UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA FACULTAD DE CIENCIAS ´ DEPARTAMENTO DE MATEMATICAS

´ TALLER DE ANALISIS NO LINEAL Y ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES

CURSILLO ´ A LA TEOR´ INTRODUCCION IA DE PUNTOS CR´ ITICOS CON APLICACIONES A PROBLEMAS EL´ IPTICOS SEMILINEALES

Por ´ JORGE COSSIO y CARLOS VELEZ Universidad Nacional de Colombia Sede Medell´ın

Bogot´ a, Junio 23-30, 2010

CONTENIDO

P´agina Cap´ıtulo . 1.

´ .....................................1 INTRODUCCION ´ PUNTOS CR´ITICOS VIA MINIMIZACION

.................4

1. Teoremas Fundamentales 2. Proposiciones Auxiliares 3. Aplicaciones a Problemas El´ıpticos Semilineales 2.

PUNTOS CR´ITICOS VIA MINIMAX . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1. El Lema de Deformaci´on 2. El Teorema del Paso de la Monta˜ na y un Teorema de Punto de Silla 3. Aplicaciones a Problemas El´ıpticos Semilineales 3.

´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 PUNTOS CR´ITICOS VIA REDUCCION

1. Teoremas Centrales 2. Aplicaciones a Problemas El´ıpticos Semilineales REFERENCIAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

ii

´ INTRODUCCION Una de las ´areas de la matem´atica de mayor desarrollo durante los u ´ltimos a˜ nos ha sido el an´alisis no lineal. Los trabajos de Ljusternik y Schnirelman (v´ease [22]) y el famoso trabajo de Ambrosetti y Rabinowitz (v´ease [5]) en el cual se demuestra el Teorema del Paso de la Monta˜ na han motivado e inspirado la investigaci´on en esta ´area y han permitido el desarrollo de las teor´ıas de minimax y de Morse. El objetivo principal de este trabajo es presentar una sub´area del an´alisis no lineal, llamada la teor´ıa de puntos cr´ıticos. Esta teor´ıa identifica una clase importante de problemas no lineales que pueden ser escritos en la forma (1)

I 0 (u) = 0,

donde u pertenece a un espacio de Hilbert H adecuado e I 0 es la derivada de Fr´echet de un cierto funcional I : H → R. La ventaja de esta formulaci´on es la de poder hallar las soluciones del problema no lineal como los puntos cr´ıticos del funcional I, que en ciertas circunstancias pueden ser m´as faciles de encontrar. Por ejemplo, si el funcional I es diferenciable y tiene un m´ınimo en u entonces (1) es v´alido y por lo tanto u es una soluci´on del problema en estudio. En este trabajo estamos interesados en encontrar puntos cr´ıticos de funcionales I : H → R. Al hablar de puntos cr´ıticos es natural pensar en primer lugar en puntos de m´ınimo o de m´aximo local (o global) y en segundo lugar en puntos cr´ıticos de tipo “minimax” o “maxmin”. 1

2 Este cursillo est´a dividido en tres cap´ıtulos. En el Cap´ıtulo 1 presentamos un resultado b´asico de la teor´ıa de minimizaci´ on de funcionales coercivos y d´ebilmente inferiormente semicontinuos y mostramos algunas aplicaciones a la existencia de soluciones d´ebiles para ecuaciones diferenciales semilineales.

En el Cap´ıtulo 2 estudiamos algunos m´etodos de minimax para encontrar puntos cr´ıticos de funcionales. Estos m´etodos caracterizan los valores cr´ıticos de un funcional como un minimax sobre una clase de conjuntos adecuados. El Teorema del Paso de la Monta˜ na es el primer resultado de minimax que estudiaremos. Su enunciado involucra la condici´on de Palais-Smale, que aparece repetidamente en la teor´ıa de puntos cr´ıticos y afirma una cierta “compacidad” sobre el funcional I. Una herramienta fundamental en los resultados abstractos de tipo minimax es el llamado Lema de Deformaci´on, el cual ser´a presentado en la primera secci´on de ese cap´ıtulo. Tambi´en presentaremos un Teorema de Punto de Silla debido a P. Rabinowitz. Finalmente utilizaremos el Lema de Deformaci´on, el Teorema del Paso de la Monta˜ na y el Teorema de Punto de Silla para presentar algunas aplicaciones a la soluci´on de problemas el´ıpticos no lineales.

En el Cap´ıtulo 3 estudiaremos una t´ecnica que permite reducir el estudio de los puntos cr´ıticos de un funcional I definido en un espacio de Hilbert H al estudio de los puntos cr´ıticos de un funcional Iˆ definido en un subespacio cerrado de H, el cual es, generalmente, de dimensi´on finita. Esta t´ecnica, se conoce como el m´etodo de reducci´ on, y es muy u ´til para demostrar existencia y multiplicidad de soluciones de

3 problemas de Dirichlet no lineales. El m´etodo de reducci´on tuvo su or´ıgen en las investigaciones de los profesores Lazer, Landesman y Meyers (v´ease [21]) y Castro y Lazer (v´ease [12]). Existe otro m´etodo muy importante para estudiar teor´ıa de puntos cr´ıticos, que no presentaremos en este trabajo, este es la teor´ıa de Morse. Al lector interesado le sugerimos para su estudio los trabajos de Milnor ([24]), Chang ([14]) y Conley ([16]). Esperamos que estas notas sirvan para estimular el inter´es por el estudio de la teor´ıa de puntos cr´ıticos y de los m´etodos topol´ogicos en ecuaciones diferenciales. Al lector interesado en profundizar estos aspectos le sugerimos consultar los trabajos de Ambrosetti ([3] y [4]), Brezis y Nirenberg ([7]), Castro y Cossio ([10]), Castro y Lazer ([11] y [12]), Chang ([13] y [14]), Ghoussoub ([20]), Nirenberg ([25]), Rabinowitz ([26], [27], [28], [29], [30], [31], [32] y [33]) y de Willem ([34]). Queremos agradecer al profesor Alfonso Castro, al comit´e organizador del Taller de An´alisis no Lineal y Ecuaciones Diferenciales Parciales y a las directivas de la Universidad Nacional de Colombia Sede Bogot´a por invitarnos a presentar en este evento el presente cursillo.

Junio 2010.

Jorge Cossio y Carlos V´ elez

CAP´ ITULO 1 ´ PUNTOS CR´ ITICOS VIA MINIMIZACION En este cap´ıtulo presentaremos una t´ecnica de minimizaci´on de funcionales definidos en espacios de Hilbert, que permite encontrar puntos cr´ıticos de funcionales coercivos y d´ebilmente inferiormente semicontinuos. En la Secci´on 1 presentaremos los teoremas abstractos fundamentales. En la Secci´on 2 demostraremos tres proposiciones de caracter t´ecnico que permiten verificar en las aplicaciones a ecuaciones diferenciales las hip´otesis requeridas en los teoremas fundamentales. Y en la Secci´on 3, utilizando los teoremas abstractos, demostraremos la existencia de soluciones d´ebiles para problemas el´ıpticos no lineales. Al lector interesado en algunas generalizaciones importantes de esta teor´ıa a la existencia de puntos cr´ıticos con restricciones le sugerimos ver los trabajos de Costa ([18]) y de Costa y Willem ([19]). 1. Teoremas Fundamentales Nuestro primer teorema es un resultado topol´ogico que ser´a utilizado en la demostraci´on del teorema central de esta secci´on. Teorema 1.1.1. Sean X un espacio topol´ ogico compacto y Φ : X → R un funcional semicontinuo inferiormente (i.e. ∀a ∈ R, Φ−1 (a, ∞) es un abierto en X). Entonces Φ est´ a acotado inferiormente y, adem´ as, existe u0 ∈ X tal que Φ(u0 ) = inf Φ(u). u∈X

4

5 Demostraci´ on. Como ∞

X = ∪ Φ−1 (−n, ∞), n=1

Φ−1 (−n, ∞) es abierto -por ser Φ semicontinua inferiormente- y X es compacto se sigue que existe n0 ∈ N tal que n0

X = ∪ Φ−1 (−n, ∞). n=1

Por lo tanto Φ(u) > −n0

∀u ∈ X.

Es decir, Φ est´a acotado inferiormente. Sea c = inf Φ(u). u∈X

Demostraremos a continuaci´on que existe u0 ∈ X tal que Φ(u0 ) = c. En efecto, supongamos, por contradicci´on, que Φ(u) > c para todo u ∈ X. Entonces ∞

X = ∪ Φ−1 (c + n=1

1 , ∞). n

Por ser X compacto, existe k ∈ N tal que k

X = ∪ Φ−1 (c + n=1

1 , ∞). n

Luego Φ(u) > c +

1 k

∀u ∈ X.

6 Por lo tanto c = inf Φ(u) ≥ c + u∈X

1 . k

Esta contradicci´ on demuestra que existe u0 ∈ X tal que Φ(u0 ) = c. Como una consecuencia del Teorema 1.1.1 demostraremos a continuaci´on el resultado fundamental de esta secci´on. Teorema 1.1.2. Sea H un espacio de Hilbert. Supongamos que el funcional Φ : H → R satisface las siguientes condiciones: (i) Φ es d´ebilmente inferiormente semicontinuo (i.e. ∀a ∈ R, Φ−1 (a, ∞) es un abierto para la topolog´ıa d´ebil en H) (ii) Φ es coercivo (i.e. Φ(u) → +∞

cuando

kuk → ∞).

Entonces Φ est´ a acotado inferiormente y existe u0 ∈ H tal que Φ(u0 ) = inf Φ(u). u∈H

Demostraci´ on. De la coercividad de Φ se sigue que existe R > 0 tal que

(1.1)

Φ(u) ≥ Φ(0) ∀u ∈ H

con kuk ≥ R.

Como la bola cerrada BR (0) es compacta en la topolog´ıa d´ebil en H (v´ease [6], Teorema III.16) y la restricci´on de Φ a la bola cerrada BR (0) es semicontinua inferiormente en la topolog´ıa d´ebil, se sigue del Teorema 1.1.1 que existe u0 ∈ BR (0) tal que

(1.2)

Φ(u0 ) =

inf u∈BR (0)

Φ(u).

7 De (1.1) y (1.2) se deduce que

Φ(u0 ) = inf Φ(u). u∈H

Observamos que si adem´as de las hip´otesis del Teorema 1.1.2, el funcional Φ : H → R es diferenciable entonces cualquier punto de m´ınimo u0 es un punto cr´ıtico de Φ, i.e. Φ0 (u0 ) = 0. Veremos a continuaci´ on otra consecuencia del Teorema 1.1.1. Teorema 1.1.3. Bajo las mismas hip´ otesis del Teorema 1.1.2, dado un conjunto cerrado, convexo y no vac´ıo C ⊂ H existe u0 ∈ C tal que

Φ(u0 ) = inf Φ(u). u∈C

Demostraci´ on. Ejercicio

2. Proposiciones Auxiliares El objetivo central de esta secci´on es demostrar tres proposiciones de car´acter t´ecnico, que permiten verificar en las aplicaciones a ecuaciones diferenciales algunas de las hip´otesis que son requeridas tanto en los teoremas fundamentales que han sido presentados en la Secci´on 1 como en los teoremas que presentaremos en los Cap´ıtulos 2 y 3. Inicialmente presentaremos un teorema de sustituci´on.

8 ´ n 1.2.1. Sea Ω ⊂ Rn un dominio acotado. Si g satisface: Proposicio (i) g ∈ C(Ω × R, R) (ii) Existen constantes r, s ≥ 1 y a1 , a2 ≥ 0 tales que

r

|g(x, t)| ≤ a1 + a2 |t| s

∀x ∈ Ω, t ∈ R

entonces la funci´ on u(x) → g(x, u(x)) pertenece a C(Lr (Ω), Ls (Ω)). Demostraci´ on. Ejercicio (v´ ease [26]). Sea Ω ⊂ Rn un dominio acotado. Sea H el espacio de Sobolev H01 (Ω), el cual es la completaci´on del espacio con producto interno consistente de todas las funciones de clase C 1 (Ω, R) que tienen su soporte compacto contenido en Ω y cuyo producto interior est´a definido por Z hu, vi =

∇u(x) · ∇v(x) dx. Ω

Al lector interesado en conocer m´as a fondo los espacios de Sobolev le sugerimos las trabajos de Adams ([1]) y de Br´ezis ([6]). La siguiente proposici´on establece una condici´on suficiente para saber cu´ando un funcional que aparece frecuentemente en las aplicaciones a ecuaciones diferenciales es d´ebilmente continuo. ´ n 1.2.2. Sea Ω ⊂ Rn un dominio acotado. Si g satisface: Proposicio (i) g ∈ C(Ω × R, R)

9 (ii) Existen constantes a, b > 0 y 1 ≤ α <

2n n−2

si n ≥ 3 ( 1 ≤ α < ∞ si n = 1, 2)

tales que |g(x, t)| ≤ a |t|α + b entonces el funcional I : H01 (Ω) → R definido por Z I(u) =

g(x, u(x)) dx, Ω

es d´ebilmente continuo. Demostraci´ on. Ejercicio (v´ ease [26]). El siguiente resultado nos proporciona una condici´on suficiente que garantiza que una clase importante de funcionales que aparecen en el estudio de ecuaciones el´ıpticas semilineales pertenecen a la clase C 1 (H01 (Ω), R). ´ n 1.2.3. Sea Ω ⊂ Rn un dominio acotado con frontera suave. SuponProposicio gamos que p satisface las siguientes condiciones: (i) p ∈ C(Ω × R, R) y (ii) Existen constantes a1 , a2 ≥ 0 tales que

|p(x, t)| ≤ a1 + a2 |t|s

∀x ∈ Ω, t ∈ R,

donde 0 ≤ s <

Sea I : H01 (Ω) → R el funcional definido por Z I(u) =

1 ( |∇u|2 − P (x, u)) dx, Ω 2

n+2 y n ≥ 3. n−2

10 donde P (x, t) =

Rt 0

p(x, s) ds.

Entonces I ∈ C 1 (H01 (Ω), R) y Z 0

I (u)φ =

(∇u · ∇φ − p(x, u) φ) dx Ω

∀φ ∈ H01 (Ω).

Adem´ as, si J : H01 (Ω) → R es el funcional definido por Z J(u) =

P (x, u(x)) dx Ω

entonces J 0 es un operador compacto. Demostraci´ on. Ejercicio (v´ ease [26]). 3. Aplicaciones a Problemas El´ıpticos Semilineales En esta secci´on mostraremos, como consecuencia de los teoremas abstractos presentados en la Secci´on 1 y de las proposiciones desarrolladas en la secci´on anterior, algunas aplicaciones a la soluci´on de problemas el´ıpticos semilineales. Sea λ1 < λ2 ≤ · · · ≤ λk ≤ . . . la sucesi´on de valores propios de −∆ con condici´on de frontera de Dirichlet en Ω. Para cada entero positivo m sea ϕm la funci´on propia correspondiente al valor propio λm . Sea H el espacio de Sobolev H01 (Ω). Como es bien conocido (v´ease [6], Teorema IX.31), el conjunto {ϕm } es un conjunto ortonormal completo en H. Consideremos el siguiente problema de Dirichlet no lineal   ∆u + f (x, u) = 0 en Ω, (1.3)



u = 0 en ∂Ω,

11 donde Ω es un dominio acotado en Rn con frontera suave. Decimos que u ∈ H es una soluci´ on d´ ebil del problema (1.3) si para todo ϕ ∈ H Z (∇u.∇ϕ − f (x, u) ϕ) dx = 0. Ω

Supongamos que f satisface la siguientes condiciones: (i) f ∈ C(Ω × R, R), (ii) Existen constantes a, b ≥ 0 tales que

|f (x, ξ)| ≤ a + b |ξ|s

∀x ∈ Ω, ξ ∈ R, donde 0 ≤ s <

(iii) Existe β < λ1 tal que lim sup |ξ|→∞

n+2 y n ≥ 3. n−2

f (x, ξ) ≤ β uniformemente en x ∈ Ω. ξ

Teorema 1.3.1. Si f satisface las hip´ otesis (i), (ii) y (iii) entonces el problema (1.3) tiene una soluci´ on d´ebil u ∈ H01 . Demostraci´ on. Sea I : H01 → R el funcional definido por Z I(u) =

donde F (x, t) =

Rt 0

1 ( |∇u|2 − F (x, u)) dx, Ω 2

f (x, s) ds.

Usando la Proposici´on 1.2.3 se sigue que I ∈ C 1 (H01 , R) y que u ∈ H01 es una soluci´on d´ebil de (1.3) si y s´olo si u es un punto cr´ıtico del funcional I. El funcional I puede escribirse en la forma

I(u) = Q(u) − J(u),

12 R

donde Q(u) = 12 kuk2 y J(u) =

Ω

F (x, u) dx.

El funcional Q es d´ebilmente inferiormente semicontinuo (v´ease [6], Proposici´on III.5) y, por la Proposici´on 1.2.2, J es d´ebilmente continuo. Por lo tanto el funcional I es d´ebilmente inferiormente semicontinuo. Por otro lado, la hip´otesis (iii) implica que

lim sup |ξ|→∞

2 F (x, ξ) ≤β ξ2

uniformemente en x ∈ Ω.

Fijemos β1 con β < β1 < λ1 . Por lo tanto existe R1 > 0 tal que

F (x, ξ) ≤

1 β1 ξ 2 2

∀x ∈ Ω y ∀ξ ∈ R tal que |ξ| ≥ R1 .

Utilizando la hip´otesis (i) se sigue que existe una constante γ1 tal que

F (x, ξ) ≤ γ1

∀x ∈ Ω y ∀ξ ∈ R tal que |ξ| ≤ R1 .

Por lo tanto 1 F (x, ξ) ≤ γ1 + β1 ξ 2 2

∀x ∈ Ω y ∀ξ ∈ R.

De la desigualdad anterior y de la definici´on del funcional I se sigue que 1 I(u) ≥ 2

Z

1 |∇u| − β1 2 Ω

Z

2

u2 − γ1 |Ω|. Ω

Por la desigualdad de Poincar´e (v´ease [9], Lema 4.5) tenemos que Z

Z 2

u2 .

|∇u| ≥ λ1 Ω

Ω

13 Luego

Z 1 β1 I(u) ≥ (1 − ) |∇u|2 − γ1 |Ω| 2 λ1 Ω 1 β1 = (1 − )kuk2 − γ1 |Ω|. 2 λ1 De la desigualdad anterior se sigue que I(u) −→ +∞

si

kuk → ∞.

Por lo tanto el funcional I es coercivo. Utilizando el Teorema 1.1.2 tenemos que existe u0 ∈ H01 tal que I(u0 ) = inf 1 I(u). u∈H0

Como I es de clase C 1 (H01 , R), u0 es un punto cr´ıtico de I. A continuaci´ on dejamos como ejercicio otra aplicaci´on del Teorema 1.1.2. Consideremos el problema   ∆u + f (x, u) = 0 en Ω, (1.4)



u = 0 en ∂Ω,

donde Ω es un dominio acotado en Rn (n ≥ 3) con frontera suave. Supongamos que f satisface la siguientes condiciones: (i) f ∈ C(Ω × R, R) (ii) Existe una constante 0 < r < 1 tal que |f (x, ξ)| ≤ a(x) + c |ξ|r

∀x ∈ Ω, ξ ∈ R, donde c > 0 y a(x) ∈ L

r+1 r

(Ω).

Teorema 1.3.2. Si f satisface las hip´ otesis (i) y (ii) entonces el problema (1.4) tiene una soluci´ on d´ebil u ∈ H01 . Demostraci´ on. Ejercicio.

CAP´ ITULO 2 PUNTOS CR´ ITICOS VIA MINIMAX

En el cap´ıtulo anterior estudiamos el problema de localizar puntos cr´ıticos que son puntos de m´ınimo de funcionales. Sin embargo existen muchos problemas, en las aplicaciones a ecuaciones diferenciales, en los cuales los puntos cr´ıticos no se obtienen via minimizaci´on. En este cap´ıtulo discutiremos la existencia de “otros” puntos cr´ıticos de funcionales, los cuales no son necesariamente puntos de m´ınimo, y a los que llamaremos “puntos de tipo minimax”. El prop´osito central de este cap´ıtulo es demostrar el Teorema del Paso de la Monta˜ na, un Teorema de Punto de Silla y presentar algunas aplicaciones a ecuaciones el´ıpticas semilineales. Una herramienta fundamental en la prueba del Teorema del Paso de la Monta˜ na es el llamado Lema de Deformaci´on, el cual ser´a presentado en la Secci´on 1. Este Lema juega un papel importante en todos los resultados abstractos de tipo minimax. En la Secci´on 2 demostraremos el Teorema del Paso de la Monta˜ na y el Teorema de punto de Silla. Y en la Secci´on 3 presentamos algunas aplicaciones a la soluci´on de problemas el´ıpticos no lineales.

1. El Lema de Deformaci´ on ´ n 2.1.1. Sean E un espacio de Hilbert e I ∈ C 1 (E, R). Se dice que I Definicio satisface la condici´ on de Palais-Smale, si cualquier sucesi´on {un }∞ n=1 en E, para la 14

15 0 cual {I(un )}∞ on convergente. n=1 es acotada y lim I (un ) = 0, admite una subsucesi´ n→∞

´ n). Sea E un espacio de Hilbert. SupongaLema 2.1.2 (Lema de Deformacio mos que I ∈ C 1 (E, R) y satisface la condici´ on de Palais-Smale. Para s, c ∈ R, sean Kc = {u ∈ E : I(u) = c y I 0 (u) = 0} y As = {u ∈ E : I(u) ≤ s}. Si

Kc = ∅.

Entonces dado cualquier ² > 0, existen una constante ² ∈ (0, ²) y una funci´ on

η ∈ C([0, 1] × E, E)

tales que: (i) η(0, u) = u para todo u ∈ E, (ii) η(1, u) = u si I(u) ∈ / [c − ², c + ²], (iii) η(1, Ac+² ) ⊂ Ac−² . Demostraci´ on. V´ease [26]. Como una consecuencia del Lema de Deformaci´on demostraremos a continuaci´ on un principio de minimizaci´on que es u ´til cuando el funcional en consideraci´on no es coercivo. En la Secci´on 3 de este cap´ıtulo presentaremos una aplicaci´on de este principio a ecuaciones diferenciales. ´ n 2.1.3. Sean E un espacio de Hilbert e I ∈ C 1 (E, R). Supongamos Proposicio que I satisface la condici´ on de Palais-Smale y que I est´ a acotado inferiormente.

16 Entonces existe u0 ∈ E tal que

I(u0 ) = inf I(u). u∈E

Demostraci´ on. Sea c = inf I(u). u∈E

Como el funcional I est´ a acotado inferiormente es claro que c > −∞. Queremos demostrar que c es un valor cr´ıtico de I. Razonemos por el absurdo, supongamos que c no es valor cr´ıtico de I, es decir

Kc = ∅.

Sea ²¯ > 0. Entonces el Lema de Deformaci´on, garantiza la existencia de un ² ∈ (0, ²¯) y una funci´on η ∈ C([0, 1] × E, E) que satisfacen (i),(ii) y (iii) (ver Lema 2.1.2). De la definici´on de c se sigue que existe u∗ ∈ E tal que

I(u∗ ) ≤ c + ².

Utilizando la propiedad (iii) del Lema de Deformaci´on tenemos

I(η(1, u∗ )) ≤ c − ².

Luego I(η(1, u∗ )) ≤ c − ² < c ≤ I(η(1, u∗ )). Esta contradicci´ on demuestra que Kc 6= ∅.

17 2. El Teorema del Paso de la Monta˜ na y un Teorema de Punto de Silla Utilizando el Lema de Deformaci´on, demostraremos a continuaci´on una t´ecnica muy interesante de “minimax” que permite deducir la existencia de un punto cr´ıtico de un funcional. Esta t´ecnica fue demostrada en [5] por Ambrosetti y Rabinowitz. ˜a). Sea E un espacio de Teorema 2.2.1. (Teorema del Paso de la Montan Hilbert y sea I ∈ C 1 (E, R) un funcional que satisface la condici´ on de Palais-Smale. Supongamos que I(0) = 0, (i) existen constantes positivas ρ y α tales que

I(u) ≥ α

si kuk = ρ,

y (ii) existe un elemento e ∈ E tal que

kek > ρ

y

I(e) ≤ 0.

Entonces I posee un valor cr´ıtico c ≥ α. Adem´ as c puede ser caracterizado como

(2.1)

c = inf max I(g(t)), g∈Γ 0≤t≤1

donde Γ = {g ∈ C([0, 1], E)/ g(0) = 0, g(1) = e}. Demostraci´ on. Probaremos inicialmente que c, definido por (2.1), es tal que

(2.2)

α ≤ c < ∞.

18 En efecto, para cada g ∈ Γ, max I(g(t)) existe porque I ◦ g es una funci´on escalar 0≤t≤1

continua definida en [0, 1]. Luego c < ∞. Adem´as, si g ∈ Γ, la funci´on kg(t)k es continua en el intervalo [0, 1]. Como kg(0)k = 0 y kg(1)k = kek y por hip´otesis kek > ρ > 0, el Teorema del Valor Intermedio garantiza la existencia de un n´ umero t0 ∈ (0, 1) tal que kg(t0 )k = ρ. Utilizando la hip´otesis (i) se sigue que

max I(g(t)) ≥ I(g(t0 )) ≥ α.

0≤t≤1

Puesto que g ∈ Γ era arbitraria, la anterior desigualdad completa la prueba de (2.2). Demostraremos a continuaci´on que c es un valor cr´ıtico de I. Razonemos por el absurdo, supongamos que c no es valor cr´ıtico de I, es decir

(2.3)

Sea ²¯ :=

Kc = ∅. α 2.

Entonces el Lema de Deformaci´on, garantiza la existencia de un

² ∈ (0, ²¯) y una funci´on η ∈ C([0, 1] × E, E) que satisfacen (i), (ii) y (iii) (ver Lema 2.1.2). Por (2.1), existe g0 ∈ Γ tal que

(2.4)

max I(g0 (t)) ≤ c + ².

0≤t≤1

Definamos h(t) := η(1, g0 (t))

para todo t ∈ [0, 1].

Como η(1, ·) ∈ C(E, E) y g0 es continua en [0, 1], h = η(1, ·) ◦ g0 es tal que h ∈ C([0, 1], E). Tambi´en g0 (0) = 0 e I(g0 (0)) = I(0) = 0 <

α 2

≤ c − ²¯. Por

19 el Lema de Deformaci´on se sigue que h(0) = η(1, 0) = 0. De manera similar, h(1) = η(1, e) = e. Por esto, h ∈ Γ y por (2.1)

(2.5)

c ≤ max I(h(t)). 0≤t≤1

Por (2.4), I(g0 (t)) ≤ c + ²

para todo t ∈ [0, 1].

Usando el Lema de Deformaci´on tenemos

I(h(t)) = I(η(1, g0 (t)) ≤ c − ²

para todo t ∈ [0, 1].

Por lo tanto

(2.6)

max I(h(t)) ≤ c − ².

0≤t≤1

De (2.5) y (2.6) se sigue que c ≤ c − ². Esta contradicci´ on demuestra que c es un valor cr´ıtico de I. A continuaci´ on presentamos otro teorema de minimax, el cual es u ´til para demostrar existencia de soluciones d´ebiles para problemas el´ıpticos semilineales. Teorema 2.2.2 (Teorema de Punto de Silla). Sea E un espacio de Hilbert. Sean X e Y subespacios cerrados tales que E = X ⊕ Y y 0 < dim X < ∞. Sea

20 I ∈ C 1 (E, R) un funcional que satisface la condici´ on de Palais-Smale. Supongamos que (i) Existen constantes α ∈ R y r > 0 tales que I|∂Dr (0)∩X ≤ α, y (ii) Existe una constante β > α tal que I|Y ≥ β. Entonces I posee un valor cr´ıtico c, que se caracteriza como c = inf

max I(h(x)),

h∈Γ x∈D r ∩X

donde Γ = {h ∈ C(Dr (0) ∩ X, E) : h = Id en ∂Dr (0) ∩ X}. Demostraci´ on. V´ease [26] (se usa Teor´ıa de Grado!!). 3. Aplicaciones a Problemas El´ıpticos Semilineales Inicialmente presentaremos una aplicaci´on del principio de minimizaci´on desarrollado en la Proposici´on 2.1.3. Teorema

2.3.1. Sea

Ω

un

dominio

acotado

en

Rn .

Sea

¯ × R → R una funci´ g:Ω on continua y acotada. Entonces el problema de Dirichlet no lineal   −∆u + u = g(x, u), en Ω (2.7)



u = 0, en ∂Ω,

Tiene al menos una soluci´ on d´ebil en H01 (Ω). Demostraci´ on. Imitando la prueba de la Proposici´on 1.2.3 se demuestra que el funcional I : H01 → R definido por Z I(u) =

1 1 ( k∇uk2 + u2 − G(x, u)) dx, 2 Ω 2

21 donde G(x, t) =

Rt 0

g(x, s) ds, es un funcional de clase C 1 (H01 , R).

Adem´as, Z 0

(2.8)

I (u) v = Ω

(∇u · ∇v + u v − g(x, u) v) dx ∀v ∈ H01 .

Luego u ∈ H01 es una soluci´on d´ebil de (2.7) si y s´olo si u es un punto cr´ıtico del funcional I. Probemos ahora que el funcional I est´a acotado inferiormente. En efecto, como g es acotada existe M > 0 tal que |g(x, u(x))| ≤ M . Luego Z

u(x)

|g(x, t)| dt ≤ M |u(x)| ≤

|G(x, u(x))| ≤ 0

1 2 1 M + |u(x)|2 . 2 2

Por lo tanto

(2.9)

Z Z 1 1 1 2 1 2 2 I(u) ≥ kuk + u − M |Ω| − u2 2 2 Ω 2 2 Ω 1 1 ≥ kuk2 − M 2 |Ω| 2 2 1 ≥ − M 2 |Ω|. 2

Luego I est´ a acotado inferiormente. Demostraremos ahora que el funcional I satisface la condici´on de Palais-Smale. Para esto supongamos que (un ) es una sucesi´on en H01 tal que (I(un ))

est´a acotada y I 0 (un ) → 0.

Usando (2.9) se prueba que la sucesi´on (un ) est´a acotada en H01 . Notemos que I 0 es de la forma Identidad-Compacto. A partir de esto se verifica la condici´on de Palais-Smale.

22 Usando la Proposici´on 2.1.3 se concluye que existe un punto cr´ıtico u ∈ H01 . Lo cual completa la demostraci´on del teorema. El Teorema del Paso de la Monta˜ na se utilizar´a a continuaci´on para probar la existencia de soluciones d´ebiles de problemas el´ıpticos semilineales. Consideremos el problema   ∆u + p(x, u) = 0 en Ω (2.10)



u = 0 en ∂Ω,

donde Ω ⊂ Rn es un dominio acotado (n ≥ 3). Supongamos que p satisface las siguientes condiciones: (i) p ∈ C(Ω × R, R), (ii) Existen constantes a1 , a2 ≥ 0 tales que

|p(x, ξ)| ≤ a1 + a2 |ξ|s

donde 0 ≤ s <

∀x ∈ Ω, ξ ∈ R,

n+2 n−2 .

(iii) p(x, ξ) = ◦(|ξ|) cuando ξ → 0, uniformemente en x. (iv) Existen constantes µ > 2 y r ≥ 0 tales que para todo |ξ| ≥ r

0 < µP (x, ξ) ≤ ξ p(x, ξ),

donde P (x, ξ) =

Rξ 0

p(x, s) ds.

Teorema 2.3.2. Si la funcion p satisface las hip´ otesis (i)-(ii)-(iii)-(iv) entonces el problema (2.10) tiene una soluci´ on d´ebil no trivial.

23 Demostraci´ on. De la Proposici´on 1.2.3 se sigue que u ∈ H := H01 (Ω) es una soluci´on d´ebil de (2.10) si y s´olo si u es un punto cr´ıtico del funcional I ∈ C 1 (H01 , R) definido por Z (2.11)

I(u) =

1 ( |∇u|2 − P (x, u)) dx. Ω 2

Adem´as, Z (2.12)

0

I (u) v =

(∇u · ∇v − p(x, u) v) dx Ω

∀v ∈ H01 .

Debemos verificar que el funcional I satisface las hip´otesis del Teorema del Paso de la Monta˜ na. La continuidad de la funci´on p y la hip´otesis (iii) implican que p(x, 0) = 0. Luego el problema (2.10) posee la soluci´on trivial u ≡ 0. Adem´as, de (2.11) se sigue que I(0) = 0. La primera hip´otesis del Teorema del Paso de la Monta˜ na (hip´otesis (i) del Teorema 2.2.1) es una consecuencia de la siguiente afirmaci´on. Afirmaci´ on 1. u = 0 es un punto de m´ınimo local estricto del funcional I. Prueba. EJERCICIO (o v´ease [26]).

¤

Demostraremos ahora la segunda hip´otesis del Teorema del Paso de la Monta˜ na (hip´otesis (ii) del Teorema 2.2.1). Usando la hip´otesis (iv) se prueba f´acilmente que existen constantes a3 , a4 > 0 tales que

(2.13)

P (x, ξ) ≥ a3 |ξ|µ − a4

∀x ∈ Ω ∀ξ ∈ R.

24 Observamos que como µ > 2, P (x, ξ) es “supercuadr´atica” en ξ. Por (iv), p(x, ξ) es “superlineal” cuando |ξ| → ∞. Fijemos un elemento v ∈ H tal que v 6= 0. Sea u = t v, donde t > 0. Usando (2.11) y (2.13) se sigue que

(2.14)

I(u) = I(t v) ≤

1 2 t kvk2 − a3 tµ kvkµLµ + a4 |Ω|. 2

Tomando el l´ımite en (2.14) cuando t → +∞ y teniendo en cuenta que µ > 2 tenemos que I(t v) → −∞

si t → +∞.

Luego la segunda hip´otesis del Teorema del Paso de La Monta˜ na es v´alida. Demostraremos ahora que el funcional I satisface la condici´on de Palais-Smale. Sea (un ) una sucesi´on en H01 tal que

(2.15)

lim I 0 (un ) = 0

n→∞

y |I(un )| ≤ M , para alguna constante M > 0.

Usando (2.11) y (2.12) tenemos

(2.16)

1 I(un ) = kuk2 − 2

Z P (x, un ) dx Ω

y

(2.17)

1 0 1 1 I (un ) un = kun k2 − µ µ µ

Z p(x, un ) un dx. Ω

25 Usando (2.15) se sigue que para n suficientemente grande I(un ) −

1 0 1 I (un )un ≤ M + kun k. µ µ

De (2.16), (2.17) y la desigualdad anterior se sigue que µ (2.18) Sea T :=

1 µ

1 1 − 2 µ

¶

Z µ 2

kun k + Ω

¶ 1 1 p(x, un ) un − P (x, un ) ≤ M + kun k. µ µ

p(x, un ) un − P (x, un ). Ahora Z

(2.19)

Z

Z

T dx = Ω

T dx + {x∈Ω; |u(x)|≥r}

T dx. {x∈Ω; |u(x)|≤r}

Por la hip´otesis (iv) la primera integral del lado derecho de (2.19) es positiva. Adem´as, la segunda integral est´a acotada inferiormente por una constante K > 0 que no depende de n. Luego (2.18) y la observaci´ on anterior implican que µ

1 1 − 2 µ

¶ kun k2 + K ≤ M +

1 kun k. µ

Por lo tanto, µ (2.20)

1 1 − 2 µ

¶ kun k2 −

1 kun k + K ≤ M. µ

Como µ > 2, (2.20) implica que la sucesi´on (un ) es una sucesi´on acotada en H. Notemos que I 0 es de la forma Identidad-Compacto. A partir de esto se verifa la condici´on de Palais-Smale. Como el funcional I satisface las hip´otesis del Teorema del Paso de la Monta˜ na se concluye que el funcional I tiene un punto cr´ıtico u ∈ H no trivial.

CAP´ ITULO 3 ´ PUNTOS CR´ ITICOS VIA REDUCCION En este cap´ıtulo presentaremos una t´ecnica que permite reducir el estudio de los puntos cr´ıticos de un funcional I definido en un espacio de Hilbert H al estudio de los puntos cr´ıticos de un funcional Iˆ definido en un subespacio cerrado de H, el cual es, generalmente, de dimensi´on finita. Esta t´ecnica se conoce como el m´etodo de reducci´ on y permite demostrar la existencia de soluciones para problemas de Dirichlet no lineales. En la Secci´on 1 demostraremos los resultados principales que explican el m´etodo de reducci´on (v´ease los Teoremas 3.1.3 y 3.1.4) y en la Secci´on 2 aplicaremos dicho m´etodo para probar la existencia de soluciones d´ebiles para problemas el´ıpticos semilineales. 1. Teoremas Centrales Sean H un espacio de Hilbert real y f : H → R una funci´on diferenciable. Sea f 0 (u) la derivada de Fr´echet de f en u ∈ H. Por el Teorema de Representaci´on de Riesz, existe un u ´nico elemento ∇f (u) ∈ H, que llamaremos el gradiente de f en u, tal que f 0 (u) v = h∇f (u), vi

26

∀v ∈ H.

27 El siguiente resultado ser´a una herramienta de gran utilidad en la demostraci´on del teorema principal de este cap´ıtulo y es una consecuencia del Teorema 1.1.2.

Lema 3.1.1. Sea f : H → R una funci´ on de clase C 1 . Si existe m > 0 tal que

h∇f (x) − ∇f (y), x − yi ≥ m kx − yk2

∀x, y ∈ H

entonces f tiene un u ´nico punto de m´ınimo en H. Adem´ as, el punto de m´ınimo es el u ´nico punto cr´ıtico de f .

Demostraci´ on. Utilizando la expresi´on integral Z f (y) − f (x) =

1

h∇f (x + s(y − x)), (y − x)i ds ∀x, y ∈ H, 0

que es una consecuencia de la regla de la cadena, y la hip´otesis del lema se sigue que

f ((1 − t)x + ty) ≤ (1 − t)f (x) + t f (y).

Por lo tanto f es una funci´on convexa. Como f es una funci´on continua y convexa se tiene que f es d´ebilmente inferiormente semicontinua (v´ease [6], Corolario III.8). Demostraremos a continuaci´on que f es una funci´on coerciva. Usando la expresi´on

28 integral vista arriba, la hip´otesis y la desigualdad de Schwarz tenemos Z

1

f (x) = f (0) +

h∇f (sx), xi ds 0

Z

1

= f (0) +

h∇f (sx) − ∇f (0), xi ds + h∇f (0), xi 0

Z

1

≥ f (0) + m

skxk2 ds − k∇f (0)k kxk

0

m = f (0) + kxk2 − k∇f (0)k kxk. 2 Luego f (x) → ∞ cuando kxk → ∞. Por lo tanto f es una funci´on coerciva. Usando el Teorema 1.1.2 se sigue que f est´a acotada inferiormente y que existe u0 ∈ H tal que f (u0 ) = inf f (u). u∈H

Luego u0 es un punto de m´ınimo de f en H. Como f es diferenciable se concluye que u0 es un punto cr´ıtico de f . Demostraremos ahora que f tiene un u ´nico punto cr´ıtico. En efecto, supongamos que existe otro punto cr´ıtico u1 ∈ H. Usando la hip´otesis tenemos que

0 = h∇f (u0 ) − ∇f (u1 ), u0 − u1 i ≥ m ku0 − u1 k2 .

Por lo tanto u0 = u1 .

A continuaci´ on presentamos el resultado principal de este cap´ıtulo.

29 Teorema 3.1.2. Sea f : H → R una funci´ on de clase C 1 . Supongamos que existen subespacios cerrados X e Y de H tales que H = X ⊕ Y y que existe una constante m > 0 tal que

(3.1)

h∇f (x + y1 ) − ∇f (x + y2 ), y1 − y2 i ≥ m ky1 − y2 k2

∀x ∈ X, ∀y1 , y2 ∈ Y.

Entonces existe una funci´ on continua φ : X → Y que satisface: i) f (x + φ(x)) = min f (x + y). y∈Y

ii) La funci´ on

fˆ : X → R x 7→ fˆ(x) = f (x + φ(x))

es de clase C 1 y D E ∇fˆ(x), h = h∇f (x + φ(x)), hi

∀ x, h ∈ X

(3.2) h∇f (x + φ(x)), yi = 0

∀ x ∈ X, ∀ y ∈ Y

Demostraci´ on. Para cada x ∈ X definamos la funci´on

fx : Y → R y 7→ fx (y) = f (x + y)

30 0

0

Se demuestra f´acilmente (Ejercicio) que fx ∈ C 1 (Y, R), fx (y) = f (x + y)|Y y

(3.3)

h∇fx (y), hi = h∇f (x + y), hi ∀ h ∈ Y.

Usando (3.3) y la hip´otesis (3.1) se sigue que h∇fx (y1 ) − ∇fx (y2 ), y1 − y2 i = h∇f (x + y1 ) − ∇f (x + y2 ), y1 − y2 i ≥ mky1 − y2 k2 . Utilizando el Lema 3.1.1 se tiene que fx tiene un u ´nico punto cr´ıtico φ(x) ∈ Y , que es un punto de m´ınimo de fx ; es decir,

fx (φ(x)) = min fx (y). y∈Y

Por lo tanto, f (x + φ(x)) = min f (x + y). y∈Y

En particular, φ(x) es el u ´nico elemento de Y tal que

(3.4)

0 = h∇fx (φ(x)), yi = h∇f (x + φ(x)), yi

Se prueba (v´ease A. Castro [8] Lema 3.2) que la funci´on φ:X→Y x → φ(x) es continua, la funci´on

fˆ : X → R x → fˆ(x) = f (x + φ(x))

∀y ∈ Y.

31 es de clase C 1 y D E ˆ ∇f (x), h = h∇f (x + φ(x)), hi ∀x, h ∈ X.

El siguiente resultado permite conseguir puntos cr´ıticos de tipo “maxmin”. Su demostraci´on est´a basada en el teorema anterior y en el Teorema 1.1.2. Teorema 3.1.3. Sean f, fˆ, X, Y y H como en el Teorema 3.1.2. Si −fˆ es d´ebilmente inferiormente semicontinua y

f (x) −→ −∞

cuando kxk → ∞

(x ∈ X)

entonces existe u0 ∈ H tal que f 0 (u0 ) = 0 y

f (u0 ) = max min f (x + y). x∈X y∈Y

Demostraci´ on. Ejercicio.

2. Aplicaciones a Problemas El´ıpticos Semilineales Presentamos a continuaci´ on tres aplicaciones de los teoremas de la Secci´on 1 a la existencia de soluciones d´ebiles para problemas el´ıpticos semilineales. En el resto del cap´ıtulo Ω ⊂ Rn designar´a un dominio acotado con frontera suave. Sean {λ1 , λ2 , λ3 , · · · } la sucesi´on de valores propios y {ϕ1 , ϕ2 , ϕ3 , · · · } la sucesi´on de funciones propias de −∆ con condici´on de frontera de Dirichlet. El siguiente teorema se debe a A. Castro y J. Cossio (v´ease [10]).

32 Teorema 3.2.1. Sea g : R → R una funci´ on diferenciable tal que g(t) ∈ (λk , λk+1 ) |t|→∞ t

g 0 (∞) := lim

(k ≥ 2)

y g 0 (t) ≤ γ < λk+1 ∀t ∈ R. Entonces el problema   ∆u + g(u) = 0 en Ω, (3.5)



u = 0 en ∂Ω,

tiene al menos una soluci´ on d´ebil en H01 (Ω). Demostraci´ on. Sea I : H := H01 (Ω) −→ R el funcional definido por Z I(u) =

donde G(t) =

Rt 0

1 ( |∇u|2 − G(u)) du, Ω 2

g(s) ds.

Como g ∈ C(R, R) y g 0 (∞) ∈ R existen constantes a1 , a2 > 0 tales que

|g(t)| ≤ a1 + a2 |t| ∀t ∈ R.

Usando la Proposici´on 1.2.3 se tiene que I ∈ C 1 (H, R) y Z h∇I(u), vi =

(∇u.∇v − g(u) v)

∀v ∈ H.

Ω

Sean X = hϕ1 , ϕ2 , · · · , ϕk i y Y = hϕk+1 , ϕk+2 , · · · , i. Por lo tanto H = X ⊕ Y . Demostraremos a continuaci´on que el funcional I satisface las hip´otesis del Teorema 3.1.2. En efecto, sean x ∈ X y y1 , y2 ∈ Y . Usando el Teorema del Valor Medio y el

33 hecho de que g 0 (t) ≤ γ se sigue que Z h∇I(x + y1 ) − ∇I(x + y2 ), y1 − y2 i =

∇(y1 − y2 ).∇(y1 − y2 ) Z

Ω

−

(g(x + y1 ) − g(x + y2 )) (y1 − y2 ) Z 2 = ky1 − y2 k − g 0 (η)(y1 − y2 )2 Ω Z 2 ≥ ky1 − y2 k − γ (y1 − y2 )2 . Ω

Ω

Como kyk2 ≥ λk+1

R Ω

y2

∀y ∈ Y (Ejercicio), se tiene que

h∇I(x + y1 ) − ∇I(x + y2 ), y1 − y2 i ≥ (1 −

γ λk+1

)ky1 − y2 k2 .

Luego se satisfacen las hip´otesis del Teorema 3.1.3. Por lo tanto existe una funci´on continua φ : X → Y tal que

I(x + φ(x)) = min I(x + y) y∈Y

(x ∈ X).

Adem´as, φ(x) es el u ´nico elemento de Y tal que

h∇I(x + φ(x)), yi = 0 ∀y ∈ Y,

la funci´on

Iˆ : X → R ˆ x 7→ I(x) = I(x + φ(x))

es de clase C 1 y D

E ˆ ∇I(x), h = h∇I(x + φ(x)), hi ∀x, h ∈ X.

34 Como g 0 (∞) ∈ (λk , λk+1 ) se demuestra f´acilmente que existen constantes b ∈ R y γˆ > λk tales que

(3.6)

G(t) ≥

γˆ 2 t + b ∀t ∈ R. 2

Usando (3.6) se sigue que 1 ˆ I(x) ≤ I(x) = kxk2 − 2 Como kxk2 ≤ λN

(3.7)

R Ω

x2

Z

1 γˆ G(x) ≤ kxk2 − 2 2 Ω

Z x2 − b|Ω|. Ω

∀x ∈ X (Ejercicio), se tiene que

1 ˆ I(x) ≤ 2

µ ¶ γˆ 1− kxk2 − b|Ω| ∀x ∈ X. λk

De (3.7), como γˆ > λk se deduce que

ˆ I(x) −→ −∞

cuando kxk → ∞.

Como dim X < ∞, existe x0 ∈ X tal que

(3.8)

ˆ 0 ) = max I(x). ˆ I(x x∈X

Por lo tanto I(x0 + φ(x0 )) = max min I(x + y). x∈X y∈Y

Si llamamos u0 = x0 + φ(x0 ) ∈ H se sigue que para todo x ∈ X y y ∈ Y

h∇I(x0 + φ(x0 )), x + yi = h∇I(x0 + φ(x0 )), xi + h∇I(x0 + φ(x0 )), yi = 0.

35 Luego ∇I(u0 ) = 0 y I(u0 ) = max min I(x + y). x∈X y∈Y

Por lo tanto u0 es un punto cr´ıtico del funcional I y por consiguiente una soluci´on d´ebil del problema (3.5). De manera similar a como se demostr´o el Teorema 3.2.1 se prueba el siguiente resultado. Teorema 3.2.2. Sea g : R → R una funci´ on que satisface las siguientes condiciones: i) g es una funci´ on Lipschitz, con constante de Lipschitz α tal que 0 < α < λN +1 . ii) Existen constantes β y γ tales que β > λN y Z

t

g(s) ds ≥ 0

β 2 t + γ. 2

Entonces el problema   ∆u + g(u) = 0 en Ω, (3.9)



u = 0 en ∂Ω,

tiene al menos una soluci´ on d´ebil en H01 (Ω). Demostraci´ on. Ejercicio

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