Analisis de placas y lamina

7.-

56

COMPARACIÓN DE MÉTODOS MEDIANTE EJEMPLOS NUMÉRICOS DE CÁLCULO DE PLACAS

A continuación se va ha hacer un análisis comparativo de los resultados obtenidos, para el cálculo de placas rectangulares, con los métodos anteriormente expuestos. La programación de los métodos se ha realizado con el programa MATLAB [P1], que permite una manejabilidad superior en cuanto al lenguaje que se emplea. Ello facilita la comprensión rápida de lo programado para el lector que quiera saber los detalles de la resolución. Los programas se encuentran en el CD adjunto. Se presenta un análisis comparativo entre los resultados obtenidos para placas rectangulares con unas determinadas condiciones de contorno. Para ello se va a analizar la estructura mediante el MEF convencional, usando la formulación de banda finita clásica de Reissner-Mindlin y la nueva formulación con elementos sin rotación. Para la discretización de la nueva formulación se han utilizado series de Fourier clásicas y también se han empleado B3-splines, solo en la dirección longitudinal. Todos estos resultados se pueden comparar con la solución que da M. Lévy para cada caso, resultado que se puede encontrar en el tratado de placas de Timoshenko [2]. Es uno de los métodos clasificados como exactos o semi-exactos, ya que solo se tienen soluciones exactas en determinadas situaciones de simetría de las condiciones que rigen la ecuación diferencial de la placa. 7.1.- PLACA RECTANGULAR SIMPLEMENTE APOYADA EN DOS BORDES Y DOS BORDES LIBRES La Figura 7.1 representa la placa rectangular simplemente apoyada en dos bordes y dos bordes libres. Esta se analiza con una carga aplicada uniformemente repartida en toda su longitud. Los datos que se utilizan en el análisis son los siguientes:

ν= 0.3; E=1.8e10; t= 0.05; q=-0.5; donde ν es el coeficiente de poisson, E el módulo de elasticidad, considerando material ortótropo, t el espesor y q el valor de la carga repartida.

Figura 7.1

Placa rectangular simplemente apoyada en dos extremos y dos extremos libres, con una carga uniforme aplicada q (fuente propia).

Analisis de placas y lamina

57

7.1.1.- Comparación de los desplazamientos verticales La dimensión de la placa es a=8 y b=12. Se presenta los resultados de la flecha en el centro de la placa para los distintos métodos en la Figura 7.2. Se tiene que añadir que se ha utilizado una nomenclatura simplificada para la identificación de los métodos. Entonces 3GDL BFC representa el método de la Banda Finita de Reissner– Mindlin con uso de funciones de discretización clásicas (series de Fourier), 1GDL CL representa el nuevo método de banda finita con el uso de elementos sin rotación y usando funciones de discretización clásicas para la dirección longitudinal. Al mismo tiempo 1GDL SP es el método con elementos sin rotación con el uso de B3-splines como funciones discretizadoras. Finalmente MEF representa el método de los elementos finitos convencional (calculado con el programa Calsef [P2]).

nodos en x

armónicos en y

7 21 41 51 71 nodos en x 7 21 41 71 91

7 10 20 25 30

flecha 3gdl BFC nodos en x -6,7599E-04 -6,7691E-04 -6,7700E-04 -6,7701E-04 -6,7702E-04

7 10 20 30 40

flecha 1gdl CL nodos -6,6964E-04 -6,7724E-04 -6,7699E-04 -6,7685E-04 -6,7687E-04

armónicos en y

puntos de control en y 7 21 41 71 91

7 10 20 30 40 GDL

49 231 861 2201

147 693 2583 6603

flecha 1gdl SP -6,6965E-04 -6,7721E-04 -6,7699E-04 -6,7685E-04 -6,7687E-04 MEF (elem.CLLL) -6,4366E-04 -6,6540E-04 -6,7408E-04 -6,7570E-04 solución M. Lévy -6,7691E-04

Figura 7.2 Flechas calculadas en el centro de la placa rectangular de la Figura 7.1 para los distintos métodos de calculo analizados (fuente propia). Se puede ver en la Figura 7.2 que número de puntos de control o armónicos, en la dirección y, son inferiores que los nodos en dirección transversal x. Esto se debe a que el resultado es mejor si se aumentan el número de bandas (nodos en x) que si se aumenta el número de puntos de control o de armónicos (dirección y). Esta práctica se ha llevado a cabo en todos los ejemplos que se presentan. Entonces se han tomado siempre más bandas que armónicos y puntos de control. La convergencia para los distintos métodos se visualiza en la Figura 7.3:

Analisis de placas y lamina

58

Flecha en el centro de la placa 0,0006 0

w (% error)

-0,0006 -0,0012 -0,0018

% error en la flecha 3 GDL BFC MEF 1 GDL CL 1 GDL SP

-0,0024 -0,003 -0,0036 20

50

100

500

1.000

5.000

10.000

GDL

Figura 7.3 Gráfico de convergencia para la flecha en el centro de la placa de la Figura 7.1 (fuente propia). Se destaca que el método de la banda finita da una convergencia más rápida que el MEF convencional, con una aproximación mejor usando pocos nodos y armónicos. El uso de esplines o funciones armónicas en este caso es indiferente, como se puede apreciar, las curvas de 1GDL CL y 1GDL SP están completamente superpuestas. El gráfico representa el % de error respecto la flecha exacta que nos da M. Lévy [2], se observa que tal error es muy pequeño. Ello expresa el buen comportamiento de los nuevos métodos con un solo grado de libertad para el cálculo de placas. 7.1.2.- Comparación de los esfuerzos El análisis de convergencia se ha hecho también para los esfuerzos obtenidos, el resultado para los momentos se puede visualizar en la Figura 7.4 y la Figura 7.5. El comportamiento de esta convergencia es algo que nos indicará si los métodos expuestos son realmente buenos y tienen la validez esperada. Las tablas de los resultados se presentan en el Anejo III. Los esfuerzos analizados serán el momento en el eje x y el momento en el eje y. Los cortantes, en el caso de los métodos con 1GDL, se tendrán de calcular aparte como se hace en la teoría de Kirchhoff, en cambio para el método de Reissner-Mindlin se tienen directamente del vector de esfuerzos resultante (4.32).

Analisis de placas y lamina

59

Convergencia de Mx en el centro de la placa -1,175 -1,2 Mx 3 GDL BFC MEF 1 GDL CL 1 GDL SP

-1,225

Mx

-1,25 -1,275 -1,3 -1,325 -1,35 20

50

100

500

1.000

5.000

10.000

GDL

Figura 7.4 Gráfico de convergencia para el valor de Mx en el centro de la placa de la Figura 7.1 (fuente propia).

Convergencia de My en el centro de la placa -8,25

-8,4

My 3 GDL BFC MEF 1 GDL CL 1 GDL SP

My

-8,55

-8,7

-8,85

-9 20

50

100

500

1.000

5.000

10.000

GDL

Figura 7.5 Gráfico de convergencia para el valor de Mx en el centro de la placa de la Figura 7.1 (fuente propia). Se observa que la convergencia en Mx tiende a -1.300 y en el caso de My a un valor por debajo de -8.850. En el caso de Mx, el método clásico de Reissner-Mindlin (3GDL BFC) tiene un comportamiento parecido al de MEF convencional. En cambio para My se asimila más al método con elementos sin rotación. Se puede ver que ahora la discretización con B3-splines y con funciones armónicas da resultados que no se superponen, aunque en los dos casos la velocidad de convergencia es muy buena. A continuación se van a dibujar las representaciones de las flechas y de los momentos para ver el comportamiento de los distintos métodos y discretizaciones en banda finita, para el MEF se puede encontrar en el Anejo III. Siendo n, el número de nodos y m el número de armónicos.

Analisis de placas y lamina

3 GDL BF C n=7,m=7

60

3 GDL BFC n=71,m=30

Figura 7.6 Representación de las flechas para el método 3GDL BFC (fuente propia).

Analisis de placas y lamina

Mx

61

3 GDL BFC (n=71, m=30)

My

Mxy

Figura 7.7 Representación de los momentos para el método 3GDL BFC (fuente propia)

Analisis de placas y lamina

1 GDL CL n=7,m=7

62

1 GDL CL n=71,m=30

Figura 7.8 Representación de las flechas para el método 1GDL CL (fuente propia).

Analisis de placas y lamina

Mx

63

1 GDL CL (n=71, m=30)

My

Mxy

Figura 7.9 Representación de los momentos para el método 1GDL CL (fuente propia)

Analisis de placas y lamina

1 GDL SP n=7,m=7

64

1 GDL SP n=71,m=30

Figura 7.10 Representación de las flechas para el método 1GDL SP (fuente propia).

Analisis de placas y lamina

Mx

65

1 GDL SP (n=71, m=30)

My

Mxy

Figura 7.11 Representación de los momentos para el método 1GDL SP (fuente propia)

Analisis de placas y lamina

66

7.2.- PLACA RECTANGULAR SIMPLEMENTE APOYADA EN LOS 4 BORDES La Figura 7.12 representa la placa rectangular simplemente apoyada en los 4 bordes. Esta se analiza con una carga aplicada uniformemente repartida en toda su longitud. Los datos que se utilizan en el análisis son los siguientes:

ν= 0.3; E=1.8e10; t= 0.05; q=-0.5; donde ν es el coeficiente de poisson, E el módulo de elasticidad, t el espesor y q el valor de la carga repartida.

Figura 7.12 Placa rectangular simplemente apoyada, con una carga uniforme q (fuente propia). 7.2.1.- Comparación de los desplazamientos verticales La dimensión de la placa es a=5 y b=5. Se presenta los resultados de la flecha en el centro de la placa para los distintos métodos en la Figura 7.26. Se ha utilizado la misma nomenclatura simplificada para la identificación de los métodos que en el apartado 7.1. nodos en x 7 21 41 51 71 nodos en x 7 21 41 71 81

armónicos en y flecha 3gdl BFC nodos en x nodos en y flecha 1gdl Splines 7 -6,1800E-06 9 7 -5,9541E-06 10 -6,1662E-06 21 10 -6,1259E-06 20 -6,1649E-06 41 20 -6,1523E-06 25 -6,1647E-06 71 30 -6,1583E-06 30 -6,1646E-06 91 40 -6,1595E-06 armónicos en y flecha 1gdl CL nodos GDL 7 -6,5897E-06 49 10 -6,1949E-06 231 20 -6,1697E-06 861 30 -6,1640E-06 2201 40 -6,1634E-06

147 693 2583 6603

MEF (elem. CLLL) -6,1070E-06 -6,1517E-06 -6,1613E-06 -6,1631E-06 solución M.Lévy -6,1577E-06

Figura 7.13 Flechas calculadas en el centro de la placa rectangular de la Figura 7.12 para los distintos métodos de cálculo analizados (fuente propia).

Analisis de placas y lamina

67

Flecha en el centro de la placa 4,5E-5

% error en la flecha 3 GDL BFC MEF 1 GDL CL 1 GDL SP

1,5E-5

0

-1,5E-5

-3E-5 20

50

100

500

1.000

5.000

10.000

GDL

Figura 7.14 Gráfico de convergencia de la flecha en el centro de una placa simplemente apoyada cargada de forma uniforme (fuente propia). En este caso la convergencia es muy similar para los 4 métodos. Se observa que el método de 3GDL BFC y el de 1GDL CL convergen con un error positivo, en cambio, el MEF y el de 1GDL SP lo hacen con un error negativo de forma similar. De forma general se puede decir que la convergencia es buena en los 4 casos. 7.2.2.- Comparación de los esfuerzos La convergencia de los esfuerzos es más exigente y su comportamiento se muestra a continuación:

Convergencia de Mx en el centro de la placa -0,57 -0,575 Mx 3 GDL BFC MEF 1 GDL CL 1 GDL SP M.Lévy

-0,58 -0,585

Mx

w (% error)

3E-5

-0,59 -0,595 -0,6 -0,605 -0,61 0

800

1.600

2.400

3.200

4.000

GDL

4.800

5.600

6.400

7.200

Figura 7.15 Gráfico de convergencia para el valor de Mx en el centro de la placa simplemente apoyada, bajo una carga uniforme (fuente propia).

Analisis de placas y lamina

68

Convergencia de My en el centro de la placa -0,576 -0,584 -0,592

My

-0,6 -0,608 My 3 GDL BFC MEF 1 GDL CL 1 GDL SP M.Lévy

-0,616 -0,624 -0,632 0

800

1.600

2.400

3.200

4.000

4.800

5.600

6.400

7.200

GDL

Figura 7.16 Gráfico de convergencia para el valor de My en el centro de la placa simplemente apoyada, bajo una carga uniforme (fuente propia). En las Figuras 7.15 y 7.16 se grafican los momentos que se han obtenido en el cálculo y también la solución teórica que nos da M.Lévy [2]. En los dos casos Mx y My se observa que la convergencia es rápida, se puede ver que el MEF es el que más le cuesta a converger a la solución exacta que nos da del método de M. Lévy [2]. A continuación se van a dibujar las representaciones de las flechas y de los momentos para ver el comportamiento de los distintos métodos y discretizaciones utilizadas en banda finita, para el MEF se puede encontrar en el Anejo II. Se tiene que decir que los valores n y m que se ponen de referencia en las figuras que se presentan a continuación representan, el número de bandas y el número de armónicos ( o puntos de control), respectivamente.

Analisis de placas y lamina

3 GDL BFC n=7,m=7

69

3 GDL BFC n=71,m=30

Figura 7.17 Representación de las flechas para el método 3GDL BFC (fuente propia).

Analisis de placas y lamina

Mx

70

3 GDL BFC (n=71, m=30)

My

Mxy

Figura 7.18 Representación de los momentos para el método 3GDL BFC (fuente propia)

Analisis de placas y lamina

1 GDL CL n=7,m=7

71

1 GDL CL n=71,m=30

Figura 7.19 Representación de las flechas para el método 1GDL CL (fuente propia).

Analisis de placas y lamina

Mx

72

1 GDL CL (n=71, m=30)

My

Mxy

Figura 7.20 Representación de los momentos para el método 1GDL CL (fuente propia)

Analisis de placas y lamina

1 GDL SP n=7,m=7

73

1 GDL SP n=71,m=30

Figura 7.21 Representación de las flechas para el método 1GDL SP (fuente propia).

Analisis de placas y lamina

Mx

74

1 GDL SP (n=71, m=30)

My

Mxy

Figura 7.22 Representación de los momentos para el método 1GDL SP (fuente propia)

Analisis de placas y lamina

75

7.3.- PLACA SIMPLEMENTE APOYADA CON UNA CARGA PUNTUAL APLICADA EN SU CENTRO La Figura 7.23 representa la placa rectangular simplemente apoyada en los cuatro con una carga puntual aplicada en el centro. Los datos que se utilizan en el análisis son los siguientes: ν= 0.3; E=1.8e10; t= 0.05; P=-1000; donde ν es el coeficiente de poisson, E el módulo de elasticidad considerando material ortótropo, t el espesor y P el valor de la carga puntual.

Figura 7.23 Placa rectangular simplemente apoyada con una carga puntual P aplicada en su centro (fuente propia). 7.3.1.- Comparación de los desplazamientos verticales La dimensión de la placa es a=5 y b=5. Se presenta los resultados de la flecha en el centro de la placa para los distintos métodos en la Figura 7.41. Se utiliza la misma nomenclatura que en los apartados anteriores para la identificación de los métodos utilizados. nodos en x 7 21 41 51 71 nodos en x 7 21 41 71 81

armónicos en y 7 10 20 25 30 armónicos en y 7 10 20 30 40

flecha 3gdl BFC nodos en x -1,40E-03 -1,40E-03 -1,40E-03 -1,40E-03 -1,40E-03 flecha 1gdl CL nodos -2,00E-03 -1,50E-03 -1,40E-03 -1,40E-03 -1,40E-03

9 21 41 71 91

nodos en y flecha 1gdl SP 7 -1,80E-03 10 -1,50E-03 20 -1,40E-03 30 -1,40E-03 40 -1,40E-03 GDL

49 231 861 2201

147 693 2583 6603

MEF (elem. CLLL) -1,3988E-03 -1,4060E-03 -1,4090E-03 -1,4099E-03 solución referencia -1,4077E-03

Figura 7.24 Resultados de la flecha en el centro de la placa simplemente apoyada con una carga puntual aplicada en su centro (fuente propia).

Analisis de placas y lamina

76

Flecha en el centro de la placa 0,06

w (% error)

0,045

% error en la flecha 3 GDL BFC MEF 1 GDL CL 1 GDL SP

0,03

0,015

0

-0,015 20

50

100

500

1.000

5.000

10.000

GDL

Figura 7.25 Gráfico de convergencia de la flecha en el centro de una placa simplemente apoyada con una carga puntual aplicada (fuente propia). 7.3.2.- Comparación de los esfuerzos La convergencia de los esfuerzos se muestra a continuación:

Convergencia de Mx en el centro de la placa -150 -200

Mx 3 GDL BFC MEF 1 GDL CL 1 GDL SP

-250

Mx

-300 -350 -400 -450 -500 0

800

1.600

2.400

3.200

4.000

4.800

5.600

6.400

7.200

GDL

Figura 7.26 Gráfico de convergencia para el valor de Mx en el centro de la placa rectangular simplemente apoyada con una carga puntual aplicada en su centro (fuente propia).

Analisis de placas y lamina

77

Convergencia de My en el centro de la placa -150 -200 My 3 GDL BFC MEF 1 GDL CL 1 GDL SP

-250

My

-300 -350 -400 -450 -500 -550 0

800

1.600

2.400

3.200

4.000

4.800

5.600

6.400

7.200

GDL

Figura 7.27 Gráfico de convergencia para el valor de My en el centro de la placa rectangular simplemente apoyada con una carga puntual aplicada en su centro (fuente propia). En las Figuras 7.26 y 7.27 se grafica los momentos que se han obtenido en el cálculo En los dos casos Mx y My se observa un descenso que no llega a estabilizarse, pero en el caso de los métodos sin rotación los valores obtenidos están con diferencia por debajo de los otros dos métodos. El comportamiento no llega a un valor común para todos los métodos y va aumentando el momento negativo al aumentar los grados de libertad. Esto es justificable, debido a la naturaleza de la carga puntual, en su punto de aplicación los esfuerzos tienden a infinito, la existencia de una discontinuidad produce este efecto que se podrá ver reflejado en las Figuras 7.29 , 7.31 y 7.33. Aún así, los resultados que nos da el nuevo método de banda finita con un solo grado de libertad, para las funciones clásicas y los B3-splines, se consideran como buenos, ya que siguen el mismo comportamiento que el MEF. A continuación se van a dibujar las representaciones de las flechas y de los momentos para ver el comportamiento de los diferentes cálculos anteriores en banda finita, para el MEF se puede encontrar en el Anejo III : Los valores n y m que se ponen de referencia en las figuras que se presentan a continuación representan, el número de bandas y el número de armónicos ( o puntos de control), respectivamente.

Analisis de placas y lamina

3 GDL BF C n=7,m=7

78

3 GDL BFC n=71,m=30

Figura 7.28 Representación de las flechas para el método 3GDL BFC (fuente propia).

Analisis de placas y lamina

Mx

79

3 GDL BFC (n=71, m=30)

My

Mxy

Figura 7.29 Representación de los momentos para el método 3GDL BFC (fuente propia)

Analisis de placas y lamina

1 GDL CL n=7,m=7

80

1 GDL CL n=71,m=30

Figura 7.30 Representación de las flechas para el método 1GDL CL (fuente propia).

Analisis de placas y lamina

Mx

81

1 GDL CL (n=71, m=30)

My

Mxy

Figura 7.31 Representación de los momentos para el método 1GDL CL (fuente propia)

Analisis de placas y lamina

1 GDL SP n=7,m=7

82

1 GDL SP n=71,m=30

Figura 7.32 Representación de las flechas para el método 1GDL SP (fuente propia).

Analisis de placas y lamina

Mx

83

1 GDL SP (n=71, m=30)

My

Mxy

Figura 7.33 Representación de los momentos para el método 1GDL SP (fuente propia)

Analisis de placas y lamina

84

7.4.- PLACA SIMPLEMENTE APOYADA EN DOS BORDES Y EMPOTRADA EN LOS OTROS DOS La Figura 7.34 representa la placa rectangular simplemente apoyada en dos extremos y empotrada en los otros dos, bajo la acción de una carga uniformemente repartida. Los datos que se utilizan en el análisis son los siguientes: ν= 0.3; E=1.8e10; t= 0.05; q=-0,5; donde ν es el coeficiente de poisson, E el módulo de elasticidad, t el espesor y q el valor de la carga uniforme.

Figura 7.34 Placa rectangular simplemente apoyada en los extremos de dimensión a y empotrada en los extremos de dimensión b, bajo carga uniforme q (fuente propia). 7.4.1.- Comparación de los desplazamientos verticales La dimensión de la placa es a=10 y b=20. Se presentan los resultados de la flecha en el centro de la placa para los distintos métodos en la Figura 7.55. Se utiliza la misma nomenclatura que en los apartados anteriores para la identificación de los métodos utilizados. nodos en x 7 21 41 51 71 nodos en x 7 21 41 71 91

armónicos en y 7 10 20 25 30 armónicos en y 7 10 20 30 40

flecha 3gdl BFC nodos en x -5,1978E-05 -6,2644E-05 -6,3209E-05 -6,3273E-05 -6,3326E-05 flecha 1gdl CL nodos -8,0294E-05 -6,4910E-05 -6,3792E-05 -6,3515E-05 -6,3452E-05

9 21 41 71 91

nodos en y flecha 1gdl SP 7 -7,9668E-05 11 -6,6337E-05 21 -6,4131E-05 31 -6,3604E-05 41 -6,3508E-05 GDL

49 231 861 2201

147 693 2583 6603

MEF (elem. CLLL) -5,8339E-05 -6,3336E-05 -6,3362E-05 -6,3388E-05 solución M.Lévy -6,3093E-05

Figura 7.35 Resultados de la flecha en el centro de la placa rectangular simplemente apoyada en dos extremos y empotrada en los demás (fuente propia).

Analisis de placas y lamina

85

Flecha en el centro de la placa 0,002 0,0015

0,0005 0 -0,0005 % error en la flecha 3 GDL BFC MEF 1 GDL CL 1 GDL SP

-0,001 -0,0015 20

50

100

500

1.000

5.000

10.000

GDL

Figura 7.36 Gráfico de convergencia de la flecha en el centro de una placa rectangular simplemente apoyada en dos extremos y empotrada en los demás (fuente propia). 7.4.2.- Comparación de los esfuerzos La convergencia de los esfuerzos se muestra a continuación:

Convergencia de Mx en el centro de la placa -1,68 -1,76 Mx 3 GDL BFC MEF 1 GDL CL 1 GDL SP M.Lévy

-1,84 -1,92

Mx

w (% error)

0,001

-2 -2,08 -2,16 -2,24 0

800

1.600

2.400

3.200

4.000

4.800

5.600

6.400

7.200

GDL

Figura 7.37 Gráfico de convergencia para el valor de Mx en el centro de la placa de la Figura 7.54 (fuente propia).

Analisis de placas y lamina

86

Convergencia de My en el centro de la placa -0,52 -0,56 My 3 GDL BFC MEF 1 GDL CL 1 GDL SP M.Lévy

-0,6

My

-0,64 -0,68 -0,72 -0,76 -0,8 0

800

1.600

2.400

3.200

4.000

4.800

5.600

6.400

7.200

GDL

Figura 7.38 Gráfico de convergencia para el valor de My en el centro de la placa de la Figura 7.54 (fuente propia). En las Figuras 7.37 y 7.38 se grafica los momentos que se han obtenido en el cálculo y también la solución teórica que nos da M.Lévy [2]. En los dos casos Mx y My se observa que la convergencia es rápida en todos los métodos. Se reitera entonces el buen comportamiento y la validez de la aplicación de los elementos sin rotación en la formulación en banda finita. A continuación se van a dibujar las representaciones de las flechas y de los momentos para ver el comportamiento de los diferentes cálculos anteriores en banda finita, para el MEF se puede encontrar en el Anejo III. Los valores n y m que se ponen de referencia en las figuras que se presentan a continuación representan, el número de bandas y el número de armónicos (o puntos de control), respectivamente.

Analisis de placas y lamina

3 GDL BFC n=7,m=7

87

3 GDL BFC n=71,m=30

Figura 7.39 Representación de las flechas para el método 3 GDL BFC (fuente propia).

Analisis de placas y lamina

Mx

88

3 GDL BFC (n=71, m=30)

My

Mxy

Figura 7.40 Representación de los momentos para el método 3 GDL BFC (fuente propia)

Analisis de placas y lamina

1 GDL CL n=7,m=7

89

1 GDL CL n=71,m=30

Figura 7.41 Representación de las flechas para el método 1GDL CL (fuente propia).

Analisis de placas y lamina

Mx

90

1 GDL CL (n=71, m=30)

My

Mxy

Figura 7.41 Representación de los momentos para el método 1GDL CL (fuente propia).

Analisis de placas y lamina

1 GDL SP n=7,m=7

91

1 GDL SP n=71,m=30

Figura 7.43 Representación de las flechas para el método 1GDL SP (fuente propia).

Analisis de placas y lamina

Mx

92

1 GDL SP (n=71, m=30)

My

Mxy

Figura 7.44 Representación de los momentos para el método 1GDL SP (fuente propia).

Analisis de placas y lamina

93

7.5.- PLACA RECTANGULAR EMPOTRADA EN TODO SU CONTORNO La Figura 7.45 representa la placa rectangular empotrada en todo su contorno bajo la acción de una carga uniformemente repartida. Los datos que se utilizan en el análisis son los siguientes: ν= 0.3; E=1.8e10; t= 0.05; q=-0,5; donde ν es el coeficiente de poisson, E el módulo de elasticidad considerando material ortótropo, t el espesor y q el valor de la carga uniforme.

Figura 7.45 Placa rectangular empotrada en los 4 bordes, bajo carga uniforme q (fuente propia). 7.5.1.- Comparación de los desplazamientos verticales: La dimensión de la placa es a=12 y b=12. Se presenta los resultados de la flecha y los momentos, en el centro de la placa, para la formulación con elementos sin rotación y distretización con B3-splines (Figura 7.69). Estos resultados se comparan con los obtenidos con el MEF convencional y con la solución que nos da M.Lévy [2]. nodos en x

nodos en y

9 21 41 71 91 nodos

7 11 21 31 41

flecha 1gdl SP Mx 1gdl SP My 1gdl SP -7,2228E-05 -1,60410 -1,8102 -6,5778E-05 -1,64900 -1,6998 -6,4197E-05 -1,64800 -1,6624 -6,3836E-05 -1,64890 -1,6539 -6,3770E-05 -1,64890 -1,6520

147 693 2583 6603 147

MEF (elem.CLLL) Mx MEF My MEF -6,2393E-05 -1,62922 -1,62922 -6,3383E-05 -1,62931 -1,65862 -6,3617E-05 -1,64435 -1,65159 -6,3661E-05 -1,64695 -1,65044 -6,2393E-05 -1,62922 -1,62922

GDL 49 231 861 2201 49

solución M. Lévy:

-6,3402E-05

Figura 7.46 Resultados de la flecha en el centro de la empotrada en los 4 bordes (fuente propia).

Analisis de placas y lamina

94

Flecha en el centro de la placa 0,001

0,0008 % error en la flecha MEF 1 GDL SP

0,0004

0,0002

0

-0,0002 50

100

500

1.000

5.000

10.000

GDL

Figura 7.47 Gráfico de convergencia de la flecha en el centro de una placa rectangular empotrada en los 4 bordes (fuente propia). 7.5.2.- Comparación de los esfuerzos La convergencia de los esfuerzos se muestra a continuación:

Convergencia de Mx en el centro de la placa -1,6 -1,61 Mx MEF 1 GDL SP M.Lévy

-1,62 -1,63

Mx

w (% error)

0,0006

-1,64 -1,65 -1,66 -1,67 0

800

1.600

2.400

3.200

4.000

4.800

5.600

6.400

7.200

GDL

Figura 7.48 Gráfico de convergencia para el valor de Mx en el centro de la placa de la Figura 7.45 (fuente propia).

Analisis de placas y lamina

95

Convergencia de My en el centro de la placa -1,62 -1,65 -1,68

My

-1,71 -1,74 My MEF 1 GDL SP M. Lévy

-1,77 -1,8 -1,83 0

800

1.600

2.400

3.200

4.000

4.800

5.600

6.400

7.200

GDL

Figura 7.49 Gráfico de convergencia para el valor de My en el centro de la placa de la Figura 7.45 (fuente propia). Para la Figura 7.48 se observa que la convergencia se da en un valor que no corresponde al que nos da M.Lévy [2], pero que es realmente muy próximo. Además la nueva formulación converge mucho más rápidamente que el MEF. En la Figura 7.49 sucede también este desfase de la solución a que se converge frente a la solución de Lévy [2], pero aquí el MEF y la nueva formulación 1GDL SP convergen con una velocidad similar. A continuación se van a dibujar las representaciones de las flechas y de los momentos para ver el comportamiento de los diferentes métodos en banda finita anteriores, en el Anejo III se puede encontrar las representaciones para el MEF. Los valores de n y m representan el número de nodos y el número de armónicos o puntos de control, respectivamente. Tal y como se ha descrito ya en los apartados anteriores.

Analisis de placas y lamina

1 GDL SP n=7,m=7

96

1 GDL SP n=71,m=30

Figura 7.50 Representación de las flechas para el método 1GDL SP (fuente propia).

Analisis de placas y lamina

Mx

97

1 GDL SP (n=7, m=7)

My

Mxy

Figura 7.51 Representación de los momentos para el método 1GDL SP (fuente propia)

Analisis de placas y lamina

Mx

98

1 GDL CL (n=71, m=30)

My

Mxy

Figura 7.52 Representación de los momentos para el método 1GDL SP (fuente propia)