Universidad de Puerto Rico en Arecibo Departamento de Matemáticas

Expresiones Algebraicas y Polinomios Prof. Glorymill Santiago Labrador Adaptado por: Prof. Anneliesse Sánchez, Prof. Caroline Rodríguez

Variables • Álgebra utiliza letras como “x” y “y” para representar números. • Si una letra se utiliza para representar varios números, se llama una variable. • Si x representa el numero de minutos que una persona puede estar expuesto al sol sin quemarse (si no usa protector solar). Entonces, x es una variable, por que puede asumir un valores diferentes.

Constantes • Si una letra se utiliza para representar un solo número, se llama una constante. • Ej. Si d representa el número de días en la semana, entonces d siempre tiene el valor 7. Entonces, d es una constante.

Expresiones Algebraicas • Una combinación de variables y constantes con las operaciones de suma, resta, multiplicación o división, así como potencias o raíces, se llama una expresión algebraica. • Una expresión algebraica representa un número real. Ejemplos: 3x + 4y 3w + 1 – x – z

2 xyz 5

4x 1 3

Términos Los términos de una expresión algebraica son las partes de la expresión que se separan mediante una operación de suma o resta que NO está contenido dentro de símbolos de agrupación. Los siguientes son ejemplos de expresiones que tienen un solo término: 2 xy 5 3 x 3 z

5 x

8y

 3xy 2 7  5x 4

2x  y

Términos (cont.) A los términos que incluyen variables se conocen como términos variables. A los términos que no incluyen variables, o que sólo incluyen constantes se les conoce como términos constantes.

Cantidad de términos Una expresión se compone de uno o más términos asociados entre si mediante la suma o la resta. Ejemplos: Determinar el número de términos a) 3x + 7y2 – 5

b) -2(x+y)

Práctica Indique la cantidad de términos que tienen las siguientes expresiones: 2 9𝑥 − − 5 𝑥

4y  x  5x 3y

4x 7 zy 3

x5 x3

3

2x  7  9

5

Coeficientes El factor numérico de un término se conoce como el coeficiente. Ejemplos: El coeficiente de -3x2y es El coeficiente de 5y3 es El coeficiente de -2s es El coeficiente de xyz es El coeficiente de

2𝑥𝑦 3

es

Evaluación de Expresiones Algebraicas: Si tenemos una expresión algebraica digamos :

2xy + 3x2y – 5xy2 • Esta expresión representa valores diferentes dependiendo, de los valores que se asignan a las variables. • Determinar el valor de la expresión para ciertos valores de la variables se conoce como evaluar la expresión.

Evaluación de Expresiones Algebraicas (cont.) Evalúe para x = 7 , y = -3 la expresión 2xy + 3x2y – 5xy2

Evaluación de Expresiones Algebraicas

Evalúe

𝑝+3 − 5𝑝 + 2, 𝑝−1

para p = - 3

Términos semejantes Dos términos son semejantes sí y solo si tienen las mismas variables elevadas éstas a los mismos exponentes o potencias. Ejemplos:

Práctica Dos términos son semejantes sí y solo si tienen las mismas variables elevadas éstas a los mismos exponentes. Indicar si las parejas de términos son o no son semejantes. 4xy; 2yx 53wz; 74wz

Semejantes

6pq; −6pq wzr 6wzr; 6

3xy; 3x2y 7x 7xy; y

No semejantes

Simplificación o reducción de expresiones algebraicas Para reducir términos aplicamos propiedades básicas del álgebra   

propiedad conmutativa: a + b = b + a; ab = ba propiedad asociativa: (a + b)+ c = a + (b + c); a(bc) = (ab)c propiedad distributiva, ab + ac = (b + c)a = a(b + c)

Ejemplos: 6 + (8 + p) = − 10(9.2x)= −3w + 5w =

Reducir cada expresión algebraica

a)

b)

Simplificar cada expresión algebraica c)

d)

Polinomios

Polinomios Definición: Un polinomio es una expresión algebraica que cumple con las siguientes condiciones: Ningún término de la expresión tiene un denominador que contiene variables Ningún término de la expresión tiene un radical que contiene variables Todos los exponentes de las variables son enteros no-negativos. Los polinomios se pueden nombrar con una letra mayúscula seguida por la(s) variable(s) que contiene la expresión entre paréntesis. Ej. P(x), Q(x,y)

Polinomios Un polinomio tiene la siguiente forma general:

𝑷 𝒙 = 𝒂𝒏 𝒙𝒏 + 𝒂𝒏−𝟏 𝒙𝒏−𝟏 + 𝒂𝒏−𝟐 𝒙𝒏−𝟐 + ⋯ + 𝒂𝒐 Donde: 𝒂𝒏 , 𝒂𝒏−𝟏 𝒂𝒏−𝟐 , …., 𝒂𝟎 son coeficientes reales y las potencias de las variables descienden en valor

Ejemplos de Polinomios

Ejemplos de No - Polinomios 3 2

P(x) = 3x2 – 5x + 1

4 x  5x 2  3

Q(y) = 4y – 3 y2 + 4y5

3x 2  4 x  1

9 − 4x − 2x 3 G x = 5

3 4x  5 x

R(x,y) = 2xy – 7y + 6x

4x2  7x 1 3x 3

W(p,q) = p + q – 5pq

3x 2  7 x  x  7 4 2

Clasificar Polinomios Los polinomios se pueden clasificar según la cantidad de términos: • • • •

monomio: un solo término binomio: dos términos trinomio: tres términos De ahí en adelante no reciben nombres particulares y se les llama simplemente polinomio. (el prefijo poli significa plural, o muchos)

Grado de un polinomio El grado de un polinomio se determina de la siguiente forma: (i) Si el polinomio es en una variable, el grado será la potencia mayor de la variable. Ejemplo: Q(y) = 4y – 3 y2 + 4y5 (ii) Si el polinomio tiene más de una variable el grado se determina de la siguiente forma: para cada término se suman las potencias de la(s) variable(s) y el grado será el total mayor. Ejemplo: P(x) = 3x2y– 5xy + x2 y2

Coeficiente principal El coeficiente principal de un polinomio es la parte numérica del término con la potencia mayor de la variable. Ejemplos:

P(x) = 3x2 – 5x + 1 Q(y) = 4y – 3 y2 + 4y5 9 − 4x − 2x 3 G x = 5

Grado de Polinomios – Práctica Polinomio P(x) = -5 P(x) = 8 – 7x Q(z) = 2+ 7z – 4z2 Q(y) = 2y – 51y2 – 12y6 – 7

F(r) = 3r2 – 5r3 + 3r + 45 F(x,y) = 2xy + 6x3y – 4xy2 R(x,y) = 4x2y – 5x2y2 + xy4 R(x,y) = 42x3y2 – x3y3 – 11x3y

Grado

Coeficiente Principal

Evaluación de Polinomios: Los polinomios se evalúan de la misma forma en la que evaluamos expresiones algebraicas anteriormente. (Los polinomios SON expresiones algebraicas.) Ejemplo: Sea P(x) = 3x2 – 5x + 1, hallar P(2). Nota: La notación P(2) se lee “P de 2” y significa “determinar el valor de la expresión cuando x tiene el valor de 2”

Evaluación de Polinomios Ejemplo: Si R(p, q) = 2pq + 6pq2 – 4p2q, evalúe R(2, -3) Notas: • Es muy importante asignar correctamente los valores a las variables. En este caso p=2 y q= -3 • Cuando en una expresión una variable se coloca al lado de otra hay una multiplicación implícita. Por ejemplo, pq implica multiplicar el valor de p por el valor de q

Operaciones entre polinomios Suma y resta de polinomios:

I.

a)

Unir los términos semejantes de los polinomios . Luego, ordena los términos según el grado de los términos.

b)

La resta de dos polinomios requiere aplicar la propiedad distributiva al sustraendo. Esto afectará el signo de TODOS los términos en éste polinomio. Luego, se trata como una suma.

c)

Si no existen términos semejantes en los polinomios, el polinomio nuevo se compone de los términos de cada polinomio, en orden de grado de los términos

Suma y resta de polinomios - ejemplos Simplifique los siguientes ejemplos:

a) ( 3x 2  5x  11)  (4x 2  3x  13)

b) (13x 2 – 5x  7)  (2x 2  11x – 10)

Suma y resta de polinomios - ejemplos c) (2x – 4x 2  8) – 2(11  3x 2  4x)