C u r s o : Matemática Material N° 03 GUÍA TEÓRICO PRÁCTICA Nº 3 UNIDAD: NÚMEROS Y PROPORCIONALIDAD NÚMEROS RACIONALES NÚMEROS RACIONALES

a con a y b números enteros b y b distinto de cero. El conjunto de los números racionales se representa por la letra _ .

Los números racionales son todos aquellos números de la forma

_ ={

a b

/ a, b ∈ ]

y

b ≠ 0}

IGUALDAD ENTRE NÚMEROS RACIONALES

Sean

c a , d b

∈ _ . Entonces:

c a = d b

a·d=b·c

EJEMPLOS

1.

¿Cuál(es) de las siguientes expresiones representa(n) un número racional? I) II) III) A) B) C) D) E)

2.

3 -4 0 8 0

Sólo I Sólo II Sólo I y II Sólo I y III Todas ellas

Con respecto a la igualdad A) B) C) D) E)

a=3 y b=2 a=2 y b=3 a=4 y b=6 3a = 2b 2a = 3b

a 2 = , es siempre verdadero que b 3

ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN DE NÚMEROS RACIONALES

Si

a c , ∈ _ , entonces : b d

c a ad ± bc ± = d b bd

OBSERVACIONES

Å

El inverso aditivo (u opuesto) de

a b

es -

a -a , el cual se puede escribir también como o b b

a . -b

Å

El número mixto A

b se transforma a fracción con la siguiente fórmula: c b A ⋅ c +b A = , con A ≥ 0 c c

EJEMPLOS

1.

2+

A) B) C) D) E)

2.

5 +3= 6 5 6 10 6 30 6 1 1 6 25 6 5

Si T = -2

A) B) C) D) E)

1 2

y

S = -4

3 , entonces S – T = 4

1 4 1 -2 4 1 -1 4 1 2 4 1 7 4

-7

2

MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN DE NÚMEROS RACIONALES

Si

a c , ∈ _ , entonces : b d

MULTIPLICACIÓN:

:

DIVISIÓN

c ac a · = d bd b c d ad a a : = ⋅ = , c≠0 d c bc b b

OBSERVACIÓN

El inverso multiplicativo (o recíproco) de

Å

EJEMPLOS

1.

1⎤ 1⎤ ⎡1 ⎡1 4 ⎢2 − 3 ⎥ : ⎢ 4 ⋅ 3 − 2 ⎥ = ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

A) B) C) D) E)

2.

-1 4 5 1 36 4 5 1

3 5⎤ ⎡1 El inverso multiplicativo de ⎢ − es : 4 6 ⎥⎦ ⎣2

A) B) C) D) E)

10 3 5 2 3 10 3 10 2 5

-

3

a b

-1 b ⎡ a⎤ es ⎢ ⎥ = , con a ≠ 0 b a ⎣ ⎦

RELACIÓN DE ORDEN EN _

Sean

c a , ∈ _ d b

y b , d ∈ ] + . Entonces :

c a ≥ d b

⇔ ad ≥ bc

OBSERVACIONES Å

Para comparar procedimientos: • • •

Å

números

racionales,

también

se

pueden

utilizar

igualar numeradores. igualar denominadores. convertir a número decimal.

Entre dos números racionales cualesquiera hay infinitos números racionales.

EJEMPLOS

1.

El orden creciente de los números: a = A) B) C) D) E)

2.

3.

12 , 9

c=

12 es 7

w=

12 , 3

x=

5 , 3

b=

11 , 12

z=

7 es 3

w, x, z x, z, w w, z, x x, w, z z, w, x

El orden creciente de los números

A) B) C) D) E)

b=

a, b, c b, c, a c, b, a a, c, b c, a, b

El orden decreciente de los números

A) B) C) D) E)

12 , 5

a=

a, b, c b, a, c c, a, b a, c, b b, c, a

4

7 , 8

c=

9 es 10

los

siguientes

NÚMEROS DECIMALES

Al efectuar la división entre el numerador y el denominador de una fracción, se obtiene un desarrollo decimal, el cuál puede ser finito, infinito periódico o infinito semiperiódico. OPERATORIA CON NÚMEROS DECIMALES Å

Adición o sustracción de números decimales: Para sumar o restar números decimales se ubican las cantidades enteras bajo las enteras, las comas bajo las comas, la parte decimal bajo la decimal y a continuación se realiza la operatoria respectiva.

Å

Multiplicación de números decimales: Para multiplicar dos o más números decimales, se multiplican como si fueran números enteros, ubicando la coma en el resultado final, de derecha a izquierda, tantos lugares decimales como decimales tengan los números en conjunto.

Å

División de números decimales: Para dividir números decimales, se puede transformar el dividendo y el divisor en números enteros amplificando por una potencia en base 10.

TRANSFORMACIÓN DE DECIMAL FINITO A FRACCIÓN

Se escribe en el numerador todos los dígitos que forman el número decimal y en el denominador una potencia de 10 con tantos ceros como cifras decimales tenga dicho número.

EJEMPLOS

1.

2.

El desarrollo decimal de la fracción

A) B) C) D)

0, 803 0, 833 0, 83 0, 83

E)

0, 83

5 es 6

(0,75 – 0,3) ⋅ 5 = A) B) C) D) E)

0,25 0,45 2,25 3,60 5,25 5

3.

0,06 ⋅ 0,5 ⋅ 0,1 = A) B) C) D) E)

4.

El valor de 3 ·

A) B) C) D) E)

5.

0,3 es 0,03

30 3 0,3 0,03 0,003

Si x = 0,01; y = 0,00001; z = 0,0001; entonces

A) B) C) D) E)

6.

0,0030 0,0003 0,00003 0,0000003 0,00012

x ⋅z = y

0,0001 0,001 0,01 0,1 1

Si a = 0,06 , b = 0,009 y c = 0,068 , ¿cuál de las siguientes alternativas indica un orden creciente? A) B) C) D) E)

b, c, a b, a, c a, c, b c, a, b c, b, a

6

APROXIMACIONES

Frecuentemente conviene redondear o truncar un número, dejando una aproximación con menos cifras significativas, de las que tiene originalmente. Å

REDONDEO

Para redondear un número decimal finito o infinito se agrega 1 al último dígito que se conserva (redondeo por exceso), si el primero de los dígitos eliminados es mayor o igual a 5; si la primera cifra a eliminar es menor que 5, el último dígito que se conserva se mantiene (redondeo por defecto). Por lo tanto, como ejemplos, BAJO ESTA REGLA, al redondear a la centésima los números 8,346 y 1,3125 se obtiene 8,35 y 1,31, respectivamente. Å

TRUNCAMIENTO

Para truncar un número decimal, se consideran como ceros las cifras ubicadas a la derecha de la última cifra a considerar. De esta manera, como ejemplo, si se trunca a las centésimas el número 5,7398 resulta 5,73. ESTIMACIONES

Realizar un cálculo estimativo, consiste en efectuarlo con cantidades aproximadas por redondeo a las dadas, reemplazando dígitos distintos de ceros por ceros, dejando la cantidad de cifras significativas que se indique (lo que habitualmente es una cifra). EJEMPLOS

1.

Al redondear a la milésima el número 4,5387 , resulta A) B) C) D) E)

2.

Al truncar a la centésima el número 3,6765 , resulta A) B) C) D) E)

3.

4,5 4,54 4,538 4,539 5

3,6 3,67 3,68 3,676 3,677

¿Cuánto dinero se estima que necesita una dueña de casa para comprar 4,8 kg de pan, si el kg cuesta $ 620? A) B) C) D) E)

$ $ $ $ $

3.000 2.976 2.970 2.900 2.000 7

EJERCICIOS

1.

1 1 1 = + − 16 8 4

A) B) C) D) E)

2.

2 5 ⎛3 -1 ⎞ = − ⋅ − 3 6 ⎜⎝ 5 5 ⎟⎠

A) B) C) D) E)

3.

1 8 1 16 1 20 1 16 1 8

-

7 −

2 15 1 15 1 30 1 3 0

-

5 3 −

A) B) C) D) E)

1 2

=

6 5 2 4 5 11 2

8

4.

El inverso aditivo de -4 menos el inverso multiplicativo de

A) B) C) D) E)

5.

-10 23 6 25 6 -2 23 6

Si al doble de 2,4 se le resta el triple de 3,2 , entonces resulta A) B) C) D) E)

6.

1 es 6

4,8 5,2 14,4 -5,2 -4,8

2 1 − 3 5 = 3 2 - + 5 10

A) B) C) D) E)

14 3 9 6 7 6 4 15 7 12

-

9

1

7.

1 −

A) B) C) D) E)

8.

-4 3 4 4 5 5 4 4 3

4 de 0,5? 5

10 1 0,25 0,01 0,1

800 menos los

A) B) C) D) E)

10.

1 1 5

¿Cuánto es la cuarta parte de los

A) B) C) D) E)

9.

=

1

1 −

15 de la mitad de 800 es 100

740 680 340 120 60

Mario debe recorrer 15,4 kilómetros y ha caminado 8.750 metros. ¿Cuánto le falta por recorrer? A) B) C) D) E)

6,29 6,65 6,75 7,65 7,75

kilómetros kilómetros kilómetros kilómetros kilómetros 10

11.

Si los

A) B) C) D) E)

12.

$ 450.000 $ 600.000 $ 750.000 $ 800.000 $ 1.000.000

Dados los racionales a =

A) B) C) D) E)

14.

24.500 40.000 45.500 50.000 50.500

Si el precio de un artículo que es $ 800.000 se aumenta en su cuarta parte, y el nuevo precio se disminuye en su cuarta parte, el precio final es A) B) C) D) E)

13.

70 de una cantidad corresponden a 35.000, ¿cuál es la cantidad? 100

39 7 , b= 11 2

y c=

79 , entonces se cumple que 22

a