Nivelaci´ on de Matem´ atica MTHA

1

UNLP

Operaciones

1.

Conjuntos num´ ericos N = {1, 2, 3, ....}

N´ umeros naturales:

N´ umeros enteros negativos: N´ umeros enteros:

{..., −3 − 2, −1}

Z = {...., −2, −1, 0, 1, 2, 3, ....}

N´ umeros racionales: Q = {enteros y fracciones} Las fracciones son n´ umeros que se pueden escribir como cocientes m/n, donde 23 m, n son enteros y n no es igual a cero. Por ejemplo 34 , 12 , − 25 , 56 , − 10 , ... 22 N´ umeros reales: R = {racionales e irracionales} Los n´ u meros que no pueden expresarse como cociente de dos enteros, por ejemplo: √ √ 2, π, 3, ... se llaman n´ umeros irracionales. Podr´ ıamos representar a los n´ umeros irracionales mediante decimales infinitos, como √ 2 = 1, 414..., del mismo modo los racionales tendr´ıan la forma: 3=3,000..., 34 = 0, 7500..., 13 = 0, 3333.... Los n´ umeros reales se representan geom´etricamente como la colecci´on de todos lo puntos de una recta, eligiendo una unidad arbitraria. Aclaraci´on: La expresi´ on 1/0 no est´ a definida. En otras palabras, no es posible dividir por cero.

2.

Operaciones

2.1.

Propiedades de las potencias

1. Si a es un n´ umero real y n es un entero mayor que 1, entonces

an = a.a.a...a (n factores), a1 = a , a0 = 1 . 2. Si a es un n´ umero real distinto de 0 y n es un entero, entonces a−n =

1 an

3. Si a es un n´ umero real y m y n son enteros cualesquiera, am .an = am+n 4. Si a es un n´ umero real distinto de 0 y m y n son enteros cualesquiera,

am = am−n n a 5. Si a es un n´ umero real y m y n son enteros cualesquiera, (am )n = am.n 6. Si a y b son n´ umeros reales (b 6= 0) y m, n y p son enteros cualesquiera,

am bn

!p

=

am.p bn.p

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2.2.

2

UNLP

Propiedades de las ra´ıces

1. Para todo n´ umero real a, si k es un n´ umeronatural: √ k a, si a ≥ 0 a) ak = |a| si k es par. Donde |a| = −a, si a < 0 es el valor absoluto de a

√ k

b)

ak = a si k es impar.

2. Si a y b son n´ umeros reales y b es distinto de 0 y k es un n´ umero natural: s k

√ k a a √ = k b b

3. Para todo n´ umero real a no negativo y k es un n´ umero natural cualquiera: 1

a) a k =

√ k

a. √ k

b) Si m es cualquier entero: m

c) si m es natural: a k =

√ k

√ am = ( k a)m

am √ √ √ k a. k b = k a.b

4. Si a y b son n´ umeros reales no negativos y k es natural,

3.

Ejercicios En todos los casos no se debe usar calculadora.

1. Realizar las siguientes operaciones con n´ umeros racionales:  8 3 3   2 3 2 + 1 − · −   5 3 8 3 4 1 3 2 3 4 a. + b. − c. − · d. 5 2 e.     4 1 2 4 5 6 8 7 5 9 −1 ÷ −2 3 3 5 2. Multiplicar o dividir y simplificar a. 62 · 65 f.

74 76

g.

b. 8−3 · 84 45 4−6

h.

a4 a−5

c. b3 · b−8 i.

12h8 −4h−4

d. (3x5 )(5x−3 ) j.

e. (2−1 x4 y −6 )(8x−3 y 6 )

7k 8 .z −4 −4(k −4 )3 .z −5

k.

(2a7 .v 8 ).(5−1 a3 .v −3 ) (5a5 .v 3 ).(2−1 a8 .v −6 )

3. Calcular o simplificar s

s

q 49 81 a. − b. c. (−6b)2 144 √ √ 36 g. − 5 243 f. − 5 −243

√ 4

h. − 81

s

i.

3

27y 5 343x3

s

j.

4

y8 16a4 y 4

√ d. − 5 32

s

k.

e.

4z 6 w−3 9z −8 w−1

√ 7

c7

s

l.

3

3a6 u−1 81a3 u−3

Nivelaci´ on de Matem´ atica MTHA " 1/3

m. (2 · 2

):2

1/6

n.

4. Calcular ! !−1 1 1 1 2 a. + + 3 2 6 3 "

5 3 c. (5 − 2) 4 4 "

1 2

d.

!−1

!−1

1 4

−

3 5

3

UNLP

! 1 !− 1 #−2 2

3

!

6 6 1 3 2 : −1 + : − 30,10−1 7 21 2 7 14

b. #

5 16 −2 4 9

!1 2

!− 1 "

1 − 4

!−1 #

(2−2 + 2−1 )

2

3 4 7 28

!−1

#

−1

3 2 19 18 6 7 − − − 4 3 20 19 5 6 e. · · 4 3 18 17 4 3 − − − 5 4 19 18 5 4

5. Evaluar las expresiones a. 1 − (1 − (1 − (1 + 1))) = c.

√

5·

√

5−

√ √ 3 2· 34= −1

   

e. 

4.

1 1 1− (1 − 1/5)2

   

  5  7  1 3 b. − 1 − + −3− +5 + − −3− = 2 4 4 2 8 1 3 2 −3+ − 2 − 7 5 = d. 3 3 5 3 4 − −1 −4 + + 4 2 2 7

f. (10 · 2n+1 )3 /(2n+1 )3 =

=

Soluciones 17 20

b.

2. a. 67

b. 8

1. a.

h. a9

c. c.

1 b5

i. −3h12

76 315 d. 15x2 7 j. − k 20 z 4

e. 4x k.

f.

4v 8 25a3

1 49

3 c. 6|b| d. −2 e. c f. 3 4√ 3 7 3y y 2 |y| 2|z| 1 √ 3 h. −3 i. j. k. l. a u2 7x 4|a| 3|w| 3 s !1 3 √ 3 3 3 6 = m. 27/6 = 27 n. 5 5

3. a. −

7 6

11 24

4. a. 1 5. a. −1

b.

b. 1

d. −

c. 1

b. 17/2

c. 3

3 2

g. 411

g. −3

e. 1

d. 8/45

e. −9/16

´n Polinomios. Factorizacio

f. 1000

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5.

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4

Polinomios

5.1.

Definici´ on

Se llaman polinomios a las expresiones de la forma: P (x) = a0 + a1 x + a2 x2 + ... + an xn donde los a0 , a1 , ..., an son elementos, por ejemplo, del conjunto de los n´ umeros reales, llamados coeficientes, x es una indeterminada, y los exponentes de la indeterminada x son todos enteros no negativos. Si an 6= 0 diremos que el grado de P (x) es n. Llamaremos polinomio nulo al polinomio: 0(x) = 0 + 0x + 0x2 + ... + 0xn . El polinomio nulo no tiene grado. Dados dos polinomios P (x) y Q(x) no nulos, diremos que son iguales si y solo si los coeficientes de los t´erminos de igual grado son iguales. El polinomio opuesto de P (x) = a0 + a1 x + a2 x2 + ... + an xn es −P (x) = −a0 − a1 x − a2 x2 + ... − an xn

5.2. 5.2.1.

Operaciones con polinomios Suma

La suma de dos polinomios es otro polinomio que se obtiene agrupando los t´erminos del mismo grado y sumando sus coeficientes. Ejemplo: Si P (x) = 1 + x − 5x2 + 7x5 y Q(x) = 2 − x − 12x2 + 3x3 − x4 entonces: P (x) + Q(x) = 3 − 17x2 + 3x3 − x4 + 7x5 La diferencia entre P (x) y Q(x) es equivalente a sumar a P (x) el opuesto de Q(x). 5.2.2.

Producto

La multiplicaci´on de polinomios se define de modo tal que satisfaga la propiedad de la multiplicaci´on de potencias de igual base, para la indeterminada x, la conmutatividad de x con los n´ umeros reales y la propiedad distributiva de la multiplicaci´on respecto de la adici´on. Ejemplo: Si P (x) = 1 + x − 5x2 + 7x5 y Q(x) = 2 − x − 12x2 entonces: P (x) · Q(x) = (1 + x − 5x2 + 7x5 ) · (2 − x − 12x2 ) = = (2 − x − 12x2 ) + x(2 − x − 12x2 ) − 5x2 (2 − x − 12x2 ) + 7x5 (2 − x − 12x2 ) = 2 − x − 12x2 + 2x − x2 − 12x3 − 10x2 + 5x3 + 60x4 + 14x5 − 7x6 − 84x7 = 2 − x + 2x − 12x2 − x2 − 10x2 − 12x3 + 5x3 + 60x4 + 14x5 − 7x6 − 84x7 = 2 + x − 23x2 − 7x3 + 60x4 + 14x5 − 7x6 − 84x7 5.2.3.

Divisi´ on

Dados dos polinomios A(x) (dividendo) y B(x)( divisor) con B(x) 6= 0(x), es posible determinar Q(x) y R(x) tal que:

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5

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A(x) = B(x) · Q(x) + R(x) siendo el grado de R(x) menor que el grado de B(x) o bien R(x) = 0. Q(x) se llama polinomio cociente y R(x) resto. Si R(x) = 0 , entonces A(x) = B(x) · Q(x) y se dice que A(x) es divisible por B(x). Ejemplo: A(x) = 2x3 − x + 1 y B(x) = x2 − x + 1 −

2x3 + 0x2 − x + 1 2x3 − 2x2 + 2x −

x2 − x + 1 2x + 2

2x2 − 3x + 1 2x2 − 2x + 2 −x − 1

En este caso el dividendo es A(x) = 2x3 − x + 1; el divisor es B(x) = x2 − x + 1; el cociente es Q(x) = 2x + 2 y el resto es R(x) = −x − 1 Por lo tanto: 2x3 − x + 1 = (x2 − x + 1)(2x + 2) + (−x − 1) 5.2.4.

Regla de Ruffini

Es un procedimiento que permite hallar el cociente y el resto en el caso en que los divisores son polinomios de la forma x − a. Sean A(x) = 2x3 − 4x2 + 5 y B(x) = x + 2 Coeficientes del dividendo

2

Opuesto del t´ermino de grado cero del divisor

-2 2

-4

0

5

-4

16

-32

-8

16

-27

Se baja el primer coeficiente. Los restantes se obtienen multiplicando el anterior por el n´ umero que se escribe en el a´ngulo izquierdo y se coloca a continuaci´on en la segunda fila, luego se suman primera y segunda fila. El n´ umero recuadrado es el resto. El cociente es 2x2 − 8x + 16. 5.2.5.

Valor num´ erico

Si a es un n´ umero real cualquiera, se llama valor num´ erico P (a) de un polinomio P (x) al n´ umero que se obtiene sustituyendo el valor a en lugar de x y efectuando los c´alculos. Ejemplo: Si P (x) = 2x2 − 3x + 6

P (−2) = 2(−2)2 − 3(−2) + 6 = 20

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5.2.6.

6

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Ra´ız o cero de un polinomio

El n´ umero a se llama ra´ız o cero del polinomio P (x) si P (a) = 0. Ejemplo: Los n´ umeros 0; −1 1 son ra´ıces de P (x) = x3 − x puesto que: P (0) = 03 − 0 = 0 P (−1) = (−1)3 − (−1) = 0 P (1) = 13 − 1 = 0 5.2.7.

Teorema del Resto

El resto de la divisi´on de un polinomio P (x), por otro de la forma x − a es igual a P (a). Ejemplo: El resto de dividir P (x) = x3 − x2 + x + 1 por x + 2 es P (−2) = (−2)3 − (−2)2 + (−2) + 1 = −13 Observaci´on: Si a es ra´ız de P (x), por el teorema del resto P (a) = 0 y P (x) = (x − a) · Q(x) Entonces se dice que P (x) es divisible por x − a o que P (x) es m´ ultiplo de x − a. Ejemplo: P (x) = x3 + 4x + 16 con a = −2 P (−2) = (−2)3 + 4(−2) + 16 = 0 Como −2 es ra´ız de P (x) dividiendo P (x) por x + 2 usando la Regla de Ruffini 1 0 4 16 Coeficientes del dividendo Opuesto del t´ermino de grado cero del divisor

-2 1

-2

4

-16

-2

8

0

Entonces x3 + 4x + 16 = (x + 2)(x2 − 2x + 8)

6. 6.1.

Factorizaci´ on de expresiones algebraicas Definici´ on

Llamaremos expresiones algebraicas a expresiones compuestas por n´ umeros y letras relacionadas entre si por las operaciones b´asicas. Ejemplo: 6 bt − b4 t3 + 5b + 2bt − 2 es una expresi´on algebraica.

6.2.

Factorizaci´ on

Factorizar una expresi´on algebraica consiste en escribirla como producto de expresiones algebraicas mas sencillas. Por ejemplo: la expresi´on 2x2 + 4ax se puede escribir como 2x(x + 4a).

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6.2.1.

7

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Factor Com´ un

En este caso se separa en t´erminos y se extraen los factores comunes que est´an en todos los t´erminos. Ejemplos 7x3 − 49x2 = 7x2 (x + 7) b3 a2 − 2b2 a3 + a4 b4 = b2 a2 (b − 2a + a2 b2 ) 6.2.2.

Trinomio Cuadrado Perfecto

Puesto que (a + b)2 = (a + b)(a + b) = a2 + 2ab + b2 2, podemos usar esta igualdad para factorear algunos trinomios de segundo grado. Ejemplo: P (x) = x2 + 10x + 25 = x2 + 2 · 5 · x + 52 = (x + 5)2 = (x + 5)(x + 5) 6.2.3.

Cuatrinomio Cubo Perfecto

Puesto que (a + b)3 = (a + b)2 (a + b) = a3 + 3ab2 + 3a2 b + b3 , podemos usar esta igualdad para factorear algunos cuatrinomios de tercer grado: Ejemplo: Q(t) = t3 + 6t2 + 12t + 8 = t3 + 3 · 2 · t2 + 3 · 22 · t + 23 = (t + 2)3 6.2.4.

Diferencia de cuadrados

Puesto que (a + b).(a − b) = a2 − b2 Ejemplo: b2 − 9 = (b + 3) · (b − 3) x4 − 16a4 = (x2 − 4a2 )(x2 + 4a2 ) = (x − 2a)(x + 2a)(x2 + 4a2 )

7.

Ejercicios

1. Dados los siguientes polinomios: P1 = x − 3 P4 = −3x2 + 2 P7 = x3 + 2x2

P3 = x2 + 2x

P2 = x + 4 P5 = x 3 + 2

P 6 = x4 − 4

P8 = 3x4 + 2x3 − 5x − 1

P9 = x5 − 7x3 + 5x − 6 Calcular: a) P3 + P4 b) P1 · P2 c) P8 /P7

P 8 + P9 P7 · P3 P9 /P5

P9 − P8 P5 · P 6 P8 /P1

P7 − P 4 P3 · P8 . P6 /P3

d) Dividir utilizando la regla de Ruffini: P9 /P2 P9 /P1 P6 /P1 P4 /P2 2. Calcular, usando el teorema del resto, el resto de las divisiones del ejercicio anterior.

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8

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3. Factorear teniendo en cuenta que a es ra´ız de los polinomios: a) x3 + 27 3

d)27x − 1 3

b) x5 − 32

a = −3

2

e) z − 25

a = 1/3

2

g) x + 2x − 5x − 6

c) z 7 + 1

a=2

2

a = −1

f) t + t − 6

a=5

a = −3

a = −1

4. Extraer los factores comunes en las siguientes expresiones algebraicas: a) 2x2 + 4xy − 6x3

b) 6x2 y − 9x2 y 2 + 12xy

c) 12u5 a2 + 18u2 a3 − 24u3 a4

d) 2t2 + 100t3

e) x3 y 2 z 2 − x2 y 3 z 2 − xy 4 z 3 + z 4 y 3 5. Considerar distintos grupos dentro de una expresi´on algebraica dada, extraer los factores comunes en cada uno de ellos. Repetir la extracci´on de factores comunes, si es posible: a) x2 + 4x + xy + 4y

b) xy 2 − 2xy + yz − 2z

c) x4 − x3 + x2 + x2 y − xy + y

d) 2xy − yz + 2xu − uz

e) x3 y − x2 y − y − x3 + x2 + 1 6. Decidir cuales de los siguientes trinomios son cuadrados perfectos, de ser as´ı factorearlos: a) x2 + 2xy + y 2

b) x2 + 2x + b2

c) a2 + 8a + 16

d) z 2 + zy + y

e) 36 + 12y + y 2

f) x2 − 2xy + y 2

g) a2 − 2b + b2

h) d2 − 8d + 16

i) z 2 − 2zy + y 2

j) 36 − 12t + t2

7. Factorear los siguientes cuatrinomios cubos perfectos: b) x3 + 23 x2 + 34 x +

a) x3 − 6x2 + 12x − 8 d) x6 +

3 27

1 8

c) x9 − 3x6 + 3x3 − 1

+ x4 + 13 x2

8. Factorear utilizando diferencia de cuadrados a) x2 − 100

b) x2 −

1 36

c) 4x2 − 25

d) t4 − 4 e) h8 − 64

9. Factorear las siguientes expresiones combinando los casos anteriores : a) 8x2 + 16xy + 8y 2 c) d2 − 8d + 16 + d − 4 e) 36ac2 − 12ac3 + ac4 h) 3x4 − 9x3 + 9x2 − 3x

b) ha2 − 2hab + hb2 d) z 3 − 2z 2 y + zy 2 f) x5 − x

g) x5 − x3 + x2 − 1

i) x5 + x3 + x2 + 1

10. Factorear y simplificar las siguientes expresiones: 24x2 2b a) b) 2 3 12x 4b + b 2 xy − y 9 + 6x + x2 c) 2 d) x − y2 9 − x2

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9

11. Simplificar y resolver: 6x − 12 7x x − 1 x2 − 2x + 1 x2 − 4x + 4 · 3 b) · · a) 2x x − 6x2 + 12x − 8 x3 + x x + 5 x2 − 1 x+5 y+1 y2 − 1 x−6 · 2 d) 2 · 2 c) 2 x − 25 x − 6x y − 2y + 1 y + 2y + 1 2 y −4 y−3 x+1 x2 − 1 z 2 + 4z + 4 z2 − 4 e) 2 ÷ f) ÷ 2 g) ÷ y −9 y+3 7 − x x − 49 x zx − 2x 12. Resolver 1 2 1 1 − b) 2 + x+2 x−2 x +4 x+2   2 y 2 1 2 x −1 c) 2 + 2 d) ÷ y − 6y + 9 y − 9 x x+1 x   2 2 z −1 1 1 1 4 f) − e) + ÷ 2 z z+1 z y+2 y−2 y −4 a)

Ecuaciones lineales y sistemas.

8.

Ecuaciones

Una es una relaci´on de igualdad entre cantidades, algunas de ellas desconocidas. El origen de las ecuaciones debe verse en ciertos problemas surgidos tanto de una situaci´on de inter´es real como planteados para entretenimiento; ambos casos poseen remotos antecedentes hist´oricos. El af´an por resolver estos problemas, ya por necesidad, ya como diversi´on, llev´o paulatinamente a la idea fundamental: introducir cantidades desconocidas y someterlas a las leyes de la aritm´etica, considerando que son n´ umero a conocer. Ilustremos esta idea con un problema que data de principios del siglo XV II, y que dice as´ı: A un criado se le ha prometido la suma de 100 pesos mas una capa como sueldo anual. Al cabo de 7 meses el criado se va, y recibe como pago total la capa y 20 pesos. ¿Cual es el precio de la capa?. La cantidad desconocida es el valor de la capa; por comodidad designemos con c dicha cantidad; c es un n´ umero a conocer. c + 100 : es el sueldo mensual prometido, 12 7(c + 100) : es el sueldo por los 7 meses trabajados 12 c + 20 es lo pagado por esos 7 meses. Luego:

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10

7(c + 100) = c + 20 12 El problema ha quedado reducido a encontrar un n´ umero c que verifique la igualdad anterior. Observemos que, para obtener la , hemos operado con c como si fuera un n´ umero (por ejemplo: le sumamos 100 al resultado lo dividimos por 12, etc.). Vemos entonces que, originado en la soluci´on de problemas como el anterior, aparece el inter´es por conocer m´etodos que permitan resolver las ecuaciones. Se sabe por ejemplo que la resoluci´on de ecuaciones sencillas como la anterior, era conocida por culturas tan antiguas como la egipcia (aunque carec´ıan del simbolismo adecuado que actualmente utilizamos). Este estudio, llevado a cabo durante siglos, es lo que se ´ conoce con el nombre de Algebra.

8.1.

Resoluci´ on de ecuaciones

La soluci´ on de una es un n´ umero x0 tal que al reemplazar la inc´ognita por x0 en la se obtenga una identidad num´erica. El procedimiento b´asico para tratar una ecuaci´on est´a basado en la idea mencionada anteriormente: la inc´ognita es un n´ umero -actualmente desconocido- que se quiere identificar. Es posible entonces pensar que una ecuaci´on es una igualdad entre n´ umeros ; ser´an v´alidas, en consecuencia, las propiedades de dicha igualdad: Sumando (o restando) a ambos miembros de una igualdad un mismo n´ umero se obtiene otra igualdad. Multiplicando (o dividiendo) ambos miembros de una igualdad por un n´ umero (en el caso de dividir, no nulo) se obtiene otra igualdad. Usaremos estas reglas para transformar una en otra que tenga las mismas soluciones, pero cuya resoluci´on sea mas sencilla. Veamos un ejemplo: 3x + 1 = 2 − x Sumando x a ambos miembros obtenemos la : 4x + 1 = 2 que tiene las mismas soluciones que la anterior. Restando 1 de ambos miembros obtenemos: 4x = 1 y, finalmente, dividiendo por 4 ambos miembros: Por lo tanto es la soluci´on de la original. Lo que hemos hecho es transformar sucesivamente la con el fin de despejar la inc´ognita. Llamaremos ecuaciones equivalentes a aquellas que poseen las mismas soluciones. Por ejemplo, las sucesivas ecuaciones obtenidas en el ejemplo anterior son equivalentes. Las reglas b´asicas que permiten transformar una ecuaci´on en otra equivalente son las siguientes: Regla 1: Sumando o restando a ambos miembros de una una misma cantidad, se obtiene una equivalente. Regla 2: Multiplicando o dividiendo ambos miembros, de una por una misma cantidad no nula, se obtiene una equivalente.

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8.2.

UNLP

11

Ecuaciones de primer grado o lineales

Cierto tipo de ecuaciones se resuelven utilizando exclusivamente las dos reglas enunciadas mas arriba; son las llamadas ecuaciones lineales y tienen la forma: ax = b o una equivalente a ella. 8.2.1.

Soluciones de una lineal

Las lineales pueden tener soluci´ on u ´ nica, infinitas soluciones o no tener ninguna soluci´ on. Una lineal puede tener una soluci´ on u ´ nica, por ejemplo: −3x = 2(x − 1) + 4 −5x = 2 2 x = − es la soluci´on de la . 5 Una lineal puede tener infinitas soluciones, por ejemplo: 3x − 10 = 2(3x − 5) − 3x 3x − 10 = 6x − 10 − 3x 3x − 10 = 3x − 10 0 = 0 VERDADERO Cualquier n´ umero reemplazado en la inc´ognita la convierte en una identidad num´erica. Una lineal puede no tener solucion, por ejemplo: −3x − 8 = 2(x − 1) − 5x −3x − 8 = 2x − 2 − 5x −3x − 8 = −3x − 2 0 = 6 IMPOSIBLE No existe ning´ un n´ umero que reemplazado en la la convierta en una identidad num´erica. Luego, la no tiene soluci´ on:

9.

Sistemas de ecuaciones lineales

Un sistema de dos ecuaciones lineales con dos inc´ognitas x, y (las inc´ognitas aparecen elevadas a la primera potencia) tiene una forma general: (

ax + by = c dx + ey = f

donde a, b, c, d, f son n´ umeros reales.

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9.1.

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12

Soluci´ on del sistema

El par (x0 , y0 ) es soluci´on del sistema: si al reemplazar x por x0 e y por y0 ambas ecuaciones se transforman en identidades num´ericas. Un sistema lineal puede tener soluci´ on u ´ nica, infinitas soluciones o no tener ninguna soluci´ on. 9.1.1.

M´ etodo de sustituci´ on

Despejando de una ecuaci´on una de las inc´ognitas y reemplazando en la otra ecuaci´on la expresi´on obtenida. 9.1.2.

M´ etodo de igualaci´ on

Despejando la misma inc´ognita de las dos ecuaciones e igualando. Ejemplos: 1) Sistema con soluci´ on u ´ nica: (

2x1 + 3x2 = 12 4x1 − 3x2 = 6

Resolvemos por sustituci´on.

12 − 3x2 (∗) 2   12 − 3x2 Sustituyendo en la segunda ecuaci´on se tiene: 4 − 3x2 = 6 2 Luego 24 − 6x2 − 3x2 = 6 entonces x2 = 2 y con este valor en (∗) resulta x1 = 3. La soluci´on es (2, 3) .

De la primera ecuaci´on: x1 =

2) Sistema con infinitas soluciones: (

2x1 + 3x2 = 12 −4x1 − 6x2 = −24

Resolvemos por sustituci´on.

12 − 3x2 (∗) 2   12 − 3x2 Sustituyendo en la segunda ecuaci´on se tiene: −4 − 6x2 = −24 2 Luego −24 − 6x2 + 6x2 = −24 entonces 0 = 0 o mejor dicho cualquier valor de x2 satisface la ecuaci´on, tomando x2 = α (donde α es cualquier real) y sustituyendo 12 − 3α en (∗) resulta x1 = . 2   12 − 3α Las soluciones son , α para cualquier α que tomemos. 2 De la primera ecuaci´on: x1 =

3) Sistema sin soluci´ on: (

2x1 + 3x2 = 12 4x1 + 6x2 = 6

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13

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Intentemos resolver por igualaci´on. 12 − 3x2 De la primera ecuaci´on: x1 = 2 6 − 6x2 De la segunda ecuaci´on: x1 = 4 6 − 6x2 12 − 3x2 = Luego 2 4 entonces 48 − 12x2 = 12 − 12x2 evidentemente esto es una contradicci´on no existe ning´ un valor de x2 que satisfaga la igualdad. Concluimos que no existe ninguna soluci´on para el sistema.

10.

Ejercicios

1. Resolver las siguientes ecuaciones (si tienen soluci´on) y, en el caso que existan, verificar las soluciones obtenidas: x a) 10 − 2x = x − 1 b) 8x + x − 1 = −2x + 1 c) − x = −3x + 1 2 3 d) 3(x + 5) = − (−4x + 7) 4 f) x + 2 = −(3 − x) + 5

e)(2 − x)(3 − x) = (1 − x)(5 − x) g) 2(x − 2) − (3x + 1) −

2(x + 1) = 3(2 − x) 4

2. Se sabe que la : (2a − 1)(x + 1) + x = a, tiene por soluci´on x = −2. ¿Cu´al es el valor de a? 3. Una persona recibe un aumento de 7, 5 % en su salario, alcanzando un ingreso de 1290$ mensuales. ¿Cu´al era su salario antes del aumento? 4. En una oferta, un local de venta de art´ıculos deportivos redujo el precio de unas zapatillas en un 24 % hasta alcanzar un precio de 34, 20$. ¿Cu´al era el precio original? 5. Un negocio de venta de electrodom´esticos tiene en oferta 13 modelos de televisores. Estos se exhiben de izquierda a derecha en orden ascendente de precios. El precio de cada televisor difiere en 60$ del que lo precede. Por el precio del televisor de la extrema derecha un cliente puede comprar el segundo y sexto modelos. ¿Cu´al es el precio del televisor mas barato? 6. Resolver los siguientes sistemas y verificar la soluci´o(n obtenida: ( ( 3x + y = 5 3x − 2y = 3 x − 2y = −3 a) b) c) x+y = 3 3x + 2y = 1 −3x = 1 − 6y 7. Resolver los siguientes problemas: a) La suma de dos n´ umeros es 28 y su diferencia 6. Calcular dichos n´ umeros . (Rta: 17 y 11) b) Una botella y su corcho cuestan 4, 5$ y la botella 3, 9$ mas que el corcho. ¿Cu´anto cuesta la botella y cuanto el corcho? (Rta: 4, 2$ y 0, 3$)

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14

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c)Uno de los ´angulos de un tri´angulo mide 52◦ y la diferencia de los otros dos es 88◦ . ¿Cu´anto mide cada uno de esos ´angulos ? (Rta: 108◦ y 20◦ ) d) Calcular dos n´ umeros si la mitad del primero mas un tercio del segundo es 17; y un tercio del primero mas un medio del segundo es 18. (Rta: 18 y 24) e) En un corral hay entre pollos y cabritos 23 animales; si se cuentan 60 patas. ¿Cu´antos pollos y cu´antos cabritos hay? (Rta: 16 y 7) f) La diferencia de los ´angulos agudos en un tri´angulo rect´angulo es igual a 25◦ . ¿Cu´anto mide cada a´ngulo ? (Rta: 57◦ 300 y 32◦ 300 ) g) Colocando un capital al 8 % anual, en 7 meses, incluidos los intereses, se obtienen 628$. Calcular el capital primitivo y los intereses. h) Por un par de zapatos se paga el triple que por una corbata, gastando en total por los dos art´ıculos 60$. Calcular el costo de cada uno. (Rta: 15$ y 45$) i) Dividiendo el mayor de dos n´ umeros naturales por el menor se obtiene el cociente igual 3 y el resto igual a 1; si se divide el mayor por el menor aumentado en uno, el cociente es 2 y el resto 3. Calcular ambos n´ umeros . (Rta: 13 y 4) j) Se cambian 100$ en billetes de 1$ y 5$, recibiendo 24 billetes. ¿Cu´antos billetes de cada clase se obtienen?. (Rta: 5 y 19) k) Se quiere separar 77 gr de oro en dos partes, de tal manera que la mayor tenga 19, 5 gr mas que la menor. ¿Cu´antos gramos debe tener cada parte?

Conjuntos en la recta y el plano coordenado.

11. 11.1.

Conjuntos en la recta y el plano coordenado Coordenadas rectangulares en la recta

Trazamos una recta horizontal y un punto O, llamado origen. A la derecha del origen se ubican los n´ umeros positivos y a la izquierda los negativos. 

-

−3 −2 −1 O

11.2.

1

2

Coordenadas rectangulares en el plano

Trazamos dos rectas perpendiculares en el plano que llamaremos eje x y eje y; el punto de intersecci´on O se llama origen de coordenadas. El plano queda as´ı dividido en cuatro regiones que se llaman cuadrantes y que se numeran I, II, III, IV . Representamos los n´ umeros sobre cada eje tomando una misma unidad sobre cada uno. Por convenci´on, sobre el eje x colocamos los positivos a la derecha del cero y los negativos a la izquierda; sobre el eje y, colocamos los n´ umeros positivos arriba del 0 y los negativos debajo del 0. Coordenadas de un punto: A un punto P del plano le asociamos dos n´ umeros (ordenadamente) de la siguiente manera:

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- Trazamos una perpendicular al eje x; al punto Q le corresponde un n´ umero x en el eje x. - Trazamos una perpendicular al eje y; al punto R le corresponde un n´ umero y en el eje y. y 6

II



I

R

q P (x, y)

-

Q x

O III

IV ?

Decimos que P tiene coordenadas (x, y), la primera coordenada x se llama abscisa de P y la segunda se llama ordenada de P . Rec´ıprocamente, dado un par ordenado de n´ umeros (x, y) es evidente que hay un punto P del plano del cual son las coordenadas. Usualmente se identifica el punto P con sus coordenadas (x, y) y se escribe P (x, y). Ejemplo: El conjunto de puntos P (x, y) cuyas coordenadas verifican x > 2 e y ≥ −1, que se escribe: A = {(x, y) : x > 2 ; y ≥ −1} se representa cuadriculado en el gr´afico siguiente. y 6



2 O

-

x

−1 ?

11.3.

Rectas en el plano

Si consideramos los conjuntos de puntos en el plano: a) L1 = (x, y) : x = 2 su representaci´on gr´afica es una recta vertical y 6



2 O

-

x

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b) L2 = (x, y) : y = 3 se representa con una recta horizontal y 6

3



-

x

O

?

c) Si consideramos la recta L que pasa por los puntos P1 (a1 , b1 ) y P2 (a2 , b2 ). 6

b2 b1

  

P2  q   q 

  P1  

a1 4

Q2

 q 

P (x, y) Q

-

a2 4

Los tri´angulos P P1 Q y P2 P1 Q2 son semejantes y por lo tanto sus lados son proporcionales, es decir: x − a1 y − b1 = b2 − b1 a2 − a1 Operando llegamos a una ecuaci´on lineal de la forma Ax + By + C = 0 As´ı, L = {(x, y) : Ax + By + C = 0}. Con estos argumentos hemos mostrado que si L es una recta del plano: 1. Si L es vertical, tiene ecuaci´on x = c L = {(x, y) : x = c}. 2. Si L es horizontal, tiene ecuaci´on y = c; L = {(x, y) : y = c} 3. Si L no es ni horizontal ni vertical y pasa por los puntos P1 (a1 , b1 ) y P1 (a2 , b2 ), entonces tiene por ecuaci´on: y − b1 x − a1 = b2 − b1 a2 − a1 Teorema: El conjunto de puntos que verifica una ecuaci´on lineal: Ax + By + C = 0 (A 6= 0 ´o B 6= 0) es una recta del plano.

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11.3.1.

17

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Posici´ on relativa de dos rectas

Dos rectas @ L@y L0 del plano pueden ser: @ L0  6

@

 @ L @   @ @   @   @  @       L0   6     L                6

  

  

 

  

Transversales: si se cortan en un punto.

Paralelas: si no se cortan.

 

L = L0 Coincidentes: si L = L0

-

Puesto que cada recta tiene una ecuaci´on lineal: L : Ax + By = C L0 : A0 x + B 0 y = C 0 Los puntos de intersecci´on, si los hubiera, deben verificar ambas ecuaciones, es decir, el sistema lineal ( Ax + By = C A0 x + B 0 y = C 0 Decir que las rectas son transversales es lo mismo que decir que el sistema admite una soluci´ on u ´ nica. Decir que las rectas son paralelas es lo mismo que decir que el sistema no tiene ninguna soluci´ on. Decir que las rectas son coincidentes es lo mismo que decir que el sistema tiene infinitas soluciones.

12.

Ejercicios

1. Representar los siguientes conjuntos de la recta: A = {x : 2 < x ≤ 3, 5} D = {x : −1, 5 < x < 6}

B = {x : 2 ≤ x < 6} E = {x : x = 6}

C = {x : −2 ≤ x < 4} F = {x : x 6= 0}

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2. Representar en el plano los siguientes pares ordenados y decir a que cuadrante pertenecen: (2, −1)

(−2, 1)

(5/2, 3)

(1/2, −2)

(−3, −1/2)

3. Representar los siguientes conjuntos del plano: A = {(x, y) : x > −1}

B = {(x, y) : y ≤ 4}

C = {(x, y) : 2 ≤ x ≤ 3, 5 ∧ y > 0} E = {(x, y) : x = y}

D = {(x, y) : x.y < 0}

F = {(x, y) : x = y ∧ x > −1}

4. La posici´on de un m´ovil que tiene velocidad constante est´a representada por un polinomio de primer grado de la forma x = x0 + vt (donde x0 es la posici´on inicial, v es la velocidad y t el tiempo), tomando valores de t sobre el eje de las abscisas (horizontal) y los valores de x sobre el eje de ordenadas (vertical), representar gr´aficamente si: a) x0 = 0

v=3

b) x0 = 14

v = −2

c) x0 = 2

v=1

Recordar que el tiempo es una variable positiva. 5. Hallar la ecuaci´on de la recta que pasa por los puntos dados: a) (2, 3) (4, 5) d(−1, 5)

(−1, 34 )

b) (1, 31 ) ( 12 , − 31 ) e) ( 23 ; 31 ) (0, 0)

c) (5, −1)

(−5, −1)

f) (1, −1) (−1, 1)

6. Sea L la recta que pasa por P1 (−1, 0) y P2 (5, 1) a) Hallar la ecuaci´on de L y comprobarla. b) Mostrar otros dos puntos de L. c) ¿Cu´ales de los siguientes puntos pertenecen a L: Q2 (10, 2) Q3 (−7, −1) ? Q1 (3, 76 ) 7. Representar gr´aficamente los conjuntos de puntos que verifican la ecuaci´on dada: a) 5x + y = 3 b) 3x − 6 = 0 c) x − 2 = 0 d) y − 2 = 0 e) 4x − 3y = 6 f) y = 0 8. Determinar el valor de k para que el punto dado satisfaga la ecuaci´on lineal: a) 2x + ky = 0 (−1, 3) b) (k − 1)x + 3ky = 2(k + 1) (2, −2) 9. Representar gr´aficamente los conjuntos: A = {(x, y) : 2x − y = 1 x > 0} B = (x, y) : −x + y = 2 y < 0 10. Representar gr´aficamente los siguientes pares de rectas indicando si son transversales, paralelas o coincidentes. En el caso de ser transversales indicar el punto de intersecci´on. a) L: 4x + 3y = 11

L0 : 3x − y = 18

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b) L: x + y − 3 = 0

L0 : 2x + 2y = 5

c) L: x − 3 = y + 1

L0 : x + 1 = 8(y − 2)

d) L: x − y = 1

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L0 : 4x − 2y = 4

11. Hallar los v´ertices del tri´angulo determinado por las rectas: L1 : 3x − 2y = −6 L2 : 2y + x = 6 L3 : 6y − x = 2 gr´aficamente.

y representarlo

Ecuaciones de segundo grado. Logaritmos.

13.

Ecuaciones de segundo grado

Son ecuaciones de la forma: ax2 + bx + c = 0, con a 6= 0 o cualquier otra ecuaci´on equivalente a ella.

13.1.

M´ etodo de completaci´ on de cuadrados

La idea fundamental de este m´etodo consiste en ver que esta ecuaci´on se puede escribir usando el desarrollo del cuadrado de un binomio. Ejemplo 1: Sea la ecuaci´on: x2 − 4x − 5 = 0 Los t´erminos x2 − 4x pueden considerarse como parte del desarrollo del cuadrado: (x − 2)2 = x2 − 4x + 4 es decir: x2 − 4x = (x − 2)2 − 4 por lo tanto la ecuaci´on se puede escribir: (x − 2)2 − 4 − 5 = 0 o sea: (x − 2)2 − 9 = 0 de donde: x − 2 = ±3 las soluciones son dos: x1 = −1 13.1.1.

x2 = 5

Forma general

El m´etodo es general, si consideramos la ecuaci´on ax2 + bx + c = 0 Sacamos a como factor com´ un:

b a(x2 + x) + c = 0 a

Sumamos y restamos dentro del par´entesis la cantidad positiva: b b2 b2 a(x2 + x + 2 − 2 ) + c = 0 a 4a 4a

b2 : 4a2

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Agrupamos convenientemente: b b2 b2 a(x2 + x + 2 ) − +c=0 a 4a 4a Operando: b2 b +c=0 a(x + )2 − 2a 4a b b2 a(x + )2 = −c 2a 4a b b2 − 4ac a(x + )2 = 2a 4a Pasamos a dividiendo (pues a 6= 0) b 2 b2 − 4ac ) = 2 2a s 4a 2 b b − 4ac x+ =± 2a 4a2

(x +

√

b2 − 4ac 2a (llamada f´ormula de Bhaskara) Puesto que el cuadrado de cualquier n´ umero real es un n´ umero real positivo; para que existan soluciones reales en una ecuaci´on cuadr´atica tiene que cumplirse que b2 − 4ac ≥ 0. Ejemplos: 1) Decir si existen soluciones para las siguientes ecuaciones cuadr´aticas: a) 6x2 − 5x + 1 = 0 Como a = 6; b = −5 y c = 1 en esta ecuaci´on b2 − 4ac = (−5)2 − 4 · 6 · 1 = 1 > 0. Las dos soluciones son: x=

x1 =

5+1 12

=

1 2

x2 =

5−1 12

=

−b ±

1 3

b) 4x2 + 4x + 5 = 0 Como a = 4; b = 4 y c = 5 en esta ecuaci´on b2 − 4ac = 42 − 4 · 4 · 5 = −64 < 0. La ecuaci´on no tiene soluci´on en los n´ umeros reales. c) 4x2 − 4x + 1 = 0 Como a = 4; b = −4 y c = 1 en esta ecuaci´on b2 − 4ac = (−4)2 − 4 · 4 · 1 = 0. La ecuaci´on tiene una sola soluci´on en los n´ umeros reales. x1 = x2 =

4+0 8

=

1 2

2) ¿Cu´al es el n´ umero natural que sumado al cuadrado de su consecutivo da 109? Si Si n es un n´ umero natural; su consecutivo es n + 1, entonces: 2 n + (n + 1) = 109 n + n2 + 2n + 1 = 109

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n2 + 3n − 108 = 0 Cuyas soluciones son: n1 = 9 n2 = −12 ; pero como n debe ser n´ umero natural, la soluci´on del problema es n = 9

14.

Logaritmos

14.1.

Definici´ on

Sea N > 0 y b un n´ umero real positivo y distinto de 1, el logaritmo de N en base b es un n´ umero c, tal que b elevado a la c es igual a N . logb N = c

⇔ bc = N

Ejemplo: log5 125 = 3 porque 53 = 125 log2 64 = 6 porque 26 = 64 14.1.1.

Propiedades

1. El logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de los factores. logb (n.m) = logb n + logb m 2. El logaritmo de un cociente es igual a la diferencia entre el logaritmo del dividendo y el logaritmo del divisor. logb (n/m) = logb n − logb m 3. El logaritmo de una potencia es igual al producto del exponente por el logaritmo de la base. logb an = n logb a 4. F´ormula del cambio de base: Permite calcular cualquier logaritmo en base b mediante otros de cualquier otra base: logb x =

15.

loga x loga b

Ejercicios

1. Utilizando el m´etodo de completaci´on de cuadrados, resolver las ecuaciones: a) x2 + 4x + 2 = 0

b) x2 − 16x + 39 = 0

c) x2 − 10x + 5 = 20

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2. Resolver las siguientes ecuaciones: a) x2 − 3x − 70 = 0

b) 3x2 + 6x − 36 = 0

d) 5(1 − x2 ) = −10(x + 1)

c) −2x2 − 2x + 10 = 0

e) (2x + 3)(2x − 3) = 9(x − 1)

2

f) 2(1 − x) + (x − 1) = 2 − x 3. Hallar un n´ umero tal que su cuadrado sea igual a su opuesto. 4. ¿Cu´al es el n´ umero natural tal que la mitad del producto por su consecutivo es igual a 136? 5. La cuarta parte de un n´ umero, multiplicada por ese n´ umero aumentado en dos unidades, es igual a seis veces y media dicho n´ umero. ¿Cu´al es el n´ umero que cumple esa condici´on? 6. La superficie de un rect´angulo es de 108 cm2 . Sabiendo que uno de los lados es igual a los 4/3 del otro, calcular las dimensiones del rect´angulo. 7. La superficie de un tri´angulo es de 60 cm2 . ¿Cu´anto mide la altura, sabiendo que tiene 2 cm m´as que la base? 8. Calcular los n´ umeros que sumados a su cuadrado dan como resultado treinta. 9. Una expedici´on llega a un lejano planeta y encuentra una civilizaci´on, un expedicionario le comenta a otro: Notaste que estos seres tienen 20 dedos como nosotros pero sin embargo tienen una extremidad menos que nosotros y un dedo mas por extremidad ¿Podr´ıa decir si la expedici´on parti´o de la tierra o no?. 10. La altura de un m´ovil est´a representada por un polinomio de segundo grado que tiene la forma y = v0 t − 4, 9t2 (donde v0 es la velocidad inicial y t el tiempo), tomando valores de t sobre el eje de las abscisas (horizontal) y los valores de y sobre el eje de ordenadas (vertical), representar gr´aficamente para un valor de v0 = 19, 6. 11. Calcular utilizando la definici´on: a) log2 256 b) log3 81 c) log5 1/5 e) log4 1/4 i) log10 1

f) log9 3

d) log2 1/8

g) log1/3 27

h) log10 0, 1

j) log10 0, 01

12. Calcular utilizando las propiedades: a) log2

1 8

b) log4 7

12

d) log3 (27 × 9 ) √ √ g) log5 5 125 8 25

1 4

c) log4 √ 8 e) log2 256

16 × 256 64 f) log10

√

1000 100

13. Calcular los logaritmos del ejercicio 9) utilizando un cambio a la base 10 (los valores en la base 10 obt´engalos de la calculadora).

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14. Calcular los logaritmos del ejercicio 9) utilizando un cambio a la base e (los valores en la base e obt´engalos de la calculadora). 15. Resolver las siguientes ecuaciones: a) log10 2x = 3 b) log5 4x = 2 d) log15 (x2 + 3x + 5) = 1

c) log2 (x + 1) = 4

e) log2 x + log2 (x − 2) = 3

f) log10 2x − log10 (x − 5) = log10 3

g) log10 (log10 ) = 3

h) log√x 16 = 4 16. Resolver las siguientes ecuaciones (usar la base mas adecuada): a) 2x+1 = 128

b) 273x−2 = 9

c) 25x−3 = 252x+3

2

d) 4x = 162x−2

4x+1 = 128 e) 33x = ( 31 )3x+2 2x+2 f) 4 · 4x + 8 · 2x = 320 (sustituir t = 2x y resolver la ecuaci´on cuadr´atica) d)

Trigonometr´ıa

16.

Teorema de Pit´ agoras

En un tri´angulo rect´angulo (recordar que es el que tiene un ´angulo de 90◦ ) el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos. P PP P

b

PP P

PPh PP P

a

17.

a2 + b2 = h2 PP P

PP

Tri´ angulos rect´ angulos

Resolver un tri´angulo rect´angulo significa averiguar la medida de sus tres lados y sus tres ´angulos . Es suficiente tener dos datos para encontrar los otros tres (α, β, a, b, h). cateto opuesto a sen α = = P PP hipotenusa h β PPPP PPh cateto adyacente b PP a cos α = = PP PP hipotenusa h α PP cateto opuesto a b tg α = = cateto adyacente b figura 1 Todos los tri´angulos rect´angulos que tienen un a´ngulo con la misma medida α son semejantes. Por lo tanto las funciones trigonom´etricas dependen del a´ngulo no de las longitudes de los lados del tri´angulo .

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UNLP

Propiedad: a2 + b 2 h h h2 2 2 2 como a + b = h por el teorema de Pit´agoras: sen2 α + cos2 α =

 a 2

+

 b 2

=

sen2 α + cos2 α = 1

17.1.

Angulos especiales

Calcular los valores de las funciones trigonom´etricas de los a´ngulos de a) 45◦ b) 30◦ c) 60◦ a) Si α = 45◦ ,

β = 90◦ − α = 45◦

sen45◦ = cos 45◦

@ @ 45◦@

Luego a = b

@ @

a

Por Pit´agoras a2 + a2 = h2 h 2a2 = h2 a= √ 2 h a 1 ◦ sen45 = = √ = √ h h 2 2

h @ @ @ @

45◦@ @

b

√ √ 1 2 2 Como √ = √ √ = 2 2 2 2 ◦

◦

Tenemos: sen45 = cos 45 =

√

2 2

tg45◦ = 1

b) y c) Consideremos un tri´angulo equil´atero. Considerando una altura, divide uno de los a´ngulos por la mitad. H H

60◦HH

HHa HH

a/2

a/2 60◦ 



Tenemos un tri´angulo rect´angulo con hipotenusa a y cateto a/2

H ◦ 30HH  u   

a



Tenemos: 1 sen30◦ = cos 60◦ = 2

Por Pit´agoras a2 = ( a2 )2 + u2 √

3 Despejando: u = a 2 1 sen30◦ = = cos 60◦ 2

√ 3 cos30◦ =sen 60◦ = 2

√ ◦

Luego cos 30 =

√ 1 3 tg30◦ = √ = 3 3

Ejemplo: Resolver un tri´angulo como el de la figura 1 donde a = 2cm y β = 60◦

3 =sen 60◦ 2

tg60◦ =

√ 3

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Como α + β = 90◦ Como cos β = 1 2 = 2 h a Como tgβ = b √ 2 Luego 3 = b Luego

18.

25

UNLP

α = 30◦

a h

cos 60◦ =

2 h

h = 4cm. tg60◦ =

2 b

2 b = √ cm. 3

Tri´ angulos no rect´ angulos

18.1.

Teorema del seno

El teorema del seno establece la relaci´on que existe entre los lados y a´ngulos en un tri´angulo que no es rect´angulo. Si se traza una altura en el tri´angulo (en la figura la altura que corresponde al ∆

∆

lado b ) quedan determinados dos tri´angulos rect´angulos : ABH y HBC BP PP PP β PP PPa c PP h P PP γPPP

α A

H

b

C

figura 2 h c ∆ h en el tri´angulo HBC : sen γ = a ∆

en el tri´angulo ABH : sen α =

de donde se deduce que: h = c sen α Luego:

h = a sen γ

y c sen α = a sen γ

c a = sen γ sen α Si se repite el mismo proceso trazando una altura correspondiente a otro lado del tri´angulo (por ejemplo la del lado c) b a = sen β sen α Luego: c b a = = sen γ sen β sen α

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18.2.

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Teorema del coseno

Observando la figura del tri´angulo y aplicando el teorema de Pit´agoras a cada tri´angulo rect´angulo tenemos: c2 = h2 + (b − CH)2 = h2 + b2 − 2bCH + CH a2 = h2 + CH

2

2

pero CH = a cos γ entonces: 2

c2 = a2 − CH + b2 − 2bCH + CH

2

c2 = a2 + b2 − 2ba cos γ

19.

Ejercicios

En cada uno de los siguientes ejercicios realice un dibujo utilizando una escala adecuada. 1. Calcular cuanto mide la hipotenusa de un tri´angulo rect´angulo, sabiendo que sus catetos miden 3 cm. y 4 cm. (Rta: 5cm) 2. Calcular cuanto mide un cateto de un tri´angulo rect´angulo, √ sabiendo que la hipotenusa mide 12 m. y el otro cateto mide 4 m. (Rta: 128 cm) √ 3. Calcular cuanto mide la diagonal de un cuadrado de lado 9 m. (Rta: 162 cm) 4. Calcular cuanto mide el lado de un cuadrado cuya diagonal es de 1, 5 km. 5. Calcular cuanto miden los catetos de un tri´angulo rect´angulo si la hipotenusa es de 15 cm. y se sabe que un cateto mide el doble que el otro. 6. Calcular el ´area de un tri´angulo equil´atero de 10 cm. de lado. 7. Cuando se apoya una escalera de 3 m. de largo en una de las paredes de un pasillo, llega a una altura de 2,80 m. Si se la inclina sobre la otra pared, sin mover su apoyo, llega a 2,90 m. de altura. Averiguar el ancho de pasillo. (Rta:1, 84514 metros) 8. Con referencia un tri´angulo como el de la figura 1: a) Dados α = 32◦ y a = 12. Calcular: b, h y β. b) Dados α = 65◦ y b = 15. Calcular: a, h y β. c) Dados α = 42◦ y h = 28. Calcular: b, a y β. d) Dados a = 14 y b = 35. Calcular: h, α y β. e) Dados h = 145 y a = 92. Calcular: b, α y β. f) Dados h = 34 y b = 22. Calcular: a, α y β. En todos los problemas siguientes realizar un esquema.

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9. Cuando el a´ngulo de elevaci´on del sol sobre la horizontal es de 30◦ una torre proyecta una sombra de 75 m. Calcular su altura. 10. ¿Cuan larga es la sombra que arroja un m´astil de 11 m. de altura a las 17 horas?. Suponer que a las 12 horas no proyecta sombra alguna. 11. Se piensa construir una pista de aviaci´on, al final de la misma quedar´a una arboleda de 25 m. de altura. ¿A que distancia m´ınima de la arboleda debe terminar la pista si el a´ngulo de despegue de los aviones es de 16◦ ? (Rta. 87, 1853 metros) 12. Un autom´ovil asciende una cuesta que tiene una inclinaci´on de 12◦ con la horizontal. Si viaja a una velocidad de 60 km/h, ¿cu´antos metros var´ıa su altura sobre el nivel del mar en 15 minutos? 13. Cuando se apoya una escalera de 3 m. de largo en una de las paredes de un pasillo, llega a una altura de 2,80 m. Si se la inclina sobre la otra pared, sin mover su apoyo, llega a 2,90 m. de altura. a) Calcular la inclinaci´on de la escalera respecto a la vertical en ambas posiciones. b) Calcular el ancho del pasillo utilizando dichos a´ngulos . Comparar con el problema 7. 14. Los lados paralelos de un trapecio miden 6 y 8 cm. y los otros dos miden 3 cm. (Rta: diagonal: 7, 5498 metros, a´rea: 18, 384 metros cuadrados) 15. Resolver los siguientes tri´angulos , con referencia a un tri´angulo como el de la figura 2: a)a = 3456 b = 2941 c = 4079 (Rta: los a´ngulos son: 56◦ 120 3300 ; 45◦ 00 3600 ; 78◦ 460 5000 ) b) a = 1575 β = 82◦ γ = 29◦ c) a = 7 b = 9 γ = 60◦ (Rta: c = 8, 19 y los a´ngulos : 47◦ 470 100 ; 72◦ 120 5800 ) 16. Calcular el a´rea del tri´angulo cuyos lados miden: 4, 8 y 11cm.(Rta: 12, 28 cm2 ) 17. Calcular el ´area del tri´angulo que tiene lados que miden b = 14 cm, c = 21 cm y el a´ngulo opuesto al lado a mide 41◦ . (Rta: 96, 38 cm2 ) ∆

18. En el tri´angulo ABC, el lado AB mide 10 cm y el lado BC mide el doble que el lado AC. Hallar las longitudes de los lados sabiendo que el a´ngulo A mide 60◦ .