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UNIDAD 2 TRÁFICO Y SU APLICACIÓN AL DIMENSIONAMIENTO DE REDES DE TELECOMUNICACIONES

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CAPÍTULO 4. SISTEMAS DE PÉRDIDAS Lección 16: El Proceso de Poisson El proceso de Poisson es el proceso puntual más importante. Más adelante se podrá ver que su función en los procesos puntuales es tan vital como la función de la distribución Normal en las distribuciones estadísticas. Según el teorema del límite central, al añadir variables estocásticas se obtiene la distribución Normal. De manera similar al multiplicar variables estocásticas se obtiene la distribución exponencial. Todos los demás procesos puntuales aplicados son generalizaciones o modificaciones del proceso de Poisson. Este proceso ofrece una descripción sorprendentemente acertada de numerosos procesos de la vida real debido a que se trata del proceso más aleatorio. Cuanto más complejo sea un proceso mejor, en general, será su modelado mediante un proceso de Poisson. Dado que se trata de un proceso de gran importancia en la práctica, en este Capítulo se estudia en forma pormenorizada. En primer lugar este estudio se basa en un modelo físico, haciendo especial en las distribuciones asociadas al proceso, y a continuación se consideran algunas propiedades destacadas del proceso de Poisson. El proceso de Poisson puede generalizarse de diversas formas. 16.1 Características del proceso de Poisson Las propiedades fundamentales del proceso de Poisson se definen en el: a)

condición de estacionario,

b)

independencia en todos los puntos temporales (épocas), y

c)

regularidad.

b) y c) son propiedades fundamentales, mientras que a) es innecesario. Así, se puede permitir un proceso de Poisson que tenga una intensidad dependiente del tiempo. A partir de las propiedades precedentes se pueden deducir otras propiedades que son suficientes para definir el proceso de Poisson. Las dos más importantes son: Representación del número: El número de eventos dentro de un intervalo de tiempo de longitud fija tiene distribución de Poisson. Por consiguiente, el proceso se denomina proceso de Poisson. Representación del intervalo: La distancia temporal Ti entre eventos consecutivos tiene distribución exponencial. En este caso, la fórmula (5.4) muestra la relación fundamental entre la distribución de Poisson 75

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acumulada y la distribución de Erlang (identidad de Feller-Jensen's):

Esta fórmula se puede obtener también por integración parcial repetida. 16.2 Distribuciones del proceso de Poisson En esta sección se examinará el proceso de Poisson en un aspecto dinámico y físico (Fry, 1928 [32]) y (Arne Jensen, 1954 [12]). Las derivaciones se basan en un modelo físico simple y hacen hincapié a las distribuciones de probabilidad asociadas con el proceso de Poisson. El modelo físico es el siguiente: los eventos (llegadas) se ubican al azar sobre el eje real de modo tal que cada evento se coloca independientemente de todos los otros eventos. La densidad media se forma como λ eventos (llegadas) por unidad de tiempo. Si se considera el eje como un eje de tiempo se tendrá como promedio λ llegadas por unidad de tiempo. La probabilidad que un determinado diagrama de llegada se produzca dentro de un intervalo de tiempo es independiente de la ubicación del intervalo en el eje de tiempo.

Figura 6.1 − Cuando se aplica el proceso de Poisson, se consideran llegadas dentro de intervalos de tiempo no superpuestos de duración t1 y t2, respectivamente La notación p(ʋ, t) representa la probabilidad que se produzcan ʋ eventos dentro de un intervalo de tiempo de duración t. La formulación matemática del modelo anterior es la siguiente: 1) Independencia: Si t1 y t2 son dos intervalos no superpuestos (véase la figura 6.1), se tiene en razón de la hipótesis de independencia: p (0; t1) . p (0, t2) = p (0, t1 + t2)

(6.2)

2) El valor medio del intervalo de tiempo entre dos llegadas sucesivas es 1/ λ (Ec. 3.4):

donde p(0, t) es la probabilidad que haya llegadas dentro del intervalo de tiempo (0;t), que es también idéntico a la probabilidad que el tiempo hasta el primer evento sea mayor que t (la distribución complementaria). El valor medio (6.3) se obtiene directamente de la ecuación (3.4). La fórmula (6.3) también se puede interpretar como la superficie debajo de la curva p(0,t), que es una función que nunca aumenta, disminuyendo a 1 a 0. 3) Se observa que la ecuación (6.2) implica que seguramente se producirá el evento "sin llegadas dentro del intervalo de longitud 0": 76

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p(0, 0) = 1 (6.4) 4) Se observa también que la ecuación (6.3) implica que la probabilidad que "no haya llegadas dentro de un intervalo de tiempo de longitud ∞" es cero y nunca tendrá lugar: p(0, ∞) = 0

(6.5)

16.2.1 Distribución exponencial El paso fundamental para el siguiente cálculo de la distribución de Poisson es derivar p(0, t) que es la probabilidad que en un intervalo de tiempo de longitud t no se producen llegadas, es decir la probabilidad que la primera llegada aparezca después del tiempo t. Se demostrará que {1 – p(0, t)} es una distribución exponencial. Conforme a la ecuación (6.2) se tiene: ln p(01, t1) + ln p (0, t2) = ln p (0, t1 + t2)

(6.6)

Si ln p(0, t) = f(t), la ecuación (6.6) se puede expresar como sigue: f (t1) + f (t2) = f (t1 + t2) Por diferenciación con respecto a, por ejemplo, t2 se tiene: F'(t2) = f't2 (t1 + t2) De esto se observa que f'(t) debe ser una constante y por tanto:

(6.7)

f(t) = a + b . t (6.8) Intercalando la ecuación (6.8) en la (6.7), se obtiene a = 0. Por tanto p(0, t) tiene la forma: p(0, t) = ebt De la ecuación (6.3) se obtiene b:

o: b=–λ Se demuestra así, en base a los puntos 1) y 2) anteriores que: p(0, t) = e— λ t

(6.9) Si se considera que p(0, t) como a la probabilidad que el evento siguiente llegue después del tiempo t, el tiempo que transcurre hasta la próxima llegada está distribuido exponencialmente:

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Se obtienen así el valor medio y la varianza siguientes (4.4):

(6.12) La probabilidad que la siguiente llegada aparezca dentro del intervalo (t, t + dt) se puede expresar como: f(t) . dt = λe–λt . dt = p(0, t) . λdt (6.13) Es decir la probabilidad que una llegada aparezca dentro del intervalo (t, t + dt) es igual a λ dt, independiente de t y proporcional a dt (véase la ecuación (3.17)). En razón que λ es independiente del tiempo real t, la distribución exponencial no tiene memoria. El proceso no depende del tiempo. El parámetro λ se denomina intensidad o régimen de la distribución exponencial y del proceso de Poisson relacionado y corresponde a la intensidad en la ecuación (5.6). La distribución exponencial es, en general, un modelo muy satisfactorio de tiempos entre llegadas cuando el tráfico es generado por elementos humanos (véase la figura 6.2).

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Figura 6.2 − Distribución del tiempo entre llegadas de las llamadas en una central de tránsito. Los valores teóricos se basan en la hipótesis de tiempos entre llegadas distribuidos exponencialmente. Debido al principio de medición (métodos de exploración) la distribución exponencial continua se transforma en una distribución de Westerberg discreta (Ec. 15.14) (prueba X2 = 18,86 con 19 grados de libertad, percentil = 53) 16.2.2 Distribución de Erlang-k De lo anterior se deduce que el tiempo hasta que hayan aparecido k llegadas exactamente es una suma de k variables estocásticas IID distribuidas exponencialmente. La distribución de esta suma se denomina distribución Erlang-k y la densidad viene dada por la ecuación (4.8):

Para k = 1 se obtendrá por supuesto la distribución exponencial. La distribución gk+1(t) , k > 0; se obtiene por convolución de gk (t) y g1(t). Si se supone que la expresión (6.14) es válida para gk (t), se tiene entonces:

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Como la expresión es válida para k = 1, se ha demostrado por inducción que es válida para cualquier k. La distribución de Erlang-k es, desde el punto de vista estadístico, una distribución gamma especial. El valor medio y la varianza se obtienen con la ecuación (6.12)

(6.15) Ejemplo 6.2.1: Estadísticas de llamadas para un sistema SPC (véase el ejemplo 5.1.2).Sea una serie de llamadas que llegan a una central telefónica con programa de control almacenado (sistema SPC) conforme a un proceso de Poisson. La central recopila automáticamente toda la información al respecto cada 1 000 llamadas. Los tiempos entre llamadas entre dos registros tendrá entonces distribución Erlang-1000 y el factor de forma ɛ = 1.001, es decir los registros se efectuarán muy regularmente. 16.2.3 Distribución de Poisson Se indicará ahora que el número de llegadas en un intervalo de longitud fija t presenta una distribución de Poisson con un valor medio λt. Cuando se conoce la distribución exponencial mencionada anteriormente y la distribución de Erlang, la derivación de la distribución de Poisson se obtiene con sólo aplicar combinaciones simples. La prueba se puede llevar a cabo por inducción. 80

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Se desea extraer p(i, t) = probabilidad de i llegadas dentro del un intervalo de tiempo t. Supóngase que:

Esto es correcto para i = 0 (6.9). El intervalo (0, t) se divide en tres intervalos no superpuestos (0, t1); (t1, t1 + dt1) y (t1 + dt1, t). Desde la primera hipótesis de independencia se sabe que los eventos dentro de un intervalo son independientes de eventos en los otros intervalos en razón que éstos no están superpuestos. Mediante el ajuste de t1 de modo tal que la última llegada dentro de (0, t) se produzca en el intervalo (t1, t1 + dt1), se obtiene la probabilidad p(i, t) mediante la integración de todos los valores posibles de t1 como producto de las tres probabilidades siguientes: a) La probabilidad que (i – 1) llegadas se produzcan dentro del intervalo de tiempo (0; t1):

b) La probabilidad que haya una sola llegada dentro del intervalo de tiempo de t1 a t1+dt1: λ . dt1 c) La probabilidad que no se produzcan llegadas en el intervalo de t1 + dt1 a t: –λ(t-t1)

e

El producto de las primeras dos probabilidades es la probabilidad que la i-ésima llegada aparezca en el intervalo (t1, t1 + dt1), es decir la distribución de Erlang de la sección anterior: Por integración se tiene:

Ésta es la distribución de Poisson que se obtiene por inducción a partir de la ecuación (6.9). El valor medio y la varianza son:

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La distribución de Poisson es, en general, un modelo muy conveniente para el número de llamadas en un sistema de telecomunicación (véase la figura 6.3) o tareas en un sistema informático. Ejemplo 6.2.2: Sistema de satélite Aloha con segmentos de tiempo. Considérese el sistema digital de comunicación por satélite Aloha segmentado con longitud de paquete constante h. El satélite está en una órbita geoestacionaria a unos 36 000 km por encima del ecuador de modo que la demora circular es de unos 280 ms. Los ejes de tiempo se dividen en segmentos de duración fija que corresponden a la longitud del paquete h. El terminal individual (estación terrena) transmite los paquetes de forma tal que estén sincronizados con los segmentos de tiempo. Todos los paquetes generados durante un segmento de tiempo se transmiten en el segmento de tiempo siguiente. La transmisión de un paquete sólo es correcta si es el único paquete que ha de ser transmitido en el segmento de tiempo. Si en un segmento de tiempo se transmiten simultáneamente más paquetes, se tendrá una colisión y todos los paquetes se pierden y han de ser retransmitidos. Las estaciones terrenas reciben todos los paquetes y pueden entonces decidir si un paquete está transmitido correctamente. Debido al retardo de tiempo, las estaciones terrenas transmiten paquetes independientemente. Si el proceso de llegada total es un proceso de Poisson (régimen λ), se obtiene entonces un número de paquetes distribuidos de Poisson en cada segmento de tiempo.

La probabilidad de una transmisión correcta es: P(1) = λh . e—λh. (6.20) Esto corresponde a la proporción de los ejes de tiempo que se utilizan eficazmente. Esta función, que se muestra en la figura 6.4 tiene un valor óptimo para λh = 1, pues la derivada con respecto a λh es cero para este valor:

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Figura 6.3 − Número de llamadas por segundo en Internet por conexión telefónica. Los valores teóricos se basan en la hipótesis de una distribución de Poisson. Una prueba estadística acepta la hipótesis de una distribución de Poisson. Se tiene así una utilización máxima del canal en 0,3679, cuando en promedio se transmite un paquete por segmento de tiempo. Un resultado similar se tiene cuando hay un número limitado de terminales y la cantidad de paquetes por segmento de tiempo tiene distribución binomial.

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Figura 6.4 − El tráfico transportado en un sistema Aloha segmentado tiene un máximo (véase el ejemplo 6.2.2). 16.2.4 Derivación estática de las distribuciones del proceso de Poisson Como se conoce en estadística, estas distribuciones también se pueden obtener del proceso binomial permitiendo que el número de intentos n (por ejemplo tiradas de un dado) se incremente al infinito y, al mismo tiempo permitir que la probabilidad de éxito en una tentativa simple p converja a cero de modo tal que el número promedio de probabilidades de éxito n . p es constante. Este enfoque es estático y no pone de relieve las propiedades fundamentales del proceso de Poisson, que tiene una existencia independiente dinámica, sino que muestra la relación entre los dos procesos como se ilustra en el cuadro 6.1. La distribución exponencial es la única distribución de probabilidad continua con falta de memoria, así como la distribución geométrica es la única distribución de probabilidad discreta con falta de memoria. Por ejemplo, el resultado siguiente de la tirada de un dado es independiente del resultado anterior. Las distribuciones de los dos procesos se muestran en el cuadro 6.1.

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Cuadro 6.1 - Correspondencia entre las distribuciones del proceso binomial y el proceso de Poisson.

Un resultado satisfactorio corresponde al evento de una llegada en un proceso puntual m1 = valor medio, σ2 = varianza. Para la distribución geométrica se puede comenzar con una clase cero. El valor medio se reduce entonces en uno mientras que la varianza no se modifica. 85

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16.3

Propiedades del proceso de Poisson

En este punto se tratarán algunas propiedades fundamentales del proceso de Poisson. Del modelo físico tratado anteriormente se puede ver que el proceso de Poisson es el proceso puntual más aleatorio que se puede encontrar ("Proceso de irregularidad máxima"). Permite una buena descripción de los procesos físicos cuando numerosos factores están detrás del proceso total. 16.3.1 Distribución uniforme – una propiedad condicional En la distribución de poisson se ha visto que "una distribución uniforme en un intervalo muy amplio corresponde a un proceso de Poisson. Se podrá ver que la propiedad inversa es también válida: Teorema 6.1 Si para un proceso de Poisson se tiene n llegadas dentro de un intervalo de duración t, esas llegadas están distribuidas uniformemente dentro de ese intervalo. Puede en sí mismo ser una variable estocástica si es independiente del proceso de Poisson. Éste es, por ejemplo, el caso en mediciones de tráfico con intervalos de medida variables. Esto se puede demostrar con la distribución de Poisson (representación del número) o bien con la distribución exponencial (representación del intervalo). 16.3.2 Teorema de Palm (Teorema de la superposición) Las propiedades fundamentales del proceso de Poisson entre todos los otros procesos puntuales fue tratado por primera vez por el sueco Conny Palm. Palm demostró que la distribución exponencial desempeña el mismo papel para procesos puntuales estocásticos (por ejemplo, distribuciones de tiempo entre llegadas), donde la superposición se efectúa por multiplicación, como lo hace la distribución normal cuando se efectúa superposición por adición (teorema del límite central).

Figura 6.5 − Por superposición de n procesos puntuales se obtiene bajo ciertas premisas un proceso que localmente es un proceso de Poisson. 86

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Teorema 6.2 Teorema de Palm: Por superposición de numerosos procesos puntuales independientes el proceso total resultante será localmente un proceso de Poisson. El término "localmente" significa que se consideran intervalos de tiempo que son tan breves que cada proceso contribuye a lo sumo con un evento durante este intervalo. Este es un requisito natural pues ningún proceso puede dominar el proceso total (se suponen condiciones similares para el teorema de límite central). El teorema sólo es válido para procesos puntuales regulares. Si se considera un punto aleatorio en el tiempo en un determinado proceso, el tiempo hasta la llegada siguiente viene dado por la ecuación (3.23). Se superponen n procesos en un proceso total. Mediante la elección apropiada de la unidad de tiempo, la distancia media entre llegadas en el proceso total se mantiene constante, independiente de n. El tiempo desde un punto aleatorio al evento siguiente en el proceso total viene dado entonces por la ecuación Si todos los subprocesos son idénticos (suponiendo µ = 1), suponiendo que el número de subprocesos aumenta al infinito:

que es la distribución exponencial. Se ha demostrado que por superposición de procesos idénticos se obtendrá localmente un proceso de Poisson. De manera similar, se pueden superponer procesos no idénticos y obtener localmente un proceso de Poisson. 16.3.3 Teorema de Raikov (Teorema de la descomposición) Un teorema similar, el teorema de la descomposición, es válido cuando se divide un proceso puntual en subprocesos y que esto se efectúa en forma aleatoria. Si en un proceso hay n veces menos eventos, es natural entonces disminuir los ejes de tiempo en un factor n. Teorema 6.3 Teorema de Raikov: Mediante la descomposición aleatoria de un proceso puntual en subprocesos, cada uno de ellos converge a un proceso de Poisson cuando la probabilidad que un evento pertenezca a un subproceso tienda a cero. Además de superposición y descomposición (fusión y división, o unión y bifurcación), se puede efectuar otra operación en un proceso puntual, denominada translación (desplazamiento) de los eventos particulares. Cuando esta translación para cada evento es una variable estocástica, independiente de otros eventos, un proceso puntual arbitrario convergerá nuevamente a un proceso de Poisson. Con referencia a los procesos puntuales que se producen en la vida real, se puede esperar conforme a lo indicado anteriormente, que hay procesos de Poisson cuando se satisface una serie 87

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de condiciones independientes suficientemente amplias para que se produzca un evento. Ésta es la razón que muestra que el proceso de Poisson es una buena descripción de, por ejemplo, los procesos de llegada de todos los abonados a una central telefónica. Como ejemplo de las limitaciones en el teorema de Palm se puede indicar que la superposición de dos procesos independientes produce un proceso de Poisson exacto sólo si ambos subprocesos son procesos de Poisson.

Lección 17: Sistemas de pérdidas de Erlang, fórmula B

En esta lección y en las siguientes se examina la teoría de teletráfico clásica formulada por Erlang, Engset y Fry y Molina, que ha sido aplicada satisfactoriamente durante más de 80 años. En este lección sólo se examina la fórmula de Erlang B fundamental. 17.1 Introducción La fórmula de Erlang B está basada en el modelo siguiente, descrito por los elementos estructura, estrategia y tráfico. a)

Estructura: se considera un sistema de n canales idénticos (servidores, líneas de enlace, segmentos de tiempo) que funcionan en paralelo. Esto se denomina grupo homogéneo.

b)

Estrategia: una llamada que llega al sistema se acepta para servicio si algún canal está desocupado. (Cada llamada necesita sólo un canal.) Se dice que el grupo tiene plena accesibilidad. A menudo se utiliza el término plena disponibilidad, pero esta terminología se utilizará sólo en relación con aspectos de fiabilidad. Si todos los canales están ocupados se pierde la tentativa de llamada y ésta desaparece sin ningún efecto secundario (la tentativa de llamada rechazada puede ser aceptada por un trayecto alternativo). Esta estrategia es la más importante y ha sido aplicada con éxito durante muchos años. Se denomina modelo de pérdidas de Erlang o modelo de llamada perdida eliminada (LCC, lost call cleared).

c)

Tráfico: Se supone que los tiempos de servicio están distribuidos exponencialmente (intensidad µ) y que el proceso de llegada es un proceso de Poisson con régimen µ. Este tipo de tráfico se denomina puramente tráfico aleatorio tipo uno, PCT-I. El proceso de tráfico se transforma entonces en un proceso teórico de renovación, un proceso de Markov simple que es sencillo de formular matemáticamente.

Definición de tráfico ofrecido: Es el tráfico transportado cuando el número de canales (la 88

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capacidad) es infinito (2.2). En el modelo de pérdidas de Erlang con proceso de llegada de Poisson esta definición de tráfico ofrecido es equivalente al número promedio de tentativas de llamada por tiempo de ocupación medio:

Se consideran dos casos: 1.

n = ∞: Distribución de Poisson.

2.

n < ∞: Distribución de Poisson truncada.

Más adelante se verá que el modelo es indiferente a la distribución del tiempo de ocupación, es decir sólo el tiempo medio de ocupación es importante para las probabilidades de estados. El tipo de distribución no tiene importancia para las probabilidades de estado. Mediciones de calidad de funcionamiento: Las mediciones más importantes de grado de servicio para sistemas de pérdidas son la congestión temporal E, la congestión de llamadas B y la congestión de (carga de) tráfico C. Son todas idénticas para el modelo de pérdidas de Erlang debido al proceso de llegada de Poisson. 17.2 Distribución de Poisson Se supone que el proceso de llegada es un proceso de Poisson y que los tiempos de ocupación están distribuidos exponencialmente, es decir se considera el tráfico PCT-I. Se supone que el número de canales es infinito, en el que nunca se observará congestión (bloqueo). 17.2.1 Diagrama de transición de estado El estado del sistema, [i], se define como el número de canales ocupados i (i = 0, 1, 2, ...). En la figura 7.1 todos los estados del sistema se indican con círculos, y las variaciones por las cuales el proceso de tráfico cambia de un estado a otro se ilustran con arcos de flechas entre los estados. Como el proceso es irregular, sólo se tienen transiciones a estados vecinos. Si se supone que el sistema está en equilibrio estadístico, durante la proporción p(i) del tiempo estará en el estado [i], donde p(i) es la probabilidad de observación del sistema en estado [i] en un punto aleatorio del tiempo, es decir un promedio del tiempo. Cuando el proceso está en el estado [i] pasará al estado [i + 1] λ veces por unidad de tiempo y al estado [i — 1] i µ veces por unidad de tiempo (por supuesto, el proceso dejará el estado [i] en el momento que hay una transición de estado.

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Figura 7.1 − Distribución de Poisson. Diagrama de transición de estado para un sistema con infinitos canales, proceso de llegada de Poisson ( λ), y tiempos de ocupación con distribución exponencial (µ) Las ecuaciones que describen el estado de los sistemas bajo la hipótesis de equilibrio estadístico se pueden establecer de dos maneras, ambas basadas en el principio de compensación global: a)

Ecuaciones de nodo. En equilibrio estadístico el número de transiciones por unidad de tiempo en el estado [i] es igual al número de transiciones fuera del estado [i]. La probabilidad de estado de equilibrio p(i) indica la proporción de tiempo (tiempo total por unidad de tiempo) que el proceso está en el estado [i]. El número medio de saltos del estado [0] al estado [1] es λ p(0) por unidad de tiempo, y el número de saltos del estado [1] al estado [0] es µ p(1) por unidad de tiempo. Para el estado [1] se obtiene la ecuación de equilibrio o compensación siguientes:

Las ecuaciones de nodo son siempre aplicables aun para diagramas de transición de estado de diversas dimensiones. Este tema será tratado más adelante. b)

Ecuaciones de corte En muchos casos se puede explotar una estructura simple del diagrama de transición de estado. Si se efectúa un corte ficticio, por ejemplo entre los estados [i—1 e [i] (que corresponde a un corte global entre los estados [0], [1], ... [i—1]), en equilibrio estadístico el proceso de tráfico cambia entonces del estado [i—1] a [i] la misma cantidad de veces que cambia del estado [i] a [i—1]. En equilibrio estadístico se tiene entonces, por unidad de tiempo:

Las ecuaciones de corte se utilizan principalmente para diagramas de transición de estado unidimensionales, mientras que las ecuaciones de nodo se aplican a cualquier tipo de diagrama. Como el sistema siempre estará en algún estado, se tiene la restricción de normalización:

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Se observa que las ecuaciones de nodo (7.3) conllevan tres probabilidades de estado, mientras que las ecuaciones de corte (7.4) sólo implican dos. Por consiguiente, es más sencillo resolver ecuaciones de corte. Los sistemas de pérdidas siempre podrán presentar equilibrio estadístico si el proceso de llegada es independiente del estado del sistema. En este capítulo no se considerarán las condiciones matemáticas para el equilibrio estadístico. 17.2.2 Obtención de las probabilidades de estado Para diagramas de transición de estado de una dimensión la aplicación de las ecuaciones de corte es el método más apropiado. De la figura 7.1 se obtienen las siguientes ecuaciones de equilibrio:

Expresando todas las probabilidades de estado por p(0), se obtiene, conforme al tráfico ofrecido

La restricción de normalización (7.5) implica que la distribución de Poisson:

La cantidad de canales ocupados en un punto aleatorio en el tiempo tiene, por tanto, distribución de Poisson con el valor medio (6.17) y la varianza (6.18) iguales a A. Se ha visto anteriormente que el número de llamadas en un intervalo de tiempo fijo tiene también distribución de Poisson (6.16). Así, la distribución de Poisson es válida tanto en el tiempo como en el espacio. Por supuesto, se obtendría la misma solución utilizando ecuaciones de nodo. 17.2.3 Características de tráfico de la distribución de Poisson Desde un punto de vista dimensional, el sistema con capacidad ilimitada no es muy interesante. Se resumen las características de tráfico importantes del sistema de pérdidas: Congestión temporal: 91

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El tráfico transportado por la i-ésima línea de enlace que supone búsqueda secuencial se indicará más adelante con la ecuación (7.13). El grado de curtosis se define como la relación entre la varianza y el valor medio de la distribución de las propiedades de estado (véase el índice de dispersión para conteo, ecuación 5.11). Para la distribución de Poisson se tiene, conforme a las ecuaciones (6.17) y (6.18):

El grado de curtosis (o factor de irregularidad) tiene dimensión [número de canales] y es diferente del coeficiente de variación que no tiene dimensión (3.9). Duración del estado [i]: En el estado [i] el proceso tiene la intensidad total (λ + i µ) fuera del estado. Por consiguiente, el tiempo hasta la primera transición (transición de estado i+1 ó i –1) está distribuido exponencialmente:

17.2.4 Características de tráfico de la fórmula de Erlang B Al conocer las probabilidades de estados se pueden hallar las medidas de calidad de funcionamiento definidas por probabilidades de estado. Congestión temporal: La probabilidad que todos los canales n están ocupados en un punto aleatorio del tiempo es igual a la proporción de tiempo en que todos los canales están ocupados (promedio temporal). Esto se obtiene con la ecuación (7.8) para i = n.

Ésta es la famosa fórmula de Erlang B (1917 [12]). Se simboliza por En(A) = E1,n(A), donde el índice "uno" se refiere al nombre alternativo de la primera fórmula de Erlang. 92

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Congestión de llamadas: La probabilidad que una llamada aleatoria se pierda es igual a la proporción de tentativas de llamadas bloqueadas. Si se considera una unidad de tiempo, se encuentra que B = Bn(A):

Tráfico transportado: Si se utiliza la ecuación de corte para el corte entre los estados [i–1] e [i] se tiene:

donde A es el tráfico ofrecido. El tráfico transportado será menor que A y n. Tráfico perdido: Congestión de tráfico:

Es decir, se tiene que E = B = C, porque la intensidad de la llamada es independiente del estado. Esta es la propiedad PASTA (poisson arrivals see time average) que es válida para todos los sistemas con procesos de llegada conforme a la distribución de Poisson. En todos los otros casos al menos dos de las tres mediciones de congestión son diferentes. La fórmula B de Erlang se muestra gráficamente en la figura 7.3 para algunos valores seleccionados de los parámetros. Tráfico transportado por la i-ésima línea de enlace (utilización de ai): 1) Búsqueda aleatoria: En este caso todos los canales transportan el mismo promedio de tráfico. El tráfico total transportado es independiente de la estrategia de búsqueda y la utilización resulta:

Esta función se muestra en la figura 7.4, y se observa que para una congestión E se obtiene la mayor utilización para grandes grupos de canales (economía de escala). 2) Búsqueda ordenada = búsqueda secuencial: El tráfico transportado por el canal i es la diferencia entre el tráfico perdido de i –1 canales y el tráfico perdido de i canales:

Se debe observar que el tráfico transportado por el canal i es independiente del número total de 93

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canales. Así los canales después del canal i no tienen influencia en el tráfico transportado por el canal i . No hay realimentación. Función mejora: Esta función indica el incremento del tráfico transportado cuando se aumenta en uno el número de canales de n a n + 1.

Los valores límites son los siguientes:

La función mejora Fn(A) está tabulada en el "Principio de Moe" (Arne Jensen, 1950 [50]) y se muestra en la figura 7.5. La aplicación de este principio es para dimensionamiento económico óptimo. Grado de curtosis: Se define como la relación entre la varianza y el valor medio de la distribución del número de canales ocupados, véase el IDC (5.11). La distribución de Poisson truncada se obtendrá utilizando la ecuación (7.13):

La dimensión es [número de canales]. En un grupo con búsqueda ordenada se puede así estimar el grado de curtosis del tráfico transportado por el último canal. Duración del estado [i]: La intensidad total para dejar el estado [i] es constante e igual a (λ + i µ) y, por tanto, el intervalo del tiempo en el estado [i] está distribuido exponencialmente con la función de densidad:

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Lección 18: Procedimientos normales para diagramas de transición de estado La herramienta más importante en teoría de teletráfico es la formulación y solución de modelos por medio de diagramas de transición de estado. Conforme a las secciones se identificó al procedimiento normal para diagramas de transición de estado que se describe a continuación. Este procedimiento comprende de una serie de pasos y está formulado en términos generales. Asimismo, es aplicable para diagramas de transición de estado multidimensionales, que se examinarán más adelante. Se efectúan siempre los siguientes pasos: a) Construcción del diagrama de transición de estado. − definir los estados del sistema en un modo unívoco; − representar gráficamente los estados como círculos; − considerar los estados uno por vez y trazar todas las flechas posibles para transiciones fuera del estado debido al: * proceso de llegada (nueva llegada o desplazamiento de fase en el proceso de llegada), * proceso de partida (el tiempo de servicio termina o se desplaza la fase). De esta manera se obtiene el diagrama de transición de estado completo. b) Formular las ecuaciones que describen el sistema. − Si se satisfacen las condiciones para el equilibrio estadísticos, las ecuaciones de estado permanente se pueden obtener de: * Las ecuaciones de nodo. * Las ecuaciones de corte. − Las ecuaciones diferenciales se pueden obtener directamente del diagrama. c) Resolver las ecuaciones de equilibrio suponiendo un equilibrio estático. − Expresar todas las probabilidades de estado, por ejemplo la probabilidad de estado [0], p(0). − Hallar p(0) por normalización. d) Calcular las mediciones de calidad de funcionamiento expresadas por las probabilidades de estado. En la práctica, el valor no normalizado de la probabilidad de estado q(0) se pone a uno, y se calculan los valores relativos q(i), (i = 1, 2, ...). Por normalización se tiene:

donde 95

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La congestión temporal resulta:

18.1

Evaluación de la fórmula de Erlang B

Para cálculos numéricos, la fórmula (7.9) no es muy apropiada puesto que n! y An aumentan rápidamente de modo tal que se producirá el rebasamiento del ordenador. Si se aplica la ecuación (7.25), se obtendrá entonces la fórmula de recursión:

Desde el punto de vista numérico, la forma lineal (7.26) es la más estable:

donde In(A) = 1/En(A). Esta fórmula de recursión es exacta, y aun para grandes valores de (n, A) no hay errores de redondeo. Esta es la fórmula básica para numerosas tablas de la fórmula B de Erlang, es decir la tabla clásica (Palm, 1947 [83]). Ejemplo 7.4.2: Sistemas de pérdidas de Erlang. Considérese un sistema de pérdidas Erlang-B con n = 6 canales, régimen de llegada λ= 2 llamadas por unidad de tiempo, y régimen de salida µ = 1 salida por unidad de tiempo, de modo que el tráfico ofrecido es A = 2 erlang. Si las probabilidades de estado relativas no normalizadas se representan por q(i), se obtendrán, al establecer el diagrama de transición de estado, los valores mostrados en el siguiente cuadro:

Se obtiene las siguientes probabilidades de bloqueo: Congestión temporal:

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Congestión de tráfico:

Congestión de llamadas: Se observa que E = B = C debido a la propiedad PASTA. Aplicando la fórmula de recursión (7.27) se obtendrán, por supuesto, los mismos resultados:

18.2

Principios de dimensionamiento

Cuando se dimensionan los sistemas de servicio se deben compensar las necesidades de grado de servicio frente a las restricciones económicas. En este Capítulo ser verá cómo se puede llevar esto a cabo sobre una base racional. En sistema de telecomunicaciones hay diversas medidas que caracterizan el servicio ofrecido. La medida más importante es la calidad de servicio (QoS, quality of service), que comprende todos los aspectos de una conexión tales como calidad vocal, retardo, pérdida, fiabilidad, etc. Se considerará un subconjunto de estos aspectos, es decir el grado de servicio (GoS, grade of service) o rendimiento funcional de la red, que sólo incluye aspectos relacionados con la capacidad de la red.

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Por la publicación de las fórmulas de Erlang había ya antes de 1920 una relación funcional entre la cantidad de servidores, tráfico ofrecido y grado de servicio (probabilidad de bloqueo) y así una medida para la calidad del tráfico. Al mismo tiempo, había conexiones directas entre todas las centrales en la zona de Copenhague que produjeron numerosos grupos pequeños de línea de enlace. Si la fórmula B de Erlang se aplica con una probabilidad de bloqueo fija para dimensionamiento, la utilización resulta deficiente. Kai Moe (1893-1949), que fue ingeniero en jefe en la Compañía Telefónica de Copenhague, efectuó algunas evaluaciones económicas cuantitativas y publicó diversos documentos donde presentó consideraciones marginales, como se conocen actualmente en economía matemática. P. A Samuelson, en su famoso libro publicado en 1947, efectuó consideraciones similares. Sobre la base de los trabajos de Moe se formularon los principios fundamentales para sistemas de telecomunicación. Principio de Moe (Jensen, 1950 [50]). 18.2.1 Dimensionamiento con probabilidad de bloqueo fija Para el funcionamiento correcto, un sistema de pérdidas debe ser dimensionado para una probabilidad de bloqueo baja. En la práctica, se debe elegir el número de canales n de modo tal que E1,n (A) sea de 1% para evitar la sobrecarga debida a numerosas tentativas de llamada repetidas y no completadas que además causan incomodidades a los abonados. El cuadro 7.1 indica el tráfico ofrecido para una probabilidad de bloqueo fija E = 1% para algunos valores de n. Cuadro 7.1 − Parte superior: Para un valor fijo de la probabilidad de bloqueo E = 1% se puede ofrecer el tráfico A a través de n líneas de enlace.

El promedio de utilización de las líneas de enlace es a y la función mejora es F1,n(A) (7.15). Parte inferior: Se obtienen los valores de E, a y F1,n(A) para una sobrecarga de 20%. El cuadro también indica la utilización de canales media, que es más elevada para grandes grupos. Si se aumenta el tráfico ofrecido un 20% a A1 = 1,2 . A, se observa que la probabilidad de bloqueo aumenta para 98

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todos los valores de n, pero más aún para grandes valores. En el cuadro 7.1 se observan dos características: La utilización a por canal es, para una determinada probabilidad de bloqueo, las más elevada en grandes grupos (véase la figura 7.4). Un canal puede, con una probabilidad de bloqueo E = 1%, ser utilizado en promedio 36 segundos por hora. Los grandes grupos de canales son más sensibles a un determinado porcentaje de sobrecarga que los pequeños grupos de canales. Esto se explica por la reducida utilización de pequeños grupos, los cuales, en consecuencia, tienen una mayor capacidad de reserva (elasticidad). Así, cuando se dimensiona un grupo de canales, surgen dos factores de importancia contrarios entre sí: se debe elegir entre alta sensibilidad a la sobrecarga o una baja utilización de canales. 18.3 Principios de mejora (principio de Moe) Como se indicó una probabilidad de bloqueo fija produce baja utilización (mala economía) de pequeños grupos de canales. Si se reemplaza la necesidad de una probabilidad de bloqueo fija por una necesidad económica, la función mejora F1,n(A) (7.15) debe tomar un valor fijo de modo tal que la extensión de un grupo con un canal adicional aumenta el tráfico transportado en la misma cantidad para todos los grupos. En el cuadro 7.2 se muestran los valores para F = 0,05. Del mismo se observa que la utilización de pequeños grupos resulta mejor cuando corresponde a un elevado aumento de la probabilidad de bloqueo. Por otra parte la congestión en grandes grupos disminuye a un valor pequeño. (Véase también la figura 7.7.) Si se tiene un sistema telefónico con grupos de enlace como en el cuadro, no se podrá aumentar el tráfico transportado reordenando los canales entre los grupos. Cuadro 7.2 − Para un valor fijo de la función mejora se han calculado los mismos valores que en el cuadro 7.1

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Con este criterio de servicio se atribuirá, en comparación con la probabilidad de bloqueo fija, más canales a grupos grandes y menos canales a grupos pequeños, que es la tendencia que se estaba buscando. La función mejora es igual al cociente diferencia del tráfico transportado con respecto al número de canales n. Cuando el dimensionamiento se efectúa conforme al principio de mejora se debe establecer un punto de operación en la curva del tráfico transportado en función del número de canales cuya pendiente sea la misma para todos los grupos (ΔA / Δn = constante). Un incremento marginal del número de canales aumenta el tráfico transportado en la misma cantidad para todos los grupos. Es sencillo establecer un modelo económico simple para la determinación de F1,n (A). Considérese un determinado intervalo de tiempo (por ejemplo una unidad de tiempo). Sea g el ingreso por erlang transportado por unidad de tiempo. Se supone que el costo de un cable con n canales es una función lineal:

Los costos totales para un determinado número de canales es entonces a) a costo del cable y b) costo debido al tráfico perdido (ingreso perdido):

siendo A el tráfico ofrecido, es decir la demanda posible de tráfico en el grupo considerado. Los costos debido al tráfico perdido disminuirán con el incremento de n, mientras que los gastos debidos al cable aumentan con n. Los costos totales pueden tener un mínimo para un determinado valor de n. En la práctica n es un entero y se busca un valor de n para el cual se tiene (véase la figura 7.6):

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Figure 7.6 − Los costos totales se componen de costos para cable e ingresos perdidos debido al tráfico bloqueado (7.30). El valor mínimo de los costos totales se obtiene cuando se satisface la expresión (7.31), es decir cuando las dos funciones de costos tienen la misma pendiente con signos opuestos (cociente de diferencias). (FB = 0,35, A = 25 erlang) El mínimo se obtiene para n = 30 líneas de enlace.

FB se denomina valor mejora. Se observa que c0 no aparece en la condición para mínimo. Determina si es conveniente transportar el tráfico en su totalidad. Se debe requerir que para algún 101

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valor positivo de n se tenga:

La figura 7.7 muestra probabilidades de bloqueo para algunos valores de F B. Se observa que la demanda económica precedente para obtener beneficios produce un determinado valor de la función mejora. En la práctica, se toma un valor de FB independientemente de la función costo. se han utilizado los siguientes valores: FB = 0,35 para grupos de enlace primarios. FB = 0,20 para grupos primarios que protegen el servicio. (7.35) FB = 0,05 para grupos sin ruta alternativa.

Figura 7.7 − Cuando se efectúa el dimensionamiento con un valor fijo del valor mejora FB las probabilidades de bloqueo para valores pequeños del tráfico ofrecido se hace grande (véase el cuadro 7.2)

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Lección 19: Sistemas de pérdidas con accesibilidad completa En este Capítulo se generaliza el sistema clásico de pérdidas de Erlang a los procesos Poisson de llegadas dependientes del estado, entre ellos los denominados modelos de tráfico BPP: •

Caso binomial: modelo de Engset,

•

Caso Poisson: modelo de Erlang, y

•

Caso Pascal (Binomial negativo): modelo de Palm-Wallström.

Se tiene entonces la posibilidad de bloqueo y se obtiene la distribución binomial truncada que se denomina distribución de Engset. La probabilidad de congestión temporal E viene dada por la fórmula de Engset, con un número de fuentes, la congestión temporal, la congestión de llamadas y la congestión de tráfico se vuelven diferentes, y la denominada propiedad PASTA es sustituida por el teorema general de llegada, según el cual el estado del sistema observado por un cliente (promedio de llamada), es igual a la probabilidad del estado del sistema sin este cliente (promedio temporal). La fórmula de Engest se calcula numéricamente mediante una fórmula recursiva en el número de canales n obtenida del mismo modo que la fórmula B de Erlang. Asimismo, se establecen fórmulas recursivas en el número de fuentes s, así como en n y s.

Figure 8.1 − Sistema de pérdidas de accesibilidad completo con S fuentes, que genera tráfico a n canales. El sistema se muestra a través del denominado chicko-gram. El pequeño apéndice que se ilustra en la fuente simboliza un selector que apunta hacia los canales (servidores) entre los cuales se puede escoger la fuente 19.1 Introducción Considérese un sistema con la misma estructura (grupo de accesibilidad completa) y estrategia (llamadas perdidas eliminadas) como en la lección 18 pero con más procesos generales de tráfico. En el texto siguiente se supone que los tiempos de servicios están distribuidos exponencialmente (intensidad µ), el proceso de tráfico resulta entonces un proceso de renovación, es decir un proceso de marco especial, que es sencillo de tratar matemáticamente. Generalmente se define el estado del sistema como el número de canales ocupados. Como se verá más adelante todos los procesos considerados no son sensibles, es decir sólo el tiempo de servicio medio es de importancia para las probabilidades de estado, la distribución de tiempo de servicio propiamente dicha no tiene influencia. 103

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Definición de tráfico ofrecido: el tráfico ofrecido A se ha definido como el tráfico transportado cuando el número de servidores es ilimitado. Sólo para procesos de renovación estacionarios como el proceso de llegada de Poisson en el caso Erlang esta definición es equivalente al promedio de la cantidad de tentativas de llamada por tiempo medio de servicio. En los casos de Engset y Pascal no hay proceso de renovación de llegada y esta definición se utiliza para el caso Engset y para el caso Pascal. El grado de Curtosis se define como la relación entre la varianza y el valor medio de las probabilidades de estado. Para el tráfico ofrecido el grado de curtosis se considera un número infinito de canales. Considérense los procesos de llegadas siguientes, donde el primer caso ya ha sido tratado en el En la lección 18: 1) Caso Erlang (P − Caso de Poisson): El proceso de llegada es un proceso de Poisson con intensidad λ. Este tipo de tráfico se denomina aleatorio o tráfico puramente aleatorio tipo uno, PCT−I. Se consideran dos casos: a) n = ∞: Distribución de Poisson. El grado de curtosis es en este caso igual a uno (Z = 1). b) n < ∞: Distribución de Poisson truncada. 2) Caso Engset (B − caso binomial): Hay un número limitado de fuentes S. La fuente individual tiene cuando está en reposo una intensidad (de llegada) de llamada constante γ. Cuando está ocupado la intensidad de llamada es cero. El proceso de llegada es así dependiente del estado. Si en un punto del tiempo dado, i fuentes están ocupadas, la intensidad de llegada es igual a (S − i) γ. Este tipo de tráfico se denomina tráfico aleatorio o tráfico puramente aleatorio tipo dos, PCT-II. Se consideran los dos casos siguientes: a) n ≥ S: Distribución binomial. El grado de curtosis es en este caso menor que uno: (Z < 1). b) n < S: Distribución binomial truncada. 3) Caso Palm - Wallstön (P- Caso Pascal): Hay un número de fuentes (clientes) S limitado. Si en un instante dado se tiene i fuentes ocupadas, la intensidad de llegada es igual a (S + i)γ. Aquí nuevamente surgen dos casos: a) n = ∞: Distribución de Pascal = distribución binomial negativa. En este caso el grado de curtosis es mayor que uno (Z > 1). b) n < ∞: Distribución de Pascal truncada (distribución binomial negativa). 104

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Como el proceso de Poisson se puede obtener por un número infinito de fuentes con una intensidad de llegada total λ, el caso Erlang se puede considerar como un caso especial de los otros dos casos:

Para cualquier estado finito i hay entonces una intensidad de llegada constante: Los tres tipos de tráfico están referidos como tráfico BPP conformes a las abreviaturas que corresponden a (Binomial, Poisson y Pascal). Como esos modelos incluyen todos los valores de curtosis Z > 0, puede ser utilizados para modelar tráfico con dos parámetros: Valor medio A y curtosis Z. Para valores arbitrarios de Z el número de fuentes S resulta, en general, no entero. Mediciones de rendimiento funcional: Las características de tráfico más importantes para sistemas de pérdidas son: congestión temporal E, congestión de llamadas B, congestión de tráfico C, y la utilización de los canales. Esas mediciones se obtienen para cada uno de los modelos mencionados. 19.2

Distribución binomial

Se examinará ahora un sistema con un número limitado de fuentes S (abonados). La fuente individual se conmuta entre estados en reposo y ocupado. Una fuente está en reposo durante un intervalo de tiempo que está distribuido exponencialmente con intensidad γ, y la fuente está ocupada durante un intervalo de tiempo distribuido exponencialmente (tiempo de servicio, tiempo de ocupación) con intensidad µ (véase la figura 8.2). Este tipo de fuente se denomina fuente esporádica o fuente activada/desactivada. Este tipo de tráfico se denomina tráfico puramente aleatorio tipo dos (PCT-II) o tráfico seudoaleatorio. Se supone que en esta sección el número total de canales/líneas de enlace n será mayor o igual al número de fuentes (n ≥ S), de modo tal que no habrá llamadas perdidas. Se supone que n y S son valores enteros, pero es posible tratar con valores no enteros (Iversen y Sanders, 2001 [4]).

Figura 8.2 − Cada fuente está ocupada o en reposo y se comporta en forma independiente de todas las otras fuentes 105

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19.2.1 Ecuaciones de equilibrio

Figura 8.3 − Diagrama de transición de estado para el caso binomial. El número de fuentes S es menor que el número de circuitos n (n ≥ S). Sólo hay interés en las probabilidades de estado estacionario p(i), que es la proporción de tiempo en que el proceso se encuentra en el estado [i]. Los cálculos estarán basados en el diagrama de transición de están de la figura 8.3. Todas las probabilidades de estado se expresan por p(0) El valor total de todas las probabilidades debe ser igual a uno:

donde se ha utilizado la expansión binomial. Si β= γ/μ, se obtiene:

El parámetro β es el tráfico ofrecido por fuente en reposo (número de tentativas de llamada por unidad de tiempo para una fuente en reposo) (el tráfico ofrecido desde una fuente ocupada es cero), y resulta:

donde

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En este caso, cuando una tentativa de llamada procedente de una fuente en reposo nunca se bloquea, α es igual al tráfico transportado a por fuente (a = α), que es equivalente a la probabilidad que una fuente esté ocupada en un instante aleatorio (la proporción del tiempo en que la fuente está ocupada). Esto también se observa en la figura 8.2, pues todos los puntos de llegada y de salida en el eje del tiempo son puntos de regeneración (puntos de equilibrio). Un ciclo que va desde el comienzo de un estado ocupado (llegada) hasta el comienzo del estado ocupado siguiente es representativo de la totalidad de los ejes de tiempo, y los tiempos medios se obtienen promediando un ciclo completo. Se debe señalar que para sistemas con bloqueo se tiene a ≠ α. La fórmula (8.4) representa la distribución binomial. En la teoría de teletráfico también se denomina distribución de Bernoulli, pero esto se debe evitar pues en estadística este nombre se utiliza para una distribución de dos puntos. La fórmula (8.4) se puede obtener por consideraciones elementales. Todos los abonados se pueden dividir en dos grupos: abonados ocupados y abonados desocupados. La probabilidad que un abonado pertenezca a la clase "ocupado" es a = α, que es independiente del estado de todos los otros abonados pues el sistema no tiene bloqueo y siempre se aceptan tentativas de llamada. Hay en total S abonados (fuentes) y la probabilidad p(i) que i fuentes estén ocupadas en un instante arbitrario viene dado por la distribución binomial (8.4) y por el cuadro 6.1. 19.2.2 Características del tráfico binomial Se han visto las siguientes definiciones de los parámetros:

El tráfico ofrecido por fuente desocupada es un concepto complejo pues la porción de tiempo que una fuente está desocupada depende de la congestión. El número de llamadas ofrecido por una fuente resulta dependiente del número de canales: una elevada congestión ocasiones más tiempo libre para una fuente y, por tanto, más tentativas de llamada. Por definición, el tráfico ofrecido de una fuente es igual al tráfico transportado en un sistema sin congestión, donde la fuente varía libremente entre los estados ocupado y desocupado. Por tanto, se tiene la siguiente definición de tráfico ofrecido.

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Congestión temporal:

Tráfico transportado:

que es el valor medio de la distribución binomial (8.4). En este caso sin bloqueo se tiene entonces α = a. Congestión de tráfico:

Número de tentativas de llamada por unidad de tiempo:

La expresión (S a μ) es el número de llamadas transportadas por unidad de tiempo, y se obtiene así: Congestión de llamadas:

B=0

(8.16)

Tráfico transportado por canal ʋ: Búsqueda aleatoria:

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Búsqueda secuencial: expresión compleja deducida por L.A. Joys (1971 [56]). Función mejora: Grado de curtosis: (Cuadro 6.1)

Se observa que el grado de curtosis Z es independiente del número de fuentes de tráfico y es siempre menor que uno, de modo tal que corresponde al tráfico regularizado. Como A obtiene entonces la siguiente relación simple entre A, S y Z:

= αS, se

Duración del estado i: Está distribuido exponencialmente con el régimen:

Lección 20:

Distribución de Engset

La única diferencia en comparación con la distribución binomial es que el número de fuentes S es ahora mayor que el número de líneas de enlace (canales) (n < S). Por tanto, las tentativas de llamada pueden sufrir congestión.

Figura 8.4 − Diagrama de transición de estado para el caso Engset con S > n, donde S es el número de fuente de tráfico y n es el número de canales 109

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20.1

Probabilidades de estado

Las ecuaciones de corte son idénticas a la ecuación (8.1), pero sólo existen para 0 ≤ i ≤ n (véase la figura 8.4). La ecuación de normalización (8.2) resulta:

y suponiendo que β

= γ/µ, las probabilidades de estado son:

Del mismo modo, utilizando la ecuación (8.8), se puede volver a formular esta expresión en una forma que es análoga a la ecuación (8.4):

De la que se puede observar directamente porque se denomina distribución binomial truncada. Las distribuciones (8.25) y (8.26) se denominan distribución de Engset. T. Engset (1865-1943) de nacionalidad noruega publicó por primera vez el modelo con un número de fuentes finito (1918 [27]). 20.1

Características del tráfico del sistema Engset

La distribución de Engset da por resultado cálculos más complicados que el sistema de pérdidas de Erlang. La cuestión esencial es conocer cómo encontrar las medidas de rendimiento funcional de las probabilidades de estado utilizando las definiciones. El sistema Engset está caracterizado por los parámetros β = = número de canales.

γ/µ = tráfico ofrecido por fuente desocupada, S = número de fuentes y n

Congestión temporal E: es por definición igual a la porción de tiempo en que el sistema está bloqueado para nuevas tentativas de llamada, es decir p(n) (8.25):

Congestión de llamadas B: por definición es igual a la proporción de tentativas de llamada que se pierden. Sólo las tentativas de llamada que llegan al sistema en estado n se bloquean. Durante 110

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una unidad de tiempo se obtiene la relación siguiente entre el número de tentativas de llamadas bloqueadas y el número total de tentativas de llamadas:

Este resultado se puede interpretar de la siguiente manera: La probabilidad que una tentativa de llamada procedente de una fuente aleatoria (abonado) se rechace, es igual a la probabilidad que las fuentes de tráfico S−1 restantes ocupen la totalidad de los n canales. Este es el teorema de llegada y se puede probar que es válido para sistemas de pérdidas y de espera) con un número limitado de fuentes de tráfico. El resultado se basa en el producto entre fuentes y la convolución de fuentes. Como E aumenta cuando se incrementa S, se tiene:

Teorema 8.1 Teorema de llegada: Para todos los sistemas con un número de fuentes limitado, una fuente de tráfico aleatorio observará según llegada el estado del sistema como si la propia fuente no fuera parte del sistema. Tráfico transportado: Aplicando la ecuación de corte entre el estado i−1 y el estado i se obtiene:

pues E = En,S(β) = p(n). Esto se resuelve con respecto a Y:

El tráfico ofrecido viene dado por la ecuación (8.9), y así se obtiene: Congestión de tráfico C = Cn;S (A). Esta es la medición de congestión más importante. 111

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Esto permite una relación simple entre C y E. También se puede hallar el tráfico transportado si se conoce la congestión de llamadas B. La cantidad de tentativas de llamada aceptadas por fuente . desocupada por tiempo medio de servicio es γ (1-B), y el tráfico transportado por fuente resulta

El tráfico transportado total viene dado por:

De las ecuaciones (8.33) y (8.35) se obtiene una relación simple entre E y B que es idéntica a las ecuaciones (8.54) y (8.55). Números de tentativas de llamadas por unidad de tiempo:

donde Y es el tráfico transportado. Así (S−Y) es el número medio de fuentes desocupadas. Históricamente, el tráfico ofrecido había sido definido como la relación Δ/µ. Sin embargo, esto no es correcto debido a que a cada tentativa de llamada repetida no se le puede asignar un tiempo de ocupación medio 1/μ. Además, esto ha causado mucha confusión pues el tráfico ofrecido por esta definición depende del sistema (número de canales). Tráfico perdido:

Duración del estado i: Está distribuido exponencialmente con la intensidad:

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Función mejora:

Ejemplo 8.3.1: Promedio de llamadas y tiempo medio. Se han definido anteriormente las probabilidades de estado p(i) bajo la hipótesis de equilibrio estadístico como la porción de tiempo que el sistema permanece en el estado i, es decir como promedio de tiempo. Se debe también estudiar cómo se muestra el estado del sistema cuando es observado por una fuente (usuario) de llegada o salida (promedio de llamadas). Si se considera una unidad de tiempo, las fuentes (S − i) . γ p(i) medias observarán el sistema en el estado i, justo antes del momento de llegada y si son aceptados llevarán el sistema al estado [i + 1]. Las fuentes que observan el sistema en el estado n están bloqueadas y permanecen en estado desocupado. Por tanto, las fuentes de llegada observan el sistema en estado i con la probabilidad siguiente:

De modo análogo la derivación de la ecuación (8.28) se puede demostrar que de conformidad con el teorema de llegada (Teorema 8.1) se tiene lo siguiente:

Cuando las fuentes que dejan el sistema miran hacia atrás observarán el sistema en estado :

Mediante la aplicación de ecuaciones de corte se determina inmediatamente que ésta es idéntica a la ecuación (8.40), si se incluyen los clientes bloqueados. En términos medios, los clientes salen del sistema en el mismo estado en que llegan. El proceso reversible es diferente a la distribución temporal del servicio. Si el sistema se filmara, no se podría determinar si funciona hacia adelante o hacia atrás.

113

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20.2 Relaciones entre E, B, y C De la ecuación (8.50) se obtiene la siguiente relación entre E = En,S(β) y B = Bn,S(β) = En,S-1(β) utilizando la ecuación (8.28):

Las expresiones de la derecha son lineales en las probabilidades de bloqueo recíprocas. En la ecuación (8.34) se obtiene la siguiente relación:

Si en la ecuación (8.56) se expresa E por B (8.54), se obtendrá entonces C expresado por B:

De las ecuaciones (8.58) y (8.28) se obtiene:

Ejemplo 8.5.1: Sistema de pérdidas de Engset. Se considerará un sistema de pérdida de Engset que posee n = 3 canales y S = 4 fuentes. El coeficiente de llamadas por fuente desocupada es γ = 1/3 llamadas por unidad de tiempo y el tiempo medio de servicio (1/μ) es una unidad de tiempo. Se calculan entonces los siguientes parámetros:

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Del diagrama de transición de estado se obtiene el siguiente cuadro:

Se calculan las siguientes probabilidades de bloqueo: Congestión temporal: Congestión de tráfico: Congestión de llamadas: Se observa que E >B>C, que es un resultado general para el caso Engset ((8.60) y figura 8.5). Por aplicación de la fórmula de recursión (8.45) se obtendrán, por supuesto, los mismos resultados.

Ejemplo 8.5.2: Número limitados de fuentes. La influencia a partir de la limitación del número de fuentes se puede estimar considerando la congestión temporal, la congestión de llamadas o la congestión de tráfico. Los valores de congestión se muestran en la figura 8.5 para un número de canales n fijo, tráfico ofrecido A fijo, y un valor creciente del grado de curtosis Z correspondiente a un número de fuentes S que viene dado por S = A/1 – Z) (8.23). El tráfico ofrecido se define como el tráfico transportado en un sistema sin bloqueo (n = ∞). Aquí Z = 1 corresponde a un proceso de llegada de Poisson (fórmula B de Erlang, E = B = C). Para Z < 1 se obtiene el caso Engset, y para este caso la congestión temporal E es mayor que la congestión de llamadas B que a su vez es mayor que la congestión de tráfico C. Para Z > 1 se obtiene el caso.

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20.3 Teoría de desbordamiento En esta sección se examinan sistemas con accesibilidad restringida, es decir, sistemas en los que un abonado o un flujo de tráfico sólo tienen acceso a k canales específicos de un total de n (k ≤ n) canales. Si todos los canales k están ocupados, una tentativa de llamada se puede bloquear incluso si hay canales en estado de reposo entre los canales (n–k) restantes. En la figura 9.1 se muestra un ejemplo donde se considera una red jerárquica con tráfico de A a B y de A a C. Para el tráfico de A a B hay una ruta directa (primaria) con n1 canales. Si están todos ocupados, la llamada se dirige al encaminamiento alternativo (secundario) de T a B. De modo similar, el tráfico de A a C tiene como primera elección la ruta AC y una ruta alternativa ATC. Si se supone que la ruta TB y TC no están bloqueadas, se obtiene entonces el esquema de accesibilidad mostrado a la derecha de la figura 9.1. A partir de esto se observa que el número total de canales es (n1 + n2 + n12) y que el tráfico AB sólo tiene acceso a (n1 + n12) de ellos. En este caso, se debe aplicar búsqueda secuencial entre las rutas de modo tal que se encamine sólo una llamada a través del grupo n12, cuando todos los canales primarios n1 están ocupados.

Figura 9.1 − Red de telecomunicación con encaminamiento alternado y el correspondiente esquema de accesibilidad, que se denomina gradación de O'Dell. Se supone que los enlaces entre la central de tránsito T y las centrales B y C no están bloqueados. Los canales n12 son comunes para ambos flujos de tráfico. Generalmente las redes con accesibilidad limitada tienen protección de servicio intrínseca. Independiente de la dimensión del tráfico de A a C nunca tendrá acceso a los canales n1. Por otra parte, es posible que las conexiones se bloqueen incluso si hay canales en reposo, por lo que la utilización siempre será más baja que en los sistemas con accesibilidad total. Sin embargo, la utilización será mayor que para sistemas separados con la misma cantidad total de canales. Los canales comunes permiten una determinada compensación de tráfico entre los dos grupos. Históricamente, era necesario considerar accesibilidad restringida pues los sistemas electromecánicos tenían inteligencia muy reducida y capacidad de selector limitada (accesibilidad). En sistemas digitales no se tienen estas restricciones, pero aún la teoría de accesibilidad restringida es importante para las redes y para garantizar el grado de servicio. 116

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20.3.1 Teoría de desbordamiento Los modelos de tráficos clásicos suponen que el tráfico ofrecido a un sistema es un tráfico puramente aleatorio puro tipo uno o dos, PCT-I o PCT-II. En redes de comunicaciones con encaminamiento de tráfico alternativo, el tráfico que se pierde del grupo primario se presenta a un grupo de desbordamiento, que tiene propiedades diferentes del tráfico PCT. Por consiguiente, para evaluar probabilidades de bloqueo de tráfico de desbordamiento no se pueden utilizar los modelos clásicos. Ejemplo 9.1.1: Grupo dividido en dos. Sea un grupo con 16 canales donde se presenta tráfico PCT-I de 10 erlang. Empleando la fórmula B de Erlang se obtiene la probabilidad de bloqueo E = 2,23% y el tráfico perdido 0,2230 erlang. Se aplica ahora la búsqueda secuencial y los 16 canales se dividen en un grupo primario y un grupo de desbordamiento, con un total de 8 canales cada uno. Mediante la fórmula B de Erlang se encuentra que el tráfico de desbordamiento del grupo primario es igual a 3,3832 Erlang. Este tráfico se presenta al grupo de desbordamiento. Nuevamente, mediante la fórmula B de erlang se obtiene el tráfico perdido que se encuentra en el grupo de desbordamiento: Al = 3,3832. Es(3,3832) = 0,0493 [erlang]. De esta manera, la probabilidad de bloqueo total es de 0,493%, que es un valor mucho menor que el resultado correcto de 2,23%. Se ha efectuado un error al aplicar la fórmula B al tráfico de desbordamiento, que no es tráfico PCT-I, sino que se desencadena repentinamente (en forma de ráfagas). En el texto siguiente se describirán dos clases de modelos para tráfico de desbordamiento. En principio, se puede estudiar el proceso de tráfico vertical u horizontalmente. Por estudios verticales se calculan las probabilidades de estado. Por estudios horizontales se analiza la distancia entre las llegadas de las llamadas, es decir la distribución temporal entre llamadas. 20.3.2 Probabilidad de estado de sistemas de desbordamiento. Considérese un grupo totalmente accesible con búsqueda (secuencial) ordenada. El grupo se divide en un grupo primario limitado con n canales y un grupo de desbordamiento con capacidad infinita.

Figura 9.2 − Sistemas de desbordamiento que figuran en la literatura. 117

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Se supone que el tráfico ofrecido A es el tipo PCT-I. Este sistema de desbordamiento se denomina sistema de Kosten (véase la figura 9.2). El estado del sistema se describe por medio de un vector bidimensional:

que es la probabilidad que en un punto aleatorio del tiempo i canales estén ocupados en el grupo primario y j canales en el grupo de desbordamiento. Es diagrama de transición de estado se muestra en la figura 9.3. Kosten (1937 [68]) analizó este modelo y calculó las siguientes probabilidades de estado marginales:

Riordan (1956 [89]) estableció los momentos de las distribuciones marginales. El valor medio y el grado de curtosis (relación varianza/valor medio) de las distribuciones marginales, es decir el tráfico transportado por los dos grupos resultan: Grupo primario:

donde Fn–1(A) es la función mejora de la fórmula B de Erlang. Grupo de desbordamiento:

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Figura 9.3 − Diagrama de transición de estado para el sistema Kosten que tiene un grupo primario con n canales y un grupo de desbordamiento ilimitado. Los estados se simbolizan por (i, j), donde i es el número de canales ocupados en el grupo primario, y j es el número de canales ocupados en el grupo de desbordamiento. La experiencia demuestra que el grado de curtosis Z es una buena medida de la probabilidad de bloqueo relativa que está sujeto un flujo de tráfico con un valor medio determinado. En la figura 9.4 se observa que el grado de curtosis del tráfico de desbordamiento tiene un máximo para un tráfico fijo y un número de canales en aumento. El coeficiente de curtosis o factor de irregularidad se obtiene en función del número de canales y se aplica para cálculos teóricos pero su valor es difícil de estimar con precisión mediante observaciones prácticas. Para el tráfico PCT-I el grado de curtosis es igual a uno, y el bloqueo se calcula utilizando la fórmula Erlang B si el grado de curtosis es menor que uno (9.5), el tráfico se denomina regularizado y experimenta menos bloqueo que el tráfico PCT-I. Si el grado de curtosis es mayor que uno, el tráfico presenta características de incremento repentino y experimenta un bloqueo mayor que el tráfico PCT-I. El tráfico de desbordamiento viene generalmente en ráfagas (9.7). Brockmeyer (1954 [11]) calculó los momentos y probabilidades de estado de un sistema con un grupo de desbordamiento limitado (véase la figura 9.2), el cual se denomina sistema Brockmeyer. Bech (1954 [6]) hizo lo mismo utilizando ecuaciones matriciales, y obtuvo expresiones más generales y complicadas. El sistema Brockmeyer fue generalizado ulteriormente por Schehrer que también calculó los momentos de orden superior para grupos de desbordamiento finitos. Wallström (1966 [103]) calculó los momentos y probabilidades de estado para el tráfico de 119

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desbordamiento de un sistema Kosten generalizado, donde la intensidad de llegada depende del número total de llamadas en el sistema o del número de llamadas en el grupo primario.

Figura 9.4 − Grado de curtosis Z del tráfico de desbordamiento en función del número de canales para un valor fijo del tráfico ofrecido. Obsérvese que Z tiene un valor máximo. Cuando n llega a tener un valor grande, las tentativas de llamadas rara vez están bloqueadas y los intentos bloqueados serán mutuamente independientes. Por consiguiente, el proceso de desbordamiento de llamadas converge a un proceso de Poisson. 20.4 Método equivalente de Wilkinson-Bretschneider El método equivalente usualmente se denomina método de Wilkinson (Wilkinson, 1955 [104]). Al mismo tiempo, Bretschneider (1956 [9]) publicó independientemente estos estudios en Alemania. También se denomina método de tráfico aleatorio equivalente (ERT, equivalent random traffic) y desempeña un papel fundamental cuando se dimensionan redes de telecomunicaciones. 20.4.1 Análisis preliminar Considérese un grupo con l canales donde se presentan g flujos de tráfico (véase la figura 9.5). Los flujos de tráfico pueden ser, por ejemplo, tráfico perdido de grupos de canal directos y, por tanto, no pueden ser descritos por modelos de tráficos clásicos. De esta manera no se conocen las distribuciones (probabilidades de estado) de los flujos de tráfico, pero se considera satisfactorio (y esto sucede a menudo en aplicaciones de estadística) con la caracterización del i-ésimo flujo de tráfico con su valor medio mi y varianza ʋi. Con esta simplificación se considerarán dos flujos de 120

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tráfico equivalentes, si tienen el mismo valor medio y varianza.

Figura 9.5 − Aplicación del método ERT a un sistema que tiene g flujos de tráfico independientes presentados a un grupo común de l canales. El proceso de desbordamiento combinado de los g flujos de tráfico se dice que son equivalentes al tráfico que desborda de un grupo accesible completo con el mismo valor medio y varianza del tráfico de desbordamiento. Véanse las ecuaciones (9.8) y (9.9). El flujo de tráfico total al grupo con l canales tiene el valor medio conforme a la siguiente expresión

Se supone que los flujos de tráfico son independientes (no correlacionados) y así la varianza del flujo de tráfico total resulta:

El tráfico total se caracteriza por m y ʋ. Se considera ahora que este tráfico es equivalente a un volumen de tráfico que se perdió de un grupo accesible completo y que tiene el mismo valor medio m y varianza ʋ. En la figura 9.5 el sistema superior se remplaza por el sistema equivalente en la parte inferior de la misma, que es un sistema accesible completo con ( nx + l) canales que ofrecen el tráfico Ax. Por tanto, se resolverán las ecuaciones (9.6) y (9.7) con respecto a n y A para determinados valores de m y ʋ. Cabe indicar que existe una sola solución que se simboliza por (nx, Ax). 121

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El tráfico perdido se encuentra con la fórmula B de Erlang:

Como el tráfico ofrecido es m, la probabilidad de bloqueo del sistema viene dada por:

NOTA – La probabilidad de bloqueo no es Enx+1(Ax). Se debe recordar el último paso (9.11), donde se relaciona el tráfico perdido con el tráfico ofrecido originalmente. Cabe señalar que si el tráfico de desbordamiento procede de un solo grupo primario con tráfico PCT-I, el método es exacto. En el caso general con más flujos de tráfico el método es aproximado, y no produce la probabilidad media de bloqueo exacta. 20.4.2 Aspectos numéricos Por aplicación del método ERT es necesario calcular (m, ʋ) para determinados valores de (A, n) y viceversa. Es sencillo obtener (m, ʋ) para valores (A, n) dados. Para obtener (A, n) para valores (m, ʋ) dados, se deben resolver dos ecuaciones con dos incógnitas. Esto requiere un procedimiento iterativo, pues En(A) no puede ser resuelto explícitamente con respecto a n ni A. Sin embargo, se puede resolver la ecuación (9.7) con respecto a n con la expresión siguiente:

conociéndose así n para el valor A. De esta manera, A es la única variable independiente. Para resolver la ecuación restante se puede utilizar el método de iteración de Newton-Raphson introduciendo la función:

Para un valor inicial A0 adecuado, se ha de mejorar esto iterativamente hasta que los valores resultantes de m y ʋ/m estén suficientemente cerca de los valores conocidos. Yngvé Rapp has propuesto una buena solución de aproximación para A, que se puede usar como valor inicial A0 en la iteración:

Con el valor de A se obtiene n, utilizando la ecuación (9.12). La aproximación de Rapp es suficientemente exacta para aplicaciones prácticas, excepto cuando Ax es muy pequeña. El grado de curtosis Z = ʋ/m tiene un máximo, obtenido cuando n es ligeramente mayor que A (véase la 122

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figura 9.4). Para algunas combinaciones de m y ʋ/m la convergencia es crítica, pero cuando se utilizan ordenadores se puede encontrar siempre la solución correcta. Con el empleo de ordenadores se puede operar con un número no entero de canales y sólo al final de los cálculos se elige un número entero de canales igual o mayor a los resultados obtenidos (típicamente un módulo de un determinado número de canales (8 en GSM, 30 en MIC, etc.). Cuando se utilizan tablas de la fórmula B de Erlang se debe elegir en cada paso el número de canales de modo tal que el bloqueo sea el caso más desfavorable. El método mencionado presupone que ʋ/m es mayor que uno, y esto sólo es válido para el tráfico en ráfagas. En la figura 9.5 se permite que los flujos de tráfico individuales tengan una relación ʋi/mi < 1, siempre que el flujo de tráfico total combinado sea en ráfagas. Bretschneider ([10], 1973) ha extendido el método para incluir un número negativo de canales durante los cálculos. De esta manera es posible encarar tráfico regularizado con el método EERT extendido (EERT, extended ERT). 20.4.3 Probabilidades de bloqueo de paquetes En la figura 9.5 los flujos de tráfico individuales no tienen el mismo valor medio ni la misma varianza y, por tanto, no experimentan igual probabilidad de bloqueo en el grupo de desbordamiento común con l canales. De lo anterior se calcula el bloqueo medio (9.11) para todos los flujos de tráfico combinados. La experiencia señala que la probabilidad de bloqueo observada es proporcional al grado de curtosis Z = ʋ/m del flujo. El tráfico perdido total se puede dividir en paquetes de tráfico perdido individuales suponiendo que el tráfico perdido para el flujo de tráfico i, es proporcional al valor medio mi y al grado de curtosis Zi = vi/mi. Por tanto, se obtiene:

de la cual se halla la constante c = 1/ʋ. La probabilidad de bloqueo para el flujo de tráfico i, que se denomina probabilidad de bloqueo de paquete para el flujo i, resulta entonces:

Asimismo, se puede dividir el bloqueo entre grupos individuales (primario, secundario, etc.). Considerando el grupo equivalente en la parte inferior de la figura 9.5 con nx canales primarios y l canales secundarios (de desbordamiento), se puede calcular la probabilidad de bloqueo debido a los nx canales primarios, y la probabilidad de bloqueo debido a los l canales secundarios. La 123

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probabilidad que el tráfico se pierda por los n canales es igual a la probabilidad que el tráfico se pierda por nx + l canales, con la condición que el tráfico se ofrece a los l canales:

La probabilidad de pérdida total se puede relacionar, por tanto, a los dos grupos:

Utilizando esta expresión se puede encontrar el bloqueo para cada grupo de canal y obtener entonces, por ejemplo, información sobre qué grupo debe ser aumentado agregando más canales. Ejemplo 9.2.2: continuación del Ejemplo 9.1.1. En el ejemplo 9.1.1 la probabilidad de bloqueo del grupo primario de 8 canales es E8(10) = 0,3383. El bloqueo del grupo de desbordamiento es:

El bloqueo total del sistema es: E16(10) = E8(10) . H(8) = 0,3383 . 0,06592 = 0,02231 Ejemplo 9.2.3: Sistema celular jerárquico. Se considera un sistema celular HCS que abarca tres áreas. El tráfico ofrecido en las áreas es de 12, 8 y 4 erlang, respectivamente. En las primera dos células se introducen microcélulas con 16 (8, respectivamente), y una macrocélula común que abarca las tres áreas tiene atribuida 8 canales. Se permite el desbordamiento de las microcélulas en las macrocélulas, pero no se reordenan las llamadas de las macro a las microcélulas cuando un canal se desocupa. Además, no se tiene en cuenta el traspaso de tráfico. Mediante las ecuaciones (9.6) y (9.7) se hallan el valor medio y la varianza del tráfico ofrecido a la macrocélula:

I 1

Tráfico ofrecido Ai 12

Número de canales ni(j) 16

Desbordamiento medio m1,i 0,7250

Varianza de desbordamiento vi 1,7190

Grado de curtosis Zi 2,3711

2

8

8

1,8846

3,5596

1,8888

3

4

0

4,0000

4,0000

1,0000

Total

24

6,6095

9,2786

1,4038

Célula

El tráfico total ofrecido a la macrocélula tiene un valor medio de 6,61 erlang y una varianza de 9,28. Esto corresponde a un tráfico de desbordamiento de un sistema equivalente con 10,78 erlang ofrecidos a 4,72 canales. Así, se termina con un sistema de 12,72 canales con 10,78 erlang ofrecidos. Empleando la fórmula de Erlang B, se halla el tráfico perdido de 1,3049 erlang. 124

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Originalmente se ofrecieron 24 erlang, de modo tal que la probabilidad de bloqueo de tráfico total resulta B = 5,437%. Las tres áreas tienen probabilidades de bloqueo particulares. Empleando la ecuación (9.14) se encuentra que el tráfico perdido aproximado de las áreas es de 0,2434 erlang, 0,5042 erlang, y 0,5664 erlang, respectivamente. Así, las probabilidades de bloqueo de tráfico llegan a ser del 2,03%, 6,30% y 14,16%, respectivamente. Una simulación por medios informáticos de 100 millones de llamadas da como probabilidad de bloqueo 1,77%, 5,72%, y 15,05%, respectivamente. Esto corresponde a un tráfico perdido total igual a 1,273 erlang y una probabilidad de bloqueo del 5,30%. La exactitud del método de este capítulo es suficiente para aplicaciones reales.

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