UNIVERSIDAD LIBRE FACULTAD DE INGENIERÌA DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BÁSICAS TALLER N°

NOMBRE DE LA ASIGNATURA: TÍTULO: DURACIÓN: BIBLIOGRAFÍA SUGERIDA:

CALCULO DIFERENCIAL APLICACIONES DE LAS DERIVADAS Razones de Cambio

2:

CALCULO, Trascendentes Tempranas. James Stewart. Editorial Thomson. CALCULO, con Geometría Analítica (Calculo 1). Larson, R. , Hosteller, R. y Edwards, B. . Editorial McGraw Hill. Octava Edicion. Docente: Lic. Jairo Alberto Mora Fernández

1. OBJETIVO: Ilustrar a los estudiantes aplicaciones especificas al análisis de las razones de cambio existentes entre las variables contenidas en una función.

2.

CONCEPTUALIZACION Y EJEMPLOS.

Al modelar las situaciones de nuestro entorno para expresar la relación existente entre las variables involucradas en términos de operaciones algebraicas, y al describir la dinámica de estas situaciones, nos encontramos con que la variación de alguna de estas variables en un periodo de tiempo determinado, implica la variación simultanea de las otras variables con respecto al tiempo. Por principio conceptual sabemos que la variación de una variable con respecto al tiempo es, en si misma, una velocidad, y que estas son expresables en términos de derivadas, dx/dt. Como ejemplo, suponga que se esta inflando un globo esférico, que al inflarlo mas, su volumen aumenta en función de la cantidad de gas o aire que se le introduzca (diferente a la situación de inflar un balón, cuyo volumen no aumenta, aunque si su presión interna), así como aumenta también el área de su superficie. La cantidad de aire que se introduce al globo por unidad de tiempo es una razón de cambio, y se expresa como la derivada dV/dt, la variación del volumen del globo por unidad de tiempo. Si se sabe que la velocidad con que el aire entra al globo es de, por ejemplo, 2 metros cúbicos por minuto (lo que significa que el

volumen del globo aumenta dos metros cúbicos cada minuto), puede expresarse esta información como dV/dt = 2 m2 / min. Como se sabe, el volumen de un globo esférico (o en general de una esfera) depende del radio r del mismo, y puede ser de interés investigar como cómo es la variación del radio r con respecto al tiempo (esto es, determinar dr/dt), cuando dV/dt = 2 m2 / min. Igualmente, puede ser de interés determinar la variación del área A de la superficie del globo con respecto al tiempo, dA/dt. De hecho, se conoce que el Área A y el Volumen V de una esfera se expresan en función del radio de la misma por medio de las relaciones A = 4 π r2

y

V = 4/3 π r3

Así, aplicando los principios del calculo diferencial, bien sea derivando implícitamente a A y a V con respecto a t, o aplicando el concepto de la regla de la cadena en la forma de dA/dt = dA/dr * dr/dt, o dV/dt = dV/dr * dr/dt, se pueden obtener expresiones para las razones de cambio dA/dt y dV/dt. Si en el contexto del problema analizado se especifican valores para las variables r, A o V, las razones de cambio dA/dt y dV/dt pueden darse en forma explicita como valores concretos. De hecho, en el contexto de los problemas que se relacionan con este tema, la información provee al menos una razón de cambio conocida y alguna información especifica de las variables involucradas, y se pide determinar otra(s) razón(es) de cambio. El conocido autor James Stewart en su Calculo, Conceptos y Contextos (ver Bibliografía Sugerida) propone la siguiente estrategia para analizar y resolver problemas relativos a Razones de cambio relacionadas: 1.

Lea el problema con cuidado.

2.

Si es posible, dibuje un diagrama.

3.

Introduzca la notación adecuada. Asigne símbolos a todas las cantidades y variables que sean función del tiempo.

4.

Exprese la información dada y la razon de cambio requerida en terminos de derivadas.

5.

Escriba una ecuación que relacione las diversas variables del problema. Si es necesario, aplique aspectos geométricos de la relacion, u otras relaciones conocidas, para eliminar por sustitución algunas de las variables, dejando solo aquellas variables relativas a las razones de cambio dadas en la información y solicitadas para calculo.

6.

Use la regla de la cadena o derivación implícita respecto de t en la ecuación resultante del punto 5.

7.

Sustituya la información dada en la ecuación resultante y resuelva para la razon de cambio desconocida.

Veamos el desarrollo del proceso descrito en los siguientes ejemplos: EJEMPLO 1. Se bombea aire hacia adentro de un globo esférico, de modo que su volumen aumenta a razón de 100 cm3/seg. ¿Con que rapidez crecen el radio del globo y su área cuando el diámetro es de 50 cm2? SOLUCION. Como se puede analizar, al aumentar el volumen del globo, aumenta también su radio y su área superficial. La información suministrada señala que la razón de cambio del volumen respecto del tiempo es de 100 cm3/seg., y se desea calcular la razón de cambio del radio respecto del tiempo y la razón de cambio del área respecto del tiempo, cuando el diámetro es de 50 cm., o el radio es de 25 cm. radio rrrr Globo

Asignando V, r y A a las variables Volumen, radio y Área respectivamente, las razones de cambio dada y solicitadas se expresan como dV/dt, dr/dt y dA/dt. Así, el problema a resolver se expresa como Dado dV/dt = 100 cm3/seg., calcular dr/dt y dA/dt, cuando r = 25 cm. Las relaciones que conectan V, r y A son A = 4 π r2

y

V = 4/3 π r3

En primer lugar, utilizando la relación V = 4/3 π r3 y derivando ambos lados de la ecuación con respecto a t tenemos dV/dt = (4/3 π) * 3 r2 * dr/dt = 4 π r2 * dr/dt Como dV/dt = 100 cm3/seg., despejando dr/dt se tiene que

dr/dt = 100/(4 π r2) = 25/π r2 Cuando r = 25, se tiene que dr/dt = 25/π*252 = 1/25 π Así, el radio del globo crece a razón de 1/25 π cm./seg. cuando su diámetro es de 50 cm. Para calcular la razón de cambio dA/dt, partimos de la relación A = 4 π r2 . Derivando a ambos lados con respecto a t, se tiene dA/dt = (4π) * 2r dr/dt = 8π r dr/dt Como dr/dt = 1/25 π, y si r = 25 cm., se tiene que dA/dt = (8*π*25)/(25*π) = 8 Se concluye que el área del globo crece a razón de 8 cm2./seg. cuando su diámetro es de 50 cm. EJEMPLO 2. Una escalera de 10 m. de largo esta apoyada contra una pared vertical. Si el extremo inferior de la escalera resbala alejándose de la pared a razón de 0.4 m/seg., con que rapidez resbala hacia abajo su extremo superior cuando su extremo inferior esta a 6 m. de la pared. SOLUCION. Se entiende que el piso es horizontal y que la pared es vertical, por lo que el piso es perpendicular a la pared. Pared Escalera y

10 m.

x

Piso

Asignando x a la distancia de la pared al extremo inferior de la escalera, y y a la distancia del piso al extremo superior de la escalera, la información dada nos señala que dx/dt = 0.4 m/seg. y se desea calcular dy/dt cuando x = 6 m.. Dado que el piso y la pared son perpendiculares, el sistema Piso - Pared Escalera forman un triangulo rectángulo, en el que el piso y la pared son los catetos y la escalera la hipotenusa, y por principio geométrico, se cumple el Teorema de Pitágoras, por lo que la siguiente relación es valida:

x2 + y2 = 100 Derivando ambos lados de esta ecuación respecto de t, se obtiene 2x dx/dt + 2y dy/dt = 0 Despejando dy/dt se tiene una expresión para la razón de cambio dy/dt: dy/dt = - (x / y) * dx/dt Cuando x = 6 m., de la relación que

x2 + y2 = 100 se concluye que y = 8 m., por lo

dy/dt = - (x / y) * dx/dt = dy/dt = - (6 / 8) * 0.4 = - 0.3 m./seg. El signo negativo del resultado significa que el valor y de la distancia del extremo superior de la escalera al piso esta disminuyendo. Cuando la escalera resbala. EJEMPLO 3. Un tanque de agua tiene la forma de un cono circular invertido, con base de radio 3 m. y altura 5 m. Si se evacua agua a razón de 1.6 m 3/min., determine la razón a la cual baja el nivel del agua cuando esta tiene una profundidad de 1.8 m. SOLUCION. 3m. G

Altura A 5 m. h

r El esquema indica la información básica del enunciado. Asignando V al Volumen, r al radio del circulo del nivel del agua y h a la altura de la superficie del nivel del agua desde el vértice en la parte inferior del tanque, el agua se evacua a razón de 1.6 m3/min., por lo que dV/dt = -1.6 m3/min. El signo negativo indica que el tanque se evacua y la cantidad de agua disminuye. El objetivo es calcular dh/dt (razón a

la cual baja el nivel del agua) cuando esta tiene una profundidad de 1.8 m. (h = 1.8 m.). Es conocido que el volumen V de un cono esta dado en función del radio r y la altura h del mismo por la relación V = (1 / 3) * π r2 h Como en esta relación V esta expresado en términos de r y h, y estamos interesados en obtener dh/dt, se debe expresar a V en términos de h solamente, por lo que se debe establecer la relación entre r y h, dentro de las condiciones del contexto del problema, para poder despejar r en función de h y hacer una sustitución. Observando la figura concluimos, por semejanza de triángulos, que el radio r de la superficie del agua es a su altura h como el radio del tanque (3 m.) es a su altura (5 m.). Esto es, r / h = 3 / 5, o equivalentemente, r = 3 h / 5 Sustituyendo esta última expresión en la relación V = (1 / 3) * π r2 h se tiene: V = (1 / 3) * π r2 h = V = (1 / 3) * π (3 h / 5)2 h = (3 π / 25) * h3 Esto es, V = (3 π / 25) * h3 Derivando a cada lado de esta ecuación con respecto a t, se obtiene dV/dt = (9π/ 25) * h2 dh/dt Despejando dh/dt, se obtiene una expresión algebraica para la razón de cambio de la altura del nivel del agua con respecto al tiempo: dh/dt = (25 / 9π h2) * dV/dt Como dV/dt = -1.6 m3/min., en el instante en que h = 1.8 m., se tiene dh/dt = (25 / 9π h2) * dV/dt = dh/dt = (25 /( 9 * π * 1.82)) * (-1.6) = - 0.43664 Cuando la altura del agua del tanque es de 1.8 m., esta altura esta disminuyendo a razón de 0.43664 m./min..

3.

EJERCICIOS.

1.

Si una bola de nieve se funde de modo que su área superficial disminuye a razón de 2 cm2/min., encuentre la razón a la cual disminuye el diámetro cuando este es de 10 cm.

2.

A medio día, el velero A esta a 150 Km. al oeste del velero B. El velero A navega hacia el este a 35 km./h. Y el B hacia el norte a 25 km./h: ¿Con que rapidez cambia la distancia entre las embarcaciones a las 4:00 p. m.?

3.

Un avión vuela horizontalmente a una altitud de 1.6 millas a una velocidad de 525 millas / hora y pasa sobre una estación de radar. Encuentre la razón a la que aumenta la distancia del avión a la estación cuando aquel esta a 2,7 millas de esta.

4.

Una lámpara proyectora situada sobre el piso ilumina una pared de un edificio que esta a 12 m. de distancia. Si un hombre de 1.72 m. de alto camina desde la lámpara hacia el edificio a una velocidad de 1.6 m./seg., ¿con que rapidez decrece su sombra proyectada sobre el edificio cuando se encuentra a 5 m. de este?

5.

Un hombre empieza a caminar hacia el este a 2.3 m/s desde un punto P. 8 minutos mas tarde, Ocho minutos mas tarde, otro hombre empieza a caminar hacia el sur a 2.8 m/s desde un punto a 325 m al sur de P. Con que razón se separan 13 min. después de que el segundo hombre empezó a caminar?.

6.

Un diamante de béisbol es un cuadrado de 30 m. de lado. Un bateador golpea la pelota y corre hacia la primera base a una velocidad de 7.6 m/s. 1. Con que razón disminuye su distancia a la segunda base cuando esta a la mitad de la distancia de la primera base? 2. Con que razón aumenta la distancia a la tercera base cuando esta a 10 m. de la segunda base?

7.

El agua se fuga de un tanque cónico invertido a razón de 8300 cm 3/min., al mismo tiempo que se bombea agua hacia el tanque con una razón constante. El tanque tiene 7.2 m. de altura y el diámetro en la parte superior es de 3.9 m. Si el nivel del agua sube a razón de 32 cm./min. cuando la altura de ese nivel es de 2.7 m., encuentre la razón a la que se bombea agua al tanque.

8.

Una artesa de agua tiene 8.6 m. de largo y una sección transversal en forma de trapecio isósceles cuyo ancho en el fondo es de 42 cm., el de la parte superior 86 cm. y la altura 57 cm. Si la artesa se llena con agua

a razón de 0.29 m3/min., ¿con que rapidez sube el nivel del agua cuando esta tiene 37 cm. de profundidad? 9.

Una cámara de televisión esta a 1780 m. de la base de una plataforma de lanzamiento de cohetes. El ángulo de elevación de la cámara tiene que cambiar a la razón correcta para mantener el cohete en la mira. Asi mismo, el mecanismo de enfoque tiene que tomar en cuenta la distancia creciente desde la camara hasta el cohete que asciende. Supongamos que este se eleva verticalmente y que su velocidad es de 245 m/s. Cuando se ha elevado 1120 m. 1. Con que rapidez cambia la distancia de la cámara de televisión al cohete en ese momento? 2. Si la cámara se mantiene enfocando al cohete, ¿con que rapidez cambia el ángulo de elevación de la cámara en ese momento?

10.

El minutero de un reloj tiene 8 cm. de largo y el horario 4 cm. Con que rapidez cambia la distancia entre las puntas de las manecillas a la una en punto?. Y a las 2 y 25?