Universidad Politécnica de Puerto Rico Departamento de Ciencias y Matemáticas Preparado por: Prof. Manuel Capella-Casellas, M.A.Ed. Agosto, 2003

Notación exponencial La notación exponencial se usa para repetir multiplicaciones de un mismo número. Es la elevación a la enésima potencia (n) de una base (X). Si n es un entero positivo, la notación exponencial an que se define en la tabla, representa el producto del número real a multiplicado n veces por sí mismo. La expresión an se lee “a a la enésima potencia” o simplemente, “a a la n”. El entero positivo se llama exponente (o potencia) y el numero real a, base. En resumen, el exponente indica el número de veces que la base se multiplica (se toma como factor) por sí misma. Exponente o potencia

a

n

Base

Caso general (n es cualquier entero positivo)

Casos especiales

2 NOTA: Es importante observar que si n es un entero positivo, entonces una expresión como 3an significa 3(an) pero no (3a)n. El número real 3 se llama coeficiente de an en la expresión 3an. En otras palabras, el exponente afecta solamente la base que le precede. Ejemplo:

Simplificar una expresión donde hay potencias de números reales, significa cambiarla a otra en que cada número real aparece sólo una vez y todos los exponentes son positivos. Simplificar quiere decir poner la expresión en su forma más simple. Ejemplos: La notación exponencial de: (-3)(-3)(-3)(-3) = (-3)4 La notación exponencial de: b * b * b = b3 El valor de (-2)4: (-2)(-2)(-2)(-2) = 16. La expresión (-2)4 se lee “negativo dos a la cuatro”. El valor de -24: –(2 · 2 · 2 · 2) => -(16) => -16. La expresión -24 se lee “el opuesto de dos a la cuatro”. Entonces, ¿cuál consideras que debe ser el valor de (⅔)3 ?

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3 Otros ejemplos algebraicos:

(-4)2 = (-4) · (-4) = 16

Enteros como exponentes El conjunto de los números enteros es el siguiente:

{..., - 3,

- 2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}

Basado en este conjunto de número se pueden aceptar los siguientes postulados para la notación exponencial. ¾ Cuando se utiliza como exponente un número mayor que 1, el entero nos indica el número de veces que se utiliza la base como factor. Ejemplo.

53 quiere decir 5 x 5 x 5. ¾ El exponente 1 no altera el valor de una expresión. Ejemplo.

(- 3)1 = −3 .

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4 ¾ Cuando aparece el cero como exponente en una expresión distinta de cero, convenimos en que la expresión es igual a 1. Ejemplo:

370 = 1

¾ Cuando aparece el signo negativo en la notación exponencial debemos proceder con cautela. Ejemplo:

(- 4)2 = 16

- 42 (representa el inverso aditivo de 42 ); - 42 = −16

Sin embargo hay que ejercer cautela al aplicar los mismos con números negativos. Los enteros negativos tienen el significado siguiente:

− n quiere decir ¾ Si n es cualquier entero positivo, entonces a 0. En otras palabras,

1 an

para todo a ≠

a n y a− n son recíprocos. Ejemplos:

a.

1 = 5− 2 2 5

1 b. 7- 3 = 73

1 1 1 = = c. 5- 4 = 54 5 ⋅ 5 ⋅ 5 ⋅ 5 625

Estos postulados de los números enteros en la notación exponecial sirven para establecer las reglas de los exponentes. Estas reglas aplican a todo tipo de número. A continuación las mismas.

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5 Propiedades de los exponentes

¾ Teorema 1, Regla del Producto (de bases iguales). Para cualquier número a (bases iguales multiplicadas) y dos enteros cualesquiera n y m, los exponentes se suman. O sea, para multiplicar factores exponenciales que tienen la misma base, se suman los exponentes (potencias).

an ⋅ am = an+m

Ejemplos:

4+ −2 a. x 4 ⋅ x-2 = x   = x2

b.

c. c-3 ⋅ c-2 = c- 5

d. a4 ⋅ a2 = a6

 

 

54 ⋅ 56 = 510

NOTA: Si interesa multiplicar factores que tienen bases diferentes, aunque tengan exponentes iguales, cada factor se queda igual. O sea, para ser multiplicados se tienen que simplificar primero cada factor.

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6 ¾ Teorema 2, Regla del Cociente (de bases iguales). Para cualquier a distinto de cero, y dos enteros cualesquiera m y n, los exponentes se restan. Al exponente del numerador le resta el valor del exponente del denominador, particularmente cuando m > n.

am = am - n n a

Ejemplos:

a.

85 1 = 85 ⋅ 83 83

b.

7- 2 = 7- 2 ⋅ 7 − 3 = 7 - 2 - 3 = 7 -5 3 7

= 85 ⋅ 8 − 3 = 85 - 3 = 82

NOTA: Si m < n, entonces sucede un exponente negativo. Si m = n, entonces sucede una eliminación, o sea exponente cero.

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7 ¾ Teorema 3, Regla de la Potencia, (elevación de una potencia a otra potencia). Para cualquier a , y dos enteros cualesquiera m y n, entonces se multiplican las potencias (exponentes).

(am )n

= amn

Ejemplos:

 2 5   

4

= 52 ⋅ 52 ⋅ 52 ⋅ 52 = 58

Nota. La Regla de la potencia puede ser aplicada a multiplicación y división de factores. En cuyo caso, se le reconoce como el Teorema 4, Regla de la Potencia Expandida. Esto es, cada factor exponencial será multiplicado su exponente por la potencia externa.

A continuación se presenta una tabla que resume gráficamente los teoremas antes discutidos.

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8 Reglas básicas para manejar los Exponentes Regla

Algoritmo

Ejemplo

Producto

Potencia

Potencia expandida (multiplicación de factores)

Potencia expandida (división de factores)

b≠0 Cociente (cuando m > n) a≠0 Regla del Exponente Negativo (del cociente cuando m < n)

Regla del Exponente Cero (del cociente cuando m = n)

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24 16 = 2 4−2 = 2 2 = 4 ó =4 2 4 2

22 1 1 = 2 2−4 = 2 −2 = 2 = 4 4 2 2 {lo que sea}0 = 1 22 4 = = 2 2− 2 = 2 0 = 1 2 4 2

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9 Ejercicios de práctica. Teniendo presente que los denominadores representan números reales diferentes de cero. Simplifica las siguientes expresiones exponenciales de acuerdo a las operaciones indicadas.

a) 42

b) (-4)2

c) -42

d) 4-2

e) (⅜)2

f) (⅔) –2

g) (32)(35)

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10 h) (a4)(a6)(a)

i) (6a10)(3a4)2

j) (3a2)(-5a3)

k) (-4a2b3)(-3ab)

l) (7x-3y-8)(2x5y5)

m) (5xyz)0

n)

o)

p)

q) (a + 2b)3 (a + 2b)7

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11 Racionales como exponentes, los números irracionales

Podemos usar la idea de la notación exponencial como una operación adicional a las que ya conocemos como lo son la suma y la resta, las cuales son operaciones

2

2 inversas una de la otra. De esta forma, lo es 3 = 9 y (- 3) = 9 , entonces 3 y -3 son ambas las raíces cuadradas de 9. Similarmente ocurre con

3 23 = 8 y (- 2) = −8 , en cuanto a las raíces cúbicas. Esto es, hay una raíz cúbica para 8 y una raíz cúbica para –8. Por lo tanto la raíz cúbica de 8 es 3 y la raíz cúbica de –8 es –3. Usaremos el símbolo radical

para indicar raíces.

Definición:

n Si a = b para un número positivo n, entonces b es la enésima raíz de a. 2 Si a = b , entonces b es la raíz cuadrada de a. 3 Si a = b , entonces b es la raíz cúbica de a. n

n

Así pues, leemos a como la “enésima raíz de a”. En la notación a , n es el índice del radical y a es el radicando. Para la raíz cuadrada el índice es omitido. Simplemente se escribe

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a.

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12 Ejemplos:

a.

ya que 52 = 25

25 = 5

b. 3 - 27 = - 3

ya que (- 3)3 = −27

c. 6 64 = 2

ya que 26 = 64

d. - 4 = -2

ya que

4 =2 y -

( 4 ) = −2

Vimos entonces cómo usamos los exponentes para representar potencias y los radicales para representar raíces. Ahora veremos cómo las raíces pueden ser expresadas como exponentes. ¾ La enésima raíz de un número puede ser expresada usando la notación radical o

1 mediante un exponente del tipo racional n . Por ejemplo, 1 83

3

= 8 =2

1 42

y

= 4 =2

Definición:

¾ Si n es cualquier número entero positivo,

1 an

=n a.

Ejemplos” 3

35

4x

1 = 35 3

1 = x4 1

3

= 5

1 y2

= y

1

8 =8 =2 3

1 4

1 2 5

81 = 81 4 = 3

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42 = 4 = 2 1

(- 9)

2

no tiene solucion real Agosto, 2003

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Referencias http://www.conevyt.org.mx/biblioteca/secab_mat3/secab_mat3/u1_leccion2.pdf http://www.mathnotes.com/aw_span_gloss.html http://ponce.inter.edu/csit/math/precalculo/sec1/cap1.html http://ponce.inter.edu/cremc/exponentes.html http://galeon.com/student_star/expyrad01.htm http://www.algebrahelp.com/lessons/ http://espanol.geocities.com/jefranco_2000mx/EXPONENTES.htm http://ciencias.bc.inter.edu/ntoro/gemaexpon.htm http://www.sectormatematica.cl/contenidos/pascal.htm

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