UNIVERSIDAD DE GRANADA

FACULTAD DE CIENCIAS DEPARTAMENTO DE ESTADÍSTICA E INVESTIGACIÓN OPERATIVA

MASTER EN ESTADÍSTICA APLICADA

MÉTODOS ESTADÍSTICOS APLICADOS A PROBLEMAS MEDIOAMBIENTALES

Trabajo Final de Master realizado por: Mª Soledad Molina González

y dirigido por: D. Pedro Antonio García López

1.

INTRODUCCIÓN .................................................................................................. 2

2.

TEORÍA DE CÓPULAS ........................................................................................ 3 2.1 2.2 2.3 2.4

3.

DEFINICIÓN ....................................................................................................... 3 TEOREMA. (TEOREMA DE SKLAR) ..................................................................... 3 COROLARIO. (COROLARIO DEL TEOREMA DE SKLAR) ....................................... 3 PROPIEDADES: ................................................................................................... 4

FAMILIA DE CÓPULAS ...................................................................................... 6 3.1 CÓPULAS ELÍPTICAS........................................................................................... 6 Familia Gaussiana ................................................................................................... 6 Cópula de la t de Student.......................................................................................... 7 3.2 CÓPULA DE MORGENSTERN ............................................................................... 7 3.3 CÓPULAS DE VALOR EXTREMO .......................................................................... 8 3.4 CÓPULAS ARQUIMEDIANAS ............................................................................... 8 Axioma ...................................................................................................................... 8 Cópula de Frank ....................................................................................................... 9 Cópula de Clayton .................................................................................................. 10 Cópula de Gumbel .................................................................................................. 10 Cópula HRT ............................................................................................................ 11

4.

CÓPULAS CON R ............................................................................................... 12 4.1. 4.2.

DESCRIPCIÓN DEL PROGRAMA ......................................................................... 12 EJEMPLOS DE CÓPULAS CON R ......................................................................... 14

5. CÓPULA DE SIMULACIÓN BASADA EN LA ESTIMACIÓN DEL VOLUMEN ÓPTIMO PARA UNA CUENCA DE DETENCIÓN .......................... 24 5.1 5.2

INTRODUCCIÓN ................................................................................................ 24 IDENTIFICACIÓN DE LAS DISTRIBUCIONES MARGINALES DE LAS COMPONENTES DE LAS TORMENTAS ..................................................................................................... 26 5.3 MEDIDA DE DEPENDENCIA ENTRE LAS TRES VARIABLES .................................. 27 5.4 PROCESOS DE SIMULACIÓN .............................................................................. 29 5.5 MODELO DE LA CSS ........................................................................................ 30 1.- Evaluación del volumen de la cuenca de detención para varios periodos de retorno .................................................................................................................... 30 2.- Evaluación del impacto de las tormentas generadas al azar sobre el desempeño de las cuencas de detención, diseñado como resultado del primer paso ............... 31 5.6 RESULTADOS ................................................................................................... 31 5.7 CONCLUSIONES ............................................................................................... 33 6.

REFERENCIAS ................................................................................................... 34

1

1. INTRODUCCIÓN La cópula representa una forma paramétrica conveniente para modelar la estructura de dependencia en distribuciones conjuntas de variables aleatorias, en particular para parejas de variables aleatorias. Varias cópulas con diversas formas están disponibles para representar a familias de distribuciones bivariadas. El uso de la cópula es interesante, pues permite una gran flexibilidad para modelar la distribución conjunta de una pareja aleatoria que pueda surgir de prácticamente cualquier disciplina, y lo hace de forma sencilla ya que solo se necesita especificar la función que copula y las marginales. Las cópulas pueden extraer la estructura de dependencia de la función de distribución conjunta de un vector de variables aleatorias y al mismo tiempo, permiten separar la estructura de dependencia del comportamiento marginal. Al igual que en el caso univariado, es posible usar transformaciones que permitan crear funciones de distribución bivariadas discretas a partir de las distribuciones continuas; de esta forma, puede aprovecharse la cópula cuando el objetivo es modelar parejas aleatorias discretas. En la actualidad, las cópulas se han convertido en una poderosa herramienta de modelado multivariado en muchos campos de la investigación donde la dependencia entre varias variables aleatorias, continuas, o discretas, es de gran interés, y para las cuales la suposición de normalidad multivariada puede ser cuestionable. Algunos ejemplos del modelado de parejas aleatorias continuas se pueden encontrar en aplicaciones biomédicas donde el interés puede centrarse en los tiempos de ocurrencia de una enfermedad en órganos pares, o en otras disciplinas que favorecen la utilización de las cópulas como son los cálculos actuariales, donde el interés puede centrarse en la estimación de la distribución conjunta de los momentos correspondientes a dos tipos de indemnización. Otro ejemplo y es en donde se centrará este trabajo, es en la ocurrencia de catástrofes naturales como consecuencia de dos factores clave: los cambios climáticos y geológicos, que han producido una mayor severidad y frecuencia de desastres naturales tales como terremotos, huracanes, inundaciones, sequías, etc., y la concentración y el crecimiento de la población en zonas urbanas en áreas propensas, o potencialmente propensas, a catástrofes naturales. A continuación se definirá qué es una cópula y se revisarán las propiedades fundamentales de las cópulas, las cuales permiten caracterizar la estructura de dependencia de familias de distribución bivariadas definidas por la cópula.

2

2. TEORÍA DE CÓPULAS 2.1 Definición Una cópula bidimensional es una función de distribución bivariada de un vector aleatorio V = (V1, V2) cuyas marginales V1 y V2 son uniformes en el intervalo I = (0, 1). Es decir, una cópula es una función C : I 2  I que satisface las siguientes condiciones: i)

C(u, v) es una función creciente para cada una de sus componentes

ii)

De acotamiento lím C ( v1 , v2 )  v3 j

v j 1

lím C ( v1 , v2 )  0

v j 0

donde j = 1, 2 y ( v1 , v2 )T  I 2

iii)

De incremento C (u2 , v2 )  C (u2 , v1 )  C (u1 , v2 )  C (u1 , v1 )  0 u1 , u2 , v1 , v2  I tal que u1  u2

y

v1  v2

La importancia de las cópulas en estadística matemática se describe en el siguiente teorema. 2.2 Teorema. (Teorema de Sklar) Sean X, Y variables aleatorias con función de distribución conjunta F, con marginales FX y FY respectivamente. Entonces existe una cópula C tal que satisface F ( x, y )  C ( FX ( x ), FY ( y ))

Si las distribuciones marginales son continuas, la cópula es única. Por tanto, a partir de las cópulas, es posible crear distribuciones bivariantes con distribuciones marginales definidas. De esta forma, si C es una cópula y FX y FY son dos distribuciones marginales, C ( FX ( x ), FY ( y )) es una distribución bivariente. 2.3 Corolario. (Corolario del Teorema de Sklar) Se definen F, C, FX, y FY como en los enunciados anteriores, y FX-1 y FY-1 como las respectivas funciones inversas generalizadas de FX y FY. Entonces, (u, v )  [0,1]2 C (u, v )  F ( FX1 ( x ), FY1 ( y ))

3

2.4 Propiedades: i) Si F es una función de distribución, entonces su función inversa generalizada, es toda función F(-1) definida en [0, 1] tal que: - Si t  Im(F ) y x  [, ] , entonces F(-1) (t) = x y F(x) = t. Por tanto, t  Im( F ), F ( F ( 1) (t ))  t. - Si t  Im(F ) entonces F(-1) (t) = inf{x/ F(x  )t} = sup{x/ F(x)  t} - Si F es estrictamente creciente tiene una única función inversa generalizada F(-1) ii) Sabemos que, si existe, la densidad f de una función de distribución, F, se define como: f ( x, y ) 

F ( x, y ) xy

La expresión de la función de densidad de una cópula, simbolizada por c, es: c ( u, v ) 

C (u, v ) uv

A partir de c(u, v), la densidad de f de la función de distribución F puede obtenerse como: f ( x, y )  c( FX ( x ), FY ( y )) f X ( x ) f Y ( y )

iii) Sea C1(u, v) la derivada de C(u, v) respecto de u, C (u, v )  C1 (u, v ) u

Si la distribución conjunta de X e Y es F(x, y) = C(FX(x),FY(y)) entonces la distribución condicionada Y/X = x es: FY/X = FX (y)= C1(FX(x),FY(y)) iv) Sea S(x) = p(X > x). La función de supervivencia conjunta S(x, y) = p (X > x, Y > y) no es 1 – F(x, y) como podría pensarse si no, S(x, y) = 1 – FX(x) – FY(y) + F(x, y) Análogamente, para una cópula sabemos que C(u, v) = p[U  u,V  v] por tanto, la función de supervivencia de una cópula será: C S (u, v )  p[U  u, V  v ]  1  u  v  C (u, v )

4

Entonces como F(x, y) = C(FX(x),FY(y)), obtenemos que: S(x, y)= CS(FX(x),FY(y)) v) Sea (x, y) y (x´, y´) dos observaciones de un vector aleatorio continuo (X, Y). Entonces (x, y) y (x´, y´) dicen ser concordantes si (x - x´)(y - y´) > 0 y discordantes en caso contrario. vi) Sea (X, Y) un par de variables aleatorias. La medida de concordancia  de Kendall se define como la diferencia entre las probabilidades de concordancia y discordancia de dos observaciones distintas, (x, y) y (x´, y´), de ese par aleatorio:

 ( X , Y )  p[(x - x´)(y - y´)  0]  p[( x  x´)( y  y´)  0] El coeficiente de correlación de Kendall tiene la ventaja de permanecer invariante ante una transformación estrictamente creciente de las variables aleatorias ya que sólo depende del rango de cada observación. Si C es la cópula de (X, Y), entonces el coeficiente  de Kendall se puede calcular en función de la cópula únicamente: 1 1

 ( X , Y )  4   C (u, v )c(u, v )dudv  1  4 E[C (U , V )]  1 0 0

Las cópulas se han convertido en una potente herramienta para el modelamiento multivariado en muchos campos donde la dependencia multivariada es de gran interés. En ciencias actuariales las cópulas son usadas en el modelamiento de mortalidad y las pérdidas dependientes. En finanzas las cópulas son usadas en asignación de activos, modelamiento y administración de riesgos, calificación de créditos y tasación derivada. En estudios biomédicos las cópulas son usadas en el modelamiento de tiempos de eventos correlacionados y competing risks. En ingeniería las cópulas son usadas en el control de procesos multivariados y en el modelamiento hidrológico. Las cópulas son de gran utilidad en la generación de datos bivariados dependientes. El principal inconveniente cuando se quiere modelar datos bivariados dependientes utilizando modelos cópula, es que no hay ningún indicio de cuál es la forma paramétrica de la cópula. Por lo tanto, para proceder con un análisis paramétrico tradicional se debe asumir una forma funcional para la cópula. Aunque muchas formas funcionales se han sugerido no hay una guía general para la selección óptima de una cópula. Hasta ahora hay pocos estudios que tratan de abordar el problema. La selección del modelo cópula se basará en la utilización de gráficos de bondad de ajuste, gráficos cuantil-cuantil y el estadístico de Cramér-von Mises.

5

Las cópulas destacan como una herramienta sencilla y útil para la construcción de distribuciones bivariadas dependientes que explique el comportamiento de un conjunto de datos. La familia de cópulas Arquimediana presenta una gran versatilidad en la descripción de conjuntos de datos bivariados dependientes, esto se evidencia en el sentido de que pueden existir varios modelos Arquimedianos que ajusten en buena medida un conjunto de datos específico. Para la selección de un modelo cópula bivariado dependiente, se resalta la utilización de herramientas gráficas muy conocidas y de fácil implementación en paquetes estadísticos. Esto permite que los analistas puedan de una manera ágil y clara identificar un modelo cópula para la construcción de una distribución bivariada dependiente que ajuste bien un conjunto de datos. En la construcción de distribuciones bivariadas dependientes usando cópulas no requiere que las distribuciones marginales sean del mismo tipo. Esto muestra la versatilidad de la metodología para la construcción de distribuciones bivariadas dependientes en problemas prácticos.

3. FAMILIA DE CÓPULAS Si se tiene una colección de cópulas, puede usarse el Teorema de Sklar para construir distribuciones bivariadas con marginales arbitrarias. Hay bastantes familias de cópulas pero no son equivalentes en términos del tipo de dependencia estocástica que ellas representan o el grado de dependencia que ellas pueden capturar. En nuestro caso hablaremos de las cópulas elípticas donde dentro de ellas están la familia Gaussiana que comentaremos por su parecido con la distribución Gaussiana bivariada y la cópula de la t de Student; también hablaremos de la familia Morgenstern por su simplicidad y por último de la familia Arquimediana que comentaremos por ser representada a través de una función univariada.

3.1 Cópulas elípticas De gran popularidad en los mercados financieros, las cópulas elípticas son las que se encuentran asociadas a variables aleatorias cuya función de distribución multivariada sea simétrica, por lo que las curvas de nivel de las variables aleatorias que tengan este tipo de cópulas forman elipses. Las dos cópulas más importantes en esta familia son la cópula normal (o Gaussiana) y la cópula t de student.

Familia Gaussiana La función Gaussiana bivariada que pertenece a la cópula Gaussiana tiene la forma: C r ( v1 , v2 )   2 [ 1 ( v1 ),  1 ( v2 )],

( v1 , v2 ) T (0,1) 2

6

Donde  2 (.,.) es la función de distribución conjunta de una Gaussiana bivariada con media (0,0) T y matriz de covarianza R ( 2 x 2 ) . Y  1 (.) es la función inversa de la distribución acumulada Gaussiana estándar. La función de densidad de la cópula es:

cr (v1 , v2 ) 

2 [ 1 (v1 ),  1 (v2 )] [ 1 (v1 )]  [ 1 (v2 )]

El uso de la cópula Gaussiana bivariada es interesante ya que codifica la dependencia en la misma forma en que la distribución normal bivariada lo hace usando el parámetro de dependencia r, con la diferencia de que se calcula para variables aleatorias con cualesquiera marginales arbitrarias.

Cópula de la t de Student Sea X un vector aleatorio con distribución t de Student sesgada X ~ st D (v, , . ) , C ST (1 ,...,  d ; v, P , )  STd(ST 11 ( 1 ; v ,0,1,  1 ) , …, ST 11 ( d ; v ,0,1,  d ); v, 0), P, , )

donde v son los grado de libertad, y   (1 ,...,  D ) el vector de parámetros asimétrico, P es la matriz de correlaciones, ST1 es la función de distribución acumulativa univariante de la distribución asimétrica de la t-Student, ST 11 su inversa y STd su función de distribución acumulativa d-dimensional de la distribución t de Student sesgada.

3.2 Cópula de Morgenstern La cópula de Morgenstern es representada por: C ( v1 , v2 )  v1v2 [1   (1  v1 )(1  v2 )],

 [-1, 1]

La función de densidad de la cópula correspondiente es: c (v1 , v2 )  [1   (1  2v1 )(1  2v2 )]

  2 / 9 es su  de Kendall correspondiente. Como   [-2/9, 2/9] esta cópula tiene un rango de concordancia muy limitado y entonces su aplicabilidad es útil para parejas aleatorias las cuales están asociadas modestamente. Esta cópula no exhibe dependencia de cola superior y tampoco inferior, u  l  0

7

3.3 Cópulas de valor extremo Estas cópulas derivan de la estructura de dependencia de la distribución generalizada de valores extremos bivariada La expresión de estas cópulas es:   log u   C (u, v)  exp log(uv) A  log v   1 

A:[0,1]   ,1 2 

donde

(función

de

dependencia)

es

convexa

y

verifica:

t  0,1

max t ,1  t  A(t )  1

3.4 Cópulas Arquimedianas Las cópulas Arquimedianas tienen una amplia gama de usos por ciertas razones, como por la facilidad con la cual pueden ser construidas o por la gran variedad de familias de cópulas que pertenecen a esta clase. Axioma Una cópula es llamada Arquimediana si ésta puede ser expresada en la forma C (u, v )  z 1 [ z (u )  z ( v )],

(u, v ) T  (0,1) 2

para alguna función convexa decreciente definida en (0,1] que satisface z-1(1) = 0; por convención z-1(u) = 0 = z-1(v) cuando u, v  z (0) X e Y son dos variables aleatorias continuas con función de distribución conjunta H y función de distribución marginal F y G, respectivamente. Cuando X e Y son independientes, H(x, y) = F(x)G(y)  x, y en R, y este es el único caso en el cual los factores de la función de distribución conjunta son el producto de dos funciones de distribución marginal F y G. Las funciones de distribución conjuntas y marginales para los miembros de la familia Ali-Mikhail-Haq satisfacen la relación: 1  H ( x, y ) 1  F ( x ) 1  G ( y ) 1  F ( x) 1  G ( y )    (1  ) H ( x, y ) F ( x) G( y) F ( x) G( y)

o lo que es lo mismo: 1  (1  )

1  H ( x, y )  1  F ( x)   1  G( y)   1  (1  )  1  (1  )  H ( x, y ) F ( x)   G( y)  

es decir,  (H (x, y)) =  (F (x))  (G (y)), donde  (t) = 1 + (1-  )(1-t)/t

8

Equivalentemente, nosotros podemos escribir  (H (x, y)) =  (F (x))  (G (y)) para una función  (que debe ser positiva en el intervalo (0,1)) entonces sobre el ajuste  (t) = -ln  (t), también podemos escribir H como la suma de las funciones marginales F y G, por ejemplo,  (H(x, y)) =  (F(x)) +  (G(y)), o para la cópula,  (C (u, v)) =  (u) +  (v)

Cópula de Frank La cópula de Frank es una cópula Arquimediana simétrica dada por:

Y su generador es:

donde:  [, ) \{0}

El uso de la cópula de Frank es interesante ya que puede capturar el rango completo de dependencia, al igual que la cópula Gaussiana. De hecho, cuando se trata de inferencia, algunos estadísticos prefieren usar la cópula de Frank a la Gaussiana ya que mientras ambas cópulas tienen propiedades similares, la cópula de Frank proporciona cantidades cerradas y por tanto, más fáciles de programar. El uso de la cópula de Frank no es recomendable para modelar dependencia de eventos extremos pues no es dependiente en las colas superior ni inferior. La relación entre la  de Kendall y el parámetro  de la cópula de Frank viene dada por:

9

donde,

Cópula de Clayton La cópula de Clayton es una cópula Arquimediana asimétrica, exponiendo la dependencia mayor en la cola negativa que en la positiva. Esta cópula viene dada por:

Y su generador es:

donde:  [1, ) \{0}

La relación entre la  de Kendall y el parámetro  de la cópula de Clayton viene dada por:

Cópula de Gumbel La cópula Gumbel es una cópula asimétrica Arquimediana, exponiendo la dependencia mayor en la cola positiva que negativamente. Esta cópula viene dada por:

10

y su generador es:

donde:  [1, ) La relación entre la  de Kendall y el parámetro  de la cópula de Gumbel viene dada por:

La cópula de Gumbel es similar a la cópula de Clayton, Gumbel no permite la dependencia negativa, pero esto contrasta a Clayton, Gumbel expone la dependencia fuerte a la derecha y la dependencia relativamente débil a la izquierda. Puede haber una correlación fuerte en valores altos, pero menos correlacionado en valores bajos, entonces la cópula Gumbel es una opción apropiada. Cópula HRT La cópula HRT es determinada según la cópula de Clayton. Ésta no forma parte de la familia de las cópulas Arquimedianas, pero al derivarse su fórmula de la de Clayton, puede situarse en este apartado. Esta cópula viene dada por: C  (u, v)  u  v  1  (1  u ) 

1



 (1  v)

1



 1 



y por consiguiente, C1 (u, v)  1  (1  u ) 

1



 (1  v)

1



 1 

 1

(1  u )

11



Su función de densidad es:

11

2 1 1 1  (1  u )(1  v)11 ; (a)  1 /( 2a  1) c(u, v)  1   (1  u )   (1  v)   1 a   

como para la cópula de Clayton.

4. CÓPULAS CON R (YAN, J. 2007; KOJADINOVIC, I & YAN, J. 2010). 4.1.Descripción del programa Clases de cópula comúnmente usadas incluyendo elípticas (normal y t), Arquimedianas (Clayton, Gumbel, Frank, y Ali-Mikhail-Haq), valor extremo (Gumbel, Husler-Reiss, Galambos, Tawn, y T-EV), y otras familias (Plackett y Farlie-GumbelMorgenstern). Métodos para la función de densidad, de distribución, generación de números aleatorios, medidas de dependencia bivariante, perspectiva y gráficos. Funciones para ajustar los modelos de cópulas con la estimación de la varianza. Tests de independencia entre variables y vectores aleatorios. Tests de independencia para series temporales continuas univariante y multivariante. Contrastes de bondad de ajuste para cópulas basado en multiplicadores y bootstrap paramétrico. Y las pruebas de dependencia de valor extremo.

archmCopula

Construcción de objetos para una cópula Arquimediana

archmCopula(family, param, dim = 2, …)

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claytonCopula(parm, dim = 2) frankCopula(param, dim = 2) gumbelCopula(param, dim = 2) amhCopula(param, dim = 2)

“archmCopula” es un contenedor para “claytonCopula”, “frankCopula”, “gumbelCopula” y “amhCopula”. Sólo la familia de cópulas bivariada Ali-Mikhail-Haq (“amhCopula”) está disponible. La dimensión máxima por la que la expresión pdf está disponible es de 6 para las familias de Clayton, Gumbel y las de Frank. La expresión cdf está siempre disponible. La dimensión máxima para la que "dcopula” se puede evaluar es 10 para las familias de cópulas Clayton y Gumbel, y 6 para la familia de cópulas Frank. También son las dimensiones máximas para la estimación de máxima verosimilitud que se puede hacer. Copula 

Funciones de distribución de las cópulas

dcopula (copula, u) nos

da la función de densidad

pcopula (copula, u) nos

da la función de distribución

rcopula (copula, n) nos

genera variables aleatorias

La función de densidad de una cópula Arquimediana se puede obtener de diferentes funciones de distribución simbólicamente usando el Mathematica y luego procesadas por deriv dan la expresión del algoritmo. La dimensión máxima que se puede implementar es 10 para Clayton y Gumbel y 6 para Frank.

ellipCopula

 Construcción de objetos de clase para cópulas elípticas

elliCopula(family, param, dim = 2, dispstr = “ex”, df = 4, …) normalCopula(param, dim = 2, dispstr = “ex”) tCopula(param, dim = 2, dispstr = “ex”, df = 4, df.fixed = FALSE)

“elliCopula” es un contenedor para “normalCopula” y “tCopula”. gofCopula 

Test de bondad de ajuste para las cópulas

gofCopula(copula, x, N = 1000, method = “mpl”, simulation = “pb”, print.every = 100, optim.method = “BFGS”)

Si el bootstrap paramétrico se utiliza, los parámetros de dependencia bajo la hipótesis para la familia de cópulas pueden estimarse bien mediante la máxima pseudoverosimilitud o a la inversa con los parámetros  de Kendall o  de Spearman.

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Si el multiplicador se utiliza, cualquier método de estimación se puede utilizar en el caso bivariado, pero sólo la estimación de máxima pseudo-verosimilitud puede ser utilizado en el caso multivariante (multiparámetro). Para las cópulas normal y t, existen varias estructuras de dependencia que pueden ser hipotetizadas en: "ex" de canjeables, "AR1" de AR (1), "toep" para Toeplitz, y "un" para no estructurados. Para la cópula t "df.fixed" tiene que ser establecido como TRUE, lo que implica que los grados de libertad no son considerados como un parámetro a estimar. Hasta ahora, el enfoque multiplicador se ha aplicado a seis familias de cópulas: la Clayton, Gumbel, Frank, Plackett, normal y t.

mvdc

 Construcción de cópulas multivariantes

mvdc(copula, margins, paramMargins, marginsIdentical = FALSE) dvdc(mvdc, x) pvdc(mvdc, x) rvdc(mvdc, n)

Es igual que para la función copula pero en el caso multivariante. Nos da la función de densidad, la función de distribución y generador aleatorio para la distribución multivariante mediante las cópulas.

4.2.Ejemplos de cópulas con R > clayton.cop Clayton copula family; Archimedean copula Dimension: 3 Parameters: param = 2 > > x > dcopula (clayton.cop, x) [1] 1.1406609 2.2629133 7.2417026 1.1773650 5.6338957 0.2863785 2.0507734 1.8047753 2.3541708 [10] 2.5098008 > > pcopula (clayton.cop, x) [1] 0.48129986 0.54986476 0.05413334 0.29661974 0.05625752 0.17200178 0.38814874 0.44253470 [9] 0.27508650 0.27016153 > rcopula (clayton.cop, 10) [,1] [,2] [,3] [1,] 0.6335365 0.6503954 0.7026508

14

[2,] 0.9358007 0.8295561 0.9445486 [3,] 0.7373128 0.2712788 0.2397300 [4,] 0.7425042 0.5836922 0.7894719 [5,] 0.4694165 0.9856188 0.6640260 [6,] 0.5511831 0.3248458 0.5712684 [7,] 0.4600906 0.6895754 0.2819054 [8,] 0.4376851 0.3131554 0.2284230 [9,] 0.8191476 0.4180637 0.8906576 [10,] 0.3694503 0.3906756 0.8061163

0.2

0.4 0.2 0.0 0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

rcopula(clayton.cop, 1000)[,2]

1.0 0.8 0.6 0.4

1.0 0.8 0.6

0.0

rcopula(clayton.cop, 1000)[,3]

> scatterplot3d (rcopula (clayton.cop, 1000))

1.0

rcopula(clayton.cop, 1000)[,1]

> persp(clayton.cop, dcopula, main ="Representación de la función de densidad de la copula de Clayton ",col = "green ") Representación de la función de densidad de la copula de Clayton

zmat yis xis

>clayton.cop = archmCopula ("clayton" ,2) >contour ( clayton.cop , dcopula , main =" lineas de nivel de la copula de Clayton ")

15

0.8

1.0

lineas de nivel de la copula de Clayton

0.4

0.6

2

0.2

2

4

0.0

6

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

3

> c > contour(c, dmvdc, xlim = c(-3, 3), ylim = c(-3, 3))

2

0.02

1

0.06 0.12

0.18

-1

0

2 0.

0.1

4

0.1

6

0.1

-2

0.0

4

-3

0.0

8

-3

-2

-1

0

1

2

3

> x > gofCopula(claytonCopula(1), x) Progress will be displayed every 100 iterations. Iteration 100 Iteration 200 Iteration 300 Iteration 400 Iteration 500 Iteration 600 Iteration 700 Iteration 800 Iteration 900

16

Iteration 1000 Parameter estimate(s): 3.333526 Cramer-von Mises statistic: 0.01162119 with p-value 0.7747253

> frank.cop Frank copula family; Archimedean copula Dimension: 3 Parameters: param = 2 > x dcopula (frank.cop, x) [1] 0.3863796 1.9669197 1.1203057 0.6463362 1.1710106 3.5429084 0.7133750 1.1558532 1.3445939 [10] 0.8154098 > pcopula (frank.cop, x) [1] 0.027043608 0.003178339 0.131596384 0.062158422 0.066599718 0.742674087 0.002415195 [8] 0.371684951 0.051920615 0.284852687 > rcopula (frank.cop, 10) [,1] [,2] [,3] [1,] 0.08219348 0.04336056 0.57764709 [2,] 0.44960961 0.06407237 0.04483734 [3,] 0.41572522 0.80874908 0.75956309 [4,] 0.82149617 0.98100453 0.86152376 [5,] 0.41280173 0.63255132 0.25005976 [6,] 0.96875759 0.65377667 0.69835206 [7,] 0.36531584 0.83754175 0.80150284 [8,] 0.73711325 0.05048273 0.11572618 [9,] 0.83522189 0.11133127 0.50560722 [10,] 0.79156285 0.94557957 0.77114690

17

0.2

0.4 0.2 0.0 0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

rcopula(frank.cop, 1000)[,2]

0.8 0.6 0.4

1.0 0.8 0.6

0.0

rcopula(frank.cop, 1000)[,3]

1.0

> scatterplot3d (rcopula (frank.cop, 1000))

1.0

rcopula(frank.cop, 1000)[,1]

> frank.cop=frankCopula ( 2 , dim = 3) > persp(frank.cop,dcopula,main ="Representación de la función de densidad de la copula de Frank ", + col = "red")

Representación de la función de densidad de la copula de Frank

zmat yis xis

> frank.cop = archmCopula ("frank" ,2) > contour ( frank.cop , dcopula , main =" Lineas de nivel de la copula de Frank ")

18

1.0

Lineas de nivel de la copula de Frank 2 1.8

0.4

0.8

1.6 1.4

0.6

0.6

1.2

0.4

0.8 0.8

1 1.2

0.6

1

0.2

1.4

1.6 1.8

0.4

0.0

2

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

> f contour(f, dmvdc, xlim = c(-3, 3), ylim = c(-3, 3))

2

0.02 0.06

1

0.1

0

0.14

0.16

-1

0.12

0.08

-3

-2

0.04

-3

-2

-1

0

1

2

3

>x gofCopula(frankCopula(1), x) Progress will be displayed every 100 iterations. Iteration 100 Iteration 200 Iteration 300 Iteration 400 Iteration 500 Iteration 600 Iteration 700 Iteration 800 Iteration 900 Iteration 1000 Parameter estimate(s): 0.4910399 Cramer-von Mises statistic: 0.03638085 with p-value 0.7767233

19

> gumbel.cop Gumbel copula family; Archimedean copula; Extreme value copula Dimension: 3 Parameters: param = 2 > x > dcopula (gumbel.cop, x)

0.0

rcopula(gumbel.cop, 1000)[,2]

1.0 0.8 0.6 0.4

1.0 0.8 0.6

0.2 0.0

rcopula(gumbel.cop, 1000)[,3]

[1] 2.3786190 1.6742971 1.8830918 2.1060078 2.0530480 2.8122926 2.3613796 1.0990353 1.0454992 [10] 0.9172742 > > pcopula (gumbel.cop, x) [1] 0.27174969 0.02093863 0.11660914 0.21825965 0.37523633 0.73475450 0.04223108 0.24771826 [9] 0.24265831 0.11754976 > > rcopula (gumbel.cop, 10) [,1] [,2] [,3] [1,] 0.21405126 0.39300015 0.4247280 [2,] 0.35581132 0.60022667 0.5859464 [3,] 0.78698774 0.82507970 0.4565024 [4,] 0.46137702 0.21763070 0.2319855 [5,] 0.02890441 0.06790075 0.4008734 [6,] 0.64157858 0.77205110 0.7762012 [7,] 0.55210790 0.71160254 0.5691687 [8,] 0.42997069 0.17062175 0.5617679 [9,] 0.09745761 0.07336817 0.8619546 [10,] 0.92003582 0.27114350 0.3072968 > > scatterplot3d (rcopula (gumbel.cop, 1000))

0.4 0.2 0.0 0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

rcopula(gumbel.cop, 1000)[,1]

20

>gumbel.cop = archmCopula ("gumbel" ,2) >contour ( gumbel.cop , dcopula , main =" Lineas de nivel de la copula de Gumbel ")

1.0

Lineas de nivel de la copula de Gumbel

0.8

4

0.2

0.4

0.6

2

0.0

2

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

>c contour(c, dmvdc, xlim = c(-3, 3), ylim = c(-3, 3))

0.06

1

0.0 0 6

0.2

0

0.1

8

.12

0.1

8

-1

0.14

0.1

-2

0.04

-3

0.02

-3

-2

-1

0

1

2

3

> x > gofCopula(gumbelCopula(1), x) Progress will be displayed every 100 iterations. Iteration 100 Iteration 200 Iteration 300 Iteration 400 Iteration 500 Iteration 600 Iteration 700 Iteration 800

21

Iteration 900 Iteration 1000 Parameter estimate(s): 2.377368 Cramer-von Mises statistic: 0.03193303 with p-value 0.515984

> ##Ejemplo de una distribución bivariante con marginales gamma y modelo de cópula normal > > > ajuste > n >dat > loglikMvdc(c(2, 1, 3, 2, 0.5), dat, ajuste) [1] -789.1493 > ## Ejemplo para obtener el estimador de máxima verosimilitud > > > mv mv [1] 2.035202 5.860395 > > p p [1] 1.980244 9.532124 > > b1.0 b1.0 [1] 2.091686 0.972996 > > b2.0 b2.0 [1] 3.602999 1.626533 > > a.0 a.0 [1] 0.4326235 > > start start [1] 2.0916861 0.9729960 3.6029991 1.6265325 0.4326235 > > fit > fit The Maximum Likelihood estimation is based on 200 observations. Margin 1 : Estimate Std. Error m1.shape 2.1072717 0.1963499 m1.scale 0.9657603 0.1015358 Margin 2 : Estimate Std. Error m2.shape 3.410329 0.3257242 m2.scale 1.719073 0.1769546 Copula: Estimate Std. Error rho.1 0.4431644 0.05684825 The maximized loglikelihood is -787.7095 The convergence code is 0 see ?optim.

23

5. CÓPULA DE SIMULACIÓN BASADA EN LA ESTIMACIÓN DEL VOLUMEN ÓPTIMO PARA UNA CUENCA DE DETENCIÓN (OSORIO, F. ET AL. 2010) El modelo de Poisson de pulsos rectangulares (PRP), describe la naturaleza probabilística de la intensidad media y la duración de las tormentas. Pero no se tiene en cuenta la intensidad máxima o la posición máxima relativa de la intensidad de la tormenta. El modelo PRP simplifica el procedimiento, y lo hace atractivo para los hidrólogos, sin embargo, a menudo se pueden producir inconsistencias y sesgos significativos en las estimaciones de las inundaciones, que pueden conducir a la insuficiente o sobredimensionado de las estructuras de ingeniería. Aquí se propone un modelo que supere las limitaciones del modelo de PRP mediante el tratamiento de tres variables aleatorias que participan en las tormentas de lluvias (la duración, la intensidad y el comportamiento temporal) con una distribución generalizada de Pareto. La dependencia estadística entre estas tres variables aleatorias se modela utilizando 2-cópulas. 5.1 Introducción El sistema de alcantarillado combinado (CSS) se utiliza para recoger las aguas residuales domésticas, industriales y el exceso de agua de escorrentía de los edificios, carreteras y campos, y luego pasarlo a una masa de agua recogida adecuadamente. El problema de las inundaciones del CSS es sobre todo por el resultado de la tasa máxima de escorrentía de las tormentas de aguas, no necesariamente por el volumen de escorrentía. Si el flujo máximo de la tormenta pudiera ser atenuado, el problema de las inundaciones no se producirían o se verían atenuadas si sucedieran. Para atenuar la tasa máxima de escorrentía de las tormentas, las cuencas de detención podría ser uno de los métodos preferibles para lograr un objetivo específico de control de inundaciones, especialmente cuando el hidrograma de inundación tiene un rápido aumento. El diseño del volumen de almacenamiento de la cuenca y la configuración de la estructura de salida se adaptarán de forma que, en caso de que la tasa de flujo del sistema de alcantarillado combinado supera el objetivo de la tasa de salida, el almacenamiento se desarrollará en la cuenca, la reducción de la tasa máxima de descarga y dando tiempo a los sedimentos que se asienten. Existen varios métodos de evaluación de los volúmenes de almacenamiento de detención disponibles, sin embargo la más común es el modelado de flujo de ruta. Estos modelos se convierten en los métodos preferibles para la evaluación de volúmenes de almacenamiento debido a su capacidad para simular la escorrentía bajo una variedad de condiciones. Un modelo utilizado es el modelo de la EPA, modelo de gestión de la tormenta de agua (SWMM). Una buena definición de tormenta debe tener en cuenta la naturaleza aleatoria de los tres componentes de la tormenta (es decir, duración de la tormenta, la intensidad y la posición relativa del pico de intensidad). Debe capturar todos los eventos que potencialmente pueden producir una inundación.

24

Sin embargo, en aras de simplicidad de la representación están incluidas sólo las partes de la tormenta que tienen una influencia significativa en la inundación. Dos definiciones diferentes de tormenta que se pueden utilizar son la “tormenta completa" y el "el núcleo de la tormenta", que es la parte más intensa dentro de la tormenta completa. Una tormenta completa se define como un período de lluvias significativas, precedida y seguida por un período definido arbitrariamente de horas en seco, por ejemplo, 6 h. El núcleo de la tormenta es el periodo donde hay mayor intensidad de precipitaciones en una tormenta completa, que es la sección más probable de la tormenta para generar escorrentía. Los patrones temporales de las tormentas extremas tienden a ser más uniformes que los de las tormentas que se producen con mayor frecuencia y tienden a mostrar intensidad en un solo pico (Millar, 1984). Por otra parte los patrones temporales no debe representar la precipitación en las tormentas completas, pero cubre un período de intensas lluvias que se produce en algún momento dentro de la tormenta "núcleo de la tormenta" (Pilgrim y Cordery 1975). Por las razones anteriores y el hecho de que el núcleo de la tormenta es la sección más probable de la tormenta para generar escorrentía, se utilizó el núcleo de la tormenta en nuestro modelo. Nosotros representamos el núcleo de la tormenta de lluvia extrema por un triángulo tormenta equivalente (ver fig. 1), donde la altura del triángulo representa la intensidad de la lluvia del núcleo de la tormenta Si, lo que es igual a la intensidad máxima por hora en la tormenta actual, y la base del triángulo representa la duración del núcleo de la tormenta Sd.

Figura 1 La posición relativa del pico de intensidad del núcleo de la tormenta SP es una representación adimensional de la variación en la ubicación de la intensidad de las precipitaciones máximas en la duración de las precipitaciones del núcleo de la tormenta. La posición relativa del pico de intensidad del núcleo de la tormenta se representa como un porcentaje de la duración del núcleo de la tormenta (10, 20, y el 90% de la duración del núcleo de la tormenta). En este trabajo, la estimación de la

25

duración de núcleo, Sd, se hizo tomando el número de horas cuando la precipitación superaba la intensidad media de la tormenta completa. Las fases de este trabajo son: a) El modelado de las distribuciones marginales de las tres variables aleatorias que participan en las tormentas de lluvia (duración, intensidad, y la posición relativa del pico de intensidad) con una distribución generalizada de Pareto. b) La dependencia de modelización estadística entre las tres variables aleatorias usando 2-Cópulas. c) Utilizando el modelo propuesto para el diseño SWMM de una cuenca de detención en la ciudad de Granada -España. En este trabajo se utilizan cópulas Arquímedes (Nelsen 1999; Frees and Valdez 1998; Genest and Mackay 1986) y valores extremos (EV), leyes del modelo, tanto la dependencia estadística y la distribución de las variables aleatorias de las precipitaciones de tormentas como la base del modelo de simulación de Monte Carlo. Este modelo se utiliza para generar secuencias sintéticas de las tormentas de lluvia que se espera que aparezcan en el futuro. De este modo se introdujeron en la aplicación de software SWMM para la estimación óptima de detención de la cuenca inferior de los CSS, que no se puede ampliar sin que el costo también aumente considerablemente.

5.2 Identificación de las distribuciones marginales de las componentes de las tormentas Los datos están disponibles en un registro de las precipitaciones por hora en Granada (España) durante un período de tiempo de 14 años desde el 1 octubre 1990 al 1 octubre 2004. Después de un período seco de seis horas se utiliza como un intervalo para separar las distintas tormentas. Esta elección se basa en el comportamiento de la meteorología en esta área. Para el modelo de máxima intensidad de la tormenta Si, duración Sd, y posición relativa de los picos de intensidad de la tormenta SP, se utiliza la aproximación del pico-sobreumbral (POT). Este enfoque se basa en la utilización de todos los eventos superior a un umbral de valor alto en los datos disponibles (llamada excedencias). Para un umbral suficientemente alto, el número de observaciones por encima del umbral por año es bajo y de distribución de Poisson. El comportamiento de los eventos por encima del umbral es descrito por la distribución generalizada de Pareto por colas (GP) (2001) y  G ( y )  1  1    '  

1 

definida como [y : y > 0 y (1  y / ' )  0 ], donde '    (u  ) y ,   R;   0

26

Para conseguir la máxima intensidad de datos de la tormenta se utiliza la media residual de la parcela, el umbral establecido u es de 0,2 cm / h. Desde el punto de vista físico, esta práctica se corresponde con las precipitaciones de tormenta que pueden producir una cantidad significativa de la escorrentía. La intensidad máxima de las tormentas y los períodos de máxima tormenta son aptos en la distribución GP, mientras que la correspondiente posición relativa de los picos de intensidad de la tormenta se ajusta a la distribución Gumbel, dado por:   x     H ( x)  exp  exp      

donde   0,   0 = la escala y los parámetros de ubicación, respectivamente. La tabla 1 muestra los parámetros estimados, los errores estándar de la distribución sobre la base de las estimaciones de máxima verosimilitud de los parámetros, (desde la posición del pico relativo acotado entre 0 y 100%, el ajuste de una Gumbel puede dar valores superior al 100%, como la escala y los parámetros de ubicación son iguales a 0,18 y 0,37, respectivamente, la probabilidad asociada a los valores mayores que 1 es de alrededor de 0,03, y negativas alrededor de 0,0004 valores, respectivamente, y por esta razón, en el proceso de simulación las fuerzas de rutina para los valores de entrada de Sp entre 0,001 y 0,97) y las respectivas al test de bondad de ajuste de Kolmogorov-Smirnov. Estos resultados se obtuvieron mediante el uso de varias subrutinas desarrolladas por Coles (2003), utilizando el software estadístico R.

Variable Si Sd Variable SP

'

Error Estándar



Error Estándar

Test de KS

0.51 3.29

0.06 0.30

0.19 0.18

0.08 0.07

D = 0.0906; p = 0.12 D = 0.072; p = 0.342



Error Estándar



Error Estándar

0.37

0.01

0.18 0.009 Tabla 1

D = 0.099; p = 0.071

5.3 Medida de dependencia entre las tres variables Las cúpulas Arquimedianas se puede construir mediante la medida de asociación  de Kendall. Los valores empíricos de  de Kendall, entre los diferentes pares de series

(Si, Sd), (Si, Sp), y (Sd, Sp) y considerado sus colas, en la Tabla 2, se puede observar una baja asociación para el par de (Sd, Sp), Esto tendrá incidencia en el ajuste de la cópula.

27

El parámetro  puede ser estimado en función de la  de Kendall mediante las siguientes fórmulas para las tres cópulas: Clayton  

 2

Gumbel   1 

Frank   1 

4 1  





0

1  t  dt  e 1  t

El mejor ajuste para las cópulas bivariadas, (Si; Sd); (Si; Sp) y (Sd; Sp).



(Si; Sd)

(Si; Sp)

(Sd; Sp)

0.12

0.16 Tabla 2

0.02

DC( 2 )

DC( 2 )

DC( 2 )

Cópula de Frank

Cópula de Gumbel

Cópula de Clayton

(Si; Sd) (Si; Sp)

0.170 0.0701

0.3035 0.0925

0.1923 0.0970

(Sd; Sp)

0.390

0.370 Tabla 3

0.290

Pares

Para identificar una cópula bivariada apropiada, se utiliza un diagnóstico numérico. Este diagnóstico nos permite decidir cuál de los tres modelos de cópulas Arquimedianas de distribución empírica de los pares (Si; Sd); (Si; Sp) y (Sd; Sp) es mejor. La cópula C  , que tiene el más bajo DC( 2 ) , dado por: DC( 2) 

 C Fˆ ( x ), Fˆ ( x )  Fˆ ( x , x 

1

1

2

2

1

2)

2

x1 , x2

es elegida como la mejor cópula donde x1 y x2 son las variables utilizadas y Fˆ denota la función de distribución empírica. Para las tres cópulas y para cada par de variables, los valores DC( 2 ) se muestran en la tabla 3. De acuerdo con el criterio DC( 2 ) , sugerimos el uso de la cópula de Clayton para el par (Sd; Sp) definido como:





C  (u , v)  max  u   v   1 

1 / 

,0, 

0

y la cópula de Frank para los pares (Si; Sd) y (Si; Sp) definida como:

28

C (u, v)  







1  e u  1 e v  1  ln 1  ,   e   1 



Las figuras de las gráficas de abajo muestran la bondad del ajuste utilizando QQplots de los pares de cópulas (Si; Sd) y (Si; Sp) respectivamente.

La herramienta de la cópula es menos universal en el caso de variables n  3 que en el caso de dos variables. Sin embargo, una familia de cópulas Arquimedianas bivariadas pueden ampliarse de forma natural a n variables de la familia de cópulas Arquimedianas, n  3, bajo ciertas restricciones. En primer lugar, para obtener esta extensión, toda cópula marginal bivariada de la cópula multivariante deberá pertenecer a la familia bivariada. En segundo lugar, todas las cópulas marginales multivariantes de orden 3 a n-1 deberán tener la misma forma multivariante. Además, en la clase de n  3, hay superposición de los marginales y por tanto no son completamente independientes el uno del otro. A pesar de las limitaciones y el hecho de que la dependencia entre la pareja (Sd; Sp) es muy baja, se decide no prorrogar la cópula bivariada a la cópula tridimensional. También se decide utilizar los pares de cópulas (Si; Sd) y (Si; Sp) en la simulación, con el fin de generar eventos de tormenta con precipitación aleatoria.

5.4 Procesos de simulación

1.- Identificación de las tres componentes de distribución de precipitaciones de la tormenta. 2.- Ajuste de las variables Si, Sd y Sp adecuadas a las distribuciones. 3. Identificación de la función de distribución conjunta (cópula) que mejor se adapte a las cópulas bivariantes (Si; Sd); (Si; Sp) y (Sd; Sp). 4. El uso de las dos cúpulas y de las funciones de distribución acumulada (FCD) de las variables Si, Sd y Sp para generar los registros de intensidad de tormenta, duración y el patrón temporal, de la siguiente manera:

29

a) Determinar los valores de Si y Sd de la cópula de (Si; Sd)  

Generar dos variables aleatorias uniformes independientes (0, 1) v1 y v2, y si  v1 ; C si ( s d ) función de distribución condicionada para Sd dado S i  si .

sd  Csi 1 (v2 )

b) Determinar el valor de SP desde la cópula (Si; Sp) generando una variable aleatoria uniforme independiente (0, 1), v 3 . Dado Si  v1 . s p  Csi 1 (v3 ) c) Una vez obtenidos los valores Si, Sd y Sp, se genera una tormenta. d) Divide la intensidad de las tormentas generadas en cinco minutos con el fin de ser utilizado como entrada de datos de lluvia para la aplicación del software SWMM

5.5 Modelo de la CSS Para aplicar el modelo propuesto, un modelo SWMM se puso una cuenca de 3 km2 en la ciudad de Granada, España. El objetivo fue estimar el volumen óptimo de una cuenca de detención, en que se compensaría el hecho de que una parte de la corriente abajo CSS fuera inferior al permitido, y no pudiera ser fácilmente ampliada. El modelo se basa en el gasto sanitario observado y los datos históricos de lluvias. Los datos sobre las características físicas de la zona también se tuvieron en cuenta, y la forma del hidrograma fue modificado mediante el ajuste de varios parámetros de escorrentía hasta que se correspondían con los flujos observados. El modelo de simulación EV-cópula para la cuenca de detención está dividido en las siguientes etapas: 1.- Evaluación del volumen de la cuenca de detención para varios periodos de retorno El diseño de las estructuras de la cuenca de detención se centra en la predicción de la escorrentía durante las tormentas extremas. Esto requiere estimaciones de la probabilidad de ocurrencia dada una duración determinada, intensidad y posición relativa de máxima intensidad de la tormenta para el análisis de los costos y beneficios potenciales de la estructura. Estas estimaciones se llaman períodos de retorno. Un

30

periodo de retorno es la frecuencia media con la que una tormenta dada se espera a que se repita. Hemos estimado el período de retorno de la tormenta mediante el uso de dos cópulas al mismo tiempo para generar una serie de intensidades máximas del núcleo de la tormenta, duraciones y posiciones relativas del pico de intensidad de las lluvias de tormenta igual al número medio anual de tormentas en la zona, multiplicado por el período de retorno. Este proceso se repite 10.000 veces por cada período de retorno, (ejemplo, un período de retorno de 10 años: 238 tormentas reales/14 años  10 años = 170 tormentas, que se generan 10.000 veces. La división de las tormentas generadas con intensidad de 5 min., con el fin de ser utilizado por el modelo SWMM. Evaluación de la respuesta CSS para las tormentas generadas. En este caso, el volumen estimado de la cuenca de detención se basa en la tormenta más severa que produce la escorrentía máxima, considerada como la tormenta de periodo de retorno. 2.- Evaluación del impacto de las tormentas generadas al azar sobre el desempeño de las cuencas de detención, diseñado como resultado del primer paso Determinación del volumen de almacenamiento óptimo, reduciendo al mínimo el costo total, incluyendo la inversión inicial de la construcción y el costo de los daños ambientales causados por las inundaciones. Para este propósito, el modelo CSS, incluye almacenamientos para cada período de retorno, estimado en el paso anterior, están sujetos a las tormentas generadas con un período de retorno alto (por ejemplo, tormentas en 150 años). Entonces el número de tormentas que causaron inundaciones para cada modelo es estimado. El costo de los daños ambientales se supone como una constante, es decir, cada evento de desbordamiento tiene un inmediato efecto, que es independiente de su volumen. Los resultados de la simulación se resumen en lo que respecta a los impactos sobre los requisitos del volumen de almacenamiento y costes asociados. La detención de cuencas en estas simulaciones se suponen que funcionan sin regulación de salida. Puesto que es necesario tener en cuenta el valor temporal del dinero, el análisis de valor presente equivalente se utilizó para convertir todos los costos para los diferentes escenarios a un punto en común en el tiempo, el presente. En este método, todos los costes futuros son descontados en el presente, que nos permite elegir el volumen de detención óptimo más económico. En las simulaciones se utilizó un tipo de interés del 5%.

5.6 Resultados Para evaluar la relación entre el periodo de retorno y el costo total de la cuenca de detención para distintos períodos de retorno (Figura 2), el costo de la cuenca de detención, sobre la base de su volumen, se calcula utilizando la siguiente ecuación: C  55,000V 0.69

donde C = costo de la construcción ($) y V = volumen de la cuenca 31

Figura 2 El costo, sin incluir daños indirectos, resultantes de daños por inundaciones se supone que es constante. Esto significa que cada evento de inundación tiene un efecto inmediato que es independiente de su volumen. Este costo estimado es de $ 1.370. Como se muestra en la figura 2, un período de retorno de 55 años es el volumen de detención óptimo de almacenaje. La función de costo es relativamente recta en todo el coste óptimo, lo cual es indicativo de la solidez de la decisión a adoptar. A continuación, se compararon los costos iniciales del resultado de la cuenca de detención con los resultados obtenidos utilizando la curva con la frecuencia de la intensidad de duración (IDF) de Granada (España). Para estimar la curva del costo inicial de IDF, se optó por la duración de la tormenta, que produjo el volumen máximo de la cuenca de detención para cada periodo de retorno. Los resultados obtenidos de las curvas IDF se muestran en la figura 3. De acuerdo con esta figura, las dos curvas son similares y las diferencias no son muy importantes. Además, las dos curvas se cortan en un período de retorno de 65 años, lo que significa que este periodo de retorno del gráfico lo divide en dos partes. Para períodos de retorno inferior a 65 años, los volúmenes obtenidos con nuestro modelo son más bajos, mientras que para periodos de retorno de más de 65 años, nuestro modelo es más conservador. Esto se debe a la baja dependencia entre las características de la tormenta y el hecho de que las curvas de las IDF puede consistir en componentes de varias tormentas diferentes. Ellos de ninguna manera representan la evolución temporal de una tormenta real, es más, cuando las frecuencias son asignadas a la profundidad total de la tormenta (independientemente de la duración), por lo general no coinciden con las frecuencias condicionales de profundidad para la duración dada obtenida a partir de las curvas IDF.

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Figura 3

5.7 Conclusiones El modelo de cópula EV presentado en este trabajo es una aproximación alternativa al método de enfoque del diseño de eventos, que considera la duración del evento de lluvia, la intensidad y la posición relativa de la intensidad máxima como variables aleatorias. Esto toma en cuenta la naturaleza probabilística conjunta de los componentes de la lluvia. El uso de las funciones de cópula en este trabajo es de gran interés para la construcción de modelos de dos variables. Por otra parte, son muy útiles en las simulaciones Monte Carlo de las variables dependientes. Las cópulas capturan la dependencia de la estructura de los datos, y por lo tanto son muy útiles para describir la dependencia de los resultados extremos, y también se muestra muy útil en el estudio de las medidas no paramétricas de la dependencia. Por último, el artículo muestra que los resultados obtenidos con este modelo son similares a los obtenidos con las curvas del modelo IDF.

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6. REFERENCIAS

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