VECTORES Un vector (Vector posición) en el plano es un par ordenado de números reales A(a, b). Se representa geométricamente por un segmento de recta dirigido, cuyo punto inicial es el origen del sistema cartesiano y cuyo punto final es el punto de coordenadas (a, b). Los números a y b se llaman componentes del vector. Los puntos se representan con letras mayúsculas A, B, C. Los vectores se representan de la forma 𝑨, 𝑩, 𝑪 o de la forma 𝒗, 𝒘

VECTORES

. es una terna ordenada de números Un vector (Vector posición) en el espacio reales A(a, b, c), Se representa geométricamente por un segmento de recta dirigido, cuyo punto inicial es el origen del sistema cartesiano y cuyo punto final es el punto de coordenadas (a, b, c). Los números a, b y c se llaman componentes o coordenadas del vector

Ubicación de puntos en el espacio Ubicar los puntos (2, -5, 3), (-2, 5, 4), (3, 3, -2)

VECTORES El vector 𝑨𝑩 que va desde el punto A = 𝑥1 , 𝑦1 , 𝑧1 , vector posiciòn 𝑶𝑨 , hasta el punto B = 𝑥2 , 𝑦2 , 𝑧2 , vector posicion 𝑶𝑩, se define de la forma: 𝑨𝑩 =𝑶𝑩 − 𝑶𝑨 = 𝑥2 , 𝑦2 , 𝑧2 − 𝑥1 , 𝑦1 , 𝑧1 = 𝑥2 − 𝑥1 , 𝑦2 − 𝑦1 , 𝑧2 − 𝑧1 = B - A Este vector puede representarse saliendo del origen hasta el punto de coordenadas 𝑥2 − 𝑥1 , 𝑦2 − 𝑦1 , 𝑧2 − 𝑧1 o puede representarse saliendo desde el punto A hasta el punto B, (traslación), como indica la figura.

CARACTERISTICAS DE LOS VECTORES La Longitud, norma o magnitud de un vector se halla usando el teorema de Pitágoras en el plano o el espacio. A =(a, b) entonces 𝑨 = 𝑎2 + 𝑏2

B = (a, b, c) entonces 𝑩 = 𝑎2 + 𝑏2 + 𝑐 2

La distancia entre dos puntos A(𝑥1 , 𝑦1 , 𝑧1 ) y B(𝑥2 , 𝑦2 , 𝑧2 ) o la magnitud del vector 𝑨𝑩 Que va desde el punto A hasta el punto B Viene dado por

Dirección de un vector La dirección de un vector viene dado por los ángulos que el vector forma con cada uno de los ejes. La dirección de un Vector en el plano 𝑨(a, b) viene dada por el ángulo que el 𝒃 vector forma con el eje x, y que se puede hallar con θx = 𝒕𝒂𝒏−𝟏 ( ) 𝒂

Como Cos 𝜃=

𝐴 = 𝑎2 + 𝑏 2 entonces otra forma de hallar el ángulo es con 𝑎 𝑎2 +𝑏2

o

sen 𝜃=

𝑏 𝑎2 +𝑏2

Vector Unitario Si 𝑨 es diferente de cero, entonces el vector unitario de magnitud 1 y que tiene la misma dirección del vector 𝑨 se define de la forma: 𝑨 𝑼𝑨 = 𝑨

Si 𝑨 = (a, b) entonces 𝑈𝐴 =

𝑎 𝑎2 +𝑏

, 2

𝑏 𝑎2 +𝑏2

= 𝑐𝑜𝑠𝜃, 𝑠𝑒𝑛𝜃

Donde 𝜃 es el ángulo que el vector forma con ele eje x (dirección del vector). Un vector 𝑨 se puede expresar como el producto de su magnitud 𝑨 por un vector unitario que tenga la dirección del vector 𝐴 es decir 𝑨 = 𝑨 𝑼𝑨

Todo vector del plano o del espacio se puede escribir usando vectores unitarios i, j, k que representan a los ejes cartesianos: Eje x: En el plano i = (1,0) En el espacio i = (1, 0, 0) Eje y: En el plano j = (0,1) En el espacio j = (0, 1, 0) Eje z: En el espacio k = (0, 0, 1)

Vectores unitarios i, j, k Un vector en el plano se puede escribir como A = (a, b) o A=ai+bj Un vector en el espacio se puede escribir como A = (a, b, c) o A = ai + bj + ck 𝑨 = 𝑨 𝑼𝑨 = 𝑨 (cos𝜃, sen𝜃) = 𝑨

(𝒄𝒐𝒔𝜃𝒊 + 𝒔𝒆𝒏𝜃𝒋) 𝒗,𝒖𝒏𝒊.𝒆𝒏 𝒍𝒂 𝒅𝒊𝒓𝒆𝒄𝒄𝒊𝒐𝒏 𝒅𝒆 𝑨

Igualdad de vectores Dos vectores son iguales si y sólo si son del mismo orden o tamaño y sus componentes correspondientes son iguales, es decir: 𝑥1 , 𝑦1 , = 𝑥2 , 𝑦2 ↔ 𝑥1 = 𝑥2 , 𝑦1 = 𝑦2 𝑥1 , 𝑦1 , 𝑧1 = 𝑥2 , 𝑦2 , 𝑧2

↔ 𝑥1 = 𝑥2 , 𝑦1 = 𝑦2 , 𝑧1 = 𝑧2

Multiplicación escalar - vector Para multiplicar un escalar k ∈ ℝ por un vector, A(a, b) o B(a, b ,c), cada componente del vector se multiplica por el escalar. kA = k(a, b) = (ka, kb) kB = k(a, b, c) = (ka, kb, kc)

Si k = 2 y A = (-2, , 3) kA = 2(-2, 3) = (-4, 6)

Si k = 3 y B = (2, 3, -5) kB = 3(2, 3, -5) = (6, 9, -15)

Multiplicación escalar - vector Geométricamente, el múltiplo escalar de un vector v y un escalar c es el vector que tiene |c| veces la longitud de v: • Si c es positivo, cv tiene la misma dirección que v. • Si c es negativo, cv tiene dirección (sentido) opuesta. Dos vectores son paralelos si son múltiplos escalares entre si, es decir, si uno se obtiene al multiplicar el otro por un escalar: A es paralelo B si se cumple que existe un numero real k tal que A = k B

Suma de vectores -Deben ser mismo orden o tamaño -La suma se realiza componente a componente

Suma de vectores Método grafico del polígono para Sumar varios vectores (Cabeza con Cola)

Sea A = (-2, 3, -1), 𝐁 = 3, 0, 4 , 𝑪 = (4, 2, 3) entonces A + 2B - C = (-2, 3, -1)+ 2 3, 0, 4 − (4, 2, 3) = (-2 + 6 - 4, 3 + 0 – 2, -1 + 8 – 3) = (0, 1, 4)

Resta de vectores A – B = A + (-B) Para realizar la resta gráficamente, seguido del vector A se dibuja el vector – B, el cual tiene sentido contrario al vector B, y el vector resultante es el vector que va desde el inicio del vector A hasta la flecha del vector –B.

Escriba aquí la ecuación.

Producto punto o escalar de vectores El producto punto o escalar de vectores es una operación entre vectores que genera un escalar (numero real). Sea A = (𝑎1 , 𝑎2 , 𝑎3 ) y B = (𝑏1 , 𝑏2 , 𝑏3 ) dos vectores. Se define el producto punto entre A y B, el cual se representa por A ∙ B, de la siguiente forma A ∙ B = (𝒂𝟏 , 𝒂𝟐 , 𝒂𝟑 ) ∙ (𝒃𝟏 , 𝒃𝟐 , 𝒃𝟑 ) = 𝒂𝟏 𝒃𝟏 + 𝒂𝟐 𝒃𝟐 + 𝒂𝟑 𝒃𝟑 Sea A = (𝑎1 , 𝑎2 ) y B = (𝑏1 , 𝑏2 ) dos vectores. Se define el producto punto entre A y B de la siguiente forma A ∙ B = (𝒂𝟏 , 𝒂𝟐 ) ∙ (𝒃𝟏 , 𝒃𝟐 ) = 𝒂𝟏 𝒃𝟏 + 𝒂𝟐 𝒃𝟐 El producto punto entre un vector y el mismo nos da como resultado la magnitud del vector al cuadrado: A ∙ A = 𝑨 𝟐 Sea A = (𝑎1 , 𝑎2 , 𝑎3 ). A ∙ A = (𝑎1 , 𝑎2 , 𝑎3 ) ∙ (𝑎1 , 𝑎2 , 𝑎3 ) = 𝑎1 𝑎1 + 𝑎2 𝑎2 + 𝑎3 𝑎3 = 𝑎12 + 𝑎22 + 𝑎32

Angulo entre vectores

A partir de la ley de los cosenos se deduce una nueva formula para el producto punto de vectores: Si A y B son dos vectores entonces podemos definir el producto punto entre A y B de forma A ∙ B = 𝑨 𝑩 𝑐𝑜𝑠𝜃 Donde 𝜃 es el ángulo que forman ambos vectores Despejando 𝑐𝑜𝑠𝜃

obtenemos

cos 𝜃 =

𝑨∙𝑩 𝑨 𝑩

La cual nos da el ángulo que forman los vectores A y B

Vectores Perpendiculares Dos vectores son perpendiculares u ortogonales si forman un ángulo de 900 . 𝑨∙𝑩 Pero como el cos 900 = 0 y cos 𝜃 = entonces se concluye que: 𝑨 𝑩

Dos vectores son perpendiculares si su producto punto da cero, es decir, si se cumple que 𝑨 ∙ 𝑩 = 0

Rectas en el espacio Sea una recta L en el espacio que pasa por el punto P(𝑥1 , 𝑦1 , 𝑧1 ) y que es paralela al vector V = (a, b, c), el cual llamaremos el vector director de la recta, enonces la ecuación vectorial de la recta L viene dada por: (x, y, z) = (𝒙𝟏 , 𝒚𝟏 , 𝒛𝟏 ) + t (a, b, c) donde t es una variable real

o r(t) = (𝒙𝟏 , 𝒚𝟏 , 𝒛𝟏 ) + t (a, b, c)

Rectas en el espacio Si una recta L pasa por los puntos P(𝑎1 , 𝑏1 , 𝑐1 ) y Q(𝑎2 , 𝑏2 , 𝑐2 ) entonces: El vector director de la recta viene dada por el vector 𝑷𝑸 = ( 𝒂𝟐 − 𝒂𝟏 , 𝒃𝟐 − 𝒃𝟏 , 𝒄𝟐 − 𝒄𝟏 ) Tomando cualquiera de los dos puntos dados, la ecuación vectorial de la recta L viene dada por: (x, y, z) = (𝒂𝟏 , 𝒃𝟏 , 𝒄𝟏 ) + t ( 𝒂𝟐 − 𝒂𝟏 , 𝒃𝟐 − 𝒃𝟏 , 𝒄𝟐 − 𝒄𝟏 ) o r(t) = (𝒂𝟏 , 𝒃𝟏 , 𝒄𝟏 ) + t( 𝒂𝟐 − 𝒂𝟏 , 𝒃𝟐 − 𝒃𝟏 , 𝒄𝟐 − 𝒄𝟏 ) 𝑽𝒆𝒄𝒕𝒐𝒓 𝒅𝒊𝒓𝒆𝒄𝒕𝒐𝒓 𝒅𝒆 𝒍𝒂 𝒓𝒆𝒆𝒄𝒕𝒂

El vector 𝑷𝑸 es paralelo al Vector 𝒗, por lo tanto 𝑷𝑸 = t 𝒗 El Angulo que forman dos rectas viene dado el ángulo que forman sus vectores directores.

Rectas en el Plano Sea L una recta en el plan o que pasa por los puntos P(𝑎1 , 𝑏1 ) y Q(𝑎2 , 𝑏2 ) entonces: El vector director de la recta (es equivalente a la pendiente de la recta) viene dada por el vector 𝑷𝑸 = ( 𝑎2 − 𝑎1 , 𝑏2 − 𝑏1 ) Tomando cualquiera de los dos puntos dados, la ecuación vectorial de la recta L viene dada por: (x, y) = (𝑎1 , 𝑏1 ) + t ( 𝑎2 − 𝑎1 , 𝑏2 − 𝑏1 ) o r(t) = (𝑎1 , 𝑏1 ) + t ( 𝑎2 − 𝑎1 , 𝑏2 − 𝑏1 ). Teniendo en cuenta que la pendiente entre dos puntos del plano P(𝑎1 , 𝑏1 ) y ∆𝑦 𝑏 −𝑏 Q(𝑎2 , 𝑏2 ) viene dada por m = = 2 1 y que el vector director de la recta ∆𝑥

𝑎2 −𝑎1

viene dado por 𝑷𝑸 = ( 𝑎2 − 𝑎1 , 𝑏2 − 𝑏1 ), entonces m=

𝒃𝟐 −𝒃𝟏 𝒂𝟐 −𝒂𝟏

↔ 𝑷𝑸 = ( 𝒂𝟐 − 𝒂𝟏 , 𝒃𝟐 − 𝒃𝟏 )

AREA DE UN PARALELOGRAMO Si dos vectores 𝒖 𝑦 𝒗 determinan un paralelogramo, como se muestra en la figura, donde 𝜽 es el ángulo entre estos vectores, entonces, el área del paralelogramo viene dada por Área = 𝒖 𝒗 𝒔𝒆𝒏𝜽

El área del triangulo que determinan los mismos vectores viene dada por Área =

𝟏 𝟐

𝒖 𝒗 𝒔𝒆𝒏𝜽

Proyecciones

Producto cruz de vectores

Producto cruz de vectores

Planos

Distancia de un punto a un plano

Distancia de una recta a un plano