VIII. MOMENTOS ESTÁTICOS El momento estático es la suma de los productos de cada elemento de un cuerpo por su distancia a un eje. Hay momentos estáticos del peso, de la masa, del volumen de los cuerpos, y de áreas y de líneas. Se llaman momentos por su semejanza con los momentos de las fuerzas, que se obtienen mediante el producto de una fuerza por la distancia de su línea de acción a un cierto eje y tienden a lograr que el cuerpo gire. Pero los momento estáticos no producen ninguna tendencia al giro, por eso son estáticos. Se llaman también momentos de primer orden. Aunque se trata de un concepto meramente matemático, sin ninguna referencia física, nos servirán para obtener lugares reales, como el centro de gravedad y el centro de masa de un cuerpo, así como los centroides de volumen, de área y de línea.

Peso de un cuerpo La fuerza con que la Tierra atrae a un cuerpo se llama peso. Aunque la hemos venido considerando como una fuerza concentrada, realmente no lo es, el peso de un costal de manzanas, por ejemplo, es la suma de los pesos de cada manzana. Pensemos en un menhir o en una gran piedra cualquiera (1). Su peso es la suma de los pesos de cada una de sus partículas. Todos esos pesos constituyen un sistema de fuerzas paralelas. Para determinar su resultante emplearemos las dos ecuaciones siguientes:

de donde

que, para este caso particular, se convierten en

Esta última integral es el momento estático del peso con respecto al eje de las yes, que se suele simbolizar así:

Momentos estáticos

Y el momento estático del peso respecto al eje de las equis es

Puesto que los cuerpos tienen tres dimensiones, es más frecuente trabajar con los momentos estáticos del peso de un cuerpo, no respecto a ejes, sino respecto a planos; o sea

Como las coordenadas x, y y z pueden ser positivas, negativas o nulas, los momentos estáticos también pueden resultar positivos, negativos o nulos. Los momentos estáticos de un cuerpo, respecto a un plano de simetría son nulos, puesto que el momento de un lado del plano es igual al del otro lado, pero de sentido contrario. Dicho de otra manera, el centro de gravedad de un cuerpo se encuentra en el plano de simetría, si el cuerpo lo tiene. Y se hallará también en el eje o en el punto de simetría, si existe.

Centro de gravedad Con los cocientes de los anteriores momentos estáticos entre el peso del cuerpo se obtienen tres coordenadas de un punto contenido siempre es decir, independientemente de la colocación del cuerpo en la línea de acción del peso.

Ese punto se llama centro de gravedad: El centro de gravedad, es pues, la posición del peso de un cuerpo.

Centro de masa Así como hablamos de momentos estáticos del peso, podemos pensar en los momentos estáticos de la masa de un cuerpo:

109

Momentos estáticos

Y el punto cuyas coordenadas sean

será el centro de la masa del cuerpo. Fácilmente se puede observar que, como el peso es igual al producto de la masa por la aceleración de la gravedad, es decir, P = mg, también dP = g dm. Y si el valor de la gravedad es el mismo para todas las partículas del cuerpo, el centro de masa y el centro de gravedad coinciden. Si un cuerpo es homogéneo, es decir, que en cualquiera de sus partes la razón de la masa al volumen es igual, la posición de los centros de gravedad y de masa dependen sólo del volumen. El punto cuyas coordenadas son los cocientes de los momentos estáticos del volumen entre el volumen, (/ x dV/V, y dV/V, z dV/V) es el centroide del volumen y coincide con los dos centros mencionados.

Centroides de algunos volúmenes Puesto que los momentos estáticos con respecto a planos, en particular los de volumen, son la suma de los productos de cada parte por su distancia al plano, el de un cuerpo compuesto se obtiene sumando los momentos estáticos de cada parte. Si dividimos el resultado de esa suma entre el volumen de todo el cuerpo obtenemos la distancia del plano al centroide. Ilustraremos esto con el siguiente ejemplo. z

Ejemplo. El cuerpo que se muestra en la figura es homogéneo. Determine las coordenadas de su centro de gravedad.

2 cm

2 cm 20 cm

y

30 cm x

12 cm

Como en este caso, por la homogeneidad del cuerpo y por sus limitadas dimensiones tanto el centro de masa como el centro de gravedad y el centroide del volumen son el mismo punto, nos limitaremos a obtener este último. Observamos, en primer lugar, que hay un plano paralelo al yz que es de simetría, pues corta en dos partes iguales al cuerpo cuya ecuación es x = 15 . Por tanto, la abscisa x del centro de gravedad es 15 cm. Podemos descomponer el cuerpo en dos prismas rectangulares, uno de 12 x 30 x 2 cm, y otro de 2 x 18 por 30 cm. Como cada uno de ellos admite tres planos de simetría. Sabemos que sus respectivos centros de gravedad están en (15, 6, 1) y (15, 1,11) [cm]. Podríamos calcular los momentos estáticos respecto a los planos, sumarlos, y, al dividirlos entre el peso total, hallar la posición del centro de gravedad del peso. Pero para facilitar el trabajo haremos la siguiente tabla.

110

Momentos estáticos

Parte 1 2 ∑

Vi 72 108 180

yi 6 1

zi 1 11

yiVi 432 108 540

ziVi 72 1188 1260

Como y = BVxz/V y z = BVxy/V, entonces y = 540/180 = 3, z = 1260/180 = 7. Por tanto, las coordenadas buscadas son G(15, 3, 7)[cm].

Centroide del cono Colocaremos un cono cuya base tiene un radio R y cuya altura es h con el vértice en el origen de un sistema de referencia y con su eje de figura coincidiendo con el eje de las cotas, como se muestra en la figura. z Descompondremos el cono en volúmenes cuyos centroide sepamos en donde se hallan, de modo que podamos calcular sus momentos estáticos con respeto al plano xy y, sumándolo, obtener el del cono. En realidad se trata de elegir un elemento diferencial del volumen que nos permita realizar esa suma. Un elemento diferencial idóneo es un cilindro cuya base sea paralela al plano horizontal y cuyo espesor sea infinitamente pequeño. El volumen de este elemento es dV = r2 dz. Y el volumen del cono será V = r2 dz = r2 dz. Es fácil establecer una relación entre r y z para poder integrar: por semejanza de triángulos, r/z = R/h, o sea, r = (R/h)z. El volumen es, por tanto, V = ( R2/h2) z2 dz. Los límites de la integral son 0 y h, por lo cual resulta V = R2/3.

R

h y x

z

r

dz z y

x

Su momento estático se calcula fácilmente, pues es dBVxy = z dV. Con las mismas sustituciones que empleamos para obtener el volumen, llegamos a BVxy = ( R2/h2) z3 dz. Y, puesto que lo límites son nuevamente 0 y h, BVxy = R2h2/4. Dividiendo este momento estático entre el volumen, encontramos la cota del centroide:

o sea, el centroide del volumen del cono se encuentra a un cuarto de su altura, desde la base.

111

Momentos estáticos

Centroide de un hemisferio Para hallar la posición del centroide de un hemisferio de radio R, se puede seguir un procedimiento muy similar al que utilizamos para la determinación de la ubicación del centride del cono. z El elemento diferencial que elegiremos es nuevamente un cilindro de radio r, paralelo al plano xy, a una distancia z de dicho plano: dV = r2 dz. Para poder integrar con respecto a la variable z, podemos recurrir al teorema de Pitágoras para establecer la relación R2 = r2 + z2; de donde r2 = R2 – z2. El lector podrá por su cuenta realizar las integrales correspondientes para llegar a encontrar que

R y x z r

dz z

R

x r R

z

y al dividir el momento estático entre el volumen, llegar a la posición buscada:

Centroides de algunas áreas Limitaremos la determinación de las posiciones de los centroides de superficies a las más usuales, que son el triángulo y el sector circular.

Centroide del triángulo Para hallar el lugar que ocupa el centroide del triángulo, o baricentro, como lo llamaban los antiguos, podemos recurrir a vario procedimientos, el más conocido es trazar las medianas del triángulo y determinar su unto de concurrencia. En realidad bastaría con dibujar dos medianas, es decir dos líneas que pasen por el centro de dos lados cualesquiera y por sus vértices opuestos: en la intersección se halla el centroide. No obstante, este dato resulta poco práctico en la resolución de problemas usuales de ingeniería. En el capítulo correspondiente a resultantes de fuerzas paralelas, dedicamos un apartado a las fuerzas distribuidas, y hallamos que la línea de acción de la resultante de un sistema de cargas representado mediante un triángulo pasa por un punto situado a la tercera parte de la altura a partir de la base. De modo que no necesitamos ninguna otra demostración para saber que el centroide de un triángulo tiene esa posición: 112

h

G h/3

Momentos estáticos

basta conocer dos de las alturas para determinar completamente las coordenadas de dicho punto

Centroide de un sector circular

y

Estudiaremos un sector circular de radio R comprendido en un ángulo 2 elegiremos un eje de las equis sobre su eje de simetría, de modo que su centroide se encuentre en él, es decir Y = 0. Como elemento diferencial tomaremos un sector circular de radio R, inclinado un ángulo y comprendido en un ángulo d , como se muestra en la figura.

x dϴ ϴ

G

ds

dA x

R

Asimilaremos tal sector a un triángulo cuya altura sea R y cuya base ds. Por tanto

Como tenemos que integrar con respecto a , tengamos en cuenta que, como todo ángulo se mide dividiendo el arco entre el radio, d = ds/R, o sea que ds = R d . Podemos escribir

e integrando desde – hasta es igual a la de abajo

o, mejor, desde 0 hasta 2 (pues el área arriba del eje de las equis

Calcularemos ahora el momento estático:

Como el momento del área sobre el eje de las equis es igual al del área bajo el eje

113

Momentos estáticos y

Dos vectores circulares de especial interés son el semicírculo y el cuadrante de círculo. Para el primero, es igual a /2 y su seno es 1; por tanto

R x R y

G x

Si el semicírculo se le quita el cuadrante inferior, la distancia del centroide del que queda al eje de las yes no cambia. Por tanto, las coordenadas del centroide de un cuadrante son: y G

x

x 6 cm

Ejemplo. Determine las coordenadas del centroide del área compuesta que se muestra en la figura.

18 cm y 12 cm

Descompondremos el área en tres superficies: un rectángulo de 18x6 cm, un triángulo de 18 cm de altura por 6 de base, y un cuadrante de círculo de 6 cm de radio

Parte

Ai

xi

yi

xiAi

yiAi

108

3

9

324

972

54

8

6

432

324

-28.3

2.55

15.45

-72

-437

684

859

133.7

114

Momentos estáticos

Lo que hemos dicho acerca de los momentos estáticos con respecto a los ejes cartesianos, se puede extrapolar sin ninguna dificultad a referirlos a los planos cartesianos. De forma que z

Ejemplo. Diga cuáles son las tres coordenadas del área compuesta que se representa en la figura.

12´´ y 12´´ x

Para determinar esas coordenadas, utilizaremos los momentos estáticos del área, descompuesto en partes, respecto a los planos cartesianos Parte

Ai

xi

yi

zi

xiAi

yiAi

ziAi

72

4

0

4

288

0

288

144

6

6

0

864

864

0

144

0

6

6

0

864

864

-113.1

0

6.91

6.91

0

-781

-781

1152

947

371

246.9

115

Momentos estáticos

Con lo que hemos estudiado en este capítulo, podemos también determinar los centros de gravedad y de masa de cuerpos no homogéneos, como el que se presenta en el siguiente ejemplo. y 30 mm

Ejemplo. La figura representa la sección transversal de una barra de 50 cm de largo, fabricada con aluminio (1) y acero (2) cuyos pesos específicos son 520 y 780 g/cm2, respectivamente. Determine la posición del centro de gravedad de la barra.

30 mm (1) 60 mm

(2)

30 mm

x

20 mm 20 mm

Como el plano paralelo al xy que pasa a 25 cm del origen es plano de simetría, .

y

Para hallar las otras dos coordenadas, emplearemos los momentos estáticos de área, dándoles cierto peso. Descompondremos en tres partes: un área semielíptica de aluminio, una rectangular negativa de aluminio, más otra rectangular de acero.

x 50 cm

z

Aunque podríamos recurrir a las tablas de los textos para conocer la posición del centroide de un área semielíptica, la buscaremos mediante integración. *Además, el plano xy también es de simetría; o sea que x=0. y

dA

De la ecuación de la elipse

60

x

x

dy y

30

Y el momento estático será

116

30

x

Momentos estáticos

Entonces Parte

Ai

iAi

i

yi

yi iAi

2827

0.520

1470

25.47

37440

-1200

0.520

-642

15

-9630

1200

780

936

15

14040

∑

1764

41850

Por lo tanto, las coordenadas del centro de gravedad son

Teorema de Pappus-Guldinus Una aplicación interesante y práctica de los momentos estáticos se presenta con el teorema de Papo, un griego del siglo tercero de nuestra era, que formalizó Guldin en el s. XVI. Como este último latinizó ambos nombre, los teoremas siguen conociéndose como de Pappus-Guldinus (2). Así como el volumen de un cilindro de un prima, o de cualquier cuerpo de sección transversal constante, puede obtenerse multiplicando el área de la base por la longitud del cuerpo, el teorema de Pappus-Guldinus demuestra que el volumen de un cuerpo engendrado al hacer girar una superficie alrededor de un eje se puede calcular mediante el producto del área generatriz multiplicada por la longitud que recorre su centroide. Tomemos una superficie cualquiera de tamaño A, cuyo centroide es el punto G, como se muestra en la figura. Escogeremos un área diferencial separada una distancia y del eje de las equis. Al girar dicha superficie alrededor del eje equis, el área diferencial dA generará un volumen igual a dicha área multiplicada por la longitud que recorre: dV = l dA, pero tal longitud en 2 y. El volumen del cuerpo engendrado lo podemos obtener integrando:

G

dA y

en donde la última integral es el momento estático del área generatriz con respecto al eje de las equis. Por tanto

117

Momentos estáticos

pero

es la longitud que recorre el centroide del área al girar una revolución. Por tanto, QED

El teorema se puede expresar como sigue: el volumen de un sólido de revolución es igual al producto del área generatriz por la distancia que recorre su centroide. y

R

Ejemplo. Encuentre la fórmula del volumen del cono, empleando el teorema de Pappus- Guldinus.

h G x R/3

1´´ 1´´

Ejemplo. La figura representa la sección transversal de un anillo de 4 in de diámetro. Calcule su volumen.

2´´ 2´´ 1´´

2 x

118

Momentos estáticos

Corte A´A

Ejemplo. Se desea calcular el volumen de concreto que se necesita para la construcción de la cortina de la presa cuyas planta y sección transversal se muestran en las figuras. ¿Cuál es ese volumen?

70 m C

80 m

60° A´

A 80 m

200 m

Investigaremos la posición del centroide de la sección transversal. Calcularemos solo la abscisa, pues nos interesa su distancia al centro C. Parte 70

O

x

80 m

∑

Ai

xi

xiAi

6400

40

256000

-3848

29.7

-114333

2552

141667

El radio de la trayectoria del centroide es

y la longitud que recorre es la sexta parte de la circunferencia

NOTAS DEL CAPÍTULO VIII (1) (2) En realidad son dos los teoremas que llevan este nombre. El primero, que no se estudiará aquí, desmuestra que el árez de una superficie de revolución es igual al producto de la longitud de la línea generatriz por la distancia que recorre su centroide. 119