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UNIVERSIDAD DISTRITAL FRANCISCO JOSÉ DE CALDAS. INGENIERÍA ELECTRÓNICA. CONTROL II

El porcentaje de sobrepico está dado por la ecuación:

PLANTA DE TERCER ORDEN MEDIANTE UN CIRCUITO ELECTRÓNICO. - Gerardo Guacaneme Valbuena Cód. 9920553. - Jonathan Mesa P. Cód. 20012005107. - Jonathan Sánchez Ortega Cód. 20032005132.

Conociendo el valor porcentual de sobrepico despejamos el valor de Xi ξ, la ecuación queda entonces como:

OBJETIVOS: - Diseñar e implementar un circuito electrónico que tenga un comportamiento de tercer orden con un par de polos complejos conjugados dominantes y un polo real ubicado a una distancia de por lo menos 5 veces la parte real de los complejos conjugados.

Despejando para PO % = 25 %.

- Obtener una aproximación de dicho sistema a un modelo de segundo orden a partir de la respuesta a un escalón. - Realizar un trazado experimental del lugar geométrico de las raíces LGR.

El tiempo de sobrepico está determinado por la expresión:

- Realizar un trazado experimental del diagrama de Bode. PROCEDIMIENTO:

Conociendo ξ y

despejamos

:

Para el diseño de un sistema electrónico que tenga una respuesta de tercer orden, hemos dividido el mismo en tres partes consistentes en: -

Circuito de orden 2. Circuito de orden 1. Sumador y control proporcional.

El esquema de bloques de la planta se muestra en la figura 1.

Estos resultados los usaremos para determinar el valor de los componentes del circuito. Para el caso del bloque de segundo orden hemos escogido un circuito filtro pasa-bajos con amplificador operacional tipo Sallen Key [2]. La función de transferencia está dada por la expresión:

Donde la ganancia K está dada por: Figura 1. Esquema de bloques de la planta de tercer orden.

Para la elaboración del primer bloque, el circuito de orden 2, hemos tenido en cuenta dos criterios, el primero de ellos que el máximo sobrepico del sistema ante una entrada tipo paso estuviese en el 25% del valor de estado estable, esto con el fin de tener un buena visualización del mismo en el osciloscopio al momento de efectuar las mediciones. El segundo criterio escogido fue el tiempo de sobrepico el cual escogimos arbitrariamente de 1ms ya que con este tiempo tenemos una ventana óptima de visualización en el osciloscopio. Considerando que la función característica de un sistema de orden dos está dada por [1]:

El circuito del filtro se muestra en la figura 2. Reordenando los términos de la ecuación característica:

Rápidamente observamos que:

2

Despejando los valores numéricos de (4) y (6) en (9) y (10): Tomando la parte real de los polos complejos conjugados y multiplicándola por una valor superior de 5, escogimos 10 veces ese valor. La ubicación del polo real del bloque de primer orden será en: Ahora podemos encontrar los valores de los componentes del circuito, arbitrariamente escogimos el valor del capacitor de 0.1 µF. Los componentes pasivos del filtro Sallen Key quedan así:

Considerando que la función característica de un sistema de primer orden está dada por [1]:

El producto de los bloques de primer y segundo orden nos entrega la función de transferencia del sistema de tercer orden en lazo abierto: Escogimos el amplificador operacional dual TL072 de Texas Instruments para el diseño de este filtro, igualmente para los demás bloques de la planta. Como condición dada, sabemos que el producto la ganancia total en lazo abierto debe ser uno:

R2

R1

2.92k

2.92k

100n

U1A 3

+

V

0 V1 = 0 V2 = 3 TD = 0.0005 TR = 0.000001 TF = 0.000001 PW = 0.1 PER = 0.2

C2 100n

V

V-

-

TL072/301/TI

4

V2 12Vdc

0

1

OUT 2

V3

, es decir,

V+

12Vdc

8

C1 V1

R4

0

R3 5.6k 4.7k

Despejando el valor de tao (τ) a partir de las ecuaciones (13) y (14) tenemos:

0

Fig. 2. Circuito de segundo orden Sallen Key.

El circuito de primer orden que usaremos se muestra en la figura 3. La respuesta de este circuito es de la forma [3]:

Comparando las ecuaciones (14) y (18) y reemplazando los respectivos valores hallados en (16) y (17) tenemos que:

Fig. 3. Respuesta del circuito de segundo orden ante una entrada escalón de 3V mediante simulación en PSpice (lazo abierto).

Con los valores resultantes podemos reemplazar en la ecuación (1) para así hallar de forma analítica la ubicación de los polos complejos conjugados:

Como en el caso anterior asumimos el valor del capacitor en 39 nF, de modo que los componentes del filtro quedan así:

3

Como vemos en la ecuación (18) este circuito genera una salida invertida, por lo cual se hace necesario colocar un inversor de ganancia uno justo después de la salida del amplificador operacional. Se usó un circuito inversor con amplificador de ganancia uno y resistores iguales de 5.1 KΩ.

Para el control proporcional debemos tener en cuenta las restricciones en la ganancia para que el circuito con realimentación opere con sus polos en lado izquierdo del plano complejo. Usando Matlab calculamos la ubicación de los polos en el plano s.

V1 U1B8

12Vdc

0 R5

0

V1 = 0 V2 = 1 TD = 0.0005 TR = 0.000001 TF = 0.000001 PW = 0.1 PER = 0.2

V2 12Vdc

4.055k

5

U2A8

V+

3

+ OUT

6

-

4

TL072/301/TI V-

V+

+

0

7

R7 5.1k V

OUT 2

-

4

1

TL072/301/TI V-

V

V3 R9 100k

R6

R8

1.85k

5.1k

C3 39n

0

Fig. 4. Circuito de primer orden incluyendo el inversor.

Fig. 5. Respuesta ante una entrada escalón del circuito de tercer orden en lazo abierto mediante simulación en PSpice.

Conociendo ya todos los valores del sistema en lazo abierto podemos reunir estos datos numéricos para encontrar la función característica de la planta, la misma está dada, para el sistema de segundo orden:

Fig. 6. Arriba: ubicación de LGR en Matlab. Abajo: ubicación detallada de los polos

Mediante el criterio de estabilidad de Routh-Hurwitz podemos establecer el rango de estabilidad del sistema:

Para el sistema de primer orden:

Para la planta en lazo abierto:

Esto nos indica que la mayor ganancia que podemos aplicar sin entrar en inestabilidad será menor a 4.11. Para el sumador

4

y el control proporcional usaremos un circuito sumador con ganancia como el mostrado en la figura 7.

V1 12Vdc

R13 8 5

5.1k R15

0

V2 12Vdc

OUT R10 100k

V4

6

-

5.1k

0,35

0,25

42,79

1,134

0,68

0,75

0,47

59,00

2,630

0,55

1,25

0,72

73,29

3,565

0,51

1,41

0,76

84,87

3,736

0,49

1,45

0,77

88,34

4

7

Tabla 1: datos de tiempo pico, voltaje pico y tiempo de establecimiento tomados experimentalmente en laboratorio.

V-

R11

0

30k

0

0,84

+

R14 2.55k

V1 = 0 V2 = 1 TD = 0.0005 TR = 0.000001 TF = 0.000001 PW = 0.1 PER = 0.2

V+

U3B TL072/301/TI

0,371

R12 2k

0

Fig. 7. Circuito sumador con ganancia.

A partir de los datos de la tabla podemos calcular los polos característicos de un sistema de segundo orden usando las ecuaciones (4) y (6), igualmente al resolver la expresión general para un sistema de segundo orden se obtienen las ecuaciones para la parte real e imaginaria de los polos, estas son:

La salida de este circuito está dada por [3]:

Donde: Con estos datos obtenemos la tabla 2: K

ξ ω LA 0,391 3413,48 1335,00 3141,59 0,37 0,261 3874,13 1010,63 3739,99 1,13 0,166 4684,70 775,95 4619,99 2,63 0,098 5739,87 565,09 5711,99

Se ha escogido arbitrariamente:

3,56 0,052 6168,38 3,74 0,039 6416,41

De modo que la ecuación (26) queda como:

Para efectos prácticos usaremos un potenciómetro de 250 KΩ en paralelo con una resistencia fija de 33 KΩ, esto nos da un equivalente de 29.15 KΩ que es menor que el valor en el cual empieza la inestabilidad. El diagrama completo del circuito se encuentra en el Anexo 1.

De los datos recopilados en el laboratorio, al observar la respuesta para cada uno de los puntos así como la respuesta en lazo abierto obtuvimos la siguiente tabla:

LA

PO % 1,00

1,20

0,95

253,10 6411,41

Tabla 2: ξ ω y los valores absolutos de la parte real e imaginaria de los polos complejos conjugados.

De aquí podemos hallar del valor del máximo que será la resistencia que variaremos para cambiar el valor de la ganancia, el valor máximo se dará cuando la ganancia sea casi 4.11 (ecuación (24))

K

321,68 6159,99

26,32

Podemos observar para el caso de lazo abierto (LA en las tablas 1 y 2) que el valor obtenido experimentalmente se encuentra a una buena proximidad del valor teórico:

Ahora sólo resta determinar el valor del tercer polo en las mediciones efectuadas en lazo cerrado, para ello usaremos la propiedad que nos indica que “el lugar geométrico de las raíces de G(s) es el lugar geométrico de puntos en el plano s donde la fase de G(s) es 180°” De este modo calculamos los ángulos de apertura de cada ubicación de polos respecto al lazo abierto, las ecuaciones para hallar los ángulos son:

5 10

2

50 100

0,100

100000

0,00

2

280 0,020

20000

5,04

2

340 0,010

10000

12,24

200

2,08 320 0,005

5000

23,04

500

2,52 460 0,002

2000

82,80

600

2,16 512 0,002

1666,67

110,59

800

1,28 524 0,001

1250

150,91

1111,11

158,76

1000 0,76 520 0,001

1000

187,20

2000

500

201,60

900

Fig. 14. Método para la obtención del tercer polo en el sistema de lazo cerrado

Al calcular sobre los datos anteriores tenemos que: α

β

θ

1

0,2

0

490 0,001

280 0,001

Tabla 3: Valores de magnitud y fase tomados experimentalmente en el laboratorio.

A partir de estos valores se graficó el diagrama de magnitud y fase (Fig. 15) y se coloca el diagrama simulado para efectuar la comparación (Fig. 14).

s3

-14240,86111 -14996,22591 -15817,21713 -16483,7303 -16859,70537

61,5396 87,3013 31,1591 69,2859 85,8802 24,8339 73,3254 85,0300 21,6446 71,4422 83,7826 24,7751 71,6920 83,5387 24,7693

Tabla 3: Calculo de los ángulos entre la ubicación de los polos para una ganancia dada y la ubicación en lazo abierto. Se obtiene el tercer polo sobre el eje real.

Estos valores si tienen unas variaciones importantes respecto a los valores simulados (Fig. 6). Esto se debe primordialmente a que una pequeña variación en la medición del tiempo de establecimiento genera igualmente ligeros cambios en el PO %, pero estos se ven reflejados de manera importante en la ubicación de los polos mediante LGR. 8000,00 6000,00 4000,00

Fig. 15. Respuesta en frecuencia para la planta en lazo abierto mediante simulación en Matlab.

2000,00 0,00 1500,00

1000,00

500,00

3

0,00 -2000,00

2,5

-4000,00

2

-6000,00 -8000,00

1,5

Series1

1 Fig. 15. Ubicación de los polos complejos conjugados en el plano s obtenidos experimentalmente.

Para graficar el diagrama de bode de la planta en lazo abierto, fueron tomados los siguientes datos haciendo variación de la frecuencia a una señal de entrada senoidal.

f

A

T_f

T

T/ms

g

0,5 0 10

100

500

800

1000

6

10

100

500

800 1000

0,00 50,00 100,00

Series1

150,00 200,00 250,00 Fig. 15. Respuesta en frecuencia para la planta en lazo abierto experimental a partir de la tabla 3.

REFERENCIAS [1] Katsuhiko Ogata, “Ingeniería De Control Moderna” Prentice Hall, 1998, pp. 136-159. [2] Texas Instruments, “Analysis of the Sallen-Key Architecture” Application note SLOA024A, pp. 4–8. [3] Richard Dorf y James Svoboda, “Circuitos Eléctricos, Introducción al análisis y Diseño” Alfaomega, 2000, pp. 635–643. [4] G.F. Franklin, J. D. Powell, A. Emarni, “Control de Sistemas Dinámicos Con Retroalimentación” Addison Wesley Iberoamericana, 1991, pp. 128–172.

7

Fig. 8 a. Respuesta paso de la planta en lazo abierto obtenida mediante simulación.

Fig. 8 b. Respuesta paso de la planta en lazo abierto obtenida de forma experimental en el laboratorio.

Fig. 9 a. Respuesta paso de la planta en el punto 1 (ganancia 0.37) obtenida mediante simulación.

Fig. 9 b. Respuesta paso de la planta en el punto 1 (ganancia 0.37) obtenida de forma experimental en el laboratorio. (La señal de paso varía entre -1 y 1 voltio)

Fig. 10 a. Respuesta paso de la planta en el punto 2 (ganancia 1.13) obtenida mediante simulación.

Fig. 10 b. Respuesta paso de la planta en el punto 2 (ganancia 1.13) obtenida de forma experimental en el laboratorio. (La señal de paso varía entre -1 y 1 voltio)

8

Fig. 11 a. Respuesta paso de la planta en el punto 3 (ganancia 2.62) obtenida mediante simulación.

Fig. 11 b. Respuesta paso de la planta en el punto 3 (ganancia 2.62) obtenida mediante simulación. (La señal de paso varía entre -1 y 1 voltio)

Fig. 12 a. Respuesta paso de la planta en el punto 4 (ganancia 3.56) obtenida mediante simulación.

Fig. 12 b. Respuesta paso de la planta en el punto 4 (ganancia 3.56) obtenida mediante simulación. (La señal de paso varía entre -1 y 1 voltio)

Fig. 13 a. Respuesta paso de la planta en el punto 5 (ganancia 3.73) obtenida mediante simulación.

Fig. 13 b. Respuesta paso de la planta en el punto 5 (ganancia 3.73) obtenida mediante simulación. (La señal de paso varía entre -1 y 1 voltio)

9

C1 V1 12Vdc

R2 2.92k

100n

R1

U1A8 3

OUT

0

C2 100n

V2 12Vdc

-

5

0

2.92k 2

U1B8

V+

+

4

1 R5

TL072/301/TI VR4

U2A8

V+

3

+ OUT

6

-

4.055k

4

7

TL072/301/TI V-

V+

+

0 R7 5.1k

OUT 2

-

4

1

TL072/301/TI V-

R6

R8

1.85k

5.1k

V

0

5.6k

R3 4.7k

C3 39n

0 R12 8 V1 = 0 V2 = 1 TD = 0.0005 TR = 0.000001 TF = 0.000001 PW = 0.1 PER = 0.2

V

5

5.1k R13

V+

+ OUT

V3

R9 100k

6 5.1k R14 2.55k

-

4

R10

0

30k

0

R11 2k

0

Anexo 1: Diagrama completo del circuito implementado.

Anexo 2: Esquema de baquela diseñada para dispositivo.

la el

Anexo 3: Diagrama de bloques en Simulink.

U2B TL072/301/TI 7 V

V-

V