T.5: ECUACIONES DE LA RECTA 5.1 Ecuación vectorial de la recta Una recta queda determinada si se conoce un vector que lleve su dirección (de entre todos los vectores proporcionales), llamado vector director, y un punto que pertenece a ella. La ecuación de una recta es una expresión matemática que sirve para decidir qué puntos del plano pertenecen a ella y qué puntos no. Sea la recta r

El punto

recta r si:

Veamos sus vectores de posición: que es la ecuación vectorial de la recta: Ejemplo: Sea la recta definida por el vector director La ecuación vectorial de recta es: Ejemplo: Sea la recta definida por un punto El vector La ecuación vectorial de recta es:

y un punto

.

y un punto

Para hallar cualquier punto que pertenezca a la recta, no tendremos más que darle un valor cualquiera a . 5.2 Ecuación paramétrica de la recta Se llama ecuación paramétrica de la recta, a la ecuación que resulta de igualar coordenada a coordenada:

Para hallar cualquier punto que pertenezca a la recta, no tendremos más que darle un valor cualquiera a , pero el mismo en ambas igualdades. o Ejemplo: Halla la ecuación vectorial y paramétrica de la recta que pasa por y que tiene por vector director Comprueba si los puntos y pertenecen a la recta. Halla otro punto que pertenezca a la recta y otro que no pertenezca a la recta.

 Ejercicio 1: Halla la ecuación vectorial y paramétrica de la recta que pasa por y que tiene por vector director Comprueba si los puntos y pertenecen a la recta. Halla otro punto que pertenezca a la recta y otro que no pertenezca a la recta.  Ejercicio 2: Halla la ecuación vectorial y paramétrica de la recta que pasa por y por Comprueba si los puntos y pertenecen a la recta. Halla otro punto que pertenezca a la recta y otro que no pertenezca a la recta. 5.3 Ecuación continua de la recta Si las coordenadas del vector director de una recta r son ambas distintas de cero, se puede despejar e igualar el valor del parámetro en cada una de las ecuaciones paramétricas de la recta, obteniéndose la ecuación continua de la recta:

Un punto de la recta sería cualquier punto cuyas coordenadas verifiquen la ecuación. o Ejemplo: Halla la ecuación continua de la recta que pasa por

y que tiene por vector director

o Ejemplo: Halle un punto y el vector director de la recta definida por la siguiente ecuación en su forma continua: Hay que ponerla en la forma correcta Un punto será:

si

5.4 Ecuación general de la recta Operando y simplificando en la ecuación continua se obtiene: → y si hacemos el cambio:

→

→ que es la ecuación general de la recta.

Un punto de la recta sería cualquier punto cuyas coordenadas verifiquen la ecuación. El vector director de la recta es  Rectas paralelas a los ejes de coordenadas: -

Rectas paralelas al eje de abscisas OX:

→

-

Rectas paralelas al eje de ordenadas OY:

→

o Ejemplo: Halla la ecuación continua y la general de la recta que pasa por y por Calcula las ecuaciones de las rectas paralelas a los ejes que pasan por A.

.

 Ejercicio 3: Halla la ecuación continua y la general de la recta que pasa por y por Calcula las ecuaciones de las rectas paralelas a los ejes que pasan por A.

.

5.5 Ecuación canónica o segmentaria de la recta La ecuación canónica o segmentaria de la recta es la expresión de la recta en función de los segmentos que ésta determina sobre los ejes de coordenadas. Si en la ecuación general despejamos : y dividimos cada miembro entre – :

→

donde Una recta carece de la forma canónica en los siguientes casos: o Ejemplo: Halla la ecuación de la recta que corta a los ejes en los puntos

y

.

5.6 Ecuación normal de la recta  Vector perpendicular

a una recta:

Dada la recta r de ecuación: o Ejemplo: Determina un vector director y otro vector normal de la recta r: Vector Director: Vector Normal:  Ecuación normal de la recta: Sea un punto por el que pasa la recta r: de la recta, entonces se verifica que: → →

y sea

que es la ecuación normal de la recta.

un punto cualquiera

o Ejemplo: Calcula la ecuación general, normal y la normal canónica de la recta que tiene como vector normal a y pasa por el punto .

o Ejemplo: Escribe un vector director y un vector normal a la recta que pasa por los puntos Calcula la ecuación general de la recta que es mediatriz del segmento de extremos A y B.

y por

.

 Ejercicio 4: Calcula la ecuación general, normal y la normal canónica de la recta que tiene como vector normal a y pasa por el punto  Ejercicio 5: Escribe un vector director y un vector normal a la recta que pasa por los puntos Calcula la ecuación general de la recta que es mediatriz del segmento de extremos A y B.

y por

.

5.7 Ecuación explícita de la recta  Pendiente y ordenada en el origen de una recta: Se llama pendiente de una recta r, y se denota por m, a la tangente trigonométrica del ángulo α que forma dicha recta con la parte positiva del eje OX: El ángulo se denomina inclinación. Dada una recta Su pendiente es:

con vector director y su ordenada en el origen es

 Ecuación explícita de la recta: Si despejamos de la ecuación anterior y haciendo el cambio: que es la ecuación explícita de la recta.  Ecuación punto pendiente: La ecuación continua de una recta es:

→

→

→

→

que es la ecuación punto pendiente

 Ecuación de la recta que pasa por dos puntos: o Ejemplo: Calcula la ecuación de la recta que pasa por el punto indica cuál es el punto de corte con el eje OY.

→

y tiene como pendiente

→

→ Punto corte eje OY

o Ejemplo: Calcula la pendiente de la recta que pasa por los puntos

y

 Ejercicio 6: Calcula la ecuación de la recta que pasa por el punto indica cuál es el punto de corte con el eje OY.  Ejercicio 7: Calcula la pendiente de la recta que pasa por los puntos

e

.

y tiene como pendiente

y

.

5.8 Posiciones relativas de rectas en el plano

Existen varios criterios analíticos para determinar la posición relativa de dos rectas, basándonos en la comparación de los vectores directores, de los vectores normales o de las pendientes:  Dos rectas son secantes si: ó ó  Dos rectas son paralelas o coincidentes si: ó ó Para saber si las rectas son paralelas o coincidentes en los casos anteriores tendremos que comprobar si un punto que pertenece a una recta pertenece a la otra.

e

 Estudio del sistema formado por las ecuaciones de las rectas: Dadas dos rectas, sus ecuaciones forman un sistema, cuyo estudio nos permite determinar su posición relativa: - Rectas secantes: el sistema es compatible determinado y por lo tanto tendrá solución única, que es el punto de intersección de las dos rectas. Se verificará que: - Rectas paralelas: el sistema es incompatible y por lo tanto no tendrá solución, por lo que no existen puntos comunes a las dos rectas. Se verificará que: -

Rectas coincidentes: el sistema es compatible indeterminado y por lo tanto tendrá infinitas soluciones, que se corresponden con todos los puntos de la recta. Se verificará que:

 Haz de rectas paralelas: Se llama haz de rectas paralelas a la recta plano que son paralelas a r. La ecuación de este haz será: o Ejemplo: Calcula la ecuación de la recta paralela a

→ o Ejemplo: Halla la posición relativa de las rectas son rectas secantes.

, al conjunto de todas las rectas del

, que pase por el punto

→

→ y

ó haciendo un sistema entre las dos ecuaciones → o Ejemplo: Halla la posición relativa de las rectas son rectas coincidentes.

y

ó haciendo un sistema entre las dos ecuaciones

→ Infinitas soluciones

o Ejemplo: Halla la posición relativa de las rectas son rectas paralelas. ó haciendo un sistema entre las dos ecuaciones

Coincidentes

y → Sin soluciones

 Ejercicio 8: Calcula la ecuación de la recta paralela a

Secantes.

Paralelas

, que pase por el punto

 Ejercicio 9: Halla la posición relativa de las rectas: a) y b) y c) y  Ejercicio 10: Calcula la ecuación vectorial y las ecuaciones paramétricas de las siguientes rectas: a) La recta que pasa por los puntos b) La recta que tiene como uno de sus vectores de dirección el y corta a la parte positiva del eje de abscisas en un punto que dista 3 unidades del origen de coordenadas.  Ejercicio 11: Calcula la ecuación continua y la ecuación general de la recta que pasa por el origen de coordenadas y por el punto

 Ejercicio 12: Halla las ecuaciones paramétricas de las rectas: a) b) La recta que pasa por el origen de coordenadas y tiene de pendiente  Ejercicio 13: Halla la ecuación normal y la ecuación general de la recta que tiene a normal y pasa por el origen de coordenadas.

como vector

 Ejercicio 14: Calcula las pendientes en las siguientes rectas: a) b) Recta que pasa por los puntos c) Recta cuyo vector normal es d)  Ejercicio 15: Calcula la ecuación vectorial, las ecuaciones paramétricas, la ecuación general, la ecuación explícita y la ecuación canónica de la recta r que pasa por el punto y es paralela a la recta de ecuación  Ejercicio 16: Estudia las posiciones relativas de los siguientes pares de rectas: a) b) c)

d) e) f)

 Ejercicio 17: Calcula la ecuación de las siguientes rectas: a) Paralela a y que pasa por el punto . b) Paralela al eje de abscisas y que pasa por el punto . c) Paralela al eje de ordenadas y que pasa por el punto . d) Paralela a la bisectriz del primer cuadrante y que tiene ordenada en el origen igual a 5. e) Perpendicular a y que pasa por el punto . f) Perpendicular al eje de ordenadas y que pasa por el punto . g) Perpendicular al segmento con y y que pasa por .  Ejercicio 18: En cada caso, calcula el valor del parámetro k para que las rectas tengan la posición relativa indicada: a) Para que sean paralelas. b) Para que sean coincidentes. c) Para que sean paralelas.  Ejercicio 19: Halla para qué valor de b, la recta por los puntos y

es coincidente con la recta que pasa

 Ejercicio 20: Escribe, en una sola ecuación dependiente de un parámetro, todas las rectas perpendiculares a y elige, de entre ellas, la que pasa por .