Variable aleatoria: definiciones básicas

Introducción a la Probabilidad

Francisco Rodríguez Henríquez

Variable Aleatoria •

Hasta ahora hemos discutido eventos elementales y sus probabilidades asociadas [eventos discretos]

•

Considere ahora la idea de asignarle un valor al resultado de un evento

Ejemplo: Considere una vez más el evento de tirar dos dados. Entonces la suma de los resultados de ambos dados, el cual es un valor k tal que k Є [2, 12] puede definirse como una variable aleatoria S. Utilizaremos la siguiente notación: Pr{S=k} Introducción a la Probabilidad

Francisco Rodríguez Henríquez

Variable Aleatoria •

Se entiende que S es una variable aleatoria que puede tomar valores entre 2 y 12 con diversas probabilidades.

•

Más técnicamente S es visto como una función sobre los subconjuntos del espacio de muestreo y Pr{S=k} representa la suma de las probabilidades de todos los resultados a los que les corresponde la suma k.

Nota: No se preocupe si la idea es un poco difusa al principio, quedara más clara con los ejemplos. Introducción a la Probabilidad

Francisco Rodríguez Henríquez

Variable Aleatoria •

Normalmente, estaremos interesados en conocer la distribución que la variable aleatoria S, la cual toma valores enteros k = 0, 1, …, n con probabilidades P(k) = Pr(K = k)

•

Generalmente, necesitaremos definir un conjunto de atributos

que

sumaricen

las

descripciones

de

la

distribución de la variable aleatoria. Introducción a la Probabilidad

Francisco Rodríguez Henríquez

Valor esperado •

El primer valor que sumariza el comportamiento de una variable aleatoria es el valor esperado, definido como: n

! kp(k )= 0 p(0) + 1 p(1) + 2 p(2) + L + np(n) = µ k =0

•

Intuitivamente, el promedio mide la posición del “centro de la distribución”

•

También se conoce al promedio como el valor esperado de la variable aleatoria, o de la distribución de ésta. Introducción a la Probabilidad

Francisco Rodríguez Henríquez

Valor esperado Ejemplo: Promedio de tirar un dado. •

Tirar un dado puede resultar en obtener cualquiera de los 6 valores 1, 2, 3, 4, 5, 6 cada uno con probabilidad 1/6.

•

Entonces el promedio está dado por:

1 1 µ = [1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6]= [6 ! 7 / 2]= 3.5 6 6 •

Note que el promedio no es ninguno de los resultados legales de un dado Introducción a la Probabilidad

Francisco Rodríguez Henríquez

Valor esperado Ejemplo: Promedio de un volado. •

Si se le asigna los valores, águila = 0, sol = 1, entonces el valor esperado de tirar un dado (con probabilidad p=1/2) es:

1 1 µ = [1 + 0]= 2 2

Sin embargo si asignamos águila = -1, sol = 1, el valor esperado sería µ=

Introducción a la Probabilidad

1 [! 1 + 1]= 0 2 Francisco Rodríguez Henríquez

Valor esperado: definición formal Dada una variable X, cuyos resultados tienen probabilidades p(i) para los valores xi (i=1, 2,…, n), entonces el valor esperado de la variable aleatorio X se define como: n

E{X }= ! xi p(i ) i =1

El valor esperado toma cada posible valor xi y lo pesa por su probabilidad p(i). El valor esperado es un operador lineal Introducción a la Probabilidad

Francisco Rodríguez Henríquez

Valor esperado: definición formal Muchas veces conviene ordenar los pares (xi, f(xi)) en forma tabular,

x

x1

x2

x3

….

xn

f(x)

f(x1)

f(x2)

f(x3)

…

f(xn)

n

E{X }= ! xi p(i ) i =1

Introducción a la Probabilidad

Francisco Rodríguez Henríquez

Promedio: producto de dos variables •

Valor esperado del producto de dos variables aleatorias independientes X, Y. E{XY }= ! kp(XY = k ) = !! xi y j p X (i ) pY ( j ) = k

i

j

! x p (i )! y p ( j )= E{X }E{Y } i

i

X

j

Y

j

Introducción a la Probabilidad

Francisco Rodríguez Henríquez

Promedio: suma de dos variables •

Valor esperado de la suma de dos variables aleatorias independientes X, Y. E{X + Y }= ! (xi + yi )p(i, j ) = ! xi ! p(i, j )+ ! y j ! p(i, j ) = i

j

j

i

! x p (i )+ ! y p ( j )= E{X }+ E{Y } i

i

X

j

Y

j

•

Lo cual implica que:

•

En general, el valor esperado es un operador lineal, esto es, Introducción a la Probabilidad

E{X + Y }= E{X }+ E{Y } E{aX + bY }= aE{X }+ bE{Y } Francisco Rodríguez Henríquez

Promedio •

Suma de variables aleatorias Xi.

E {! ci X i }= ! ci E{X i } •

Producto de variables aleatorias independientes

' $ E &! [X i ]# = ! [E{X i }] % i " i

Introducción a la Probabilidad

Francisco Rodríguez Henríquez

Varianza •

Si el promedio nos indica dónde está el centro de nuestra distribución, la varianza explica cuál es la dispersión de una determinada distribución probabilística. 2

Varianza{X }= V {X }= # (xi " µ ) p(i ) = ! 2 i

•

Es fácil demostrar que:

V {c}= 0;V {cX }= c 2V {X } Introducción a la Probabilidad

Francisco Rodríguez Henríquez

Varianza de un dado •

Recuerde que el valor esperado de un dado es E{X}=7/2. Para los 6 valores del dado, las diferencias de Xi con µ son: -5/2, -3/2, -1/2, ½, 3/2, 5/2

•

Debemos elevar al cuadrado las diferencias, multiplicarlas por las probabilidades pi y sumarlas: V{dado} = (1/6)[25+9+1+1+9+25]/4=70/24=35/12

•

Note que un método alternativo es: 2

1 6 2 '7$ V {dado}= ( i ! % " = 91 / 6 ! 49 / 4 = 35 / 12 6 i =1 &2# Introducción a la Probabilidad

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Ejemplo de valor esperado y varianza Ejemplo: Sean X, Y dos variables aleatorias del espacio de muestreo formado por los posibles resultados de tirar dos dados, de tal manera que siendo a, b tales resultados entonces: X(a, b) = max(a, b) y Y(a, b) = a + b. Note que si f es la distribución de probabilidad de X, entonces, f(1) = 1/36 (La unica posibilidad que el máximo sea 1 es que los dados hayan caído en (1,1). Similarmente, los tres resultados (1,2), (2,1), (2,2) hacen que f(2) = 3/36. Introducción a la Probabilidad

Francisco Rodríguez Henríquez

Ejemplo de valor esperado y varianza En general, se tiene que x

1

2

3

4

5

6

f(x)

1/36

3/36

5/36

7/36

9/36

11/36

E ( X ) = ! xf (x ) = 4.47 i

( )

E X 2 = ! x 2 f (x ) = 21.97 i

( )

Var (x ) = " X2 = E X 2 ! µ X2 = 1.99

! X = 1.4

Introducción a la Probabilidad

Francisco Rodríguez Henríquez

Ejemplo de valor esperado y varianza La distribución g de la variable aleatoria Y sería como sigue: y g(y)

2

3

4

5

6

7

8

9

10

1/36 2/36 3/36 4/36 5/36 6/36 5/36 4/36 3/36

11

12

2/36

1/36

E (Y ) = ! yg (y ) = 7 i

( )

E Y 2 = ! y 2 g (yi ) = 54.83 i

( )

Var (y ) = " Y2 = E Y 2 ! µY2 = 5.83

! Y = 2.4 Introducción a la Probabilidad

Francisco Rodríguez Henríquez

Variable aleatoria en el dominio continuo

Introducción a la Probabilidad

Francisco Rodríguez Henríquez

Variable Aleatoria continua Definición: La función de distribución acumulativa (cdf) de X se define como:

FX (x ) = P(X # x ), " ! < x < !

Con las siguientes propiedades: 0 ! FX (x )! 1 1. 3.

FX (x1 )! FX (x2 ) if x1 < x2 lim FX (x ) = FX (! ) = 1

4.

lim FX (x ) = FX (" ! ) = 0

2.

5.

x "!

x # "!

( )

lim+ FX (x ) = FX a + = FX (a )

x"a

Introducción a la Probabilidad

a + = lim a + ! 0 0 si, #%e $ %x x > 0 • • •

f X (x ) = " ! 0

x0 si, #%e $ %x f X (x ) = " ! 0

µ X = E (X ) =

x>0 x0 x0 x