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REPASO GENERAL RECTAS PARALELAS En el diagrama, j ∞ k. Halla el valor de x. (Repaso de 3.3 para 6.2)

54.

j

55.

56. x


x


j

j 2x
k

k

120


57.

j

58.

(20x  2)
(9x  4)


k

k

x


63


59. j

x


j

25x


k

k 11x


x


GEOMETRÍA DE COORDENADAS Te dan los puntos medios de los lados de un triángulo. Halla las coordenadas de los vértices del triángulo. (Repaso de 5.4) 60. L(º3, 7), M(º5, 1), N(º8, 8)

61. L(º4, º1), M(3, 6), N(º2, º8)

62. L(2, 4), M(º1, 2), N(0, 7)

63. L(º1, 3), M(6, 7), N(3, º5)

64. xy USAR ÁLGEBRA Usa la fórmula de la distancia para hallar las

longitudes de las diagonales de un polígono con los vértices A(0, 3), B(3, 3), C(4, 1), D(0, º1) y E(º2, 1). (Repaso de 1.3)

6.2

Propiedades de los paralelogramos

PRÁCTICA GUIADA ✓ Conceptos ✓

Vocabulario

1. Escribe una definición de paralelogramo. Decide si la figura es un paralelogramo. Si no lo es, explica por qué no. 2.

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Geometry Exercises in Spanish

3.

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Destrezas

✓

IDENTIFICAR PARTES CONGRUENTES Usa el diagrama del paralelogramo JKLM de la derecha. Completa el enunciado y da una razón para tu respuesta. Æ

Æ

K

4. JK £






?

5. MN £






?

6. ™MLK £






?

7. ™JKL £






?

Æ

L N

Æ

8. JN £






?

9. KL £






?

10. ™MNL £






?

11. ™MKL £






?

J M

Halla la medida en el paralelogramo LMNQ. Explica tu razonamiento. 12. LM

13. LP

14. LQ

15. QP

16. m™LMN

17. m™NQL

18. m™MNQ

19. m™LMQ

M

L 8.2 100
q

P

8

7

29
13

N

PRÁCTICA Y APLICACIONES AYUDA PARA EL ESTUDIANTE

Práctica adicional de aprendizaje se halla en la pág. 813.

HALLAR MEDIDAS Halla la medida en el paralelogramo ABCD. Explica tu razonamiento. 20. DE

21. BA

C

B

22. BC

23. m™CDA

24. m™ABC

25. m™BCD

10

11

E

120
A

D

12

xy USAR ÁLGEBRA Halla el valor de las variables en el paralelogramo.

26.

27. a


14 y

28.

3.5

10

29.

s 101


30.

6 p

70


31.

k4

5 q 3

r

6

x

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b


2m


8

m

11

n


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Chapter 6

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xy USAR ÁLGEBRA Halla el valor de las variables en el paralelogramo.

32.

33.

9

2u  2

2x  4

8

6

c


d


38.

4r
(3t  15)


(2t  10)


3s


DEMOSTRAR EL TEOREMA 6.3 Copia y completa la prueba del teorema 6.3: Si un cuadrilátero es un paralelogramo, entonces sus ángulos opuestos son congruentes. A

B

DEMOSTRAR 䉴 ™A £ ™C,

AYUDA CON LA TAREA

Example 1: Example 2: Example 3: Example 4: Example 5: Example 6:

37.

g 5f  17

(b  10)


DATOS 䉴 ABCD es un ⁄.

AYUDA PARA EL ESTUDIANTE

4z  5 2f  5

36. f2

(b  10)


w3

4w

5u  10 v 3

3y

35.

2z  1

34.

™B £ ™D

Exs. 20–22 Exs. 23–25 Exs. 26–37 Exs. 55–58 Exs. 38–44 Exs. 45–54

D

C

Prueba en forma de párrafo Los lados opuestos de un paralelogramo son a.



y





b.



. Por la propiedad reflexiva congruentes, de manera que





c.



. ¤ABD £ ¤CDB por el postulado de la de la congruencia,





d.



. Dado que las partes





e.



de triángulos congruencia





congruentes son congruentes, ™A £ ™C. f.



y usa el mismo Para demostrar que ™B £ ™D, dibuja





razonamiento.

39.

DEMOSTRAR EL TEOREMA 6.4 Copia y completa la prueba de dos columnas del teorema 6.4: Si un cuadrilátero es un paralelogramo, entonces sus ángulos consecutivos son suplementarios. J K DATOS 䉴 JKLM es un ⁄. DEMOSTRAR 䉴 ™J y ™K son suplementarios.

Enunciados

M

L

Razones

1.



?





2. m™J = m™L, m™K = m™M

2.



?







3. m™J + m™L + m™K + m™M =


?





3. La suma de las medidas

4. m™J + m™J + m™K + m™K = 360°

de los √ internos de un cuadrilátero es 360°. 4.



?







5. 2(


?



+


?



) = 360°

5. Propiedad distributiva

6. m™J + m™K = 180°

6. Propiedad



?





de la

7. ™J y ™K son suplementarios.

igualdad 7.



?







1. Datos

Puedes usar el mismo razonamiento para demostrar que cualquier otro par de ángulos consecutivos en el ⁄JKLM son suplementarios.

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Geometry Exercises in Spanish

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DESARROLLAR UNA PRUEBA DE COORDENADAS Copia y completa la prueba de coordenadas del teorema 6.5. DATOS 䉴 PORS es un ⁄. Æ

y

S(?, ?)

P(a, b)

Æ

DEMOSTRAR 䉴 PR y OS se bisecan uno a otro.

Plan para la prueba Halla las coordenadas de los puntos medios de las diagonales del ⁄PORS y demuestra que son las mismas. AYUDA PARA EL ESTUDIANTE INT

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NE ER T

x

Æ

OR tiene una longitud de c unidades. ¿Cuáles son las coordenadas del punto R?

AYUDA CON LA TAREA

Visita nuestro sitio Web www.mcdougallittell.com para ayuda con la prueba de coordenadas en los ejercicios 40 a 44.

R(c, ?)

O(0, 0)

40. El punto R está situado sobre el eje de x y

Æ

Æ

41. La longitud de PS es también de c unidades y PS es horizontal. ¿Cuáles son

las coordenadas del punto S? Æ

42. ¿Cuáles son las coordenadas del punto medio de PR? Æ

43. ¿Cuáles son las coordenadas del punto medio de OS? 44.

Escribir

Æ

Æ

¿Cómo sabes que PR y OS se bisecan uno a otro?

HACER PASTELES En los ejercicios 45 y 46, usa la siguiente información.

En una receta para baklava, el pastel debe cortarse en triángulos que formen paralelogramos congruentes, como se muestra. Escribe una prueba en forma de párrafo para demostrar el enunciado. 45. ™3 es suplementario de ™6. 46. ™4 es suplementario de ™5. BALAUSTRES DE ESCALERA En los ejercicios 47 a 50, usa la siguiente información.

6 2

En el diagrama de la derecha, la pendiente del pasamano es igual a la pendiente de las escaleras. Los balaustres (postes verticales) sostienen el pasamano.

5 1

47. ¿Qué ángulo en el paralelogramo blanco es

congruente con ™1?

4

8

48. ¿Qué ángulos en el paralelogramo negro son

suplementarios de ™6?

3

7

49. ¿Qué postulado puede usarse para demostrar que

™1 £ ™5? 50.

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Escribir

¿Es el paralelogramo blanco congruente con el paralelogramo negro? Explica tu razonamiento.

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Chapter 6

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ASCENSOR DE TIJERAS Los fotógrafos pueden usar ascensores de tijeras para fotos panorámicas, como se muestra a la izquierda. Las vigas que se cruzan del ascensor forman paralelogramos que se mueven juntos para subir y bajar la plataforma. En los ejercicios 51 a 54, usa el diagrama del paralelogramo ABDC de la derecha. 51. ¿Qué es m™B cuando m™A = 120°? 52. Asume que disminuyes m™A. ¿Qué pasa

con m™B? D

53. Asume que disminuyes m™A. ¿Qué pasa

con AD? B

54. Asume que disminuyes m™A. ¿Qué pasa

C

con la altura total del ascensor de tijeras? A

PRUEBA DE DOS COLUMNAS Escribe una prueba de dos columnas. 55. DATOS 䉴 ABCD y CEFD son ⁄s. Æ

56. DATOS 䉴 PQRS y TUVS son ⁄s.

Æ

DEMOSTRAR 䉴 AB £ FE B

DEMOSTRAR 䉴 ™1 £ ™3 q

C

R 1 U

A

D

E

V

3 2

P

F

57. DATOS 䉴 WXYZ es un ⁄.

58. DATOS 䉴 ABCD, EBGF, HJKD son ⁄s.

DEMOSTRAR 䉴 ¤WMZ £ ¤YMX W

S

T

DEMOSTRAR 䉴 ™2 £ ™3

X

A

B

E 1 2

M

G

F J

H

3 4

Z

59.

Y

D

K

C

Escribir

En el diagrama, ABCG, CDEG y AGEF B son paralelogramos. Copia el diagrama y agrega tantas medidas de otros ángulos como puedas. Luego escribe cómo sabes que las medidas de los A 45
ángulos que agregas son correctas.

C

G

120
D

E

F

Preparación para la prueba

158

60. ELECCIÓN MÚLTIPLE En el ⁄KLMN, ¿cuál es el valor

L

de s? A ¡ D ¡

B ¡ E ¡

5 52

Geometry Exercises in Spanish

•

20 70

Chapter 6158

C ¡

M

(2s  30)


40 K

(3s  50)


N

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61. ELECCIÓN MÚLTIPLE En el ⁄ABCD, el punto E es la intersección de las

diagonales. ¿Cuál de las siguientes igualdades no es necesariamente verdadera? A ¡

★ Desafío

B ¡

AB = CD

AC = BD

C ¡

AE = CE

D ¡

E ¡

AD = BC

DE = BE

xy USAR ÁLGEBRA Asume que los puntos A(1, 2), B(3, 6) y C(6, 4) son tres

vértices de un paralelogramo. 62. Da las coordenadas de un punto que pueda ser el cuarto

y

vértice. Haz un bosquejo del paralelogramo en un plano de coordenadas.

B C

63. Explica cómo puedes confirmar que la figura que has

dibujado en el ejercicio 62 es un paralelogramo.

A

1

64. ¿Cuántos paralelogramos diferentes pueden formarse si OTRO DESAFÍO

www.mcdougallittell.com

x

1

usas A, B y C como vértices? Haz un bosquejo de los paralelogramos y rotula las coordenadas del cuarto vértice de cada uno.

REPASO GENERAL xy USAR ÁLGEBRA Usa la fórmula de la distancia para hallar AB. (Repaso de 1.3

para 6.3)

65. A(2, 1), B(6, 9)

66. A(º4, 2), B(2, º1)

67. A(º8, º4), B(º1, º3)

Æ xy USAR ÁLGEBRA Halla la pendiente de AB . (Repaso de 3.6 para 6.3)

68. A(2, 1), B(6, 9) 71.

69. A(º4, 2), B(2, º1)

70. A(º8, º4), B(º1, º3)

ESTACIONAR COCHES En una playa de estacionamiento, hay dos rayas pintadas de manera que sean perpendiculares a la recta que corre a lo largo del bordillo de la acera. ¿Son las rayas paralelas? Explica por qué sí o por qué no. (Repaso de 3.5)

Nombra los lados más cortos y los más largos del triángulo. Explica. (Repaso de 5.5)

72.

73. D

B

E

74. H 45


A

65
55


35
C

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J

60
F

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G

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