si AB = 13 cm y BC = 5 cm, entonces AD + DB + CD = C A) B) C) D) E)

6.

7.

30 31 36 42 48

fig. 5

cm cm cm cm cm

D B A

En la figura 6, AECD es un cuadrado. Si

A) B) C)

3a 8a2 2a 5

D)

a 2

E)

2a 2

1 1 EB = AE = a, entonces BC = 2 2

D

C

A

E

fig. 6

B

En un triángulo rectángulo de catetos a = 6 y b = 8, el cuadrado de la hipotenusa está representado por: I) II) III)

(a + b)2 a2 + b2 2a + 11b

Es(son) verdadera(s) A) B) C) D) E)

8.

Sólo I Sólo II Sólo I y III Sólo II y III I, II y III

El triángulo PQR de la figura 7 es rectángulo en R; TU, TS y SU son medianas. Si QR = 9 cm y RP = 12 cm, entonces el perímetro del triángulo SUT es

A) B) C) D) E)

18 24 30 36 54

Q

cm cm cm cm cm

T

U R 5

fig. 7

S

P

9.

La figura 8 es un rombo. Si DB = 6 cm y AC = 18 cm, entonces el perímetro del rombo es C A)

24 2 cm

B) C) D) E)

12 10 cm 54 cm 90 cm ninguna de las anteriores

fig. 8 D

B

A

10.

CD es altura del triángulo ABC (fig. 9). BC = 17, AB = 21 y BD = 15, luego el cuociente CD = AC

C A) B) C) D) E)

11.

12.

fig. 9

0,5 0,6 0,8 1,2 1,25

A

D

B

En la figura 10, ΔPQR es isósceles de base PQ = 6 cm y RS es altura de 4 cm. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es falsa?

A)

RS > SQ

B)

PR = RQ

C)

PS < RQ

D)

PQ > RQ

E)

RQ < RS

R fig. 10

P

S

Q

En la figura 11, ΔABC es rectángulo en A, ED es una mediana que mide 6 cm y BC = 20 cm. ¿Cuál es la diferencia entre los perímetros de los triángulos ABC y DBE?

A) B) C) D) E)

6 12 24 36 48

C

cm cm cm cm cm

fig. 11 E

A

6

D

B

13.

MS es altura del triángulo MNT (fig. 12). Si entonces ¿cuánto mide NT?

MTN = 45º, MN = 10 cm y

MS = 6 cm,

T A) B) C) D) E)

14.

16 14 12 10 8

fig. 12

cm cm cm cm cm

S

M

N

En la figura 13, PQRS es un rectángulo, RUT es un triángulo rectángulo en T y congruente al triángulo RWX. Si PQ = 2 RT = 8 cm y QR = 2 TU = 6 cm, entonces el perímetro del trapecio PWXS es U A) B) C) D) E)

36 24 20 18 12

cm cm cm cm cm

S

T

X

R

fig. 13

W

P

15.

Q

En la figura 14, los triángulos ABC y CDE son rectángulos en C y E, respectivamente, CDE = 45º, EA = EF = 2 cm y BG = 4 2 cm, ¿cuál es la suma de los perímetros de los triángulos BCG y FDG? B A)

(12 + 6 2 ) cm

B)

(12 + 10 2 ) cm

C)

(12 + 12 2 ) cm

D)

(20 + 12 2 ) cm

E)

(20 + 16 2 ) cm

D G

fig. 14

F C

7

E

A

RESPUESTAS

Ejemplos

CLAVES PÁG. 4

1

2

3

1

D

A

E

2 3

E C

B D

C E

Págs.

1.

B

6.

E

11. E

2.

E

7.

D

12. C

3.

D

8.

A

13. B

4.

D

9.

B

14. D

5.

A

10. C

15. C

DOMT-16

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