Universidad de Puerto Rico en Cayey PRONTUARIO DE CURSO1

1.

Información que aparecerá en el catálogo 1.1.

Departamento: Matemática-Física .

1.2.

Codificación: MATE 4032

1.3.

Título: ALGEBRA SUPERIOR I .

1.4.

Requisitos: Mate 3172 (Precálculo II) o Mate 3212 (Precálculo con experimentos II)

1.5.

Sesiones en que generalmente se ofrecerá y frecuencia: __x_ Primer semestre ____ Segundo semestre ____ Verano

.

Todos los años

1.6.

Créditos: 3

1.7.

Horas semanales: 3

1.8.

Descripción: Proveer al estudiante, mediante ejemplos concretos, del lenguaje y rigor matemático, que lo capaciten tanto para generar demostraciones como para comprender las bases de teorías más generales. Incluye nomenclatura de conjuntos, relaciones, funciones, números (naturales, enteros racionales, irracionales, algebraicos y transcendentales), estructuras algebraicas: grupos, anillos y cuerpos. la teoría de la divisibilidad en el anillo de los enteros y el álgebra de polinomios con coeficientes en subanillos de los Complejos.

.

1.9. Alineación de los estándares de las Agencias Acreditadoras, si aplica. Este curso permite cumplir con los requisitos de la agencia "National Council for the 1

Certificación 25 (2009-2010) del Senado Académico

Accreditation of Teacher Education" (NCATE) para la formación de maestros de matemáticas de nivel secundario. Específicamente, atiende el cumplimiento de los siguientes indicadores de estándares: 1 .1, 1.3,2.1,2.3,3.1,3.2,5.1,5.2,5.3,9.9,10.2 y 11.4 de "National Council of Teacher of Mathematics" (NCTM / NCATE) 2.

Compendio2 2.1.

Objetivos: 2.1.1. Generales: Al finalizar el curso el estudiante: 2.1.1.1.

Habrá adquirido el lenguaje y los conceptos básicos de estructuras algebraicas y estará capacitado para aplicarlas a casos específicos.

2.1.1.2.

Conocerá diferentes métodos para hacer una demostración y estará capacitado para generar demostraciones de los tópicos desarrollados en el curso.

2.1.1.3.

Conocerá la importancia de las estructuras en el estudio del Álgebra y estará capacitado para proveer diversos ejemplos y contra ejemplos concretos de la teoría.

2.1.1.4.

Conocerá los elementos de la teoría de los números enteros (incluyendo divisibilidad), los números racionales, algebraicos, reales y complejos.

2.1.2. Específicos:

Al finalizar el curso, el estudiante:

2

2.1.2.1.

Escribirá, cuando se le pida, las definición de los Reales, así como de sus principales subsistemas numéricos: Naturales, Enteros, Racionales, Irracionales, Algebraicos, Transcendentales.

2.1.2.2.

Escribirá, cuando se le pida, las definiciones de las nociones asociadas a la divisibilidad en los números enteros: ser divisible por, múltiplo, factor, divisor, máximo común divisor, mínimo común múltiplo, número primo, congruencia módulo un número entero, funciones multiplicativas.

2.1.2.3.

Escribirá, cuando se le pida, las definiciones de las

Esta información sirve de punto de partida para la elaboración del Programa que entregará el profesor a los estudiantes matriculados en el curso el primer día de clases (Certificación 56 1983-84 de la Junta Académica).

nociones asociadas a estructuras algebraicas: estructura algebraica, operación, asociatividad, conmutatividad, elemento neutro, elemento inverso, conjunto cerrado, grupo, anillo, cuerpo. 2.1.2.4.

Describirá a los Reales como un cuerpo ordenado completo y probará las propiedades algebraicas básicas (las consecuencias de los axiomas de cuerpo ordenado).

2 .1.2.5.

Explicará, usando sus propias palabras, el significado de la completitud de los Reales y enunciará algunas de las propiedades relacionadas con la completitud.

2.1.2.6.

Usará los principio de Inducción y del Buen Orden, cuando sea necesario.

2.1.2.7.

Usará y reconocerá el lenguaje de conjuntos, especialmente subconjuntos de uno fijo.

2.1.2.8.

2.1.2.7.1.

Probará e ilustrará gráficamente las relaciones básicas del álgebra de subconjuntos.

2.1.2.7.2.

Construirá la reunión, intersección y complemento de dos conjuntos dados.

2.1.2.7.3.

Construirá el producto cartesiano de dos conjuntos.

2.1.2.7.4.

Verificará si un conjunto dado es subconjunto de otro dado.

2.1.2.7.5.

Identificará si una relación dada es de orden (con sus variantes: parcial, total) o de equivalencia.

Usará el lenguaje de funciones. 2.1.2.8.1.

Definirá de forma precisa la noción de función.

2.1.2.8.2.

Identificará si una función dada es o no inyectiva , suprayectiva o biyectiva.

2.1.2.8.3.

Hallará imágenes directas de subconjuntos del dominio de una función e imágenes

inversas de subconjuntos del codominio.

2.1.2.9.

2.1.2.10.

2.1.2.8.4.

Hallará la composición de dos funciones, cuando se conozcan los factores.

2.1.2.8.5.

Probará que la composición es asociativa.

2.1.2.8.6.

Hallará la inversa de una función dada, cuando exista.

Con respecto a las operaciones binarias y las nociones asociadas. 2.1.2.9.1.

Identificará si un objeto matemático dado es o no una operación binaria.

2.1.2.9.2.

Producirá ejemplos variados de operaciones.

2.1.2.9.3.

Reconocerá si una operación dada es o no, asociativa, conmutativa o distributiva respecto a otra operación.

2.1.2.9.4.

Verificará si un elemento dado es o no neutro respecto a una operación.

2.1.2.9.5.

Verificará si un elemento es el inverso de otro dado, respecto a una operación dada.

2.1.2.9.6.

Verificará si un subconjunto dado es cerrado respecto a una operación.

Identificará la estructura algebraica poseída por un conjunto dado respecto a una o más operaciones definidas en el conjunto: grupoide, semigrupo, monoide, grupo, anillo y cuerpo. 2.1.2.10.1. 2.1.2.10.2.

2.1.2.11.

Identificará diferentes tipos de anillo. Identificará diversos ejemplos básicos: anillo de los Enteros, anillos finitos Zn , anillo de Boole, anillo de matrices, cuerpo de los Racionales, Reales y Complejos.

Con respecto a la teoría de divisibilidad en el anillo de los Enteros. 2.1.2.11.1.

Probara las relaciones básicas de la divisibilidad.

2.1.2.12.

2.1.2.11.2.

Probaré el teorema del algoritmo de la división y lo usará en la resolución de problemas y en otras demostraciones.

2.1.2.11.3.

Hallará el mcd y mcm de un conjunto de números enteros.

2.1.2.11.4.

Probara el teorema de Bezout y lo usará en la resolución de problemas.

2.1.2.11.5.

Resolverá ecuaciones diofánticas.

2.1.2.11.6.

Resolverá ecuaciones en congruencias.

2.1.2.11.7.

Realizará operaciones aritméticas con enteros modulo un entero fijo.

2.1.2.11.8.

Probará el Teorema Fundamental de la Aritmética y lo usará en la resolución de problemas.

Con respecto a los anillos de los polinomios formales con coeficientes en un subanillo de los Complejos o sobre los enteros módulo. 2.1.2.12.1.

Simplificará expresiones conteniendo polinomios.

2.1.2.12.2.

Hallará el cociente y el residuo de la división de un polinomio por otro.

2.1.2.12.3.

Factorizará y simplificará polinomios con coeficientes racionales.

2.1.2.12.4.

Usará los teoremas del factor y del residuo para factorizar polinomios y resolver ecuaciones polinómicas.

2.1.2.12.5.

Enunciará el Teorema Fundamental del Álgebra y lo usará para resolver problemas.

2.1.2.12.6.

Conocerá el Teorema de los Ceros Racionales y podrá determinar los ceros racionales de un polinomio.

2.1.2.12.7.

Estará capacitado para analizar la

irreducibilidad de casos simples de polinomios. 2.1.2.13.

Con respecto a los números algebraicos y

transcendentales. 2.1.2.13.1.

Realizará las operaciones aritméticas con números algebraicos.

2.1.2.13.2.

Verificará que un número es algebraico, construyendo un polinomio del cual sea un cero.

2.1.2.13.2.

2.2.

Usará la teoría de los ceros racionales, para determinar si un número algebraico es racional o no.

Temas y tiempo aproximado que se dedicará a cada uno: Semana

Temas

1

Introducción a los Reales

2

Los Naturales y la Inducción.

3

El Orden en los Reales..

4

Los Enteros y la Divisibilidad Primer Examen Parcial

5

El Algoritmo de Euclides

6

Los Números Primos.

7

Las Congruencias.

8

Los Números Racionales. Segundo Examen Parcial

9

La Teoría de Ecuaciones

10

Los Números Decimales

11.

Los Números Complejos Tercer Examen Parcial

12

Las Operaciones.

13

Las Estructuras Algebraicas

14

Los Anillos de Polinomios

2.3.

Ley ADA/Ley 51: La Universidad de Puerto Rico en Cayey cumple con la Ley ADA (Americans with Disabilities Act) y con la Ley 51 (Ley de Servicios Integrales para Personas con Impedimento) para garantizar igualdad tanto en el acceso al salón de clases como en la experiencia de enseñanza y aprendizaje. Todo estudiante con impedimento puede informarle y solicitarle al profesor de cada curso el que se le provea acomodo razonable a tono con sus necesidades especiales. Es prerrogativa del estudiante solicitar el acomodo razonable al Programa de Servicios a Estudiantes con Impedimento localizado en el Decanato de Estudiantes. Esta información es de carácter confidencial y está protegida por la Ley HIPAA.

2.4.

Estrategias instruccionales3:

Conferencia y discusión entre otros 2.5.

Instrumentos de avalúo formativo: Se recomienda el trabajo cooperativo y el avalúo por medio de grupos focales y listas de cotejo, diseñados en alineación con los objetivos del curso.

2.6.

Métodos de evaluación sumativa y valor porcentual de cada factor en la calificación final: 1. Exámenes Parciales (3) .. 100 pts c/u .....................................................300 50% 2. Asignaciones y trabajos (5) ......................................................................150 25% 3. Examen Final.............................................................................................150 25% Total 600 pts

3

Este modelo se utilizará solo para cursos en modalidad presencial.

2.7.

Sistema de calificación: 100-90 A, 89-80 B, 79-65 C, 64 - 60 D y 59-0 F.

2.8.

Textos y otros materiales:

Texto: Hungerford,Thomas W. (1996) Abstract Algebra: An Introduction. Saunders

College Publishing. 2nd edition. 2.9.

Bibliografía: Millman, Richard S., Shiue, Peter J., Brendan Kahn, Eric. Problems and Proofs in Numbers and Algebra. Springer-Verlag, (2015). Fraleigh, John B. A first course in Abstract Algebra. Addison Wesley, (2002). ISBN: 0201763907 Ayres, Frank. Schaum's Outline of Modern Abstract Algebra. McGrawHill (1965), ISBN: 0070026556 Durbin, John R. Modern Algebra: An Introduction John Wiley & Sons; 5th edition (2004) ISBN: 0471433357. Lentin, A, Algebra Moderna, Aguilar, 1971. McCoy, Nel Henry. Introduction to Modern Algebra. Primis, 5th Edition (1995) ISBN: 0697277690 Corry, Leo. Modern Algebra and the Rise of Mathematical Structures. Birkhäuser Basel, 2nd Edition (2004) ISBN: 3764370025

.

Recursos en Línea: AMS, American Mathematical Society, http://www.ams.org/ MAA, Mathematical Association of America. http://www.maa.org/ y http://mathdl.maa.org/ Math Forum http://mathforum.org/library/ http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/

3.

Justificación para la creación o revisión del curso y cómo responde a los objetivos

del departamento y de la institución Este curso es requerido para los estudiantes del bachillerato en Ciencias concentración Matemática y para los estudiantes del programa de preparación de maestros nivel secundario en matemática. 4.

Información analítica 4.1.

Recursos necesarios 4.1.1. Cupo máximo de estudiantes: 25 estudiantes 4.1.2. Espacio y sus características: x salón ___ auditorio ___ laboratorio ___ otro (explique) .

4.1.3. Equipo y materiales requeridos: 4.1.4. Personal 4.1.4.1. Personal docente y su preparación: Un(a) profesor(a) con PhD en matemáticas o con experiencia enseñando el curso.. 4.1.4.2. Técnicos y otro personal de apoyo, con sus calificaciones: N/A 4.1.4.3. Número de profesores en la UPR-Cayey calificados para impartir la asignatura y, si aplica, del personal de apoyo disponible: 3 4.2.

Relación con otros cursos 4.2.1. Del mismo departamento: Es requisito para MATE-4033( Álgebra Superior II) 4.2.2. De otros departamentos:

Registro de aprobación (indique fechas de las revisiones más recientes): Fecha: Agosto del 2006 Actualización de la bibliografía, cambio al formato aprobado por el Comité de Currículo Institucional en 2001/inclusión de la Ley ADA – Dr. René Hernández Toledo.

• Aprobado por Comité de Currículo Departamental en: _______________________ • Aprobado por Departamento en: _______________________ • Aprobado por Comité de Currículo Institucional en: _______________________ • Otras instancias de aprobación (si aplica): ________________________ • El Comité de Currículo Departamental aprobó la adaptación de este prontuario al formato dispuesto en la Certificación 25: 2009-2010 del Senado Académico el ____ de _________ de 2011.

Actualizado al Formato Certificación 25 y actualización de bibliografía- Mayo 2013-Dr. Errol Montes Pizarro. Bibliografía actualizada en abril de 2015 por E.L. Montes Pizarro.