VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS M. en C. Juan Carlos Guti´errez Matus Instituto Polit´ecnico Nacional Primavera 2004

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Variables Aleatorias Discretas

Variables Aleatorias

Variables Aleatorias Definici´ on: Una variable aleatoria es una funci´on del espacio muestral a la l´ınea de los reales. X : Ω 7→ R Ω •ω5 •ω4 ω2 • •ω3 •ω1

−1

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0

1

2

3

R 1

Variables Aleatorias Discretas

Variables Aleatorias

Variables Aleatorias Ejemplo: Al lanzar dos monedas, Ω = {ss, sa, as, aa}. Suponga umero de ´aguilas. que X es una variable aleatoria que corresponde al n´ X(ss) = 0,

X(sa) = X(as) = 1,

X(aa) = 2

Ω •{as} •{ss}

{aa}• {sa}•

0

1

P(X = 0) = , 4 c 2004 Juan C. Guti´errez Matus IPN – UPIICSA

1

1

P(X = 1) = , 2

2

X

P(X = 2) =

1 4 2

Variables Aleatorias Discretas

Variables Aleatorias

Variables Aleatorias Notaci´ on: Usualmente, letras may´ usculas tales como X, Y , Z, U , V , representan variables aleatorias. Letras min´ usculas tales como x, y, z, u, v, w, representan “valores particulares” de las variables aleatorias. As´ı que podemos hablar de P(X = x).

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Variables Aleatorias Discretas

Variables Aleatorias

Variables Aleatorias Ejemplo: Sea X la suma de los resultados al lanzar dos dados. Entonces tenemos que X ([6, 5]) = 11. Adem´as:  1/36      2/36    ..     6/36 P(X = x) = ..      2/36     1/36    0 c 2004 Juan C. Guti´errez Matus IPN – UPIICSA

si x = 2 si x = 3 si x = 7 si x = 11 si x = 12 cualquier otro valor

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Variables Aleatorias Discretas

Variables Aleatorias

Ejemplo: Lanzar una moneda. X=



0 1

si {s} si {a}

Ejemplo: Lanzar un dado. Y =



0 1

si {1, 3, 5} si {2, 4, 6}

Para nuestros prop´ ositos, tanto X como Y son lo mismo, dado que: P(X = 0) = P(Y = 0) = P(X = 1) = P(Y = 1) =

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1 2 1 2 5

Variables Aleatorias Discretas

Variables Aleatorias Discretas

Variables Aleatorias Discretas Definici´ on: Si el n´ umero de los posibles valores de una Variable o contablemente infinito, entonces X es una Aleatoria X es finito ´ variable aleatoria discreta. Ejemplo: Lanzar tres moneda, obtener el n´ umero posible de ´aguilas. Se trata de una variable discreta. Ejemplo: Seleccionar en forma aleatoria un punto en [0, 1]. Se trata de una variable no discreta.

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Variables Aleatorias Discretas

Funci´ on de Probabilidad

Funci´ on de Probabilidad Definici´ on: Si X es una variable aleatoria discreta, entonces la Funci´ on de Probabilidad se define para cada posible x como: f (x) = P(X = x) Definici´ on: El conjunto de todas las parejas [x, f (x)] es la Distribuci´ on de Probabilidad. Note que: f (x) ≥ 0 ⇒

X

f (x) = 1

x

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Variables Aleatorias Discretas

Funci´ on de Probabilidad

Funci´ on de Probabilidad Ejemplo: Lanzar 2 monedas. Sea   1/4    1/2 f (x) = 1/4     0

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X el n´ umero de soles. para para para para

x=0 x=1 x=2 otro valor

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Variables Aleatorias Discretas

Funci´ on de Distribuci´ on Acumulada (fda)

Funci´ on de Distribuci´ on Acumulada (fda) Definici´ on: Si X es una variable aleatoria discreta, y funci´on de probabilidad f (x) entonces la fda de X es definida para toda x como F (x) = P(X ≤ x), entonces: X F (x) = f (xi), ∀ xi ≤ x i

Ejemplo: Lanzar dos monedas. Sea X el n´ umero de soles.   0 si x < 0    1/4 si 0 ≤ x < 1 F (x) =  3/4 si 1 ≤ x < 2    1 si 2 ≤ x c 2004 Juan C. Guti´errez Matus IPN – UPIICSA

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Variables Aleatorias Discretas

Representaci´ on Gr´afica

Representaci´ on Gr´ afica f (x)

F (x)

1

1

3 4

3 4

1 2

1 2

1 4

1 4

0

1

2

Funci´ on de Probabilidad

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X

−1

y

0

1

2

X

Funci´ on de Distribuci´ on Acumulada

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Variables Aleatorias Discretas

Propiedades de la fda

Propiedades de la fda F (x) es no decreciente en x, esto es, si x1 < x2implica que: F (x1) < F (x1)

lim F (x) = 1

x→∞

lim F (x) = 0

x→−∞

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Variables Aleatorias Discretas

Propiedades de la fda

Propiedades de la fda Teorema: P(X > x) = 1 − F (x) Demostraci´ on: 1 = P(X ≤ x) + P(X > x) = F (x) + P(X > x) Teorema:

x1 < x2 ⇒ P(x1 < X ≤ x2) = F (x2) − F (x1)

Demostraci´ on: P(x1 < X ≤ x2) = P(X > x1 ∩ X ≤ x2) = P(X > x1) + P(X ≤ x2) −P(X > x1 ∪ X ≤ x2) = 1 − F (x1) + F (x2) − 1

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Variables Aleatorias Discretas

Valor Esperado

Valor Esperado Definici´ on: El valor esperado ´ o la media ´ o el valor promedio de una variable aleatoria discreta X es : µ = E[X] =

X

xf (x)

x

La media ´ o valor esperado nos da una indicaci´on de la tendencia central de una variable aleatoria.

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Variables Aleatorias Discretas

Valor Esperado

Valor Esperado Ejemplo: Si al lanzar una moneda cargada, sea la VAD X el n´ umero de ´aguilas, P(X = 0) = 0.4, P(X = 1) = 0.6, entonces: E[X] =

X

xP(X = x) = 0 · 0.4 + 1 · 0.6 = 0.6

x

Ejemplo: Al lanzar un dado, X = 1, 2, . . . , 6, cada x con una probabilidad de 16 . Entonces: E[X] =

X

xf (x) = 1 ·

x

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1 6

+2·

1 6

+ ... + 6 ·

1 6

= 3.5

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Valor Esperado

Valor Esperado Ejemplo1: Un inspector de calidad hace un muestreo un lote que contiene siete componentes; de los cuales tres son defectuosos. El inspector toma una muestra de tres componentes. Encuentre el valor esperado del n´ umero de componentes buenos en esta muestra. Sea X el n´ umero de componentes buenos. probabilidad de X es:    f (x) =

1

4 x

3 3−x

  7 3

,

La distribuci´ on de

x = 0, 1, 2, 3.

Walpole & Myers; “Prob. y Estad´ıstica para Ings.”

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Variables Aleatorias Discretas

Valor Esperado

Al realizar los c´alculos de la distribuci´ on de probabilidad de X, obtenemos: 1 12 18 4 f (0) = 35 , f (1) = 35 , f (2) = 35 , f (3) = 35 . entonces el valor esperado de X es:         12 18 4 12 1 µ = E[X] = 0 +1 +2 +3 = = 1.7 35 35 35 35 7 Esto es, que la muestra descrita, contendr´ıa un promedio de 1.7 componentes buenos.

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Variables Aleatorias Discretas

Valor Esperado de Funciones

Valor Esperado de Funciones Teorema: Al realizar un cambio de variable lineal Y = aX + b, donde a y b son constantes, el valor esperado de la nueva variable esta dado por: E[Y ] = aE[X] + b Teorema: El valor esperado de una funci´on de una variable aleatoria discreta, por ejemplo g(X), es: E[g(X)] =

X

g(x)f (x)

x

  P 2 Ejemplo: E (3X − 1) = x(3x − 1)2f (x)

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Variables Aleatorias Discretas

Valor Esperado de Funciones

Valor Esperado de Funciones Ejercicio: Sea X un VAD con la siguiente distribuci´ on de probabilidad:  1/6 para x = −3    1/2 para x = 6 f (x) = 1/3 para x = 9     0 para otro valor Encuentre E[g(X)], donde g(X) = (2X + 1)2.

Nota: E[g(X)] tambi´en se puede simbolizar como µg (X)

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Variables Aleatorias Discretas

Momentos

Momentos Definici´ on: El momento k de una variable aleatoria discreta X es: k

E[X ] =

X

xkf (x)

x

Definici´ on: El momento central k de una variable aleatoria discreta X es: X   E (X − µ)k = (x − µ)kf (x) x

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Varianza

Varianza La varianza de la variable aleatoria discreta X es el segundo momento central. X   Var(X) = E (X − µ)2 = (x − E[X])2f (x) x

La varianza es un par´ametro que describe la disperci´on de la VA. 2 Notaci´ on: σ 2 = σX = Var(X) = V(X).

Definici´ on: La desviaci´ on est´ andar de la variable aleatoria discreta X es: p σX = + Var(X) c 2004 Juan C. Guti´errez Matus IPN – UPIICSA

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Variables Aleatorias Discretas

Varianza

Varianza Teorema: 2

Var(X) = E[X 2] − (E[X]) Demostraci´ on:   2 Var(X) = E (X − µ)

= E[X 2 − 2µX + µ2]

= E[X 2] − 2µE[X] + µ2 = E[X 2] − µ2

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Variables Aleatorias Discretas

Varianza

Varianza Ejemplo: Si al lanzar una moneda cargada, sea la VAD X el n´ umero de ´aguilas, P(X = 0) = 0.3, P(X = 1) = 0.7, entonces: E[X] =

X

xP(X = x) = 0 · 0.3 + 1 · 0.7 = 0.7

x

Cabe recalcar E[X] = 0.7, de hecho, para cualquier k. E[X k] = 0k · 0.3 + 1k · 0.7 = 0.7 2

As´ı que: Var(X) = E[X 2] − (E[X]) = 0.7 − 0.72 = 0.21

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Variables Aleatorias Discretas

Varianza

Varianza Ejercicio: Sea la VAD X el no. de partes defectuosas al sacar una muestra de tres de una l´ınea de producci´ on, con la siguiente distribuci´ on de probabilidad:   0.51 para x = 0      0.38 para x = 1 f (x) = 0.10 para x = 2    0.01 para x = 3    0 para otro valor

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Variables Aleatorias Discretas

Varianza

Varianza Ejercicio: Sea la VAD X el no. de partes defectuosas al sacar una muestra de tres de una l´ınea de producci´ on, con la siguiente distribuci´ on de probabilidad:   0.51 para x = 0      0.38 para x = 1 f (x) = 0.10 para x = 2    0.01 para x = 3    0 para otro valor µ =0(0.51) + 1(.38) + 2(0.1) + 3(0.01) = 0.61

E[X 2] =0(0.51) + 1(.38) + 4(0.1) + 9(0.01) = 0.87 Var(X) =0.87 − (0.61)2 = 0.4979 c 2004 Juan C. Guti´errez Matus IPN – UPIICSA

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Variables Aleatorias Discretas

Varianza de una Funci´ on Lineal

Varianza de una Funci´ on Lineal Teorema: Var(aX + b) = a2Var(X) Ejemplo: En el caso anterior de la moneda cargada. E[X] = 0.7;

Var(X) = 0.21

Sea Y = g(X) = 4X + 5, entonces: E[Y ] = E[4X + 5] = 4E[X] + 5 = 7.8 Var(Y ) = Var(4X + 5) = 16 · Var(X) = 3.36

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Variables Aleatorias Discretas

Varianza de una Funci´ on

Varianza de una Funci´ on Teorema: Sea X una VAD con distribuci´ on de probabilidad f (x). La varianza de la variable aleatoria g(X) es: σg2(X )

X  2 [g(X) − µg(X )]2f (x) = E [g(X) − µg(X )] = x

La utilidad de este teorema se destaca cuando g(X) no es una transformaci´ on lineal de X.

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