METODOS CUANTITATIVOS PARA NEGOCIOS

“TEORÍA ES ALGO QUE SE HACE, NO ALGO QUE SE DICE QUE SE HACE”

27/04/2009

N.N.

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Universidad Peruana Los Andes Facultad de Ciencias Administrativas y Contables

Métodos Cuantitativos  de Negocios CAPITULO 2: MODELOS DE  PRONOSTICOS EN NEGOCIOS [email protected]

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Objetivos de Aprendizaje: Aprender a construir, identificar y pronosticar mediante modelos de serie  de tiempo, identificando gráfica y funcionalmente sus principales  componentes.

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C o n t e n i d o

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2.1 Métodos Cuantitativos: Series de Tiempo y Causales

2.2 Teoría de Series Temporales

2.3 Análisis De Una Serie Temporal

2.4 Descomposición de Una Serie Temporal

2.5 Modelización con Variables Categóricas [email protected]

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Introducción En el mundo globalizado y con mercados tan competidos como  los que enfrentamos hoy, las empresas se ven obligadas a  buscar mayor eficiencia en sus procesos de negocio.  En este sentido, un tema que actualmente interesa es cómo  pronosticar con más certeza la demanda de productos o  servicios.  Cada vez más empresas están redefiniendo y formalizando el  proceso de elaboración de pronósticos para llevar a cabo una  mejor planeación de ventas y operación y, por lo tanto, un  mejor desempeño financiero [email protected]

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2.1 Métodos Cuantitativos: Series de Tiempo y Causales. ¿Qué es el pronóstico? Un pronóstico es una predicción de lo que sucederá con las  ventas existentes de los productos de una empresa. 

Lo ideal es determinar el pronóstico con un enfoque  Lo ideal es determinar el pronóstico con un enfoque multifuncional. Se debe considerar las entradas de ventas y  mercadeo, finanzas y producción. El pronóstico final es el  consenso de todos los gerentes participantes

También es aconsejable conformar un grupo de Planeación de  Ventas y Operaciones compuesto de representantes de los  distintos departamentos a los que se les encargará preparar el  pronóstico. [email protected]

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2.1 Métodos Cuantitativos: Series de Tiempo y Causales. ¿Qué es el pronóstico? La determinación de los pronósticos de  se realiza con los siguientes pasos:

•Determinación del uso del pronóstico •Selección de los ítems del pronóstico •Determinación del marco de tiempo del pronóstico •Selección de los modelos de pronóstico •Recopilación de datos •Realización del pronóstico •Validación e implementación de los resultados [email protected]

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2.1 Métodos Cuantitativos: Series de Tiempo y Causales. El marco de tiempo del pronóstico se clasifica como sigue:

Descripción Corto plazo Duración

Horizonte del pronóstico Mediano plazo Largo plazo

Generalmente  De 3 meses a 3  menos de 3 meses,  años  máximo de 1 año 

Más de 3 años 

Desarrollo de  nuevos productos,  planificación de  instalaciones

Aplicabilidad Planificación de  Planificación de  tareas, asignación  ventas y  de trabajadores producción,  presupuestos

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2.1 Métodos Cuantitativos: Series de Tiempo y Causales. ¿Cómo se determina el pronóstico de la demanda? Hay dos enfoques para determinar el pronóstico - comparación de los dos enfoques: Descripción Aplicabilidad

Enfoque cualitativo Se utiliza cuando la situación es  imprecisa & existen pocos datos  (e.g., nuevos productos y  tecnologías) 

Enfoque cuantitativo  Se utiliza cuando la situación es  estable & existen datos históricos (e.g. productos existentes,  tecnología actual) 

Consideraciones Involucra la intuición y la  Involucra técnicas matemáticas experiencia Técnicas Jurado de opinión ejecutiva Modelos de series de tiempo Compuesto del departamento de  Modelos causales ventas Método Delphi Encuesta del mercado de  consumidores  [email protected]

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2.1 Métodos Cuantitativos: Series de Tiempo y Causales. Métodos cualitativos de pronóstico Su empresa puede desear probar alguno de los métodos cualitativos de pronóstico a continuación si no cuenta con datos históricos de las ventas de sus productos. Método cualitativo

Descripción

Se reúnen las opiniones de un grupo pequeño de gerentes de alto nivel que  juntas estiman la demanda. El grupo utiliza su experiencia directiva y en juntas estiman la demanda. El grupo utiliza su experiencia directiva y en  algunos casos la suma a los resultados de modelos estadísticos.  Compuesto del  Se pide a cada vendedor (por ejemplo por cubrimiento territorial) proyectar  departamento de  sus ventas. Como el vendedor es el más cercano al mercado tiene la capacidad  ventas de conocer la demanda de los clientes. Las proyecciones se combinan después  a nivel municipal, provincial y regional. Método Delphi Se identifica un panel de expertos en el que los expertos pueden ser gerentes,  empleados comunes, o expertos del sector. A cada uno de ellos se les solicita  individualmente su estimación de la demanda. Se realiza un proceso iterativo  hasta que los expertos alcancen un consenso. Encuesta del mercado  Se pregunta a los clientes sobre sus planes de compras y su comportamiento  de consumidores  de compras proyectado. Se necesita a una gran cantidad de encuestados para  poder generalizar ciertos resultados. [email protected] 10 Jurado de opinión  ejecutiva

2.1 Métodos Cuantitativos: Series de Tiempo y Causales. Métodos de pronóstico cuantitativo Hay dos modelos de  pronóstico en este caso:

(1) Series de Tiempo – Univariantes y  (2) Causal ‐ Multivariante. 

Una serie de tiempo es un conjunto  p j de datos numéricos uniformemente  separados que se obtiene observando  respuestas a intervalos regulares de  tiempo.  El pronóstico se basa solamente en  datos anteriores y asume que los  factores que influencian las ventas  pasadas, presentes y futuras de sus  productos continuarán. 

Por otro lado, el modelo causal , utiliza  una técnica matemática conocida  como el análisis de regresión que  relaciona una variable dependiente  (por ejemplo, la demanda) con una  variable independiente (por ejemplo,  el precio, publicidad, etc.) en forma de  ecuación lineal.  Los métodos de pronóstico de series de  tiempo están descritos a continuación:  [email protected]

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2.2 Teoría de Series Temporales Método de  pronóstico de  series de  tiempo Enfoque  Enfoque simplista

Descripción 

Asume que la demanda en el siguiente período es igual  que la demanda en el más reciente período; el patrón de que la demanda en el más reciente período; el patrón de  la demanda puede no siempre ser completamente  estable Por ejemplo: Si las ventas de julio fueron 50, las ventas de agosto  también serán 50

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2.2 Teoría de Series Temporales Método de  Descripción  pronóstico de  series de tiempo El PM es una serie de promedios aritméticos y se utiliza si existe poca  Promedio móvil  o ninguna tendencia en los datos; ofrece una impresión general de los  (PM) datos en el tiempo Un promedio móvil simple utiliza la demanda promedio durante una  secuencia fija de períodos y es bueno para una demanda estable sin secuencia fija de períodos y es bueno para una demanda estable sin  patrones pronunciados de comportamiento. Un promedio móvil ponderado ajusta el método de promedio móvil  para reflejar fluctuaciones con mayor exactitud asignando mayor peso  a los datos más recientes, lo que significa que los datos más antiguos  son por lo general menos importantes. Los pesos se basan en la  intuición y están entre 0 y 1 y deben sumar un total de 1.0 

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2.2 Teoría de Series Temporales Método de  pronóstico de  series de tiempo Alisado  exponencial

Descripción 

El alisado exponencial es un método de ponderación que responde  más fuertemente a cambios recientes en la demanda asignando una  constante de alisamiento que es más fuerte para los datos más  recientes; es útil si los cambios recientes en los datos son el  resultado del cambio real (e.g., patrón de temporada) y no solo  fluctuaciones aleatorias

Descomposición  La descomposición de series de tiempo ajusta la estacionalidad  de series de  multiplicando el pronóstico normal por un factor de temporada tiempo 

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2.2 Teoría de Series Temporales Una serie temporal es un conjunto de observaciones ordenadas en el tiempo o, también, la evolución de un fenómeno o variable a lo largo de él. Esta variable puede ser económica (ventas de una empresa, consumo de cierto producto, evolución de los tipos de interés,...), física (evolución del caudal de un río, de la temperatura de una región, etc.) o social (número de habitantes de un país, número de alumnos matriculados en ciertos estudios, votos a un partido,...).

El objetivo del análisis de una serie temporal, de la que se dispone de datos en períodos regulares de tiempo, es el conocimiento de su patrón de comportamiento para prever la evolución futura, siempre bajo el supuesto de que las condiciones no cambiarán respecto a las actuales y pasadas. [email protected]

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2.2 Teoría de Series Temporales Si al conocer la  evolución de la  serie en el  pasado se  pudiese predecir  su  comportamiento  futuro sin  ningún tipo de  error,  estaríamos  frente a un  fenómeno  determinista.

1.5

I(t)

I(t) = cos (0,5t + π/2)

1

0.5

0

‐0.5

‐1

‐1.5

La figura muestra la intensidad de corriente, I, que circula a través  de una resistencia, R, sometida a un voltaje sinusoidal, V(t) = a cos (vt + θ); por tanto I(t) = a cos (vt + θ/R). [email protected]

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Millares

2.2 Teoría de Series Temporales 20 18 16 14 12

IGBVL

10 8 6 4 Ene‐08 Feb‐08 Mar‐08 Abr‐08 May‐08 Jun‐08 Jul‐08 Ago‐08 Sep‐08 Oct‐08 Nov‐08 Dic‐08

En general, las series  de interés llevan  asociados fenómenos  aleatorios, de forma  que el estudio de su  comportamiento  pasado sólo permite  d ól it acercarse a la  estructura o modelo  probabilístico para la  predicción del futuro.  Estos modelos se  denominan también  procesos estocásticos. 

El valor del IGBVL dependerá del valor de los días previos,  además de la influencia de un conjunto de factores sociales,  políticos, económicos, etc., que son continuamente cambiantes  en el tiempo y cuya conjunción, configuraría una hipotética  distribución de probabilidad del citado índice económico. [email protected]

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2.3 Análisis de Una Serie Temporal Antes de abordar cualquier estudio analítico de una serie  temporal, se impone una representación gráfica de la misma y la  observación detenida de su aspecto evolutivo.

Para estudiar el comportamiento de cualquier serie temporal, y  predecir los valores que puede tomar en un futuro, puede hablarse  de distintas metodologías, que denominaremos:

• modelización por componentes y  • enfoque Box‐Jenkins.

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2.3 Análisis de Una Serie Temporal Modelización por componentes •Este método consiste en identificar, en la serie Yt, cuatro componentes  teóricos, que no tienen por qué existir todos, y que son: Tendencia: Tt

Estacionalidad: Serie  Cronológica:

Et

Yt

Ciclos: Ct

Residuos: Rt

•Cada una de estos componentes es una función del tiempo y el análisis  consistirá en la separación y obtención de cada una de ellos, así como  en determinar de qué forma se conjugan para dar lugar a la serie  original.  [email protected]

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2.3 Análisis de Una Serie Temporal Cada una de estas componentes es una función del tiempo y el análisis consistirá en la separación y obtención de cada una de ellas, así como en determinar de qué forma se conjugan para dar lugar a la serie original.

Tendencia

•es la componente general a largo plazo y se suele expresar como una  función del tiempo de tipo polinómico o logarítmico.

Estacionalidad

•oscilaciones que se producen, y repiten, en períodos de tiempo cortos.  Asociadas a factores dinámicos, cuya evolución está claramente ligada a  la estacionalidad climática, vacacional, publicitaria, etc.

Ciclos

•se producen a largo plazo y suelen ir ligadas a etapas de prosperidad o  recesión económica. Suelen ser tanto más difíciles de identificar cuanto  más largo sea su período, por lo que a veces quedarán confundidas con  las otras componentes.

Residuos

•Es la que recoge la aportación aleatoria del cualquier fenómeno sujeto al  azar. [email protected]

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2.3 Análisis de Una Serie Temporal

Estacionalidad

Ciclo

Tendencia

Residuo

Series de Tiempo [email protected]

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2.3 Análisis de Una Serie Temporal Para evaluar los componentes se utilizan técnicas estadísticas tales como modelo  lineal, medias móviles, diferencias finitas, etc. Si el componente aleatorio es aditivo, surge un nuevo problema que es el cómo  juntar: tendencia, estacionalidad y ciclos para dar lugar a la serie definitiva. Así se proponen, entre otros, modelos genéricamente denominados aditivos y  multiplicativos:

Modelo aditivo: Y = T + E + C + R

Modelo multiplicativo:  Y = T x E x C + R [email protected]

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2.3 Análisis de Una Serie Temporal Un modelo aditivo se puede interpretar como aquel en  que la estacionalidad actúa modificando la ordenada en  el origen de la tendencia. 1200

1100

1000

y = 6.5667x + 666.55

900

800

700

600

500 1

3

5

7

9

Así pues, cada  estación (s)  componente del  período conforma  una recta con  ordenada en el  origen distinta para  cada caso y cada caso y  pendiente común a  todos; es decir,  según muestra la  figura, el modelo  es un conjunto de  rectas paralelas,  cada una de ellas  asociada a una  estación.

11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 47

[email protected]

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2.3 Análisis de Una Serie Temporal De esta forma,  cada una de las  p estaciones del  período  configura una  recta distinta,  tanto en lo que  l se refiere a la  ordenada en el  origen, como a  la pendiente. El conjunto de  las p rectas  constituye el  modelo de  comportamient o de la serie.

En el modelo multiplicativo, el componente estacional  actúa sobre la ordenada en el origen y sobre la pendiente.

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2.3 Análisis de Una Serie Temporal Enfoque Box ­­ Jenkins Enfoque Box  El análisis de las series temporales a través de la metodología de Box – Jenkins es dirigir el esfuerzo a determinar cuál es el modelo probabilístico  que rige el comportamiento del fenómeno a lo largo del tiempo. Es decir,  partiendo de la premisa de que no siempre va a ser posible identificar los  componentes de la serie, se trata de estudiar el componente aleatorio  puro, reflejado en los residuos. La metodología estadística utilizada en el estudio de una serie temporal  por este sistema, se basa en los siguientes pasos: • • •

Identificación del modelo. Estimación de los parámetros. Validación de los supuestos admitidos en el análisis, también llamado  diagnosis del modelo. [email protected]

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2.3 Análisis de Una Serie Temporal Enfoque Box ­­ Jenkins Enfoque Box  Un conjunto de modelos de comportamiento que cubran los procesos  estocásticos objeto de nuestro interés.  Entre ellos se pueden destacar los  procesos de ruido blanco, medias móviles (MA), autorregresivos (AR),  integrados (I) y sus conjunciones (ARMA y ARIMA).  A partir de aquí se podrá identificar la serie de datos con alguno de los  modelos estudiados, estimar sus parámetros y validar la admisibilidad del  modelo adoptado. En general, se suele asumir que el componente aleatorio, el cual se  representa por Z, sigue una distribución Normal de media cero y variancia  σ2.  [email protected]

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2.3 Análisis de Una Serie Temporal Enfoque Box ­­ Jenkins Enfoque Box  Un proceso estocástico en que todos sus componentes son independientes  y están constituidos sólo por componente aleatorio se denomina proceso  de ruido blanco, es decir, Yt = Zt con Zt  ̃ NINDEP(0; σ2)  para todo t. U Un proceso se denomina  d i de media móvil de  orden q, y se representa  por MA(q), si su  estructura es del tipo Yt = Zt + αt‐1 Zt‐1 + … + αt‐q Zt‐q. En la figura se  muestra un MA(4).

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2.3 Análisis de Una Serie Temporal Un proceso es  autorregresivo de  orden p, y se  representa por  AR(p), cuando  cada componente  es función de los es función de los  anteriores más el  término aleatorio;  su estructura  corresponde a:

Yt = Zt + βt‐1 Yt‐1 + … + βt‐p Yt‐p

(la figura muestra  un AR(2).) [email protected]

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2.3 Análisis de Una Serie Temporal Cuando a las  estructuras de  autorregresión y media  móvil se une una  dependencia con el  tiempo se llega a un tiempo se llega a un  ARIMA(p, r, q), donde  p es el orden del AR, q  el del MA y r el del  proceso integrado, o, lo  que es lo mismo, el  grado del polinomio  que representa la  función del tiempo. 

En la figura se presenta un proceso ARIMA(2,1,3).

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2.4 Descomposición de Una Serie Temporal Método Aditivo Este método,  denominado sistema  clásico, descompone  la serie en tendencia,  estacionalidad, ciclos  t i lid d i l y residuos Una vez  decidida la  conjunción entre  ellos, aditiva o  multiplicativa, se  obtiene el modelo  con el que hacer  previsiones.

La tendencia es la componente más importante  de la serie, al definir lo que se podría interpretar  como comportamiento a largo plazo. Cada  observación va ligada a un valor del tiempo, lo  que permite plantear un modelo del tipo:

Y= φ(t)+ e Donde la función φ(t) puede ser: Lineal Polinómica Exponencial

: φ(t) = α0 + α1t : φ(t) = α0 + α1t + α2 t2 + ... : φ(t) = α0 tα1 [email protected]

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2.4 Descomposición de Una Serie Temporal Si la serie no presenta estacionalidad, el método de estimación mínimo‐cuadrática y todas las pruebas de hipótesis relativas a la explicación del modelo y a la significación de los coeficientes estimados propios del modelo lineal estimados, ordinario, permiten estimar los coeficientes del modelo de tendencia sobre los datos directos. Caso de existir componente estacional, para que ésta no enmascare la tendencia, es necesario estabilizar previamente la serie. [email protected]

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2.4 Descomposición de Una Serie Temporal Para desarrollar la metodología de la descomposición clásica sobre un ejemplo, se  dispone de los datos relativos a los Intereses que paga el Gobierno Central sobre  Deuda Interna, recogidos en el cuadro y representados en la figura. En este cuadro el  tiempo (t) se ha medido tomando como referencia el inicio del período de recogida de  datos, y, en este caso, su unidad es el trimestre. Gobierno Central: Intereses de Deuda Interna Millones  de Nuevos Soles Gobierno Central: Intereses de Deuda Interna ‐ Millones de Nuevos Soles trim

1990

1991

1992

1993

1994

1995

1996

1997

1998

1999

T1

2.65

32.55

21.28

8.80

48.35

19.79

62.73

19.69

26.24

69.21

T2

13.70

16.13

31.22

8.31

23.59

20.45

38.09

13.16

21.98

50.86

T3

25.54

22.16

9.52

13.03

14.53

39.11

46.87

50.22

70.51

66.33

T4

36.95

15.25

28.50

30.77

20.25

35.63

70.54

32.85

57.06

51.48

[email protected]

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2.4 Descomposición de Una Serie Temporal La figura, permite pensar en una tendencia lineal creciente y una estacionalidad clara, cuyo patrón se repite anualmente, es decir, cada 4 valores del tiempo (trimestres). 80

70

60

50

40

30

20

10

0 90T1

91T1

92T1

93T1

Por otra parte, el patrón estacional se mantiene con una amplitud aproximadamente constante, lo que 94T1 95T1 96T1 97T1 98T1 99T1 [email protected] conduce a la utilización de un modelo aditivo. 33

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2.4 Descomposición de Una Serie Temporal Coeficiente de  determinación  R2

0.3994827

[email protected]

34

2.4 Descomposición de Una Serie Temporal Medias móviles: tendencia

•

Con este método se consiguen suavizar tanto las  oscilaciones periódicas de una serie como las aleatorias. 

•

Su aplicación requiere decidir, previamente, el período en que se repite cierto patrón de comportamiento que en que se repite cierto patrón de comportamiento, que  pueda atribuirse a variaciones estacionales; la  observación de la evolución gráfica de la serie puede  ayudar a tomar la decisión.

•

Una vez fijado el período p, se calculan las medias de los  valores de la serie tomados de p en p, sucesivamente  desde el inicio.  [email protected]

35

2.4 Descomposición de Una Serie Temporal Si p es impar la asociación es directa:

[email protected]

36

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2.4 Descomposición de Una Serie Temporal Si p es par, el centro del grupo de cada p valores promediados  corresponde a un valor no observado del tiempo; para subsanarlo, la  nueva serie queda constituida por los promedios de las medias móviles  tomadas dos a dos. Es decir:

[email protected]

37

2.4 Descomposición de Una Serie Temporal En el caso del ejemplo de los intereses de la deuda interna del gobierno central, se ha  establecido que la estacionalidad se manifiesta de forma anual, es decir, cada cuatro  trimestres; ello conduce al cálculo de las medias móviles tomando p = 4. Año

1990

1991

Trimestre T1 T2 T3 T4 T1 T2 T3 T4

Intereses  (mill. S/.) 2.65 13.70 25.54 36.95 32.55 16.13 22.16 15.25

Tiempo: t 1 2 3 4 5 6 7 8

Ymovil

Yprom

t = (p+2)/2 = (4+2)/2 = 3 19.71 27.18 27.79 26.95 21.52 18.70

23.45 27.49 27.37 24.23 20.11 20.59

Ym3 = prom(T901+T902+T903+T904) = (2.65+13.70+25.54+36.95)/4 = 19.71 Ym4 = prom(T902+T903+T904+T911) = (13.70+25.54+36.95+32.55)/4 = 27.18

2.4 Descomposición de Una Serie Temporal p

[email protected] Yprom3 = prom(Ym3+Ym4) =  (19.71+27.18)/2 = 23.45

[email protected]

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2.4 Descomposición de Una Serie Temporal 80 70 60 50 40 30 20 10

Y

Yprom

Lineal (Y)

0 90T1

91T1

92T1

93T1

94T1

95T1

96T1

97T1

98T1

99T1

[email protected]

40

2.4 Descomposición de Una Serie Temporal Estacionalidad La componente estacional, que provoca una oscilación  sistemática de período corto, generalmente no superior al año,  puede enmascarar la evolución a largo plazo, tendencia, si no  se aísla convenientemente.

Se entiende como componente estacional, en modelos aditivos,  la diferencia entre el valor de la estación y la media de todas las  estaciones componentes del período.

El análisis de la estacionalidad queda ligado al método que se  decida emplear para modelizar la tendencia; así, en este punto  estudiaremos la situación para el caso de trabajar con medias  móviles [email protected]

41

2.4 Descomposición de Una Serie Temporal Para calcular los valores de los índices estacionales hay que seguir la siguiente sistemática: Calcular medias móviles, sobre los datos, Yt, de la serie original, tomando el período de agrupación, p. Elegir un modelo de agrupación de componentes: aditivo o multiplicativo. l i li i Separar la parte explicada por tendencia. Supuesto  el modelo aditivo, esto equivale a calcular Wt. Si fuese multiplicativo, serían cocientes, es decir, Wt

Wt = Yt ‐ Yt

Wt =Yt/Yt

Hay que destacar que en Wt están incluidas las componentes  asociadas a la estacionalidad, los ciclos y los residuos [email protected]

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2.4 Descomposición de Una Serie Temporal Asumiendo que los residuos son variables aleatorias de media nula y que la componente cíclica, caso de existir, es de período suficientemente largo como para no ser recogida por los datos, se procede a evaluar la estacionalidad asociada a cada componente del período, a cada trimestre en el caso del ejemplo. Para ello se calculan los promedios de los W Para ello se calculan los promedios de los Wt de  de la misma estación E*S, s = t, …, p. donde s  representa el índice estacional y ns el número de  Es valores asociados a este índice que se  promedian. Ya que los índices estacionales miden discrepancias  respecto a la media, ésta se necesita como valor de  referencia; por tanto es necesario calcular la media  general:

 

E

∑t

Wt

s p

ns

 

∑ps

1 Es

p

 

[email protected]

43

2.4 Descomposición de Una Serie Temporal Índices estacionales en modelo aditivo Los índices estacionales son las diferencias entre  los promedios de las Wt de cada estación y la  media general que se acaba de definir, es decir:

 

Es obvio destacar que la suma de estos índices es cero: Índices estacionales en modelo multiplicativo. En este caso, los índices estacionales son el cociente  entre los promedios de las Wt de cada estación y la  media general, es decir:

 

0  1

Es

 

Ahora, la suma de estos índices es igual al período, p.  En modelo multiplicativo, no es extraño que los  índices estacionales se representen en %.

Es   E

  1

[email protected]

44

2.4 Descomposición de Una Serie Temporal

Año

1990

1991

Intereses deuda Trimestre interna del GC (mill. S/.) T1 2.65 T2 13.70 T3 25.54 T4 36.95 T1 32.55 T2 16.13 T3 22.16 T4 15.25

Tiempo: t

1 2 3 4 5 6 7 8

Ymovil Yprom

19.71 27.18 27.79 26.95 21.52 18.70

23.45 27.49 27.37 24.23 20.11 20.59

E*1 = promedio(W190+W191+W192+… E*2 = promedio(W290+W291+W492+… E*3 = promedio(W390+W391+W492+… E*4 = promedio(W490+W491+W492+… Eprom = promedio(E*1+E*2+E*3+E*4)

Wt

2.09 9.46 5.18 ‐8.10 2.05 ‐5.34

Estación: S

Ytend

1 2 3 4 1 2 3 4

12.97 13.94 14.90 15.87 16.84 17.81 18.78 19.75

E

‐8.54 ‐6.15 2.85 11.85 ‐8.54 ‐6.15 2.85 11.85

E1 = E*1 – Eprom E2 = E*2 – Eprom E3 = E*3 – Eprom E4 = E*4 – Eprom [email protected]

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2.4 Descomposición de Una Serie Temporal Tendencia

Estacional

60

T+ E 80

15 10 5 0 ‐5 ‐10

40 20 0 90T1

92T1

94T1

96T1

98T1

60 40 20 0 90T1

92T1

94T1

96T1

90T1

98T1

92T1

94T1

96T1

98T1

Residuo Original

40 20

80

0

70

‐20

60

‐40 90T1

92T1

94T1

96T1

50

98T1

40 30

Las figuras muestran la evolución de las previsiones y su buena concordancia con la evolución histórica de los datos recogidos en el estudio.

20 10 0 90T1

91T1

92T1

93T1

94T1

95T1

96T1

97T1

98T1

99T1

[email protected]

46

2.4 Descomposición de Una Serie Temporal 80 70 60 50 40 30 20 10

Original

T+ E

Proyección

0 90T1

91T1

92T1

93T1

94T1

95T1

96T1

97T1

98T1

99T1

00T1

01T1

02T1

[email protected]

47

2.4 Descomposición de Una Serie Temporal Método Multiplicativo se recogen los datos relativos al número de usuarios de un determinado transporte público en el  período que abarca desde 1994 hasta 2005, y la figura 2.24 muestra su evolución cronológica. Mes I II III IV V VI VII VIII IX X XI XII

1994

90 88 109 103 103 122 134 132 115 101 91 112

1995

111 115 129 121 112 125 164 158 133 127 110 120

1996

127 107 141 135 133 154 175 174 158 139 112 140

1997

142 139 145 5 162 144 176 192 190 160 151 134 140

1998

146 155 182 165 165 191 195 205 182 165 138 155

1999

164 151 180 164 184 206 198 235 197 163 148 163

2000

175 161 179 195 189 208 227 249 224 193 170 166

2001

176 194 197 211 191 235 248 273 202 189 167 168

2002

208 189 232 226 222 245 252 242 229 202 192 198

2003

199 190 228 220 222 233 303 253 253 223 191 185

2004

207 198 251 5 231 234 251 316 285 250 232 190 201

[email protected]

2005

219 206 229 223 231 266 290 294 258 214 206 199

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2.4 Descomposición de Una Serie Temporal Una clara tendencia  creciente en el tiempo. Hay una estacionalidad  manifiesta que se repite  anualmente. 

280

230

El patrón de  estacionalidad presenta  una amplificación  continua en el tiempo. 

180

130

Esta situación es la que  indica que el modelo  subyacente es  multiplicativo.

80 1

24

47

70

93

116

139

[email protected]

49

2.4 Descomposición de Una Serie Temporal 350

300

250

200

150

100

50

136 141

131

121 126

116

96

111

106

91

101

81 86

76

66 71

61

56

51

46

36 41

31

26

21

6

1

0 11 16

La evolución de  las medias  móviles se  muestra en la  figura 2.25, y se  aprecia un  crecimiento que  q no es  proporcional al  tiempo, sino que  parece sufrir un  amortiguamiento  al final de la  serie;

es decir, probablemente se tratará de un modelo parabólico. [email protected]

50

2.4 Descomposición de Una Serie Temporal Estadísticas de la regresión Coeficiente de correlación múltiple Coeficiente de determinación R^2 R^2  ajustado Error típico Observaciones

Intercepción V Variable X 1 i bl X 1 Variable X 2

Coeficientes 101.366529 11.42225529 42225529 ‐0.00291249

ANÁLISIS DE VARIANZA 0.99795574 0.99591565 0.99585183 2.46872328 131

Error típico 0.78487222 00.02494683 02494683 0.00016865

Regresión Residuos Total

Grados de  libertad 2 128 130

Estadístico t Probabilidad 129.150359 1.896E‐137 57 57.0114628 0114628 77.5934E‐93 5934E 93 ‐17.2691633 3.0777E‐35

Promedio de  Suma de  los  cuadrados cuadrados 190219.185 95109.5926 780.108112 6.09459462 190999.293

Valor crítico  F de F 15605.565 1.294E‐153

Inferior 95% Superior 95% Inferior 95.0% Superior 95.0% 99.813525 102.919532 99.813525 102.919532 11.37289373 37289373 11.47161686 47161686 11.37289373 37289373 1 47161686 1.47161686 ‐0.0032462 ‐0.00257879 ‐0.0032462 ‐0.00257879

La estimación mínimo‐cuadrática conduce al modelo de tendencia, sobre las medias  móviles, En ella se observa, además de un muy buen ajuste reflejado por una R2 del  99,74%, que el término cuadrático es altamente significativo.  El signo negativo de este término da idea de una especie de freno en el crecimiento  sostenido del número de usuarios, representado por el coeficiente positivo del tiempo. [email protected]

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2.4 Descomposición de Una Serie Temporal Así pues, el modelo de tendencia puede escribirse como:

T = 101.37 + 1.422 t – 0,00294 t2 En modelos multiplicativos, como el del actual ejemplo, la componente  estacional representa la relación entre cada estación y la media general.  Separar la tendencia, es decir, calcular

 

∑

  

 

∑

   

1

 

 

100

[email protected]

52

2.4 Descomposición de Una Serie Temporal

E1 E2 E3 E4 E5 E6 E7 E8 E9 E10 E11 E12

0.91530129 0.88165267 1.02566887 1.00993695 0.99109532 1.00968627 1 23810778 1.23810778 1.22721269 1.06280231 0.94976908 0.81953673 0.86923004

330

Índices estacionales

80

280

230

180

130

Usuarios

1

24

47

70

Prevision: Yestim

93

116

139

[email protected]

53

2.4 Descomposición de Una Serie Temporal 330

280

230

180

130

Usuarios

Prevision: Yestim

80 1

24

47

70

93

116

139

162

[email protected]

185

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THAT´S ALL FALKS !!!!!

[email protected]

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